数学建模 电梯调度问题7

电梯调度的分区优化问题

1. 摘要

本题要求设计安排电梯的调运方案，我们在深入了解该问题背景的基础上认真分析了所给的数据，而后建立数学模型进行了求解。

该写字楼原有的电梯调用方案是随机的，由进入电梯的乘客控制电梯的运行。这种电梯安排方案十分不合理，很多电梯需要在每一层都停下来使乘客离开，或很多电梯都要上行到很高的楼层去运送很少的乘客。于是便造成了电梯资源的浪费，导致乘客等待时间和总的运送时间过长。

针对这种情况，我们拟将6部电梯合理分组后分别安排其服务于一定的楼层，以此提高电梯的利用率。经过计算分析，我们找到了比较合理的电梯调度分区方案。将楼层分为三个区域：1至10层为第一分区；11至17层为第二分区；18至22层为第三分区，每个分区均有两部电梯负责运送乘客。通过优化过的分区计算得6部电梯的平均运行周期为178.667s,比未进行分区时的346s有明显缩短；最大运送能力为0.114人/s，比未分区时的0.0578人/s有明显提高，从而实现电梯调度的优化。

2. 问题重述

商业中心某写字楼有二十二层地上建筑楼层和两层地下停车场，6部电

梯，每部电梯的最大载重是20个正常人的体重总和。在工作日里每天早晚高峰时期非常拥挤，随着职员的陆续到达，拥挤情况将逐渐加重，而且等待电梯的时间将明显增加。因此如何提高电梯的运行效率、改善服务质量、获得电梯最佳调度等问题已收到高度重视和广泛关注。针对早晚高峰时期的电梯调度问题建立数学模型，以期获得合理的优化方案。需要完成：

给出若干合理的模型评价指标。

暂不考虑该写字楼的地下部分，每层楼层的平均办公人数经过调查已知。假设每层楼之间电梯的平均运行时间是3秒，最底层（地上一层）平均停留时间是20秒，其他各层若停留，则平均停留时间为10秒，电梯在各层的相应的停留时间内乘梯人员能够完成出入电梯。

针对这样的简化情况来建立合理的数学模型（列明假设），给出一个尽量最优的电梯调度方案，并利用所提评价指标进行比较。

将你在第2问中所建立的数学模型进一步实际化，以期能够尽量适用于实际情况，用于解决现实的电梯调度问题。

3. 问题的假设

1) 早晨上班高峰时期的交通流全部为从门厅上行的乘客（此处不考虑

其他性质的交通流），下班时乘客都下到门厅（此处不考虑其他性质的交通流）。

2) 假设优化电梯群控调度模型后乘客一定按照所设计的方案乘坐相应

的电梯，而不会选择乘坐其他电梯。

3) 电梯无任何故障始终正常运行，且每次运行均不会超过最大载重。

4) 假设电梯在各层的停留时间始终为常数，不考虑人为因素的等待情

况。乘客不存在错误呼叫的情况，即每位乘客均正常选择正确楼层。

5) 假设在上班前的半个小时内，人员均匀到达，考虑高峰期人员密集，

认为电梯满载。

4. 符号约定

L0 楼层数（22层）

t0 电梯在大厅底层平均等待时间(20秒) t1 电梯在相邻楼层间平均运行时间（3秒） t2 电梯每次停靠时间（10秒） x1 第一分区上界层数 x2 第二分区上界层数

Q 电梯最大运送能力 Ti 第i分区电梯运行周期 Tm 平均等待时间

5. 问题的分析

电梯运行的一般情形是，每部电梯各层均可以停靠，这种情形下每部电梯的停靠次数都太多，会增加大厅人员的等待时间。我们考虑用分区调度的方法来实现电梯调度的优化。具体指根据电梯台数和建筑区层数将电梯划分

为三个运行区域，各部电梯仅响应本分区内的使用需求。分区的优点是可以减少停靠次数进而减少电梯的停靠时间，使电梯的平均运行时间减少，加大电梯有效工作次数，从而达到减缓等待的目的。但是如果分区不当，将可能造成各分区电梯的忙闲不均。因此我们考虑以最小化各分区中最长运行时间来达到优化忙闲不均的问题。为了衡量优化的结果，我们确立电梯的最大运送能力、电梯的运行周期、队列长度作为评价指标。

为了简化模型，我们假设上行高峰交通模式是指当主要的或全部的客流是上行方向，即全部或大多数乘客从建筑物的门厅进入电梯且上行，分散到大楼的各个楼层，这种情况是一种典型交通模式。由于在上行高峰，都是从门厅去往各个楼层，电梯此时不响应向下的命令，送完最后一名乘客后立即返回一层大厅。

写字楼内人员实际到达的情况如图1. 图1：

为了简化分析和建立模型，将人员到达情况近似为图2. 图2：

由图2，在一定的时间段内人员到达情况可以近似为均匀到达。

若设为队列长度R（t），人员到达率分布函数服从f(t)，当f(t)a时刻后，f（t）>Q,设研究区间内，Q=μ,f(t)=λ,且μ<λ,则队列长度,

.人员到达率实际一定，可知上高峰队列长度取决于.也即Q越大，队列长度R（t）越小，即

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