定积分及其应用习题课

定积分及其应用习题课

n1．求极限：limn??n!； n2．设f(x)为[0,a]上的非负单调增加的连续函数，又x?g(y)是它的反函数，试用定积分的几何意义证明：

?a0f(x)dx??f(a)f(0)g(y)dy?af(a)。

x???3．设f(x)为[0,??)上的单调增加的连续函数，f(0)?0，limf(x)???，又x?g(y) 是它的反函数，试用定积分的几何意义说明：对任意的a?0,b?0，总有

?a0f(x)dx??g(y)dy?ab，并进一步说明等号成立的条件。

0b4．设f(x)在[a,b]恒正，f?(x)?0，f??(x)?0，将下列积分值按大小顺序排列： I1???[f(a)?abbbf(b)?f(a)(x?a)]dx，I2??f(x)dx，I3??f(a)dx。

aab?a5．计算

?201?sin2xdx。

6．计算

?x|x?a|dx 。

017．设f(x)??x02e?y2?2ydy，求?(x?1)2f(x)dx。

018．设f(x)?x?x?20f(x)dx?2?f(x)dx，求f(x)。

019．设f(x)及其反函数g(x)都可微且有关系式 10．求多项式 f (x) 使它满足方程11．设f(x)?

?0f(x)11g(t)dt?(x2?8)，求f(x)。

33?10f(xt)dt??f(t?1)dt?x3?2x。

x?x1lnt1dt，其中x?0，求f(x)?f()。 1?tx广义积分中值定理：设f(x)在?a,b? 连续，g(x)在?a,b?可积并且不变号，则在?a,b?上

至少存在一点?，使得：

12．证明下面极限： （1）limn??n?baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx。

ab?n?1sinxdx?0； xxnexdx。 （2）lim?n??01?ex1 1

13．设f(x)在[A,B]上连续，且A?a?b?B，求证：

lim?14．证明恒等式：

bh?0af(x?h)?f(x)dx?f(b)?f(a)

htdt??cos2x0?sin2x0arcsinarccostdt??4(0?x??2)。

15. 设f(x)在[0,??)上连续，且单调增加，试证明对任何b?a?0，皆有

?baa1bxf(x)dx?[b?f(x)dx?a?f(x)dx]。

02016．设f?(x)在?0,a?连续，f(a)?0，证明 17．设f(x)在?0,1?连续，在(0,1)可导，且31?a0Ma2f(x)dx?，其中M?maxf?(x) 。

0?x?a2?23f(x)dx?f(0)，证明：在(0,1)内至少存在

一点?，使f?(?)?0。

18．设f(x)在?0,1?可微，且满足f(1)?2使f?(?)???120xf(x)dx，证明：在(0,1)内至少存在一点?，

f(?)?。

12019．设f(x)在?0,1?可微，且满足f(1)?2?e1?xf(x)dx，证明：在(0,1)内至少存在一点

2?，使f?(?)?2?f(?)。

20．设f(x)在[0,1]连续，在(0,1)可微，且满足f(1)?k?1k0xe1?xf(x)dx(k?1)，证明：在(0,1)内至少存在一点?，使f?(?)?(1???1)f(?)。

21．设f(x),g(x)在?a,b?上连续，且g(x)?0，试证：至少存在一点??(a,b)，使得

??

babaf(x)dx?g(x)dxf(?) g(?) 2

22．设函数 f (x) 在[a, b] 上连续,在(a, b) 内可导, 且 f?(x)?0，若lim?x?af(2x?a)存在，

x?a证明：（1）在(a, b) 内 f (x) > 0 ；

(2) 在(a, b) 内存在点?, 使

b2?a2?ba?f(x)dx2?； f(?)22（3）在(a, b) 内存在与?相异的点?，使 f?(?)(b?a)?2?bf(x)dx。 ?a??a23．设f(x)在(??,??)上连续，证明：f(x)是周期为T的函数的充分必要条件为：积分

值

?T0f(x?y)dx与y无关。

24．试确定常数c的值，使反常积分

???0?1c???dx收敛，并求出积分值。 ??2??x?4x?2?25. 在区间[1,e]上求一点?，使曲线y?lnx与x??，y?1及y?0所围图形面积最小。 26．设f(x)在?a,b?上连续，且严格增加，证明在(a,b)内存在一点?，使曲线y?f(x) 与

两直线y?f(?),x?a所围图形的面积S1是曲线y?f(x)与两直线y?f(?),x?b所围图形的面积S2的三倍。

2227．设平面图形A由x?y?2x与y?x 所确定，求图形A绕直线x?2旋转一周所得

旋转体的体积。

28．证明曲边扇形0??????,0????(?)绕极轴旋转而成的体积为

Vox?2?3??r?3(?)sin?d?

29．半径为 R , 密度为?的球沉入深为 H ( H > 2 R ) 的水池底, 水的密度?0??，现将其

从水池中取出, 需做多少功 ?

30．为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 抓起污泥后提出井口，已知井深30 m ，抓

斗自重400N ，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m /s，在提升过程中污泥以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升到井口,问克服重力需作多少焦耳( J ) 功?

31．一半径为R米的圆形水闸门垂直立于水中，求水面与闸顶同样高时，闸门所受侧压力。

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