数学分析(华东师大版)

第一章实数集与函数

单选题：

1.y?xsinx是

A. 偶函数. B. 奇函数. C. 非奇非偶函数. D. 以上都不对. 2. 设f(x)为R上的奇函数,g(x)为R上的偶函数, 则

A. g[f(x)]与f[g(x)]都是奇函数. B. g[f(x)]与f[g(x)]都是偶函数. C. g[f(x)]与f[g(x)]都是非奇非偶函数. D. g[f(x)]为奇函数, f[g(x)]为偶函数. y?ln(1?x)333.

x?1的定义域是

B.x?1,或x??1.x??2?2?x?2x?2A.?1?x?1.2?x?f(x)??x?9x?2?4. 设

C.x??1或x?1.D.x?1且x??1.

则下列各式中不成立的是 ( )

f(1?)f( 4f(0?)f?( 3) A. C.f(?2?)f(?1?)f(2 ) B.f(. 3 ) D.132?3

5. f(x)?tan(3?x?1)?5的周期是 ( )

A.?.x1?x2B.3C.D.6. 函数是 ( )

A. 无界函数. B. 有界函数.

C. 无上界有下界函数. D. 有上界无下界函数.

?x?1f(x)???x?17. 函数

x?0x?0 是 ( )

f(x)?(???x???) A. 单调减少函数. B. 有界函数.

C. 两个初等函数. D. 非初等函数. 8. 任意一个定义在R上的函数, 皆可分解为 ( )

A. 两个偶函数之和. B. 一个奇函数与一个偶函数之积.

C. 一个奇函数与一个偶函数之和. D. 两个奇函数之和.

9. 下列式子中是复合函数的为 ( )

A.y??1?B.y????x(x?0. ) ?2?

1?(2?x. ) D.y?x?1.

2x C.y?sinx10. 下列函数中关于原点对称的是 ( ) x2

单选题答案: 1—10 ABDBCBDCAD

判断题

A..B.10?x?x10Cx.?3cxosDx.x

1. 有限集必有上确界.

2. 任何周期函数必有最小正周期.

3. 两个单调增函数之和仍为单调增函数.

4. 若f(x)在任一有限区间上皆为有界函数, 则f(x)在整个数轴上是有界函数. 5. 若对任意函数g(x)满足f[g(x)]?g[f(x)], 则f(x)必为常值函数. 6. 分段函数一定不是初等函数.

7. 设f(x),g(x)在区间I上是单调增加函数, 则函数h(x)?max?f(x),g(x)?在I上

也是单调增加函数.

8. 若数集A有最大数?,则 supA??.

9. 有限集必存在上、下确界, 且上、下确界即为该集的最大数和最小数. 10. 若无限数集E存在上(下)确界, 则它的上(下)确界必不属于E. 判断题答案: 1—10 . √×√×××√√√×. 填空题1函数

y?x?4?22log3x?1?arcsin2x?17的定义域_________.

1. 函数y?log5(x?f(x)?x,2x?1)的反函数是_____________.

2. 已知f(x)的定义域为[0, 1 ], 则f(lgx)的定义域为_________. 3.

?(x)?2, 则 f[?(x)]?______________.

x4. f(x)是有界、周期的偶函数，但它没有最小正周期，则f(x)?_______.

5.

f(x)?,1?x 则 f[f(x)]的定义域为___________. 16.

?xx?(??,1)?2f(x)??xx?[1,4]?2xx?(4,??)?, 则 f?1(x)?____________.

7. 若数集E有最大数?, 则 supE?_________.

8. supE??的定义: 1) ?x?E,x??;2)????,___________. 9. infE??的定义: 1)?x?E,x??;2)????,________. 10. 填空题答案: 1. [ 3, 4 ]. 2.

y?5?52x?x. 3. [1, 10 ]. 4. 22x

?1x??f(x)???0x???? 6. (??,?2)?(?2,?1)?(?1,??) 5.

xx?(??,1)???1f(x)??xx?[1,16]?logxx?(16,??)2? 7. 8. ?.

9. ?x0?E,使得 x0??. 10. ?x0?E,使得x0??.

证明题：

21． 1． 试证明数集S?{y|y?2?x,x?R}有上界而无下界

2．设S为非空有下界数集，证明：infS???S???minS

1caf(x)?bf()?,(a,b,cxx3．设f(x)适合均为常数）且a?b， 试证明

f(?x)??f(x)4． 设f(x)为[?a,a]上奇函数，证明若f(x)在[0,a]上递增，则f(x)在[?a,0]上递增。

5. 定义于R上的函数f(x)既是偶函数,又对称于直线x?a定义域上周期函数.

6. 若f(x)定义于R上, 存在正常数k,T 对?x?R 则 f(x)?a?(x)xa?0,证明f(x)是其

f(x?T)?kf(x)

a?0 常数, 其中?(x)是以T为周期的周期函数.

7. 设f、g为定义在D上的有界函数，满足f(x)?g(x)，x?D 证明：⑴

supf(x)?supg(x)x?Dx?D；⑵

inff(x)?infg(x)x?Dx?D

8. 证明：f(x)?x?sinx在R上严格增.

9. 设f、g为区间(a,b)上的增函数，证明?(x)?max{f(x),g(x)}，

?(x)?min{f(x),g(x)}也都是区间(a,b)上的增函数. 10. 证明：tanx在

(??2,?2上无界，而在

)(?2?2,?2内任一闭区间[a,b]上有界.

) 证明题答案：1．证明 ?y?S，有y?2?x?2，故2是S的一个上界.

而对?M?0，取x0?S无下界.

3?M，y0?2?x0??1?M?S，但y0??M. 故数集

2 2．证明：?）设infS???S，则对一切x?S，有x??，而??S，

故?是数集S中的最小的数，即??minS.

?）设??minS，则??S；下面验证??infS； ⑴ 对一切x?S，有x??，即?是数集S的下界；

⑵ 对任何???，只须取x0??，则x0??. 所以??infS. 3．证： 令

af(x?1x1t后令t?x，

)?bf(x?) 1

cx1caf(x)?b()?xx 2

f(x)?1b?a22 1×b?2?a得

(bcx?acx))， ?f(?x)??f(x.

4. ?x1,x2?[?a,0] 且 x1?x2,?x1??x2. 又f(x)在[0,a]上递增, 所以

f?(2x)??f2(, x)a?0,?f(a?x)?f(a?x),

f(a?a?)x?(f2, a?x)??f(1x),1 f(?x1)?f(?x2), 又 f(?x ??f(x1)??f(x2), 即 f(x1)?f(x2)5. ?f(?x)?f(x), 又 f(x)对称于直线x?a)? ?f(x)?f(a?x?a?f(x)在[?a,0]上递增.

f[?(a?(a?x)]? 所以 f(x)是其定义域上的周期函数.

6. ?x?R,a?0,a?0. 令

x?(x)?f(x)aax, 即 f(x)?a?(x),

?kf(x)??xTakaTx 又 f(x?T)?kf(x),

?(x?T)?f(x?T)x?Ta(f)x?x?T(x)a,

kT 取 a 使 k?a, 即有 ?(x?T)??(x).

7. 证 ⑴ ?x?D，有所以

supf(x)?supg(x)x?Dx?Df(x)?g(x)?supg(x)x?D，即

supg(x)x?D是f在D上的一个上界，

.

，即x?Dinff(x)⑵ ?x?D，有

inff(x)?infg(x)x?Dx?Dinff(x)?f(x)?g(x)x?D是g在D上的一个下界，所以

.

x2?x1x2?x128. 证 设x1?x2，于是

f(x2)?f(x1)?x2?sinx2?x1?sinx1?x2?x1?2cos|2cosx2?x12sinx2?x122x2?x12sin ，从

因为?x?0，有sinx?x，所以而

x1?x2?2cosx2?x12sin|?2|sin|?x2?x1x2?x12?x2?x1x2?x12. 所以有 x2?x12?x2?x1?x1?x2?0f(x2)?f(x1)?x2?x1?2cossin

即f(x)?x?sinx在R上严格增.

9. 证 ⑴ 先证?(x)?max{f(x),g(x)}是区间(a,b)上的增函数. 设x1?x2，于是有

?(x2)?max{f(x2),g(x2)}?f(x2)?f(x1)，

?(x2)?max{f(x2),g(x2)}?g(x2)?g(x1)，

从而?(x2)?max{f(x1),g(x1)}??(x1)，所以?(x)是增函数.

⑵ 其次证明?(x)?min{f(x),g(x)}是区间(a,b)上的增函数

设x1?x2，于是有

?(x1)?min{f(x1),g(x1)}?f(x1)?f(x2) ?(x1)?min{f(x1),g(x1)}?g(x1)?g(x2)

从而 ?(x1)?min{f(x2),g(x2)}??(x2)

10. 证 ?M?0，取x0?arctan(M?1)，于是

tanx0?M?1?M，所以tanx在

(?x0?(??2,?2). 则有

?2,?2上无界.

)在

(??2,?)2内任一闭区间[a,b]上，取M?max{|tana|,|tanb|}，则?x?[a,b]，

必有|tanx|?M，所以tanx在[a,b]上有界.

计算题:

f(x)?1lg(3?x)?49?x21. 1. 设

，求f(x)的定义域和f[f(?7)]

2. 设函数f(x)在(??,??)上是奇函数，f(1)?a且对任何x值均有

f(x?2)?f(x)?f(2)

⑴ 试用a表示f(2)与f(5).

⑵ 问a取什么值时，f(x)是以2为周期的周期函数.

?1?x,f(x)???13. 设

x?0x?0，求f[f(x)].

4.设 f(x)为定义在R上函数，且?x?R， 有

2f(x)?f(1?x)?x

2 试求f(x)的表达式.

x?1，试验证f{f[f(f(x))]}?x，并求5. 设

6.讨论下列函数的奇偶性

g(x)?f(x)(1a?1xf(x)?xf[1f(x)（x?0，x?1）.

]?12), 其中f(x)是奇函数.

7. 设 f(2x)?3x?1, 且 f(a)?4, 求 a的值.

8. 设 f(x)的定义域D?[0,1], 求函数 f(x?a)?f(x?a)(a>0)

9. 设f(x)?1x?x2，求

⑴ f(x)的定义域 ⑵ 2 10. 设

{f[f(x)]}1x， 试用f(x)表示f(x)与f(x3)

222

f(x)?x?计算题答案:

1.解 由3?x?0,3?x?1,49?xf(?7)?1lg10?1?0解得f(x)的定义域为[?7,2)?(2,3)

f[f(?7)]?1lg2?43，所以

2.解 ⑴ 因为对任何x值均有f(x?2)?f(x)?f(2)，令x??1得

a?f(1)?f(?1?2)?f(2)?f(?1)?f(2)?f(1)?f(2)?a，所以f(2)?2a.

f(3)?f(1)?f(2)?3a，f(5)?f(2)?f(3)?5a

故由两边夹法则知

lim1?n2???nnnn???1.

9. 9. 证明: 对 ?p?N?

11111an?p?an?????????33(n?1)(n?p)n(n?1)(n?1)(n?2)(n?p?1)(n?p)1=n?1n?1???1n?p?1?1n?p?1n?1n?p?1?1?N???n 对???0, 取 ???,

a?an??a 则当n?N时, 对?p?N?都有n?p, 由柯西准则知 ?n?收敛.

10. 证明 先证数列{an}的有界性，用数学归纳法证明：2是{an}的一个上界.

a1?2?2，假设an?2，则an?1?2an?2?2?2，所以{an}有上界2. 2an?an?0其次证明{an}单调增加.

an?1?an?2an?an?an(2?an)，所以an?1?an，

2liman?aa{a}{a}nnnn??即单调增加. 从而极限存在，设，在?1?2an的两端取极限，得

a2lima?2?2a，解之得 a = 0 (舍去) 和 2，所以n??n.

计算题:

1.n??lim(n?2?2n?1?lim132412??322n)

2n?12n ???2n?12n2. 3.

4. 5. 6.

n??lim(n??)

12lim(n??1n?12?1n?22???)n?n

lim1?e1?e3?nx?nxn??

nlimnn??n?3n1??lim?1??n??2n? ?7.

8. 9.

lim[(n?1)?n],0???1n????

2lim(n??1n2?1(n?1)42???2)1321(n?n))

10. 11.

lim(2n??2?2n

)?(1?1n2lim(1?n??122)(1?)

答案:

1. 解

??lim?n???lim(n?2?2n?1?n??n)?lim[(n?2?n??n?1)?(n?n?1)]

1n?2?0?n?1135246???1n?1?2n?12n???0n?

2. 解 因为

?11?333?5

2n?1(2n?1)(2n?1)?055?7?2n?3(2n?3)(2n?1)lim1324??12n?1

lim12n?1而

n???02n?12n，所以

n??

32n?1??1lim??2????nn??222??557792n?12n?3?2n?3????lim?3???2?2?3?????lim3?????3n?1nnn??n??22222222????3.

n4. 因为n?nlimnn?n2n??2?1n?12?1n?22???1n?n2?nn?12?nn2?1，

?lim11?1nn???1且

?lim?n????1n?12，所以

???1?2n?n? ??1x?0?1???0x?0?1??1x?0

1?1n?2nxnx2???lim1?1/e1?1/en???limeenxnxn??5. 原式=

3n6. 解 当n?3时，有n?3，于是

3?limn??n3?3nnn?3?n3nn2?3?3?n2?3,n(n??)，所以

nn?3?3n

1???lim?1??n??2n???2n?121??lim?1??n??2n??7.

?1n?1??lim?1??n??2n???2n?1ne

)?1]8. 解

0?(n?1)?n??n[(1??)?1]?n[(1?

?n?n?1n1???0,(n??)

所以，n??lim[(n?1)?n]?00?1n2??

1(2n)2?1(n?1)2????n?1n2?1n?1n2?0,(n??)9. 因为，所以

?111lim?????22n???n2(n?1)(2n)?24???0??

1?111???n4821?12n282?2n2?22?21?2110. 因为

1122，而

nn1?2lim2n?24?n2?1(n??)，于是n??2nlim22?1n，从而

n??2282?2?lim21nn???222

1111324n?1n?1lim(1?2)(1?2)?(1?2)lim?????n??n??2233nn（6分） 23n11. ==n??2lim1?n?1n1=2（7分）

一、单选题（每题2分）

sin1x x>0 1x x<0

limf(x)1、 1、 设f(x)? 则x?0不存在的原因是（）

xsinA、f（0）无定义 B、x?0lim?f(x)lim?f(x)不存在

lim?f(x)C、x?0不存在 D、x?0 不存在

2、下列各运算过程中正确的是（）

lim4xlim4x1?x=

2lim?f(x)与x?0都

x?1A、

x?1lim(1?x)x?12?? B、x?0limxsin1x?limxlimsinx?0x?01x=0

sinlimxsinx?01x?11xsinlim?limxsinx??1x?11xlim?x?01xx??1xC、 D、

?22x?x?23、若，则必有（）

A、a=2 b=8 B、a=2 b=5 C、a=0 b=-8 D、a=2 b=-8

x?2limx?ax?b2x，则当x?1时（） 4、设

A、?是?是等价无穷小 B、?是较?高阶无穷小 C、?是?是同阶无穷小 D、?是较?低阶无穷小

?(x)?1?x1?x，?(x)?1?3x不存在，则l=（） 5、设x?0=2，x?0，又x?0A、-2 B、1 C、0 D、2

lim?f(x)lim?f(x)?llimf(x)?x6、对?M?0总存在X?0，当x??X时，f(x)??M则（） A、

limx???f(x)?? B、x??limlimf(x)???f(x)???

C、x??? D、x???7、当x???时，下列变量为无穷大的是（）

1?x2limf(x)???xx3A、

x22 B、e C、x?x?1 D、xsinx

8、当x?0时，下列无穷小中不与x等价的是（）

x?xA、sinx B、2(1?tanx?1) C、e?e D、ln(x?1?x)

29、设f(x)定义域有(??,??)，若对每一个正数k，存在??0，使得当0?x??时，f(x)?k，则（）

B、x?0limf(x)??limf(x)??A、

limf(x)?kx?0

C、x?? D、x??10、下列结论中错误的是（）

?1000limf(x)?kA、10 B、当x?0时，C、x??时，xcosx是无穷大

?2xsin1x是无穷小

D、x?0时，lnx不是无穷小 答案：

1、C 2、D 3、D 4、C 5、A 6、C 7、C 8、C 9、B 10、C 二、判断题（每题2分） 1、如果

limf(x)x??存在，则f(x)必有界。（ ）

A2、若x???3、若

limx?x0limf(x)?A?0，则必存在M?0，使当x??M时，恒有2都存在，则

limg(x)x?x0?f(x)?32A（ ）

f(x)与

limx?x0f(x)g(x)必存在。（ ）

4、若x?a5、

limx?x0limf(x)?Alimf(x)?A，则x?a，反之也成立。（ ）

limf(xn)?A对?xn?x0(n??)有x??。（ ）

f(x)?A?limD(x)x?RD(x)x6、设为狄利克雷函数，0，则?x0不存在。（ ）

7、无穷小量与有界量乘积仍是无穷小量。（ ）

8、无穷大量与有界量乘积仍是无穷大量。（ ） 9、无穷大量必是无界理，无界量也必是无穷大量。（ ） 10、x??答案：

limf(x)g(x)??，x??limf(x)?0则x??limg(x)?? （ ）

1、× 2、√ 3、× 4、× 5、√ 6、√ 7、√ 8、× 9、× 10、√ 三、填空题（每空2分）

1、x?0的定义是：对?M?0，总有???0，使当 时，有 。

2、f(x)~g(x)(x?a)，则f(x)?g(x)是比g(x) 的无穷小。 3、穷小。

f(x)?sin2x，

g(x)?1x，当x??时均有无穷小，则f(x)与g(x)是 无

lim?f(x)???4、f(x)?limf(x)x?01?x?1?x，g(x)?x，当x?0时，f(x)?0，g(x)?0，

g(x) 则

5、变量y以A为极限的充要条件是变量y可以表示为 之和

?6、如果7、

x?alimx?x0f(x)?A，且在x0的某邻域内f(x)?0，则A

''''limf(x)存在

????0,???0,?x,x:0?a?x??lim1f()?x

与 时，

8、x?09、

limf(x)?Alim，则x??f(x)?A?f(x)?Af(x)x?x0是当x?x0时的

10、

答案：

limx?x0存在的充要条件是其左、右极限

1、0?x?x0?? f(x).?M 2、高阶 3、同阶 4、2

5、A与无穷小 6、≥

7、 8、A

9、无穷小量 10、存在且相等

四、计算题（每题5分） 1、x???lim(3x?23x?1)2x?10?a?x''??f(x)?f(x)??'''

)2x?1解：x???令

lim(t?3x?23x?13=x???x?3tlim(1?33x?1)2x?1

t?33x?1则

且x???limt?0

lim(1?t)于是原极限=x?0?21?t3

12?13 =x?02lim?[(1?t)t]?lim?(1?t)t?0

=e 2、x???lim(x?nx?n)x （n为正整数）

)x解：x???lim(x?nx?n=x???x?n?nlim(1??2n2nx?n)x

=x??? =x???lim(1?2nx?n2n)2n

x?n2n?12lim[(1?x?n2nx?n2nx?n)]2n

2nx?n1x?n =x??? =x??? =e =e2n2nlim[(1?)2n?(1?2n)2]2n

nx?nlim[(1?)2n]?(1?2nx?n)

?1

1f(x)?2x?1limf(x)limf(x)2x?1求x?0?与x?0?

13、

1?111解：x?0lim?f(x)x?0lim?2x?11x?0lim?1?2x?111=

2x?1=

1?2x1y1y ??1

x?0limf(x)?x?0lim?2x?11limy?02???1?1?=

2x?1=

2

4、x?0lim1?tanx?sinx1?tanx 2tanx解：分子有理化后再约去sinx，得

limx?0原式=

sinx(1?tanx?2cosx(1?tanx?1?tanx) 1?tanx)?1lim =

2x?0

5、

limx?3x?5x?6x?8x?15

22解：x?3x?8x?15=x?3(x?3)(x?5)=x?3(x?5)limx?5x?6xsinx22lim(x?3)(x?2)lim(x?2)??12

6、x??x?4 解：

?0?(limx??limxsinxx?4xx?422)?(?0x2x?4

)而

xsinxx?42由迫敛性定理知

limx2x??limx???0

x?4或者：?而sinx为有界量(x??)

根据无穷小量与有界量之积仍为无穷小量得 原极限=0

?0limsin4xx?1?1 sin4xx?1?1=x?0sin4x4xx?07、x?0lim解：x?0 =x?0lim(x?1?1)sin4xx

lim4(x?1?1)

sin4x4x =x?0 =8

4lim(x?1?1)?lim

xsin21x8、x?0limsinx

1xxsinlimx?01xlimxsinx?01x?01?0xsin2解：x?0limlimsinxxsinxsinxsinx==

limsinxxx?0

9、x????x 解：

limx????x=

limt?0sin(??t)t=

limt?0sintt?1

lim1?2x?3x?21?2x?3x?2x?210、

x?4 lim(2x?8)(x?2)(x?4)(1?2x?3)

4?29?3?43

lim解：

x?4=

x?41?2x?3= =

五、证明题（每题5分）

x?42lim2?1、设x0?(a,b)，在[a,b]上恒有f(x)?f(x0)，且 limx?x0f(x)?f(x0)x?x0limf(x)?f(x0)x?x0?0存在，试证

x?x0

证明：??x?[a,b] f(x)?f(x0)

?f(x)?f(x0)?0

当x?[a,b]，且x?x0时

f(x)?f(x0)x?x0lim?

x?x0?0limf(x)?f(x0)?

f(x)?f(x0)x?x0存在， ?x?x0?0x?x0x?x0?0

f(x)?f(x0)当x?x0时，

lim?

x?x0? ?0f(x)?f(x0)x?x0x?x0 ?0limf(x)?f(x0) 从而2、设x???limx?x0

?f(x)?A，证明x?0lim1f()?Ax

证明：由x???今设

limf(x)?A????0,?X?0f(x)?A??，当x?X时， u?1x?X??1X?0，于是当

0?x?1X时，

1f(u)?A?f()?A??x则

即x?03、若x???证明：?limlim?1f()?Ax

f(x)?Alim，则?X?0，使x?X时，f(x)有界

对???0，取??1

f(x)?A?x????X?0，当x?X时，f(x)?A?1

即

limf(x)?A?1?f(x)?A?1

即f在x?X时，f(x)有界

4、设，

（用???语言证之）

x?x0f(x)?Alimg(x)?Bx?x0，证明A?B时，则在某?(x)内有f(x)?g(x)，

00证明：?limx?x0f(x)?A，

limg(x)?Bx?x0，且A?B

则对???0取

??A?B2?0

??1?0，0?x?x0??1

?f(x)?A?A?B2?A?B2f(x)?A?A?B2

g(x)?B?A?B2??2?0，0?x?x0??2

?g(x)?B?A?B2?A?B2

取??min??1,?2?则0?x?x0??时

f(x)?A?B2?g(x)3

235、设x??，证明2x?3x?O(x) 证明：?3limx??22x?3xx3332?lim(2?x??3x)?2

6、设x?x语言证之）

0?2x?3x?O(x)

limf(x)?Alimg(x)?B，x?x0，且在U(x,?)内f(x)?g(x)则A?B（用???00'证明：?limx?x0f(x)?A，

limg(x)?Bx?x0，则对???0

分别??1?0,?2?0 当

0?x?x0??10?x?x0??2 f(x)?A??

g(x)?B??

'??min??1,?2,??，则当0?x?x0??时 A???f(x)?g(x)?B??

?A?B?2?由?的任意性，得A?B

limx?x07、证明：若证明：设

limf(x)存在，则极限是唯一的 ，

limx?x0f(x)?Af(x)?Bx?x0 ?2

则对???0分别??1?0,?2?0使

当

0?x?x0??10?x?x0??2，有，有

f(x)?A?f(x)?B??2

0?x?x0??取??min??1,?2?，则当时 A?B?(f(x)?A)?(f(x)?B)

?(f(x)?A)?f(x)?B?

?2??2??

8、用定义证明

limx?3x?9x?322?6

证明：当x?2时

f(x)?6?x?9x?3?6?x?3?6?x?3

0?x?3??时 ?对???0取???，当f(x)?6??

2x?9lim?6x?3x?3? limsinx9、证明x???不存在

证明：当x?2n?时，x???当

?limx???limcosx=x???limcos2n??0 ?2)?1x?2n???limcosx2时，x???=x???limcos(2n??

limcosxx???不存在

f(x)的归结原则：

limf(x)[a,??]fx设定义在上，则???存在?对??xx??[a,??)

且x???limxn???，x???limf(xn)存在且相等

10、设f(x)~g(x)(x?x0)时，证明f(x)?g(x)?o(f(x)) 证明：?f(x)~g(x)(x?x0)

lim??x?x0f(x)g(x)?1?lim[x?x0limx?x0 f(x)?g(x)f(x)f(x)g(x)?g(x)f(x)?1]?1?1?0

一、单选题（每题2分）

?f(x)?g(x)?o(f(x))

?x?f(x)??xx?0?0? x?0则（ ） 1、设

A、f(x)在x?0处极限存在且连续 B、f(x)在x?0处极限存在但不连续 C、f(x)在x?0处左、右极限存在但不相等 D、f(x)在x?0处左、右极限不存在

?exx?0f(x)???a?xx?0要使f(x)在x?0处连续，则a=（ ） 2、设

A、2 B、1 C、0 D、-1

?sinx?f(x)??xx?0?1?x?0的（ ） 3、x?0是函数

A、可去间断点 B、跳跃间断点 C、无穷间断点（第二类） D、连续点

x?b4、设f(x)在(a,b)内连续，x?aA、最小值 B、零点 C、最大值 D、极值

??limf(x)?lim?f(x)?0???则f(x)在(a,b)内必有（ ）

5、存在是f(x)在x0连续的（ ） A、必要而非充分条件 B、充分而非必要条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

x?x0limf(x)6、f(x)在x0连续的充要条件是x?x0时（ ） A、f(x)是无穷小 B、

f(x)?f(x0)??(x)(lim?(x)?0)x?x0

limf(x0)f(x?0)f(x?0)x00C、与存在 D、?x0存在

7、设f(x)在x?x0处间断，则（ ） A、f(x)在x?x0处无一定无定义

B、当f(x0?0)与f(x0?0)存在时，必有f(x0?0)≠f(x0?0) limf(x0)limf(x0)f(x)x?xx00C、当与均存在时，必有?x0≠f(x0)

D、必有

x?x0limf(x)??

8、设点x0是f(x)地连续点，是g(x)的第一类间断点，则点x0是f(x)g(x)的（ ）

A、连续点 B、可能是连续点，也可能是间断点

C、第一类间断点 D、可能是第一类间断点，也可能是第二类间断点

f(x)?4?x229、函数

x?1的连续范围是（ ）

A、(??,?1)?(1,??) B、(??,?1)?(?1,1)?(1,??) C、(?2,?1)?(?1,1)?(1,2) D、[?2,?1)?(1,2]

f(x)?x?0111?ex的（ ） 10、是

A、连续点 B、可去间断点 C、跳跃间断点 D、第二类间断点 答案：

1、 1、 C 2、B 3、B 4、B 5、A 6、B 7、C 8、B 9、D 10、C 二、判断题（每题2分）

1、设f(x)定义于(??,??)，f(x)在任意有限开区间（A，B）内连续，则f(x)在(??,??)连续。 （ ）

2、设f(x)定义于(??,??)，若?c，f(x)在 (??,c]和(c,??)分别连续，则f(x)在

(??,??)连续。（ ）

3、设f(x)在[a,b]有定义，在(a,b)内连续，且f(a?0)和f(b?0)均存在（为有限数），则f(x)在[a,b]上必有最大值。（ ）

4、单调函数的间断点必是第一类的间断点。（ ）

5、一个连续的函数与一个不连续的函数复合后所得的函数必不连续。（ ） 6、两个不连续函数的复合函数必不连续。（ ）

7、若对???0，f在[a??,b??]上连续，则f在(a,b)内一定连续。（ ）

f8、f在x0连续，（或f2）在x0连续。（ ）

9、设f(x)在x0不连续，g(x)在x0也不连续，则f(x)?g(x)在x0必不连续。（ ） 10、f(x)在x0局部无界的充要条件是f(x)在x0不连续。（ ）

11、f(x)在x0邻域有定义，但不连续f(x)在???0?0,???0,?x??(x0,?)使得

f(x)?f(x0)??0''（ ）

12、f(x)在(??,??)内连续，在任意[a,b]?(??,??)上一致连续，则f(x)在(??,??)一致连续。 （ ）

13、若f(x)在?(x0;?)内连续，则f(x)在?(x0;?)内能取得最大值和最小值。（ ） 14、设定义在[a,b]上的函数y?f(x)存在单值及函数y?f对一的且连续，则f?1?1(x)，若f(x)在[a,b]上一

(x)在其定义域内必连续。（ ）

15、若f(x)在[a,b]上有定义，f(x)在(a,b)内连续，f(a?0)和f(b?0)存在，则f(x)在(a,b)内一致连续。（ ） 答案：

1、√ 2、√ 3、× 4、√ 5、× 6、× 7、√ 8、× 9、× 10、× 11、√ 12、× 13、× 14、√ 15、√ 三、填空题（每题2分）

p?1x?,p,q为正整数，pq既约真分数?qR(x)??q?1?内无理数?0 x?0,1及?0，1、

2、

x?x0limf(x)?f(x0)1的定义是：对???0,???0，当 时，有

x3、x?0是y?2的 间断点

?ex(sinx?cosx)x?0f(x)??2x?a?4、若 x?0在点x?0连续，则a=

?sinaxx?1f(x)???a(x?1)?1 x?1在x?1连续，则a= ； 5、设

6、函数f(x)在x?x0连续，则f(x)在x?x0处必须满足下述三个第件：①

② ③ ； 7、函数

f(x)?1x?1?2sinx的连续区间是 ；

?(x)??8、

?x,x为有理数??x,x为无理数的连续点是 ；

9、

f(x)?sin(sinx)xx则x?0为f(x)的 间断点

sinx的不连续点及类型 10、

答案：

1、无理点，有理点

f(x)?2、x?x0?? f(x)?f(x0)?? 3、第二类 4、1 5、

??2?2k? k=0，1，2，……

lim?f(x)?lim?f(x)limf(x)?f(x0)xf(x)xx?x06、①在0有定义无 ②?x0③x?x0

7、(??,?1)和(?1,??) 8、x?0 9、可去

10、x?0为可去的，x?k?为第二类的, k?0,?1,? 四、计算与应用题（每题5分）

?2x?x?0f(x)??1??x?1 x?0的连续性 1、讨论函数

x解：x?0时，2连续

1x?0时，x?1在x??1处间断

当x?0时，x?0 而f(0)?1

lim?f(x)?lim?2?2?1x?0x0

x?0lim?f(x)?lim?x?011?x?1

所以f(x)在x?0连续 故f(x)除x??1外处处连续

，使其在(??,??)上连续

x2x2sinsin1?cosx2?lim(2)2?1?1limf(x)??lim22x?0x?0x?0x22xx2解：∵ 2、 2、 延拓函数

x2f(x)?1?cosx∴延拓到(??,??)上的函数为 ?1?cosx2?xF(x)??x?01?2? x?0

3、 3、 设f(x)?sgnx,g(x)?1?x，研究复合函数f[g(x)]与g[f(x)]的连续性 解：∵g(x)?1?x?0

∴f[g(x)]?sgn(1?x)?1 ∴f[g(x)]在(??,??)上连续

g[f(x)]?1?sgn2222又

?2x?0x???1 x?0

∴g[f(x)]除了x?0为可去间断点外，在(??,0)和(0,??)内处处连续

?sinx????x?0?f(x)??00?x?1?1??x?1 1?x?44、讨论的连续性

解：f(x)的定义域为[??,4]，由于[??,0],(0,1)与[1,4]为f(x)的定义区间，故均连续 只在点x?0和x?1有可能间断 由于x?0lim?f(x)?lim?sinx?0x?0

x?0lim?f(x)?lim?0?0x?0 f(0)?0

1x?1∴x?0为连续点 又由于x?1lim?f(x)?0

x?1lim?f(x)?lim?x?1???

∴x?1为第二类间断点

故f(x)在[??,1]与[1,4]上均连续，x?1为第二类间断点 5、研究

f(x)?lim1?x1?x2n2nn???x的连续性

lim1?x1?x2n2nn??解：∵

x?1?1?x?1??0??1? x?1

2n2nf(x)?lim1?x1?xn?? ∴

x?1?x?x?1?x??0??x? x?1

显然f(?1?0)?f(?1?0)及f(1?0)?f(1?0)故 x??1有间断点，除此之外均连续

?u2?xu?1x?1f(u)??u??(x)???x?4 x?1 ?2?u u?1 6、

讨论复合函数f[?(x)]的连续性

?[?(x)]2?(x)?1f[?(x)]???2??(x) ?(x)?1 解：

由?(x)?1得x?1 即当x?1时?(x)?1 由?(x)?1得x?1 即当x?1时?(x)?1

2??x2xx?1x?1f[?(x)]?????2?(x?4) x?1??x?2 x?1 于是

当x?1时，x?1x?1lim?f???x???lim???x?2???3x?1

故x?1为f???x??的间断点，其它点均为连续点。 7、研究函数

f(x)?limxx2n2nlimf???x???1??1?1的间断点，并作出草图

n??f(x)?limxx2n2nn??解：

x?1??1?12?x?1?lim(1?2n)??0n???1x?1?1? x?1 nn ∴x??1为f(x)的第一类间断点· 8、研究函数

f(x)?limxn??1?x(x?0)的间断点及类型，并作出草图

f(x)?limxnnn??1?x解：

?1x?1?11?lim??x?1n??12?1?n?0 0?x?1 x2 故间断点为x?1，且为第一类的

limln(x?x?1)ln(x10x??9、根据初等函数的连续性求极限

?x?1)

lnx(1?limln(x?x?1)ln(x210221x1x9??1x2))?limx??解：

x???x?1)lnx(1?101x10

lnx?ln(1?limx??1x1x9??1x2)))1x10=

lnx10?ln(1?1x10

2lnx?ln(1?limx??1x1x1x2?1x?2=

10lnx?ln(1?2?ln(1?1x1x99)

??)/lnx)/lnxlimx??=

10?ln(1?1x10

2=10?15

10、根据初等函数的连续性求极限x?0解：令t? ∴x?0lim?xlim?xcosx

x则x?t2x?0

11cost?1t22cosx?lim?(cost)t?lim?[(1?(cost?1)cost?1]t?0t?0?e?12

t?0t（∵t?0五、证明题（每题5分）

lim?cost?12?2sin?lim?t22t2??12）

1、证明：若f(x)在a连续，且f(a)?0，则???0证明：∵f(x)在a连续

∴x?alimf(x)?f(a)?0?x:x?a??有f(x)?0

?0???0?x1x?a??即对???0取有∴

于是

??f(a)2f(a)2f(a)2

f(x)?f(a)?f(x)?f(a)??f(a)2时，

?0

???0?x:x?a??f(x)?0

2、证明：若y??(x)在x?a连续，且b??(a)，而z?f(y)在b处连续，则复合函数z?f[?(x)]在a连续

证明：已知z?f(y)在b处连续

f(y)?f(b)??即???0???0?y:y?b??有

又y??(x)在x?a连续，且b??(a)

∴对上述的??0???0?x:x?a??

?(x)??(a)?y?b??

?x:x?a??时

于是???0（???0，从而）???0有（

?(x)??(a)?y?b??，从而）

f[?(x)]?f[?(a)]?f(y)?f(b)??∴f[?(x)]x?a连续

3、证明：若f(x)是以2?为周期的连续函数，则存在??(??,??)，使得f(???)?f(?) 证明：令g(x)?f(x??)?f(x)，则g(x)也连续

∵g(0)?f(?)?f(0)

g(?)?f(2?)?f(?)?f(0)?f(?) ∴g(0)??g(?)

当g(0)?g(?)?0时，只须取??0即可 当g(0)?0时，g(0)与g(?)异号 由零点Th，???(0,?) 使得g(?)?0 即f(???)?f(?)

4、证明：若f(x)在[0,1]上连续，且f(x)的值域也是[0,1]，则至少存在一点xx?[0,1]使得f(x0)?x0 证明：?x?[0,1]f(x)?[0,1]0?f(x)?1

f(1)?1

令F(x)?f(x)?x

则1）若F(0)?0或F(1)?0则取x0?0或x0?1?f(0)?0于是由零点Th，至少存在一点x0?(0,1) 使F(x0)?0即f(x0)?x0

5、设f(x)与g(x)在[a,b]连续，且f(a)?g(a)??[a,b]使得f(?)?g(?)

证明：令F(x)?f(x)?g(x)则F(x)在[a,b]上连续

且F(a)?f(a)?g(a)?0

F(b)?f(b)?g(b)?0

由零点Th，至少???(a,b)使F(?)?0 即f(?)?g(?)

6、设f(x)在[0,1]上连续，对任何有理数??[a,b]，有f(?)?0，则在[a,b]上f(x)?0 证明：（反证）若存在无理数??[a,b]，使f(?)?0

由连续函数的保号性，??的某?(?;?)使

?x??(?;?)f(x)?0

但由有理数的稠密性知，在它邻域内必有有理数?（无穷多个）在这些点时f(?)?0 与f(?)?0矛盾 故f(x)?0 x?[a,b]

7、设f(x)在[0,2a]上连续，f(0)?f(2a)，证明方程f(x)?f(x?a)在[0,a]内至少有一个实根

证明：F(x)?f(x)?f(x?a)

F(0)?f(0)?g(a) F(a)?f(a)?g(2a)

f(b)?g(b)证明至少存在一点

2）若F(0)?0且F(1)?0则有F(0)?F(1)?(f(0)?0)(f(1)?1)?0

∴F(0)?F(a)?0即F(0)??F(a)

若F(0)?0(?0)则F(a)?0(?0)

由零点Th，至少???(0,a)使F(?)?f(?)?f(??a)?0 即f(?)?f(??a) 即??(0,a)为f(x)?f(x?a)的实根 若F(0)?0则F(a)?0此时f(0)?f(a)?f(2a) 此时x?0x?a为f(x)?f(x?a)在[0,a]上的根

8、如果f(x)在(a,b)连续，且f(a?0)与f(b?0)为有限值，则f(x)在(a,b)内有界 证法一：∵f(a?0)与f(b?0)存在

?f(x)x?(a,b)?F(x)??f(a?0)x?a?f(b?0)?∴ x?b

则F(x)在[a,b]上连续，从而有界

∴f(x)在(a,b)内有界

证法二：∵f(a?0)与f(b?0)存在

由极限局部有界性，?M1,M2?0，?充分小

??0

当x?(a,a??)x?(b??,b)f(x)?M1 f(x)?M2

而f(x)在[a??,b??]上连续，从而?M3?0 ?x?[a??,b??]f(x)?M3

f(x)?M 取M?max?M1,M2,M3? 则对x?(a,b) 即f(x)在(a,b)内有界

9、设f(0)?g(0)，当x?0时，f(x)?g(x)，试证f(x)与g(x)中至多有一个在x?0处连续

证明：（反证）假若f(x)与g(x)都在x?0连续

则x?0limf(x)?f(0)limg(x)?g(0)x?0

由于x?0∴x?0f(x)?g(x)

x?0limf(x)?limg(x)

∴f(0)?g(0)与已知矛盾

∴f(x)与g(x)不可能同时在x?0处连续 10、证明实系数方程x2n?1?a1x2n???a2nx?a2n?1?0至少有一个实根

2n?12n?a1x???a2nx?a2n?1 证明：设f(x)?x∵x???limf(x)???x???limf(x)???

由保号性?b?0，使f(b)?0f(?b)?0

于是f(x)在[?b,b]上f(b)f(?b)?0

而f(x)在(??,??)连续，从而在[?b,b]上连续 由零点得?x0?[?b,b]?(??,??)即为f(x)?0的根

一、单选题（每题2分）

1、f?x?在点x?x0可导是它在x?x0连续的（ ）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、既非充分又非必要条件 D、充要条件

f(x0)?0

2、如果f?x?在点x?x0可导，则（ ） f?x0?2h??f?x0??x0?h??f?x0?A、lim?f?h?0h?x0? B、

limfh?f?h?0?x0? f?x0?h??f?x0?h?f?x0??f?x0?2h?C、

limh?f?h?0?x0? D、

limh?f?h?0?x0?

limf?x0?h??f?x0?3h?3、f??x0???3，则h?0h?（ ）

A、?3 B、?6 C、?9 D、?12 4、下列说法正确的是（ ）

A、若f?x?在x0可导，则f?x?在x0某邻域内有界； B、若f?x?在x0可导，则f?x?在x0某邻域内连续； C、若f?x?在x0左右可导，则f?x?在x0处可导； D、若f?x?在x0某邻域内连续，则f?x?在x0处可导；

5、设f?x??xx，则f??0??（ ）

A、0 B、1 C、?1 D、不存在 6、当

?x充分小时，f??x0??0时，函数的改变量?y与微分dy?f??x0??x的关系是（ A、?y?dy B、?y?dy C、?y?dy D、?y?dy 7、函数y?tanx在x?0处是（ ）

A、连续且可导 B、不连续 C、有连续导数 D、连续不可导

2?x??x??f2?x?8、若f?x?可导，则?limfx?0?x?（ ）

A、0 B、?f??x??2 C、2f??x? D、2f?x?f??x? 9、f?x?可导，若y?f?sinx?，则dy?（ ）

A、f??sinx?dsinx B、f??sinx?dx C、

?f?sinx???dsinx D、前者均不对 ?f?x???21?xsinx?010、

?x?0x?0在x?0处（ ）

A、不连续 B、连续不可导 C、可导 D、f??x?连续

答案：ABDAA CDDAC

二、判断题（每题2分）

1、f?x?在x0可微的充要条件是f?x?在x0可导；（ ） 2、若f?x?在x0右可导，则f?x?在x0右连续；（ ）

3、f?u?在u?g?x0?可导，g?x?在x0不可导，则f?g?x??在x0一定不可导；（ ） 4、若f?x?在x0可导，则f?x?在x0某邻域内连续；（ ）

5、f?x?在x0可导，g?x?在x0不可导，则f?x??g?x?在x0一定不可导；（ ）

）6、x0是函数

g?x??f?x??f?x0?x?x0可去间断点的充要条件是f?x?在x0可导；（ ）

7、若f?x?是可导的偶函数，则导函数为奇函数；（ ） 8、f?x?在x0可导，则f?x?在x0某邻域内有界；（ ）

9、若f?x?在x0不可导，则曲线y?f?x?在点?x0,f?x0??处不存在切线；（ ）

10、可导的周期函数的导函数仍为周期函数.( )

答案：√√××√√√√×√

三、填空题（每题2分）

1、f?x???x?a???x?，而??x?在a处连续，则f??a?? ； 2、若f?x?在??a.a?上为偶函数，且f??0?存在，则f??0?= ； 3、设y?f?x?在x0处可微，则?y?dy? ； 4、设f?x?是可导函数，g?x??f5、Pn?x??a0x?a1xnn?12?x?，则g??x?? ；

???an,a0?0，则Pn?n??a2xn?2?x?? ；

6、

y?lnx??lnx?，则

? ；

7、y?lnsinx，则dy? ；

1?m?xsinf?x???x??0x?0x?08、设

，当m 值时，f?x?在x?0可导；

9、f?x??x?lnx，则f?x?的稳定点是 ； 10、

f?x??x，则f???0?? ，f???0?? ；

2????? 5、n!a0 ??2xfx?ao?x0答案：1、 2、 3、 4、

16、x 7、cotxdx 8、m?2 9、x?1 10、?1, 1

四、计算与应用题（每题5分） 1、y?2sin21x，求y?；

2y??2sin1x解：

?ln2?sin?22?21sin?111?x2ln2?2sincos??xxx?=?221?1??sin12x??2????2ln2?sin??x??=x2x

2、y?xln(x?1?x)?1?x，求y?；

x1?2x1?x2y??ln(x?1?x)?x?22x?1?x1?x 解：

xx2lnx?1?x??222lnx?1?x1?x1?x ==

????

dy33、求由y?3y?2xy?0所确定的隐函数的导数dx解：方程两边同时关于x求导，视y为x的函数，得

x?1y?1；

3yy??3?2y?2xy??0

2y??2y3?3y?2x

?n?2y?所以 4、y?sin2x?1y?1?23?3?2??1

x，求y；

解：y??2sinxcosx?sin2x

???y???2cos2x?2sin?2x??2? ?2???2y????2sin?2x??2? ?y?n?…………………

?2n?1(n?1)???sin?2x??2??

t?1?x?1?t2dy?25、?y?t?t，求dxdy及t?1时的切线方程；

解：dx?1?2t?2tt?1?1?12t

t?1dy? dx1????1??2t??y??12

12? 切线方程为

x

6、y?xlnx，求y解：

y??lnx?x?y???y?n??n?；

?4?1x?lnx?11x21x，

y?????n，

y?2x，

3y?5???3?2?1x4…………..

???1??n?2?!xn?1n?1

dy7、y?esin?2x?3?，求

dxx?32；

解：dy?esin?2x?3??2cos?2x?3?dx

dy2?2dx ?

2?x?t2?1dy?32y?2t?t?8、，求dx；

dxx?3dy解：dx ??2?3t2????2t?222dy??6t?2t?2?2?3t??12t?4?6t?3232t8tdx=8t==

3?2?3t2t29、求由曲线y?2x?x在点??1.?1?处的切线和法线方程；

2解：y??2?3x

?2?3??1

? 切线方程 y?1???x?1?

x??1y?? 法线方程 y?x

10、xy?lny?1，求M?1,1?处的切线与法线方程. 解：方程两边同时关于x求导，视y为x的函数，得

y?xy??1yyx??

? 切线方程

y??0

y??? 1y

y?1??y?12x?1y?1??12

?x?1?

? 法线方程 y?1?2?x?1?

五、证明题（每题5分）

1、 1、 设f?x?在x0可导，则f?x?在x0处必连续； 证：? f?x?在x0可导，?x?0?x?ylim?y?f??x0?

?f??x0???lim??0?x? ?x?0 ? ?y?f??x0??x???x

?

?x?0lim?y?0

f?x0??x??f?x0??x??x?x?limf?x0??x??f?x0???x? f?x?在x0处连续

?2、 2、 证明：若f?x0?存在，则?x?0lim?2f??x0?；

证：?x?0limf?x0??x??f?x0??x??x?limf?x0??x??f?x0??f?x0??f?x0??x??x?0=?x?0 ?

f?x?在x0可导，

limf?x0??x??f?x0??x?x?0? 上式=f??x0??f??x0??2f??x0?

3、 3、 设y?arctanx，证明它满足方程?1?x2?y???2xy??0；

证：?y??11?x22y????2x ，

?1?x?222，

?1?x?y???2xy???1?x? ?

?2x??2??1?x??2???2x?0?1?x2?

4、 4、 证明：f?x?在x0可微，则f?x?在x0可导； 证：? f?x?在x0可微，? ?A 使得 ?f?A?x?o??x?

?fo??x??x? ?x?

?x?0?A??f?x

lim?A 即f??x0??A

5、 5、 设??x?在a处连续，??a??0，f?x??x?a??x?，证明：f??a?存在；

????证：? fx?x?a?x ? f?a??0

f?x??f?a???x?af???a??lim?x?a?x?a??x??0x?af?x??f?a?x?a?x?a??x?x?a ?x?a???x?x?a?lim?x?alim???x???a?===0

x?a?

f???a??lim?x?af?x??f?a?x?a?lim?x?a?a?x???x?x?alim=x?a??x?=???a?=0

? f??a??0

1??g?x?sinf?x???x??0x?0x?06、 6、 设g?0??g??0??0，

f??0??limf?x??f?0?xlim，证明：f??0??0；

1x（?g?x?sin?limx?01x?0证： ?x?0x?g??0??0=x?0，

sin1limg?x??g?0?xsing?0??0）

g?x??g?0?xg??0??0 而x?01?3?xsinf?x???x??0x为有界量

? f??0??0

x?0x?01x7、 7、 设

，证明：f??x?在x?0连续；

1x

证： x?0时，

f??0??lim2f??x??3xsin?xcosxsinx?031xx?0?limxsinx?021x?0

11??2limf??x??lim?3xsin?xcos??0?f??0?x?0x?0xx??而

? f??x?在x?0连续

?x?1f?x????18、 8、 证明：

x?0x?0在x?0连续但不可导；

证：x?0lim?f?x?=x?0lim??x?1??1?f?0?

x?0lim?f?x??1?f?0?

(x?1)?1xx?0? f?x?在x?0处连续

又

f???0??lim?x?0f?x??f?0?xf?x??f?0?x?lim?x?0?1

f???0??lim?x?0?lim?x?01?1f???0??f???0? ? f??0?不存在，即f?x?在x?0处不可导

dfx

9、 9、 设f?x?为可导函数，证明：若x?1时，dx则必有f??1??0或f?1??1

dddx???2ddxf2?x?，

证：? dxfx???2f2?x? 即 2xf?x2??2f?x?f??x?

当x?1时，2f?1??2f?1?f??1? 得 f??1??f?1??1??0

? f??1??0 或 f?1??1

x?0?x??f?x???xsinx?0?x?10、，证明：f?x?在x?0连续但不可导.

证：x?0lim?f?x??lim?x?0?f?0?x?0，

x?0lim?f?x??lim??xsinx?0?x?0?f?0?

? f?x?在x?0处连续

f???0??lim?x?0f?x??f?0?xf?x??f?0?xxsin?lim?x?0?xx?1?0x?0又

?lim?sin?x不存在

f???0??lim?x?0?lim?x?0x?0x? f??0?不存在即f?x?在x?0处不可导。

一、单选题（每题2分）

1、下列函数中，在??1,1?上满足Rolle定理条件的是（） A、e B、

xlnx C、1?x D、

'21?11?x2

2、设f(x)在[0,??)内可导，且f(x)?0，又有f(0)?0则在[0,??)内，f(x)（） A、有唯一零点 B、至少存在一个零点 C、没有零点 D、不能确定有无零点 3、当x??1时，函数y?x?3px?1取极值，则p=（） A、0 B、-1 C、1 左 4、设f(x)在区间I可导，则?x?If(x)?0且使f(x)?0的点x仅是一些孤立点是

'3'函数f(x)在I上严格增加的（）

A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、以上都不对

5、设f(x)在区间上可导，则?x?If(x)?0是f(x)在区间I上严格增加的（） A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、以上都不对

6、函数f(x)在点x?c的某邻域存在二阶连续函数，则f??(c)?0是曲线y?f(x)有拐点

(c,f(c))的（）

'A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、以上都不对

7、f(x)在区间I可导，则曲线y?f(x)位于它的任意一点的切线上方是f(x)在I上为凸函数的（）

A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、以上都不对 8、f(x)在x?x0取极大值，则f(x)在x?x0的导数必（） A、等于0 B、等于1 C、不存在 D、等于0或不存在 9、在（）内， f(x)?cosx严格凸

A、 D、(?,2?) 10、下列极限不能使用格林法则的是（）

2211?x(???,2 B、(0,?) C、2)(?3?,)xsinlim21xlimx3x D、x???A、x?1? B、x?0sinx C、x??[答案]

1、C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、B 7、C 8、D 9、C 10、B 二、判断题（每题2分）

limlnxlimxlnx?1x?1

1、设f(x)在(a,b)可导，x?af?(?)?0 （）

lim?f(x)?lim?f(x)?lx?ba,b为有限值，则必???(a,b)使

2、若f(x)在区间I上递减，则?f(x)在I上必有递增（） 3、函数f(x)的稳定点不一定是函数的极值点（） 4、函数的极值点一定是函数的稳定点（） 5、两个凸函数之和仍是凸函数（）

6、若f(x)在区间I是凹函数，则?f(x)在I上必为凸函数（） 7、单调函数的导函数也是单调函数（） 8、(0,0)是曲线y?x的拐点（） 9、递增函数总是无上界的（）

10、设f(x)在(a,b)可导，在a点和b点有定义，但不全连续，则使 f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)成立的??(a,b)一定不存在（） [答案]

1、√ 2、√ 3、√ 4、× 5、√ 6、√ 7、× 8、× 9、× 10、× 三、填空题（每题2分） 1、在区间I上，f?(x)?g?(x)x?I则f(x)与g(x)在I上的关系是

42、若f?(x)在(a,b)上处处为0，则f(x)= 3、设f(x)在区间I上有定义，若f(x)在x0可导，且x0是f(x)的极值点，

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