0337数学-江苏省东海高级中学2013届高三上学期期中考试数学文试

1 东海高级中学2013届高三文科数学期中试

题

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1.对于命题p :x R,?∈使得210x x .++<则p ?为____________

2.若函数log (3)a y ax =-在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是

3．若函数()2x f x e x a =--在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是_______

4.函数42sin 1()1

x y x R x x =-∈++的最大值与最小值之和为 5.定义在R 上的函数()f x 满足0)()23(=++x f x f 且)4

3(-=x f y 为奇函数．给出下列命题：

⑴函数()f x 的最小正周期为32； ⑵函数()y f x =的图象关于点)0,4

3(对称；

⑶函数()y f x =的图象关于y 轴对称．其中真命题有 ．（填序号）

6. 已知函数1)32sin(4)(+-=π

x x f ，给定条件p ：24π

π

≤≤x ，条件q ：

2)(2<-<-m x f ，

若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为 ．

7．已知函数22()sin tan (,).f 55

x f x a x b x a b R ππ=+∈为常数，x 若f(1)=-1，则不等式(24)>log 的解集为________.

8．如图，平面四边形ABCD 中，若AC ＝5，BD ＝2，

则(→AB ＋→DC )·(→AC ＋→BD )＝ ．

9．若正六棱锥的底面边长为cm 3，侧面积是底面积的3倍，则这个

棱锥的高是 ．

10. 设(,2)αππ∈，若tan()26πα+=，则cos(2)6π

α-的值为 A B C D （第8题图）

2 11、设关于x 的不等式组2230|1|2

x ax a x ?++-

则实数a 的取值范围为 .

12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点

P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐

标为___________.

13．已知||3AB =，C 是线段AB 上异于A ，B 的一点，,ADC BCE ??均为等边

三角形，则CDE ?的外接圆的半径的最小值是 ．

14．若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 _______．

二、解答题：（本大题6小题，共90分）

15．（本题满分14分）已知集合{|(2)(25)0},A x x x a =---<函数2(2)lg 2x a y a x

-+=-的定义域为集合B 。（1）若4a =，求集合A B ；

（2）已知,""2

a x A 3>-∈且是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围。

16．（本题满分14分） 如图的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD

为等边三角形， 22AD DE AB ===，F 为CD 的中点．

（1）求证：//AF 平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE .

B A E D

C F A C

D B

E 第13题

3

17．（本题满分15分）已知ABC ?中，21,,3A C A B C B A C x π=∠=

∠=，记()f x AB BC =? ．

（1）求()f x 解析式及定义域；

（2）设()6()1g x m f x =?+ (0,)3x π

∈，是否存在实数m ，使函数()g x 的值域为3

(1,]2

？若存在，

请求出m 的值；若不存在，请说明理由．

18．（本大题满分15分）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，

发现一天中环境综合放射性污染指数()f x 与时刻x （时）的关系为

()[]222,0,2413x f x a a x x =

-++∈+，其中a 是与气象有关的参数，且10,2a ??∈????

，若用每天()f x 的最大值为当天的综合放射性污染指数，记作()M a ． （Ⅰ）令21

x t x =+，[]0,24x ∈，求t 的取值范围； （Ⅱ）省规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

4

19．（本题满分16分）已知定义域为[0，1]的函数满足以下三个条件：①对任意[0,1]x ∈，

总有()

0f x ≥；②(1)f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，则有121()()()f x x f x f x +≥+成立

. (1) 求(0)f 的值；

(2) 函数()21x g x =-在区间[0,1]上是否同时适合①②③?并予以证明；

(3) 假定存在0[0,1]x ∈,使得0()[0,1]f x ∈,且00(())f f x x =,求证:00()f x x =

20．（本题满分16分）已知函数32()(63)x f x x x x t e =-++，t R ∈．

（1）若函数()y f x =依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值．

①求t 的取值范围； ②若22a c b +=，求t 的值．

（2）若存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式 ()f x x ≤恒成立．求正整数m 的最大值．

5

答案

1．x R ?∈，均有21x x ++≥0；2. 13a << 3. （2-2ln2，+∞） 4．2； 5．(2)(3)；

6．()3,5 7．（0,2）； 8． 9．cm 623 10． 11．7(,3]5

12

．

13.3/2√ 14．4k =或0k <．

15、

16.解：

17．。解：（1）由正弦定理有：12sin sin sin()33

BC AB x x ππ==-；…………………………2分 ∴1sin 2sin 3BC x π=，sin()32sin 3

x AB ππ-=…………………………………………4分 ∴41()sin sin()332f x AB BC x x π=?=?-? 231(cos sin )sin 32

2x x x =- 11sin(2)(0)3663

x x ππ=+-<< ……………………………………… 6分 （2）()6()1g x mf x =+=2sin(2)1(0)63m x m x ππ+

-+<< 假设存在实数m 符合题意，(0,

)3x π∈ ∴512sin(2)(,1]66662

x x π

π

ππ<+<+∈，则 ……………………9分 当0m >时， ()2sin(2)16g x m x m π

=+-+的值域为(1,1]m +

又()g x 的值域为3

(1,]2

，解得 12m = ………………11分

6 当0m <时，()2sin(2)16g x m x m π

=+-+ 的值域为[1,1)m +

又∵()g x 的值域为3(1,]2 解得m 无解………………………13分 ∴存在实数12

m =

，使函数)(x f 的值域恰为3(1,]2……………14分

18.解：（Ⅰ）当x=0时，t=0 当0< x ≤24时，)1(21取等号当且仅当=≥+

x x

x 211(0,]112x t x x x ∴==∈++ 故t 的取值范围是10,2

?????? ……………………4分 （Ⅱ）当10,2a ??∈????时，记()2

23g t t a a =-++ 则()23,0321

,32t a t a g t t a a t ?-++≤≤??=??++<≤??

……………………8分

∵()g t 在[]0,a 上单调递减，在1,2a ?? ???

上单调递增， 且()()2171103,,0232624g a g a g g a ??????=+=+-=- ? ? ??????

?． 故()()1171,0,02464211

113,0,34242g a a a M a a a g a ????≤≤+≤≤ ???????==????+<≤<≤???

?. ……………………10分 ∴当且仅当49a ≤

时，()2M a ≤. 故当409

a ≤≤时不超标， 当4192

a <≤时超标． ……………………15分

7

19.（1）解：由①知：(0)0f ≥；由③知：(00)(0)(0)f f f +≥+，即(0)0f ≤； ∴(0)0f =

(2 ) 证明：由题设知：(1)211g =-=；

由[0,1]x ∈知2[1,2]x

∈，得()[0,1]g x ∈，有()0g x ≥；

设12120,0,1x x x x ≥≥+≤，则121x

≥，221x

≥； ∴

1212121212()[()()](21)[(21)(21)](21)(21)0x x x x x x g x x g x g x ++-+=---+-=--≥

即1212()()()g x x g x g x +≥+

∴函数()21x

g x =-在区间[0,1]上同时适合①②③.

(3) 证明：若00()f x x >,则由题设知:00()[0,1]f x x -∈,且由①知00[()]0f f x x -≥, ∴

由

题

设

及

③

知

：

000000000(())[(())][()]()()x f f x f f x x x f f x x f x f x ==-+=-+≥

矛盾;

若00()f x x <,则则由题设知：00()[0,1]x f x -∈,且由①知00[()]0f x f x -≥, ∴

同

理

得

：

000000000()[(())()][()](())(())f x f x f x f x f x f x f f x f f x x =-+=-+≥=,矛盾;

故由上述知: 00()f x x =

20.解：（1）①23232()(3123)(63)(393)x x x

f x x x e x x x t e x x x t e '=-++-++=--++

32()3,39303,,.f x x x x t a b c ∴--++= 有个极值点有个根 322()393,'()3693(1)(3)g x x x x t g x x x x x =--++=--=+-令

()(-,-1),(3,+)(-1,3)g x ∞∞在上递增,上递减.()3824.(3)0g x t g ?∴∴-<

g(-1)>0

有个零点

②,,()a b c f x 是的三个极值点

3232393(x-a)(x-b)(x-c)=x ()()x x x t a b c x ab bc ac x abc ∴--++=-+++++-

8 393a b c ab ac bc t abc ++=??∴++=-??+=-?31(b (-1,3))2b ∴=-∈ 或舍12318123

a b t c ?=-?∴=∴=??=+? （2）不等式 ()f x x ≤，即32(63)x x x x t e x -++≤，即3263x t xe x x x -≤-+-．

转化为存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式3263x t xe

x x x -≤-+-恒成立．

即不等式32063x xe

x x x -≤-+-在[]1,x m ∈上恒成立． 即不等式2063x e

x x -≤-+-在[]1,x m ∈上恒成立． 设2()63x x e x x ?-=-+-，则()26x x e x ?-'=--+．

设()()26x r x x e x ?-'==--+，则()2x r x e -'=-，因为1x m ≤≤，有()0r x '<．

故()r x 在区间[]1,m 上是减函数．

又123(1)40,(2)20,(3)0r e r e r e ---=->=->=-<

故存在0(2,3)x ∈，使得00()()0r x x ?'==．

当01x x ≤<时，有()0x ?'>，当0x x >时，有()0x ?'<．

从而()y x ?=在区间[]01,x 上递增，在区间[)0,x +∞上递减．

又123(1)40,(2)5>0,(3)6>0,e e e ???---=+>=+=+

456(4)5>0,(5)20,(6)30.e e e ???---=+=+>=-<

所以当15x ≤≤时，恒有()0x ?>；当6x ≥时，恒有()0x ?<；

故使命题成立的正整数m 的最大值为5．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7kbl.html