基本初等函数讲义（超级全）

一、一次函数

一次 函数 kk?kx?b?k?0? k?0 b?0 b?0 b?0 b?0 ，b 符号 k?0 b?0 b?0 yyOOyOyOyOy图象 Oxxxxxx性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 二、二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)?ax2?bx?c(a?0) ②顶点式：f(x)?a(x?h)2?k(a?0) ③两根式：f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0) （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．

③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便．

（3）二次函数图象的性质

f?x??ax2?bx?c?a?0? a?0 a?0 图像 bx??2a bx??2a b 2a 定义域 对称轴 顶点坐标 ???,??? x???b4ac?b2???,? 2a4a???4ac?b2?,???? ?4a?b????,???递减 2a??值域 ?4ac?b2????,? 4a??b????,???递增 2a??单调区间 ?b??,????递增 2a???b??,????递减 2a??①.二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为

b4ac?b2bx??,顶点坐标是(?,)

2a2a4a②当a?0时，抛物线开口向上，函数在(??,?bb]上递减，在[?,??)上递增，2a2a4ac?b2bb当x??时，fmin(x)?；当a?0时，抛物线开口向下，函数在(??,?]2a2a4a4ac?b2bb上递增，在[?,??)上递减，当x??时，fmax(x)?．

2a2a4a三、幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，函数y?x?叫做幂函数，其中x为自变量，?是常数． （2）幂函数的图象

过定点：所有的幂函数在(0,??)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．

四、指数函数

（1）根式的概念

如果xn?a,a?R,x?R,n?1，且n?N?，那么x叫做a的n次方根．

（2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：a?nam(a?0,m,n?N?,且n?1)．0的正分数指数幂等于0．

②正数的负分数指数幂的意义是：an?1)．0的负分数指数幂没有意义．

? mnmn1m1?()n?n()m(a?0,m,n?N?,且aa（3）运算性质

①ar?as?ar?s(a?0,r,s?R) ②(ar)s?ars(a?0,r,s?R) ③(ab)r?arbr(a?0,b?0,r?R)

（4）指数函数 函数名称 定义 指数函数 函数y?ax(a?0且a?1)叫做指数函数 a?1 y y?ax y?1(0,1)0?a?1 y?axy图象 y?1 (0,1) O 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况 xR Ox(0,??) 图象过定点(0,1)，即当x?0时，y?1． 非奇非偶 在R上是增函数 在R上是减函数 ax?1(x?0)ax?1(x?0) ax?1(x?0)ax?1(x?0)ax?1(x?0) ax?1(x?0)在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低． 响 五、对数函数 （1）对数的定义

①若ax?N(a?0,且a?1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x?logaN，其中a叫做

底数，N叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：x?logaN?ax?N(a?0,a?1,N?0)． （2）几个重要的对数恒等式

a变化对图象的影loga1?0，logaa?1，logaab?b． （3）常用对数与自然对数

lnN，lgN，常用对数：即log10N；自然对数：即ogle（其中e?2.71828…）． N（4）对数的运算性质 如果a?0,a?1,M?0,N?0，那么

①加法：logaM?logaN?loga(MN) ②减法：

logaM?logaN?logaM N③数乘：nlogaM?logaMn(n?R) ④alogaN?N ⑤

logaN?logabMn?nlogaM(b?0,n?R)b ⑥换底公式：

logbN(b?0,且b?1) logba（5）对数函数 函数 名称 定义 对数函数 函数y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数 a?1 x? 1y图象 Oy?logaxy(1,0)xO0?a?1 1x? y?logax (1,0) x 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在(0,??)上是增函数 logax?0(x?1)(0,??) R 图象过定点(1,0)，即当x?1时，y?0． 非奇非偶 在(0,??)上是减函数 logax?0(x?1)函数值的 变化情况 logax?0(x?1)logax?0(0?x?1) logax?0(x?1)logax?0(0?x?1) a变化对 图象的在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越影响 靠高． (6)反函数的概念

设函数y?f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y?f(x)中解出x，得式子x??(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x??(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x??(y)表示x是y的函数，函数x??(y)叫做函数y?f(x)的反函数，记作x?f?1(y)，习惯上改写成y?f?1(x)． （7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y?f(x)中反解出

x?f?1(y)；

③将x?f?1(y)改写成y?f?1(x)，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质

①原函数y?f(x)与反函数y?f?1(x)的图象关于直线y?x对称．

②函数y?f(x)的定义域、值域分别是其反函数y?f?1(x)的值域、定义域． ③若P(a,b)在原函数y?f(x)的图象上，则P'(b,a)在反函数y?f?1(x)的图象上．

④一般地，函数y?f(x)要有反函数则它必须为单调函数．

必修一(函数基本性质)测试

一 选择题（30分钟）

1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是 （ ） A.学校篮球水平较高的学生 C.2007年所有的欧盟国家

B.校园中长的高大的树木

D.中国经济发达的城市

（ ）

D．{1}

x?y?2{2．方程组x?y?0的解构成的集合是

A．{(1,1)} B．{1,1} C．（1，1）

3.集合A={xx?2k,k?Z} ,B={xx?2k?1,k?Z} ,C={xx?4k?1,k?Z} 又a?A,b?B,则有 （ ） A.（a+b）? A B. (a+b) ?B C.(a+b) ? C D. (a+b) ? A、B、C任一个8.集合

4.函数f(x)=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函 数，则f(1)等于

C．17

D．25 （ ）

A．－7 B．1

5.函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间是 （ ） A．(3，8) B．(－7，－2) C．(－2，3)

D．(0，5)

6.已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t) ＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是 （ ）

A．f(－1)＜f(9)＜f(13) C．f(9)＜f(－1)＜f(13)

2B．f(13)＜f(9)＜f(－1) D．f(13)＜f(－1)＜f(9)

7. 函数y?x?4x?c，则 （ ）

Af(1)?c?f(?2) Bf(1)?c?f(?2)

C c?f(1)?f(?2) D c?f(?2)?f(1)

8．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?4)??f(x)，且在区间[0,4]上是减函数则

（ ）

A．f(10)?f(13)?f(15) B．f(13)?f(10)?f(15) C．f(15)?f(10)?f(13) D．f(15)?f(13)?f(10)

9．下列各组函数表示同一函数的是 （ ）

A．f(x)?3x2,g(x)?(x)2

232B．f(x)?1,g(x)?x0

x2?1C．f(x)?x,g(x)?(x) D．f(x)?x?1,g(x)?

x?110.某学生离家去学校，由于怕迟到，一开始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程，若

以纵轴表示离家的距离，横轴表示离家后的时间，则下列四个图形中，符合该学生

走法的是 （ ）

11.已知函数y?f(x?1)定义域是[?2，3]，则y?f(2x?1)的定义域是 （ ）

522212.若函数f(x)?(m?1)x?(m?2)x?(m?7m?12)为偶函数，则m的值是 （ ）

A.[0，] B.[?1，4] C.[?5，5] D.[?3，7]

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

（增加）.若f(x)是偶函数，它在?0,???上是减函数,且（flgx）>f(1),则x的取值范围是（ ）

A. (

11，1) B. (0，)1010(1，??) C. (

1，10) D. (0，1)10(10，??)

二 填空题（10分钟）

13.含有三个实数的集合既可表示成{a,3a200?b2004? .

b,1}，又可表示成{a2,a?b,0}，则a14.已知集合U?{x|?3?x?3}，M?{x|?1?x?1}，CUN?{x|0?x?2}那么集合

N? ，M?(CUN)? ，M?N? . 15．函数f(x) = ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__ ． 16.函数y?ex?1的定义域为 ;

17.函数y?x2?ax?3(0?a?2)在[?1,1]上的最大值是 ，最小值是 . ?2?x(x?3),（增加）.已知函数f(x)??则f(log23)?_________.

?f(x?1)(x?3),三 计算题（30分钟）

18. 已知集合A?{xx2?4?0}，集合B?{xax?2?0}，若B?A，求实数a的取值集合

19. 已知集合A?{x?1?x?3}，B?{yx2?y,x?A}，C?{yy?2x?a,x?A}，若满足

C?B，求实数a的取值范围．

20.证明函数f（x）＝

3在［3,5］上单调递减，并求函数在［3,5］的最大值和最小值。 x?1

21．已知函数f(x)是定义域在R上的偶函数，且在区间(??,0)上单调递减，求满足

f(x2?2x?3)?f(?x2?4x?5)的x的集合．

22. 函数f(x)?x2?4x?4在闭区间[t，t＋1]（t∈R）上的最小值记为g（t）。 （I）试写出g（t）的函数表达式； （II）求出g（t）的最小值。

（增加）.已知函数f(x)?mx?(m?3)x?1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。

2

例题

一、求二次函数的解析式

例1.抛物线y?x2?4x?4的顶点坐标是（）

A．（2，0） B．（2，-2） C．（2，-8） D．（-2，-8） 例2．已知抛物线的顶点为（?1，?2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（）

A．y?3?x?1?2?2 B．y?3?x?1?2?2

C. y?3?x?1?2?2 D.y??3?x?1?2?2

2例3.抛物线y=x?2mx?m?2的顶点在第三象限，试确定m的取值范围是（）

A．m＜－1或m＞2 B．m＜0或m＞－1 C．－1＜m＜0 D．m＜－1

例4.已知二次函数f?x?同时满足条件： （1）f?1?x??f?1?x?； （2）f?x?的最大值为15； （3）f?x??0的两根立方和等于17 求f?x?的解析式

二、二次函数在特定区间上的最值问题

例5. 当?2?x?2时，求函数y?x2?2x?3的最大值和最小值．

例6．当x?0时，求函数y??x(2?x)的取值范围．

15例7．当t?x?t?1时，求函数y?x2?x?的最小值(其中t为常数)．

22

三、幂函数

例8.下列函数在???,0?上为减函数的是（）

Ａ．y?x Ｂ．y?x2 Ｃ．y?x3 Ｄ．y?x?2

例9.下列幂函数中定义域为?xx?0?的是（）

Ａ．y?x Ｂ．y?x Ｃ．y?x Ｄ．y?x

2332?23?3213例10.讨论函数y＝x的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．

4－2x－x2． 例10．已知函数y＝1525 （1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．

四、指数函数的运算

例11.计算??(?2)??的结果是（）

?212A、2B、C、—2 D、—

1212?36a9??63a9?????????等于（） 例12.

16842aaaaA、 B、C、 D、

44例13.若3?8,3?5，则3五、指数函数的性质

aba?2b3＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

xM?{y|y?2},P?{y|y?x?1}，则M∩P（） 例14.

A.{y|y?1} B. {y|y?1} C. {y|y?0} D. {y|y?0} 例15.求下列函数的定义域与值域：

（1）y?24x?4|x|（2）y?()

23例16.函数y?ax?2?3?a?0且a?1?的图像必经过点 ()

A．(0，1) B．(1，1) C．(2，3) D．(2，4)

例17求函数y=

五、对数函数的运算

a例18.已知3?2，那么log38?2log36用a表示是（）

2A、a?2 B、5a?2 C、3a?(1?a) D、3a?a

2x?1的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性. x2?12例19.2loga(M?2N)?logaM?logaN，则

1A、B、4 C、1 D、4或1

4M的值为（） N例20.已知log7[log3(log2x)]?0，那么x等于（）

?12

1111 A、B、C、D、

3232233例21.loga2?1，则a的取值范围是（）

3?2?A、?0,??3??1,???B、??2??2??2??2?,???C、?,1? D、?0,??,??? ?3??3??3??3?五、对数函数的性质

例22.下列函数中，在?0,2?上为增函数的是（） A、y?log1(x?1)B、y?log2x2?1 2C、y?log21D、y?log1(x2?4x?5)

x2?2?例23.函数y?lg??1?的图像关于（）

?1?x?A、x轴对称B、y轴对称C、原点对称D、直线y?x对称 例23.函数f(x)?lg

?x2?1?x是（奇、偶）函数。

?课下作业

1.已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( ) yyyy 1xO11xOO1xxO BADC222(x?2)2(x?2)2.对抛物线y=－3与y=－＋4的说法不正确的是（）

A．抛物线的形状相同 B．抛物线的顶点相同 C．抛物线对称轴相同 D．抛物线的开口方向相反

23. 二次函数y=?x?2x?1图像的顶点在（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2ax?bx的图像是（） 4. 如图所示，满足a＞0,b＜0的函数y=

2x5．如果抛物线y=?6x?c的顶点在x轴上，那么c的值为（）

A．0 B．6 C．3 D．9

6.一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是

( )

x

b7.在下列图象中，二次函数y=ax2＋bx＋c与函数y=的图象可能是

a（）

8．若函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f(x)是( )

A．减函数 B．增函数 C．常函数

D．可能是减函数，也可能是常函数

9．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )

A．[1，＋∞) B．[0,2]C．[1,2] D．(－∞，2] 10、使x2＞x3成立的x的取值范围是（ ）

A、x＜1且x≠0 B、0＜x＜1 C、x＞1 D、x＜1

adbc11、若四个幂函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、c、d的大小关系是（ ） A、d＞c＞b＞a B、a＞b＞c＞d C、d＞c＞a＞b D、a＞b＞d＞c

12．若幂函数

f?x??xm?1在(0，+∞)上是减函数，则 ( )

C．m=l

D．不能确定

A．m>1 B．m<1

13．若点是

A?a,b?在幂函数

y?xn?n?Q?的图象上，那么下列结论中不能成立的

?a?0?a?0?a?0?a?0????b?0b?0b?0A．? B．?Ｃ．? D．?b?0

14．若函数f(x)＝log1(x2－6x＋5)在(a，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是

2( )

A．(－∞，1] B．(3，＋∞) C．(－∞，3) D．[5，＋∞)

x2S?{y|y?3,x?R},T?{y|y?x?1,x?R}，则ST是（） 15、设集合

A、? B、T C、S D、有限集 16、函数y?2?log2x(x≥1)的值域为（） A、?2,??? B、???,2? C、?2,??? D、?3,???

17、设

y1?4,y2?80.90.48?1?,y3????2??1.5，则（）

A、y3?y1?y2 B、y2?y1?y3 C、y1?y3?y2 D、

y1?y2?y3 18、在

b?log(a?2)(5?a)中，实数a的取值范围是（）

2?a?5 D、3?a?4 a?5或a?2 B、2?a?3或3?a?5 C、A、

2219、计算(lg2)?(lg5)?2lg2?lg5等于（）

A、0 B、1 C、2 D、3 20、已知a?log32，那么log38?2log36用a表示是（）

223a?(1?a)5a?2a?23a?a?1 A、 B、 C、 D、

21、已知幂函数f(x)过点（2，1222），则f(4)的值为（）

A、 B、 1 C、2 D、8

二、填空题

1.抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________. 2.函数y?x3.设

?32的定义域为___________.

，如果f?x?是正比例函数，则m=____ ,如果f?x?是反比例

f?x???m?2?xm?1函数，则m=______,如果f(x)是幂函数，则m=____． 4.若(x?1)有意义，则x?___________． 5.当3x?5y时，25y2?30xy?9x2?___________．

xxy6.若5?5?25，则y的最小值为___________．

2?147、若loga2?m,loga3?n,a2m?n?。 8、函数y?log(x-1)(3-x)的定义域是。 9、lg25?lg2lg50?(lg2)2?。

x10.不等式62?x?2?1的解集是__________________________.

?3?2x的解集是__________________________.

1?11.不等式????3?x2?8xy10?3,10?4，则10x?y?__________________________. 12.若

(x?0)?log3x，1f(x)?,则f[f()]?x13、已知函数(x?0)9?2，的值为

14、函数f(x)?lg(3x?2)?2恒过定点

三、简答题

1.求下列各式中的x的值

?1?(1)ln(x?1)?1(2)???3?

1?x?2?0

2、已知幂函数f（x）＝x（p∈Z）在（0，＋∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p的值，并写出相应的函数f（x）、

x23.已知函数f(x?3)?lg2，

x?6213?p2?p?22(1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性。

a?2?a?2(x?R)，试确定a的值，使f(x)为奇函数。 4.设a?R，f(x)?x2?1x

5. 已知函数f(x)?log1[()x?1]，

212（1）求f(x)的定义域； （2）讨论函数f(x)的增减性。

十八出品

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7kfg.html