换元法在数学竞赛中的若干运用（李鑫）

换元法在数学竞赛中的若干运用

摘要： 在中学数学竞赛中，换元法作为一种重要的解题方法，有着能够将数学问题化繁为简，化难为易的作用。本文论述换元法在中学数学竞赛中的若干种运用，主要从自身换元、局部换元、整体换元、常值换元、均值换元、参数换元、比值换元及其功能分类等八个方面来论述.

关键词：换元法、数学竞赛

Abstract

前言

从往年的竞赛试题看，初中竞赛和高中竞赛题需要用到换元法来求解的问题是相当多的。在计算题、解高次方程、解无理方程、求函数解析式、不等式的证明、数

列等题型中经常能过发挥重要的作用。通过换元法可以达到化高次为低次，化分式为整式，化无理式为有理式，化超越式为代数式的转化。这里我仅结合数学竞赛中常出现的一

些题型来谈一谈它在数学竞赛中的一些运用. 1. 换元法的定义及其相关概念 1.1换元法的定义

所谓换元法（substitution method; substitution; changing yuan）是一种设辅助元素，把题中一个（些）字母的表达式用另外的一个字母（些）字母的表达式来代替，从而达到把要求解的问题简单化，建立已知和未知的联系的方法.

在解决数学竞赛试题时，有时我们直接按原始的方法去解决问题会显得比较繁琐和困难，或者原问题所给已知条件不易得出最后结果，或者所给问题不好下手，那么这时如果我们能够引人新的“元”代替旧的“元”，使得建立在“新元”基础上的条件和问题得到了化繁为简、化难为易，容易得出最后的正确结果。这就是换元法之所在. 1.2换元法的基本思想

化繁为简、化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式、化不熟悉为熟悉. 1.3换元法的一般步骤

①构造新元 ②解答 ③求出原解 转化 代价代换

2.换元法的分类及典例分析 2.1从结构上划分 2.1．1自身换元法

在数学竞赛中，我们经常会遇到一些很繁杂的计算题，如果按照原始的方法去计算，如果按照原始的方法去计算，将会使计算过程变的复杂难解，甚至不能得到最后的正确结果，这时我们常会用到“自身换元法”。“自身换元法”就是指把要求解的式子整体用另一个字母或者表达式替换后，通过对新的变元进行计算后得出具体结果.

例1、 计算

1121231234125859?（?）?（??）?（???）???(?????)2334445 55560606060（1989年上海市数学竞赛题）

分析：首先我们观察本题是计算一串很长的分数之和，在每一个括号中的分数的分母都是相同的。假设分母为m(2?m?60),则每个括号中相加的分数为（m?1）个。根据题目的特点，用原始的计算方法（先将每个括号里的分数相加，再加总求和）是相当繁杂的一项工程，并且在数学竞赛考试时间有限的情况下，是不宜采用的，那么对于这样的式子，我们如果采用“自身换元法”，会有怎样的效果呢？

解：设T?原式，将原式各项反序排列后有

1213214321595821（?）?（??）?(???)??(?????) T??233444555560606060

将等式两边乘以2，得到

59?（1?59）59?602T?1?2?3???58?59???117022

所以T?585，故原式?585

评析：解决此题的关键就是利用“自身换元”。将一串很长的式子用一个简单的变元T来表示，然后等式两边同时乘以2，这样就将一串繁杂的分数相加化为了比较简单的整数相加，问题迎刃而解。

2，?，5. 求：例2、 设ai?R?，i?1，a5a1a2????

a2?3a3?5a4?75a3?3a4?5a5?7a1a1?3a2?5a3?7a4的最小值。（2004年全国高中数学联赛吉林赛区初赛试题）

分析：从开始看题的第一眼，我们就会产生一种厌烦的心理，本题所需要计算的不仅是一串分式之和，并且每一个分式都是由字母组成，如果不采用特殊的计算方法，是不可能将结果求解出来的。本例与例1有相似之处，都是分式相加求和，所以考虑运用“自身换元法”.

解：设原式为A.由柯西不等式，有

A?[a1(a2?3a3?5a4?7a5)?a2(a3??3a4?5a5?7a1)???a5(a1?3a2?5a3?7a4)]?(a1?a2?a3?a4?a5)2

?a 于是，有A?8?aa2i?1i1?i?j?55.?j1?i?j?5?(ai?aj)2?0，

所以，(?ai)?1525aiaj. ?21?i?j?5从而，A?5. 16当a1?a2?a3?a4?a5时，式①、②中的符号都成立，即有A? 综上所述，所求的最小值为

5. 165. 16评析：解决此题的关键也是利用“自身换元法”. 2.1.2局部换元法

换元法从结构上可分为整体换元和局部换元，局部换元是数学竞赛中运用最多，最常见的一种方法。

abc例2、a，b，c为正实数，求证：2???122a?8bcb?8acc?8ab

(启动中学竞赛试题)

证明：令x?a2a?8bc则x，y，z?R?，且

，y?bb?8ca2，z?cc?8ab2.

a218bc， x?2所以2?1?2.

xaa?8bc同理

18ab18ac 2?1?2 ， 2?1?2，

zcyb111因此 (2?1)(2?1)(2?1)?83?512.??????①

xyz假设x?y?z?1，则x，y，z?(0,1).

21-x21?y21?z2故 2??2 2xyz(x2?y2?z2)?x2(x2?y2?z2)?y2(x2?y2?z2)?z2 ? ??x2y2z2(y?z)(2x?y?z)(x?z)(x?2y?z)(x?z)(2x?y?z) = 222xyz?2yz?44x2yz?2xz?44xy2z?2xy?44xyz2x2y2z2

=512

与①矛盾. 所以

a2a?8bcb?8acb?8ab评析：本题是数学竞赛中不等式的证明，虽然不等式的证明可以有很多种方

a法，但就此题来看，利用“局部换元”这种特殊的方法，把，

2a?8bcbc，以新元x，y，z表示旧元a，b，c，消去根号，起到了

22b?8acc?8ab化繁为简，化难为易的效果，然后再运用不等式的性质便可得到证明.

?b2?c2?1.

（ 1）?x(x?1)(3x?5y)?144 例3、 解方程组?2

（2）?x?4x?5y?24

分析：观察方程的左边可以发现，方程⑴中有式子x2?x与3x?5y，而方程⑵中也有x2?x与3x?5y，所以可以利用换元法来进行化简求解 .

2??x(x?1)(3x?5y)?144（(3x?5y)?144?x?x）解：由 ?2有 ?2??x?4x?5y?24?(x?x)?(3x?5y)?24

所以将（x2?x）， (3x?5y)看作是关于t的方程t2?24t?144?0的

两个根 ，所以t1?t2?12.

?x1??4?x2?3?x2?x?12?? 即 ?.解之得，?24?3. ?3x?5y?12y1?y2????55??评析：本题紧紧抓住已知方程组的条件，利用方程组的特点，通过换元便可突破.

2..1.3整体换元法

将题目中具有共同特点的部分用字母来表示后，使得计算简化.这种方法叫做整体换元法.

例4、计算111111111111（????）?（1?????）（-1?????）?（????）232004232003232004232003（2004年广西省初中数学竞赛试题）

分析：观察本题可发现，每个括号中均有相同的部分，若将共同的部分用一个字母来表示，那么就将繁杂的数据简化，又使得本题的结构特征更加简洁明了，容易发现其中的一些规律和解题技巧.

111解：根据观察分析，题中每个括号中的共同部分为1?????，则

232003111?a，那么就有 令1?????23200311（a?1?)a?(a?)(a?1) 原式?20042004aa1?a2??a? ?a2?a? 2004200420041 ?.

2004评析：本题从题目的结构看非常繁杂，而且每个括号的数字比较大，直接去计算是几乎不可能的，我们利用“整体换元法”将括号中的共同部分进行转化，便可迎刃而解.

2.2从数值类型上划分 2.2.1常值换元法

所谓常值换元法，就是将题目中的常数用字母来表示，从而达到化简的目的，下面我将举几个例子来说明它的运用。

例5、计算2005?2006?2007?2008?1-20062的结果（第17届“希望杯”）

解：令t?2006,则

原式?t(t?1)(t?1)(t?2)?1?t2

(t2?t?2)?1?t2 ?（t2?t） ?(t2?t?1)2?t2

?t2?t?1?t2

?t?1

?20052007、2008之间的关评析：本题首先用t来表示2006，然后由2006与2005、系，将它们分别表示为(t?1)、(t?1)、(t?2)，这样就使得看上去很大的数字转化成了一个简单的字母.

2.2.2均值换元法

利用“均值换元法”可以快速的证明关于元素之和为定值的一类问题，同样，运用“均值换元法”去解证一些数学竞赛试题，也能够使得解题巧妙简捷，迅速得到正确结果。

均值换元是指当题中出现或者稍加变形后成为m?n?p的形式时，可设

ppm??t,n??t来进行求解的一种方法，可达到减元的目的。

221例4、 已知a、b、c?R且a?b?c?1，求证a2?b2?c2?

3分析：抓住取等号时a、b、c的值相等，利用“均值换元法”进行换元求解.

111 c??t3，回代便可化简. 在本题中设a??t1 ，b??t2 ，333111 c??t3，由a?b?c?1，可得 解：设a??t1 ，b??t2 ，333 t1?t2?t3?0，所以有

111 a2?b2?c2?(t1?)2?(t2?)2?(t3?)2

3331222?t12?t2?t3 ??（t1?t2?t3）

33122?t3 ??t12??t2

31 ?

3评析：应该说本题的证明方法是相当多的，我们可以用均值不等式，构造法，还有双换元法等等，但是如果我们熟练掌握了“均值换元法”，这也不失为一种快速简便的证明方法.

2.2.3比值换元法

当竞赛题中含有连比（等比）的式子时，可将连比式（连等式）设为t，使得题中各元能分离出来直接参与运算.这种方法称之为比值换元法.

例5、设

aa1a2a3?????n（所有字母均为正数）.求证：b1b2b3bna1b1?a2b2???anbn?(a1?a2???an)(b1?b2???bn)

（1986年中学生数理化接力赛） 证明：设

an?tbn.

等式左边就可以转化为 左边?22tb12?tb2???tbn

aa1a2a3，则有a1?tb1，a2?tb2，?，?????n?t（换元）

b1b2b3bn ?t(b1?b2??bn) ?t(b1?b2???bn)

=t(b1?b2??bn)(b1?b2??bn) ? ?(tb1?tb2??tbn)(b1?b2???bn) (a1?a2???an)(b1?b2???bn)

评析：若已知条件的式子中有连比的式子，可用比值换元法。

2.2.4参数换元法

例6、设正实数x，y满足x3?y3?x?y，求证：x2?4y2?1 （第四届中国女子数学奥林匹克试题）

分析：在阅读了《国内高中数学竞赛真题库》及其解法（使用均值不等式）后使我授予匪浅，但是我认为本题如果运用“参数换元法”来求解将会更加通俗易懂，简捷明了.

x证明：设?t(t?0)，即x?yt.将此式代人题中的已知条件得

y (t2?1)y3?(t?1)y.

t?1(t?1). 由y为正实数，所以y2?3t?1t?1t3?t2?4t?4222? 于是x?4y?(t?4)3. t?1t3?1 则x2?4y2?1?t3?t2?4t?4?t3?1. 即t2?4t?5?0.

当t?1时，上式显然成立. 证毕.

评析：数学竞赛试题往往可以有多种解法，我们在考试时，最好选择我们所熟悉并且通俗易懂的方法.就如此题即可用“均值不等式”的方法证得，但如果我们熟练掌握了换元法，将会使我们的解题过程显得更加的明了，化简过程也变得更加简捷.

2.3换元法从功能上划分

换元法从功能上可以划分为化高次为低次，化分式为整式，化无理式为有理式等类

型

2.3.1化高次为低次 例7、解方程（4x?1)(3x?1)(2x?1)(x?1)?3x4

分析：这是一个高次方程，如果将方程左边全部展开，一方面的工作量大，一方面即使展开也很难解出来，所以只能部分展开.由（4x?1）(x?1)?4x2?5x?1 与(3x?1)(2x?1)?6x2?5x?1有相同的的一次项和常数项,所以原方程可以化为：

（4x2?5x?1）(6x2?5x?1)?3x4.

再设y?5x2?5x?1，则原方程变为(y?x2)(y?x2)?3x4，即y2?4x2?0， 可得y??2x2或y?2x2，将结果回代就可解出x的值.

解：原方程可化为 （4x2?5x?1）(6x2?5x?1)?3x4.

设y?5x2?5x?1，则原方程变为

(y?x2)(y?x2)?3x4， 即 y2?4x2 所以y?2x2 由 y?2x2 由 y?2x2?0.

?0或y?2x2?0，

?0，得7x2?5x?1?0.此方程并无实数根. ?0，得3x2?5x?1?0.

?5?13. 6?5?13?5?13所以原方程的根为x1?，x2?.

66评析：利用换元法解高次方程，可将其转化为较简单的低次方程求解. 2.3.2化分式为整式

13x?x213-x?(x?)?42 例8、解方程

x?1x?1分析：这是一个分式方程，直接解比较困难，我们可以先将括号里面的两项化简.即利用换元法将其化为整式来解决.

解：首先将上述方程括号里面的两项合并，则原方程可化为

13x?x2x2?13??42.??????①

x?1x?1x2?1313x?x2?a，则??a?13. 设

x?1x?1所以方程①可化为（?a?13)a?42，整理得a2?13a?42?0.

解之得 a?6或a?7

x2?13?6，整理得x2?6x?7?0 当a?6时，

x?1解之得 x1?3?2，x2?3?2.

解之，得 x?x2?13?7，整理得x2?7x?6?0 当a?7时，

x?1 解之得 x3?1，x4?6

经检验，x1?3?2，x2?3?2，x3?1，x4?6均是原方程的解.

评析：由本题可知，解分式方程时，换元法的灵活使用，常常会使解题得到事半功倍得到效果.

2.3.3化无理式为有理式

例9、无理方程2x2?15x?2x2?15x?1998??18的解是

（2005年江苏省数学竞赛试题）

分析：本题中根号内外含有未知数的式子是2x2?15x，所以可令

，这样就可把原方程化为y的二次整式方程. y?2x2?15x?A（A为任意常数）

解：令y?2x2?15x?18，则原方程可以化为y?y?1980?0

即 y?1980?y.

上述方程两边平方得

y?1980?y2，解得y?45（舍?44），则2x2?15x?18?45，

3 解得x1?9，x2??.

23验根知, x1?9，x2??均为原方程的解.

2评析：无理方程的未知数含在根号内，我们需要先去除根号，使得无理方程变为有理方程，使用换元法是来转化是一种很常用的方法.

2. 使用换元法时应注意的问题

换元法作为数学竞赛中的一种十分重要并且运用非常广泛的方法，我们可以通过换元将复杂的问题简单化，不规则的问题规则化，但是我们在选择中间变量时，一定要非常慎重，如果换元法的类型或者新元的选择不恰当，就有可能又使原来的问题更加的复杂，而不是简化.

由于换元法运用之广泛，再加上竞赛题之灵活，我们在学习运用时，不能将换元法孤立，而要灵活的掌握换元法的各种类型的区别、联系及其每一种类型的运用，并将换元法和其他数学方法联系起来。

换元后，要注意新变量的取值范围必须对应于原变量的取值范围，否则就会造成变量定义域的扩大或缩小. 3. 研究总结

通过以上对换元法的分类和所有的例子，可以表明，在中学数学竞赛中，换元法确实是一种非常重要的解题方法.我们不仅需要掌握换元法的各种类型及其运用，并且要能够灵活的将换元法与其他数学分支建立联系，共同运用于数学学习中，在竞赛时，时间是有限的，这就更加需要我们对换元法的各种运用有着非常熟悉的运用技巧，而不能机械的照搬套用.

参考文献

[1] 许定璜.高中一题多解大全[M].湖北：湖北教育出版社,2010. [2]数学竞赛之窗编辑部.国内高中数学竞赛真题库[M].浙江：浙江大学出版社，2006.

[3]周春荔，才裕平.初中奥数千题巧解[M].长春：长春出版社,2010. [4]胡兴虎，叶世彪.初中数学培优竞赛分类题典[M].湖北：湖北教育出版社，

2008.

[5]张奠宙，宋乃庆.中学代数研究[M].北京：高等教育出版社，2010. [6]晁朔.换元法解竞赛题[J].时代数学学习（七年级），2001，（28）. [7]肖斌.也谈初中数学竞赛中的换元法[J].中学教研（数学），1993，（04）. [8] 吕凤祥.中学数学解题方法[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2010. [9] 娄桐城.中学数学词典[M].北京： 知识出版社,1984.

[10] 王军政.中学代数解题方法[M].陕西：陕西科学技术出版社，1984.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7jlp.html