人教版2022九年级数学上册 第1章 二次函数章末总结提升练习 (新

1

章末总结提升

第1课时(见A 本11页)

, 探究点 1 二次函数的对称性)

【例1】 2017·临沂 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h

8

14

18

20

20

18

14

…

下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t ＝4.5；③足球被踢出9 s 时落地；④足球被踢出1.5 s 时，距离地面的高度是11 m ．其中正确结论的个数是( B )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

变式 在直角坐标系中，抛物线y ＝mx 2

－2mx －2(m≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B.

(1)若该抛物线在2＜x ＜3这一段位于直线AB 的下方，并且在3＜x ＜4这一段位于直线

AB 的上方，则该抛物线的解析式为__y ＝2x 2

－4x －2__．

(2)抛物线的图象在－1

【解析】 (1)y ＝2x 2

－4x －2

(2)由(1)可得对称轴为直线x ＝1，

由抛物线的轴对称性得，当－1＜x ＜0这一段位于x 轴的下方， 则在2＜x ＜3这一段位于x 轴的下方， 所以，抛物线过点(3，0)，

代入，求得m ＝2

3

.

, 探究点 2 二次函数的增减性)

【例2】 若A ? ????32，y 1，B ? ??

??114，y 2为二次函数y ＝－x 2

＋4x ＋c 图象上的两点，则y 1－y 2

的值为( A )

A ．正数

B ．负数

C ．0

D ．无法确定

变式图

变式 抛物线y ＝－x 2

＋bx ＋c 与直线l 相交于点A(－1，0)，C(2，3)两点，与y 轴交于点N ，抛物线的顶点为D.

(1)写出抛物线及直线l 的函数关系式：__y ＝－x 2

＋2x ＋3与y ＝x ＋1__．

(2)B 为直线l 上的任意一点，过点B 作BD∥y 轴交抛物线于点D ，当BD 随x 的增大而

2 增大时，求x 的取值范围．

解：(1)y ＝－x 2＋2x ＋3与y ＝x ＋1

(2)当点D 在直线l 上方时．

BD ＝－x 2＋2x ＋3－(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2，

当x ＝12时，BD 最大，故－1≤x≤12

，BD 随x 的增大而增大； 当点D 在直线l 下方时．

当x≥2时，BD 随x 的增大而增大．

故x 的取值范围为－1≤x≤12

或x≥2. , 探究点 3 二次函数数与形的结合性) 例3图

【例3】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋c(a ＜0)的图象过菱形ABOC

的三个顶点A ，B ，C ，∠BAC ＝120°，则ac 的值是__－23

__． 变式图

变式 如图，△ABC 是边长为4 cm 的等边三角形，动点P 从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿A→C→B 运动，到达B 点即停止运动，过点P 作PD⊥AB 于点D ，设运动时间为x(s)，

△ADP 的面积为y(cm 2)，则能够大致反映y 与x 之间函数关系的图象是( B )

A ．

B ．

C ． D.

第1题图

1．已知抛物线y＝x2＋bx－3的部分图象如图所示，若y＜－3，则x的取值范围是( B) A．－1＜x＜4 B．0＜x＜2

C．x＜－1或x＞4 D．x ＜0或x＞2

2．2017·广州中考a≠0，函数y＝

a

x

与y＝－ax2＋a在同一直角坐标系中的大致图象可能是( D

)

A．B．C． D.

3．2017·宁波中考抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在( A)

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

第4题图

4．龙岩中考已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则|a－b＋c|＋|2a＋b|＝( D)

A．a＋b B．a－2b C．a－b D．3a

5．资阳中考已知二次函数y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且图象过A(x1，m)，B(x1＋n，m)两点，则m，n的关系为( D)

A．m＝

1

2

n B．m＝

1

4

n C．m＝

1

2

n2D．m＝

1

4

n2 6．已知抛物线y＝－(x－a)2＋a＋2，当a取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是__y＝x＋2__．抛物线与y轴交点为C，当－1≤a≤2时，C点经过的路径长为__

9

2

__．

7．2017·乐山中考已知二次函数y＝x2－2mx(m为常数)，当－1≤x≤2时，函数值y

的最小值为－2，则m的值是

2

．

8．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y＝x2＋mx＋n的图象上，当x1＝1，x2＝3

3

4 时，y 1＝y 2.

(1)①求m 的值；②若抛物线与x 轴只有一个公共点，求n 的值；

(2)若P(a ，b 1)，Q(3，b 2)是函数图象上的两点，且b 1＞b 2，求实数a 的取值范围． 解：(1)①∵当x 1＝1，x 2＝3时，y 1＝y 2，

∴1＋m ＋n ＝9＋3m ＋n ，∴m ＝－4；

②∵抛物线与x 轴只有一个公共点，

∴Δ＝m 2－4n ＝0，即16－4n ＝0，∴n ＝4.

(2)∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，

∴当P(a ，b 1)，Q(3，b 2)在对称轴的右侧，则a ＞3时，b 1＞b 2；

当P(a ，b 1)，Q(3，b 2)在对称轴的两侧，而当x 1＝1，x 2＝3时，y 1＝y 2，则a ＜1时，b 1＞b 2.

∴实数a 的取值范围为a ＜1或a ＞3.

第9题图

9．2017·北京中考在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴交于点A ，

B(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C.

(1)求直线BC 的表达式；

(2)垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，与直线BC 交于点N(x 3，y 3)，若x 1

解：(1)由抛物线y ＝x 2－4x ＋3 与x 轴交于点A ，B(点A 在点B 的左侧)，令y ＝0，解

得x ＝1或x ＝3,

∴点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(3，0)，

∵抛物线y ＝x 2－4x ＋3与y 轴交于点C ，令x ＝0，解得y ＝3,

∴点C 的坐标为(0，3)．设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b ，

∴?????3k ＋b ＝0，b ＝3，解得?????k ＝－1，b ＝3，

∴直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3. (2)由y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2

－1，∴抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴为直线x ＝2, 直线l 垂直轴，由图知P ，Q 关于直线x ＝2对称．

∴x 1＋x 2＝4.

∵x 1

∴－1

∴7

∴x 1＋x 2＋x 3的取值范围为7

5

第2课时(见A 本13页)

, 探究点 4 二次函数与方程、不等式的关联性)

【例4】 已知，二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c(a≠0)和一次函数y ＝x －1的图象交于A(－2，

－3)，B(1，0) 两点，则方程ax 2

＋(b －1)x ＋c ＋1＝0(a≠0)的根为( C )

A ．x 1＝－2，x 2＝－3

B ．x 1＝1，x 2＝0

C ．x 1＝－2，x 2＝1

D ．x 1＝－3，x 2＝0

变式 12

2

x … －1 0 1 2 3 … y 1 … 0 －3 －4 －3 0 … y 2

…

2

4

6

8

…

请你根据表格信息回答问题：当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围是__x<－1或x>5__．

, 探究点 5 二次函数与生活实际的结合应用)

【例5】 小燕去参观一个蔬菜大棚，大棚横截面为抛物线，有关数据如图所示，已知小燕的身高1.40米，在她不弯腰的情况下，横向活动范围有__6__米．

例5图

变式 2017·绍兴中考某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙足够

长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m ．设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m 2

)．

(1)如图1，问饲养室长x 为多少时，占地面积y 最大？

(2)如图2，现要求在图中所示位置留2 m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2 m 就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．

变式图

解：(1)∵y＝x·50－x 2＝－12(x －25)2

＋6252，

∴当x ＝25时，占地面积最大，

即饲养室长x 为25 m 时，占地面积y 最大． (2)∵y＝x·50－（x －2）2＝－12(x －26)2

＋338，

∴当x ＝26时，占地面积最大，

即饲养室长x 为26 m 时，占地面积y 最大； ∵26－25＝1≠2， ∴小敏的说法不正确．

6 , 探究点 6 二次函数与几何知识的结合应用)

【例6】 如图所示，分别过点P i (i ，0)(i ＝1，2，…，n)作x 轴的垂线，交y ＝12

x 2的图象于点A i ，交直线y ＝12x 于点B i .则1A 1B 1＋1A 2B 2＋…＋1A n B n

的值为( D ) 例6图

A.2n n ＋1 B ．2 C.2n （n ＋1） D.2n ＋1

变式 2017·安顺中考如图所示，直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，

经过B ，C 两点的抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

变式图

解：(1)∵直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，

∴B(3，0)，C(0，3)，

把B ，C 两点坐标代入抛物线解析式可得?????9＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得?????b ＝－4，c ＝3，

∴抛物线解析式为y ＝x 2－4x ＋3.

(2)∵y＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，

∴抛物线对称轴为x ＝2，P(2，－1)，

设M(2，t)，且C(0，3)，

∴MC ＝22＋（t －3）2＝t 2－6t ＋13，MP ＝|t ＋1|，PC ＝22＋（－1－3）2＝25， ∵△CPM 为等腰三角形，

∴有MC ＝MP ，MC ＝PC 和MP ＝PC 三种情况，

①当MC ＝MP 时，则有t 2－6t ＋13＝|t ＋1|，解得t ＝32，此时M ? ??

??2，32； ②当MC ＝PC 时，则有t 2－6t ＋13＝25，解得t ＝－1(与P 点重合，舍去)或t ＝7，此时M(2，7)；

7 ③当MP ＝PC 时，则有|t ＋1|＝25，解得t ＝－1＋25或t ＝－1－25，此时M(2，－1＋25)或(2，－1－25)；

综上可知存在满足条件的点M ，其坐标为? ??

??2，32或(2，7)或(2，－1＋25)或(2，－1－25)．

1．如图所示，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x＋2上运动．过点A作AC⊥x 轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为

__1__.

第1题图

2题图

2．如图所示，一张正方形纸板的边长为2 cm，将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分)．设AE＝BF＝CG＝DH＝x(cm)，四边形EFGH的面积为y(cm2)．则

(1)y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围为__y＝2x2－4x＋4(0＜x＜2)__；

(2)当x＝__1__时，四边形EFGH的面积的最大值为__2__(cm2)．

第3题图

3．2017·咸宁中考如图所示，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是__x＜－1或x＞4__．

第4题图

4．如图所示，P是抛物线y＝2(x－2)2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与y＝x和抛物线交于A，B.若△ABP是以AB为斜边的等腰直角三角形，则t＝

2

或1或3__．

5．在平面直角坐标系中，平移二次函数y＝(x－2015)(x－2017)＋3的图象，使其与x

8

9 轴的两个交点间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是( B )

A ．向上平移3个单位

B ．向下平移3个单位

C ．向左平移3个单位

D ．向右平移3个单位

第6题图

6．2017·河池中考抛物线y ＝－x 2

＋2x ＋3与x 轴交于点A ，B(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C.

(1)求直线BC 的解析式；

(2)抛物线的对称轴上存在点P ，使∠APB＝∠ABC，求点P 的坐标．

解：(1)在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令y ＝0可得0＝－x 2＋2x ＋3，

解得x ＝－1或x ＝3，

令x ＝0可得y ＝3，∴B(3，0)，C(0，3)，

∴可设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋3，

把B 点坐标代入可得3k ＋3＝0，解得k ＝－1，

∴直线BC 解析式为y ＝－x ＋3.

(2)∵OB＝OC ，∴∠ABC ＝45°，

第6题答图

∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2

＋4，∴抛物线对称轴为直线x ＝1，

设抛物线对称轴交直线BC 于点D ，交x 轴于点E ，当点P 在x 轴上方时，如图， ∵∠APB ＝∠ABC＝45°，且PA ＝PB ， ∴∠PBA ＝180°－45°2＝67.5°，∠DPB ＝12

∠APB ＝22.5°， ∴∠PBD ＝67.5°－45°＝22.5°，∴∠DPB ＝∠DBP，∴DP ＝DB ，

在Rt △BDE 中，BE ＝DE ＝2，由勾股定理可求得BD ＝22，

∴PE ＝2＋22，∴P(1，2＋22)；

当点P 在x 轴下方时，由对称性可知P 点坐标为(1，－2－22)；

综上可知P 点坐标为(1，2＋22)或(1，－2－22)．

7．2017·荆州中考荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/千克)与时间第t(天)之间的函数关系为：

10 p ＝?????14t ＋16（1≤t≤40，t 为整数），

－12t ＋46（41≤t≤80，t 为整数），

日销售量y(千克)与时间第t(天)之间的函

数关系如图所示．

第7题图

(1)求日销售量y 与时间t 的函数关系式；

(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

(3)在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m(m ＜7)元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求m 的取值范围．

解：(1)设解析式为y ＝kt ＋b ，

将(1，198)，(80，40)代入，得

?????k ＋b ＝198，80k ＋b ＝40，解得?

????k ＝－2，b ＝200， ∴y ＝－2t ＋200(1≤t≤80，t 为整数)．

(2)设日销售利润为w ，则w ＝(p －6)y ，

①当1≤t≤40时，w ＝? ??

??14t ＋16－6(－2t ＋200)＝－12(t －30)2＋2450， ∴当t ＝30时，w 最大＝2450；

②当41≤t≤80时，w ＝? ??

??－12t ＋46－6(－2t ＋200)＝(t －90)2－100， ∴当t ＝41时，w 最大＝2301.

∵2450＞2301，

∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．

(3)设日销售利润为w ，根据题意，得

w ＝? ??

??14t ＋16－6－m (－2t ＋200)＝－12t 2＋(30＋2m)t ＋2000－200m ， 其函数图象的对称轴为直线t ＝2m ＋30，

∵w 随t 的增大而增大，且1≤t≤40，

∴由二次函数的图象及其性质可知2m ＋30≥40，

解得m≥5，又m ＜7，∴5≤m ＜7.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7jul.html