材料力学作业

2-4 木架受力如图所示，已知两立柱横截面均为100mm×100mm的正方形。试求：（1）绘左、右立柱的轴力图；（2）求左、右立柱上、中、下三段内横截面上的正应力。

解：（1）求立柱各节点的受F1=10KN 力

A B 为了求出ACEG立柱（左立

柱）和BDFH立柱（右立柱）中

F2=6KN 的内力和应力，首先对各杆受力

进行分析如下图2-4a 所示，并求C D 出数值。

F3=8KN 取AB为研究对象，由平衡方程

??mA(F)?0， ??2?0 ① F1?1?FBE F ?Y?0，

??FB??F1?0 ② FA联合①和②解得，

1m G H 1m 1m 图2-4 1m F1=10KN FA A F2=6KN FC C F′C E FE G FG 1m 1m 1m 图2-4a 1m F′E G E A B F′B F′D D D F3=8KN F F′F H H FH F FD B FB F′A C FF ??FB??5KN。 FA??5KN，FB?FB??5KN。 又由牛顿第三定律得，FA?FA??3KN；FE?FE??4KN，??9KN，FD?FD同理可得，FC?FC??12KN。 FF?FF（2）绘左、右立柱的轴力图

取左立柱（ACEG立柱）为研究对象。采用截面法，画受力图如图2-4b所示,

F1=5KN A 求得 NAC??FA??5(KN)；

NCE??FA?FC??5?9??14(KN)；NEG??FA?FC?FE??5?9?4??10(KN)。

同理又取右立柱（BDFH立柱）为研究对象。采用截面法求得

NAC 图 4-2b NBD??FB??5(KN)；

NBD??FB?FD??5?3??2(KN)；

NFH??FB?FD?FF??5?3?12??14(KN)。

画轴力图如图左立柱所示和如图右立柱所示。

A A C C

E E G G

图右立柱 图左立柱

（3）求左、右立柱上、中、下三段内横截面上的正应力

5 ㈠ 14 ㈠ 2 5 10 由轴向拉压正应力计算公式??左立柱上、中、下正应力：

N得， A?左上NAC?5?103N????0.5MPa；

A100?100mm214 ?左中

NCE?14?103N????1.4MPa； 2A100?100mm?左下NEG?10?103N????1MPa。 2A100?100mm右立柱上、中、下正应力：

?右上NBD?5?103N????0.5MPa；

A100?100mm2NDF?2?103N????0.2MPa； 2A100?100mm?右中

?右下NFH?14?103N????1.4MPa。

A100?100mm22-9 图示的构架中，AB为刚性杆，CD杆的刚度为EA，试求：（1）CD杆的伸长；（2）

C、B两点的位移。

D

30° C B A F

a a 图 2-9

解：（1）CD杆的伸长

?取ACB刚性杆为研究对象，画受力图如图2-9a所示。由平衡条件?mA(F)?0，NCD?sin30??a?F?2a?0得，NCD??4F。CD杆的伸长?lCD?为：

?lCD??NCDlCD4F?a/cos30?83Fa???。 EAEA3EANCD A 30° C B F a a 图 2-9a

（2）C、B两点的位移

ACB杆位移关系如图2-9b所示。?C??lCD/sin30??2?lCD；

?C?2?B?4?lCD。

A 30° C δC B ΔB a ΔlCD a 图 2-9a 2-16 图示中的AB杆可视为刚性杆，结构承受载荷为F=50KN。设计要求强度安全系数n≥2，并要求刚性杆只能向下平移而不能转动，竖向位移又不允许超过1mm。试计算AC杆和BD杆所需的横截面面阿积。材料的路力学性能如下：

C 2m D A B 0.8m 1m F 4m 图2-16 AC杆：E=200MPa σs=200MPa σb=400MPa BD杆：E=200MPa σs=400MPa σb=600MPa 解：（1）求AC杆和BD杆的轴力

取AB杆为研究对象，AC杆和BD杆皆为拉杆，由平衡条件

??mA(F)?0，F?1?FBD?5?0 ①

?Y?0，FAC?FBD?F?0 ②

41F?40KN；FBD?F?10KN。 55联合①和②解得，FAC?（2）由刚度条件设计AC杆和BD杆的横截面面积 刚度条件：?li?NiliNili，则 ?[?l]→Ai?EiAi[?l]EiAACNAClAC40?103?2?103???4?105mm2；[?l]EAC1?200NBDlBD10?103?0.8?103???4?104mm2。 [?l]EBD1?200ABD所以 ABD?10AAC。

（3）由强度条件设计AC杆和BD杆的横截面面积

强度条件：?i?Ni?nNi，则 ?[?]?si→Ai?Ain?siAAC?nNAC?sACnNBD2?10?1032?40?1032??400mm；ABD???50mm2。

200?sBD4002综上刚度与强度要求考虑，ABD?50mm，AAC?500mm2。

2-19 图示结构中各杆的刚度EA相同，试求各杆的轴力。

解：取节点C为研究对象，画受力图如图2-19（b）a所示，列平衡方程为

?X?0，?N

CA?sin45??NCB?sin45??0， ①

?Y?0，NCA?cos45??NCB?cos45??NCE?0， ②

变形协调条件为 ?lCD?cos45???lCA ③

D?lCA?NCA?lCANCA?l?EAEAcos45?，

lEACF?lCD??lCE??lED??45o45oBNCE?l(F?NCE)?l?EAEAl ④

联立①、②、③和④得

图2-19 NCA?NCB?0.207F(+)，

C 45° NCB C 图2-19（b）a Δl CD 图2-19（b）b ΔlCB 45° ΔlCA NCE 45° NCA NCE?0.293F(﹣)，NCD?0.707F(+)。

2-21 图示结构中钢杆1、2、3的横截面面积均为A=200mm2，长度l=1m，E=200GPa。杆3因制造不准而比其余两根短了δ=0.8mm。试求将杆3安装在刚性梁上后三杆的轴力。

1 l 2 3 a 图2-21 a δ 解：取刚性梁为研究对象，画受力图如图2-21a所示，列平衡方程：

??m1(F)?0，F2?a?F3?2a?0 ①

?Y?0，F?F12?F3?0 ②

F1 F2

a a

图2-21a

构件变形后如图2-21b所示，又列变形协调方程：

F3 ???l2?(?l2??l1)??l3??l1?2?l2??l3 ③

Δl3 Δl1 a 图2-21b

物理方程为

a ?l1?FlF1lFl，?l2?2，?l3?3 ④ EAEAEA联立①、②、③和④得

。 F1?F3?5.33(KN)(﹢)；F2?10.66(KN)（﹣）

3-4 两块钢板搭接如图所示。已知两板的宽度均为b=180mm，厚度分别为t1=16mm，t2=18mm，铆钉直径d=25mm，所有构件的材料的许用应力均为：[τ]=100MPa,[σc]=280MPa， [σ]=140MPa。试求：（1）接头的许用载荷；（2）若铆钉的排列次序相反（即自左向右，第一列是两只，第二列是三只铆钉），则接头的许用载荷为多大？

Δl2 δ t1 F t2 F

F b F 图 3-4

解：假设每颗铆钉受力一样。 (1) 求接头的许用载荷 由剪切强度条件 ??QF/5?2?[?]得 AQ?d/45[?]?d25?100??252F???245?103N。

44由挤压强度条件

?C?PCF/5??[?C] 得 ACdt1F?5[?C]dt1?5?280?25?16?560?103N。

考虑拉压强度。板1和板2的轴力图如图3-4a所示。由板1求允许载荷：

??NF??[?] → A(b?3d)t1F?[?](b?3d)t1?140?(180?3?25)?16?235?103N；

又由板2求允许载荷：

??N3F/5??[?] →A(b?3d)t255F?[?](b?3d)t2??140?(180?3?25)?18?441?103N

33N

F 2F/5 ??

NF??[?] → A(b?2d)t2板1 3F/5 F N 板2 图3-4a F?[?](b?2d)t2?140?(180?2?25)?18?328?103N

所以 许用载荷[F]=235KN。

(2)若铆钉的排列次序相反（即自左向右，第一列是两只，第二列是三只铆钉），则接头的许用载荷

剪切强度和挤压强度计算同前。

考虑拉压强度。板1和板2的轴力图如图3-4a所示。由板1求允许载荷：

??NF??[?] → A(b?2d)t1F?[?](b?2d)t1?140?(180?2?25)?16?291?103N；

??N3F/5??[?] →A(b?3d)t155F?[?](b?3d)t1??140?(180?3?25)?16?392?103N

33

又由板2求允许载荷：

??NF??[?] → A(b?3d)t2F?[?](b?3d)t2?140?(180?3?25)?18?265?103N

所以 许用载荷[F]=245KN。

N F

3F/5 板1 F N

2F/5

板2

图3-4a

3-8 矩形截面（30mm×5mm）的低碳钢拉伸试件如图所示。试件两端开有圆孔，孔内插有销钉，载荷通过销钉传递至试件。试件和销钉材料相同，其强度极限σb=400MPa，许用应力[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，[σC]=320MPa。在试验中为了确保试件在端部不被破坏，试设计试件端部的尺寸a、b和销钉的直径d。

1 30 F F b a 30 5 图3-8

解：（1）求所需拉力F

由F??bA中?400?(30?5)?60?10N。 （2）求销钉直径d 由剪切强度条件

31 QF4F????[?] 得，d??2AQ?d?[?]44?60?103?27.6(mm)；

??100

PCFF60?103由挤压强度条件?C???[?C]得，d???37.5(mm)

ACdtt[?C]5?320所以销钉直径取[d]=40mm。

（3）求边尺寸a和b 由由剪切强度条件

QFF60?103????[?] 得，a???60(mm)。

AQ2ta2t[?]2?5?100由由拉压强度条件

NFF60?103????[?] 得，b??d??40?115(mm)。

At(b?d)t[?]5?160

4-1圆轴受力如图所示M1?1KN?m，M2?0.6KN?m，M3?0.2KN?m，

M4?0.2KN?m。

（1）作轴的扭矩图。（2）若外力偶矩M1、M2的位置互换，扭矩图有何变化? 解：（1）作轴的扭矩图 如图4-1a所示。

M4 M3

M2

M1

T(N?m)

x 1000

O 200 A B C D 400 x 1m 1.5m 2m

图4-1 图4-1a

'（2）若外力偶矩M1、M2的位置互换，则轴中最大扭矩为Tmax?600N?m，原来最大的扭

矩为Tmax?1000N?m。

4-10 两段直径均为d=100mm的圆轴用法兰和螺栓连接成传动轴，如图所示。已知轴受扭时最大切应力τ

Max

=70MPa，螺栓的直径d1=20mm，并布置在D=200mm的圆周上，设螺

栓的许用切应力为[τ]=60MPa，试求所需螺栓的个数。

解：（1）求圆轴上的扭矩

?Max?d3?Max??1003?70M?3??1.374?107N.mm。 → M??d/161616（2）求螺栓允许剪力

?MaxFS?[?]d12??60?202??1.885?104N。 ??[?] → FS?244?d14（3）求螺栓个数

D2M2?1.374?107nFS??M → n? ??7.3(个）42FSD1.885?10?200所以所需螺栓个数取为8个。 4-12 如图所示两端固定的圆轴，

受外力偶矩TB=TC=10KN.m的作用。设材料的许用切应力[τ]=60MPa，试选择轴的直径。

解：（1）求约束力偶矩

受力图见图4-12a所示。列平衡方程

：

a a a TB TC A B C D ?mx?0，

图4-12 mA?TB?TC?mD?0 ①

列变形协调方程：?DA??BA??CB??DC?0 ②

?BA?T.aT.am.aT.aTBA.am.am.a??A；?CB?CB?B?A；?DC?DC??D ③ GIPGIPGIPGIPGIPGIPGIP2TB?TC102T?TB10?KN?m；mD?C?KN?m 3333联立①、②、③解得，mA?

a a a

图4-12a

（2）求轴的直径

画扭矩图如图4-12b所示，确定危险截面。

T/KN.m

A B C D mA TB TC mD 6．67 x 3．33 3．33 图4-12b

由强度条件 ?max?Tmax16Tmax??[?] → 3Wp?d16Tmax316?6.67?106d?3??82.7(mm)。

?[?]??605-1试求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩。

q0=10KN/mA1x23B3m图5-1h)3m

解：(1)求约束力

?mA?0 VB.l??q(x)dx?x?0, ①

0l?Y?0 Vq(x)?A?VB??q(x)dx?0, ②

0ll?xq0， ③ l联立①、②、③解得 VA?(2)求指定截面的剪力和弯矩 用直接求内力法：

q0lql↑，VB?0↑。 36Q1?VA?qol?20KN，M1?VA?0?0； 3ql1q0lql1q0l??o???0??2.5KN，

222622224Q2??VB?l1q0l2lqoll1q0l2lq0l2M2?VB?????????15KN?m；

222232622223224Q3?VB?qol?10KN,M3?VB?0?0。 65-2 列出图示梁的剪力方程、弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：（1）求约束力

?mA?0 ?Fa?VC?2a?F?3a?0, ①

A?Y?0 V?VC?F?0, ②

联立①、②解得 VA??F↓，VC?2F↑。

m0=FaAxFCCBaa图5-2d)a

(2)求各段内力方程

AB段：Q(x)?VA??F （0?x?a)，

M(x)?VA?x??Fx （0?x?a)；

BC段：Q(x)?VA??F （a?x?2a)，

M(x)?VA?x?Fa??Fx?Fa （a?x?2a)；

CD段：Q(x)?F （2a?x?3a)，

M(x)??F?(3a?x)?Fx?3Fa （2a?x?3a)。

（3）作内力图

由内力方程作内力图，如图5-2d)-a所示。

Q(-)FFa(-)MFa(-)F(+)xx

图5-2d)-a

5-4根据分布载荷、剪力及弯矩三者之间的关系，试作图示梁的剪力图和弯矩图。 解：（1）求约束力

?mA?0 ?qa?a?q?2a?2a?qa2?VD?4a?0, ①

A?Y?0 V?qa?q?2a?VD?0, ②

联立①、②解得 VA?1.5qa↑，VD?1.5qa↑。

qaAqDBCqa22a图5-4f)aa

（2）作内力图

作内力图如图5-4f)-a所示。

Q1.5qa(+)0.5qa(-)1.5qaxx(+)1.5qa21.625qa20.5qa21.5qa2M

图5-4f)-a

5-5 用叠加法作图示梁的弯矩图。

F

AC

a

图5-5c) 解：（1）求约束力 仅F力作用：

m0=a/4Ba?mA?0 ?F?a?VB?2a?0, ①

A?Y?0 V?F?VB?0, ②

联立①、②解得 VA?FF↑，VB?↑。弯矩图见图5-4c)-a所示。 22a仅m0作用：?mA?0 ?VB?2a?0, ③

4?Y?0 VA?VB?0, ④

11↓，VB?↑。弯矩图见图5-4c)-b所示。 88

联立③、④解得 VA??(+)M0.5Fax

图5-4c)-a

0.25a(-)xM图5-4c)-b

0.25a(-)(+)

M0.5Fa-0.125ax

图5-4c)-c

在F和m0作用下的弯矩图见图5-4c)-c所示。 5-7 试作图示梁的剪力图和弯矩图。

qF=qaCABD

aaa图5-7d)解：（1）求约束力

首先考虑附属部分BCD：

?mC?0 ?qa?a?VB?a?0, ①

B?Y?0 ?V?qa?VC?0, ②

联立①、②解得 VB?qa↓，Vc?2qa↑。

然后考虑主体部分AB:

a??VB?a?0, ③ 2?V?qa?V Y?0AB?0, ④ ??mA?0 MA?qa??VB??VB??qa↑, ⑤

联立③、④ 、⑤解得 MA??0.5qa( 顺时针转)，VA?0。

（2）作内力图

见图5-7d)-a所示。

Qqa(+)x(-)qaqa2(-)(+)0.5qa2Mx

图5-7d)-a

6-9 梁所受载荷及其截面形状如图所示。试求梁内最大拉应力及最大压应力之值，并说明各发生在何处。

解：（1）求梁的约束力

由对称结构承受对称载荷可知，VA=VB=40KN（↑）。 (2)求截面形心和惯性矩

以底部为参考z′轴，形心在y轴上，则

yC?SZ?50?200?150?150?50?25??96.43(mm)； A50?200?150?50IZ?IZ1?IZ2350?2003??50?200?(150?96.43)212?150?50?150?50?(96.43?25)2?1.0186?108mm412；

50 10KN/m 40KN 10KN/m 250 A 2m 2m 2m 2m 50 C B 150 图6-9 20 20 x 20 M/KN.m 图6-9a

（3）求弯矩确定危险面

画弯矩图如图6-9a所示。最大弯矩Mmax=20KN·m，最小弯矩Mmin=－20KN·m。 所以最大拉应力在最小弯矩处，即 A、B截面；最大压应力在最大弯矩处，即C截面。 （3）求梁内最大拉应力及最大压应力之值

?

?max?Mmin(250?yC)IZ20?106(250?96.43)???30.1MPa??max。 81.0186?103

6-13 如图所示的ACB梁为NO.10工字钢，其抗弯截面模量W=49cm，许用应力为

[?]1?160MPa。CD杆是直径d?10mm圆截面钢杆，其许用应力为[?]2?160MPa。（1）

（1）试求许可均布载荷[q]；

（2）为了提高此结构的承载能力，可改变哪一根杆件的截面尺寸？多大的尺寸为宜？此时的许用载荷[q]又为多大？

解：（1）计算约束反力。选梁为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程

O A 2m C 1m B q A C B 1m D q FCD FA 2m M x q 2?Y?0，VA?FCD?3q?0

??mA(Fi)?0， 2?FCD?1.5?3q?0

解得： VA?0.75q，FCD?2.25q。

画出梁的弯矩图如图所示。最大的弯矩为Mmax?根据圆杆CD的强度条件确定许可载荷

q 2?CD?q?FCD4?2.25q??[?]2 解得 A??0.012??0.012?[?]24?2.25???0.012?120?1064?2.25?4.19?103N/m

根据梁的强度条件确定许可载荷

?max?MmaxW?0.5q?[?]1， Wq?2[?]1W?2?160?106?49?10?6?15.68?103N/m

综合考虑杆和梁的强度条件，可知许可均布载荷q的值为

q?4.19?103N/m。

（2）提高结构的承载能力

为了提高此结构的承载能力，可改变CD杆件的截面尺寸，使许可均布载荷

[q]?15.68?103N/m，其尺寸计算如下：

??mA(Fi)?0， 2?FCD?1.5?3[q]?0 → FCD?2.25[q]?2.25?15.68?103?35.3?103(N)。

由CD杆拉压强度条件 ?max?FCD4FCD??[?]2 得 2A?D4FCDD???[?]24?35?3?103?19.4?10?3m。 6??120?106-19 一钢梁受力如图所示。材料的 [σ]=160MPa，[τ]=100MPa。试选择工字钢的型号。

20KN/m 40KN.m

A C 2m 1m

B

1m

图6-19 解：（1）求约束反力

?Y?0，VA?VB?20?2?0

?m(F?Ai)?0， 2?20?1?VB?3?40?0

解得： VA?40(KN)(?)，VB?0。

(2) 作内力图确定危险截面

最大剪力在A截面为Qmax?40KN；最大弯矩在C截面以右为Mmax?40KN?m。 （3）选择工字钢型号 由正应力强度条件

?max?Mmax?[?] 得 WzMmax40?106Wz???2.5?105mm3。

[?]160结合Ⅰ20b的Wz?2.502?10mm，可暂选此梁工字钢型号为Ⅰ20b。

53校核Ⅰ20b工字钢梁的剪应力强度：

*由Ⅰ20b可查 Iz?2.502?107mm4，b=9mm，SZ?1.461?105mm3。

Q/KN 40 40KN.m

x

x

40 M/KN.m 图6-19a

*QmaxSZ40?103?1.461?105????26MPa?[?]?100MPa 7bIz9?2.502?10综合考虑梁的正应力强度和剪应力强度要求，此梁可选Ⅰ20b。

6-21 两根截面尺寸为b=20cm，h=20cm的木梁相互重叠，左端固定，右端自由。受集中力F=15KN，如图所示。求：（1）两根梁连接成整体时，梁接缝上的切应力为τ及剪力FS等于多少？（2）若两根梁用螺栓连接，螺栓的许用切应力[τ]=80MPa。试求螺栓的截面积A。

F

h

l=4m

图6-21 h

解：（1）两根梁连接成整体时，梁接缝上的切应力为τ及剪力FS

QF15?103??1.5?1.5?1.5?0?28MPa；

Ab?2h200?2?200FS???bl?0?28?200?4000?225?103N。

（2）若两根梁用螺栓连接，求螺栓的截面积A 由螺栓的剪切强度条件 ??QFS??[?] 得， AAFS225?103A???2.8125?103(mm2)。

[?]807-2 用积分法求图示简支梁跨中点的挠度和两端的转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。

解：（1）求约束反力

图7-2 l A C VA VB B m0 ?Y?0，VA?VB?0

??mA(Fi)?0， m0?VBl?0

解得： VA?m0m(?)，VB?0(?)。 llm0x l（2）用积分法求挠度方程和转角方程

挠曲线近似微分方程：EIw????M(x)??VAx??m0x2?C ① 积分 EI??EIw???l2m0x3?Cx?D ② EIw??l6边界条件：x=0，w=o；x=l，w=0。 把边界条件代入①、②式得 C?m0l，D?0。又把C、D之值代入①、②式得 6m0x2m0lm0x3m0lEI?????x ，EIw??l26l66（3）求简支梁跨中点的挠度和两端的转角

l()3m02m0llm0l2l1简支梁跨中点的挠度：w()? (??())?2EIl66216EIm002m0lml1(??)?0； 简支梁跨两端的转角：?(0)?EIl266EIm0l2m0lml1?(l)?(??)??0。

EIl263EI7-7 用叠加法求图示外伸梁自由端的挠度和转角。

q F=qa

B C

a a

图7-7 解：采用叠加法

A wC??Bq?a?wCF??Bm?aqa3Fa3ma???a???a24EI3EI3EI外伸梁自由端的挠度：qa3qa?a3qa?a?a；

???a???a24EI3EI3EI5qa4??8EI?C??Bq??CF??Bmqa3Fa2ma????24EI2EI3EI外伸梁自由端的转角：qa3qa?a2qa?a?a。

????24EI2EI3EI19qa3?24EI7-8 图示梁AB的右端由钢拉杆BC支承，承受均布载荷集度q?4kN/m。已知梁的截面为200mm×200mm的正方形，材料的弹性模量E1?10GPa；拉杆的横截面面积

A?250mm2，材料的弹性模量E2?200GPa，试求拉杆的伸长Δl及梁的中点D处在竖直

方向的位移δ。

A 1m q 3m q A B C FB

D 2m FAx FAy 1m D 2m B 解：静力分析，求出支座A点的约束反力及拉杆BC所受的力。列平衡方程：

??Fy?FAy?FB?2q?0 ??M(F)?2F?2q?1?0?AB解得：FAy?FB?4(KN)。

本题既可用积分法，也可用叠加法求图示梁D截面的挠度。 积分法：

FBl4?103?3?103Nl拉杆BC的伸长为?l????0.24(mm) 3E2AE2A200?10?250q2梁AB的弯矩方程为M(x)??x?FAyx

2q2挠曲线的近似微分方程E1Iw????M(x)?x?FAyx

2q3FAy2x?C， 积分得：E1I??E1Iw??x?62q4FAy3E1Iw?x?x?Cx?D。

246?4边界条件：当x?0时，w?0；当x?2m时，w??l?2.4?10m

代入上式得，C?1.493?10，D=0，故E1Iw?当x?1m时，??7.45?10m?0.745mm。

?43q4FAy3x?x?1.493?103x。 24611FB?35q?24叠加法：??w1?w2??l?f????0.745mm。

22E2A384E1I说明：AB梁不变形，BC杆变形后引起AB梁中点的位移，与BC不变形，AB梁变形后引起AB梁中点的位移叠加。

7-12 试求图示结构中CD杆的内力。

q

A C FAy NCD B h FBy

l

图7-12

解：结构的变形协调方程为 wC?wq?wN??lN ①

D l NhNCD(2l)35q(2l)4物理方程为 wq?，wN??，?lN??CD 。 ②

E1A138E42I248E2I2由①、②联解得

NCD?5ql424E2I2lh?6E2I2E1A13。

8-7 图示简支梁，已知F=140KN，l=4m。A点所在截面在集中力F的右侧，且无限接近F力作用截面。试求：

（1）A点处指定斜截面上的应力；

（2）A点处的主应力及主平面位置，并用主应力单元体表示。

F

30°

h/4

B No.36a A D C VD l/2

l/2 图8-7 VB 解：（1）A点处指定斜截面上的应力 A点截面的弯矩MA=Fl/4，剪力QA=-F/2。 查ⅠNo.36a得， Iz?1.5796?10mm，高h?360mm，腹部宽tw?10mm，中部

σ A τ 图8-7a 84τ σ Sz?5.088?10mm。

A点应力单元体如图8-7a所示， A点正应力为

53MA?yAFlh140?103?4?103?360?????79.8MPa， 8Iz16Iz16?1.5796?10因为腹板部分剪应力差别小，所以A点正应力可用中层的剪应力代替为

QA?SzF?Sz140?103?5.088?105????????22.5MPa。

twIz2twIz2?10?1.5796?108A点与横截面成60°面的应力：

?60???2??2cos(2?60?)??sin(2?60?)?39.4MPa，

?60???2sin(2?60?)??cos(2?60?)?45.8MPa。

（2）A点处的主应力及主平面位置

??因为?maxmin?85.7MPa?()???，

?5.9MPa22?22

σ3 τ σ A σ1 τ 图8-7b σ1 14.7σ

σ3

tan2?0??2???0.5632 →?0?14.7?或?0??75.3?。所以?1?85.7MPa，

?2?0，?3??5.9MPa。

A点主应力单元体如图8-7b所示。

8-10 边长为20cm均质材料的立方体，放入刚性凹槽内，顶面受轴向力F=400KN作用如图所示。已知材料的弹性模量E=2.6×104MPa，ν=0.18。试求下列两种情况下立方体中产生的应力：

（1）凹槽的宽度正好是20cm； （2）凹槽的宽度均为20.001cm。

F 20 20.001 图8-10

解：（1）凹槽的宽度正好是20cm，立方体中产生的应力

F?400?103?z????10MPa，?x??y?0。 ①

A200?20020.001 20 由广义胡克定律得，?x?1[?x??(?y??z)] E1[?y??(?z??x)] E1[?z??(?x??y)] ② E?y??z?结合①、②求解得：?x??y??2.2MPa。

所以

（2）凹槽的宽度是20.001cm，立方体中产生的应力

?1??2??2.2MPa，?3??10MPa。

0.001F?400?103?5?10?5。 ① ?z????10MPa，?x??y?20A200?200由广义胡克定律得，?x?1[?x??(?y??z)] E1[?y??(?z??x)] E1[?z??(?x??y)] ② E?y??z?结合①、②求解得：?x??y??0.61MPa。

所以

?1??2??0.61MPa，?3??10MPa。

8.12 图示一钢杆，截面为的d=20mm的圆形。其弹性模量E=200MPa，泊松比ν=0.3。现从钢杆A点处与轴线成30°方向测得线应变??30??540?10?6，试求拉力值。

F A 30°

图8-12 解：A点应力单元体如图8-12a所示，??

F4F?。 A?d2

??30?3???cos[2?(?30?)]?， 224??σ A σ ?60???2??2cos[2?60?]??4。

图8-12a 由广义胡克定律得

113??[??30????60?]?[??]EE444E??30?4F?则 ?? 23???d??30???d2E??30???202?200?103?540?10?6F???50.3?103N。

3??3?0.39-2 矩形截面的悬臂梁承受载荷如图所示，P1=1.6KN，P2=0.8KN，l1=1m，l2=2m。已知材料的许用应力[σ]=100MPa，弹性模量E=10GPa。试求：（1）设计矩形截面的尺寸b，h(h/b=2)；（2）自由端的挠度f。

解：（1）设计矩形截面的尺寸b，h

危险面：固定端。危险点：C(+)和A(-)。考虑C点，正应力强度条件为

?maxMzmaxMymax6?P6?P2l213P1l11l1?????(?3P2l2)?[?]

WzWyb(2b)22b?b2b323P1l1?6P2l233?1.6?103?103?6?0.8?103?2?103b?3??89.6mm。

2[?]2?10取b=90mm，h=180mm。 （2）自由端的挠度f 自由端沿水平方向位移：

33P2l24P2l24?0.8?103?(2?103)3fz???3EIyE?hb310?103?180?903，

?19.5mm

自由端沿铅垂方向位移：

P1l13P1l122P1l13?3P1l12(l2?l1)fy??(l2?l1)?3EIz2EIz6EIz4P1l13?6P1l12(l2?l1) ?3Ebh4?1.6?103?(103)3?6?1.6?103?(103)2?(2?1)?103??3.048mm10?103?90?1803自由端挠度f：

f?fy?fz?3.0482?19.52?19.7mm， 方向向前下方。

229-8受拉构件如图所示。已知截面尺寸为40mm×5mm的矩形，通过轴线的拉力P?12kN。现在要对拉杆开一口子。如不计应力集中的影响，当材料的许用应力为

[?]?100MPa，试确定切口的最大深度x。

解：求截面内力

FN?P?12kN

P A A x A P 40 5 Px 2截面的下缘处有最大的拉应力，即

PM?max??≤[?]

AWzM?即

M P A FN

?max解得x≤5.2mm

12?1036?12?103?10?3x??≤100?106 ?62?95?(40?x)?102?5?(40?x)?109-14 一直径为d=20mm的圆截面折杆，AB⊥BC，l=314mm，在截面C处受垂直于平面ABC的载荷F作用，如图所示。现测得D截面顶部表面b点处的主应变

l l B ?1?508?10?6，?3??228?10?6，试

求外力F和长度a。已知E?200GPa，

A D C ??0.3。

解：D截面的弯矩MD和扭矩TD为

a b F 图8-12a MD?Fl，TD?Fa。

D截面顶部表面b点处的正应力σ和剪应力τ为

D截面 ??MD32FlTD16Fa?，。 ???33W?dWP?db点处主应力与主应变关系为

E200?103?1?(?1???3)?[508?10?6?0.3?(?228?10?6)]?96.6MPa， 221??1?0.3E200?103?3?(?3???1)?[?228?10?6?0.3?508?10?6]??16.6MPa。 221??1?0.3而b点处主应力又为

?1????()2??2 ， ?322(?1??3)?d332Fl?1??3????20N0； → F??d332l?1??3???4??22MD?TDW22(Fl)2?(Fa)2Fl2?a2 → ??WW(?1??3)W22(?1??3)?d322a?[]?l?[]?l?314mm 。

F32F9-15 某圆轴受力如图所示。已知圆轴的直径D=100mm，l=1m，S=90KN，F=100KN，T=100KN ，材料的许用应力[σ]=160MPa。试按第三强度理论进行强度计算。

y z A D B C S F x l 图9-15 解：（1）内力分析

x截面上内力：N?F?100KN?1?10N；

5T My??F?D100mm??100KN???5?103N?m； 22T?T?D100mm?100KN??5?103N?m； 22Mz?(T?S)(l?x)?(100?90)?103N?(l?x)m?1?104(l?x)N?m。

危险截面为固定端。其Mzmax?1?104N?m，总弯矩为

Mmax?Mz?My?1.12?104N?m。

（2）应力分析

危险点在表面上。应力分量为

22NMmax4N32Mmax4?1?10532?1.12?104?103????????126.8MPa

AW?D2?D3??1002??1003T16T16?5?103?103?????25.5MPa 。 33WP?D??100（3）强度分析

?r3??2?4?2?137.7MPa?[?]?160MPa。

所以此结构强度足够。

10-5 由五根直径d=50mm的圆钢杆组成正方形结构，如图所示，结构联接处均为光滑铰链，正方形边长a=1m，材料为Q235钢，试求结构的临界载荷值。

解：（1）求各杆的临界载荷

正方形各边受压。受压杆柔度为 ??A C B a D 图10-5 a ?li?4?l4?1?1000??80， d50E210?103?C?????123，

0.57?S0.57?235因为?C??，所以用抛物线经验公式求临界力。

?cr??s[1?0.43(?2802)]?235[1?0.43()]?192.3MPa， ?c123Fcr?A?cr??D24?cr???5024?192.3?377.58?103N。

（2）求结构临界载荷

取A点为研究对象，列平衡方程：

?X?0，F?2FAB?cos45??0 →

F?2FAB。

所以 [F]?2Fcr?2Fcr?2?377.58?534?103N。

10-14 图示简单构架受均布载荷q=50KN/m，a=2.4m，b=0.8m，c=1.8m，撑杆AB为圆截面木柱，材料的[σ]=11MPa。试设计AB杆的直径。

解：（1）求AB杆的压力NAB

A 图10-14 C B D

a q b c ?mC?0，NABNAB1?a?q(a?b)2?0 →

2a2?c2cq(a?b)2a2?c250?(2.4?0.8)22.42?1.82???177.8(KN)。

2ac2?2.4?1.8NAB4NAB???[?] 得 A?d2（2）求AB杆的直径d 由稳定条件 ??d?4NAB。

??[?]4?177.8?103第一步 若取??0.8则 d??160.4(mm)。

0.8??11检验??0.8的正确性：

4?a2?c24?1?24002?18002?????74.8，

id160.4?l查表得 ??80→??0.48，??70→??0.6，而??74.8时可利用插值法得

??0.6?误差为

0.48?0.6?(74.8?70)?0.5424；

80?700.8?0.5424?100%?47.7%，取??0.8，误差太大，应该取?为

0.5424??0.8?0.5424?0.6712。

24?177.8?103第二步 又取??0.6712则 d??17.51(mm)。

0.6712??11检验??0.6712的正确性：

4?a2?c24?1?24002?18002?????68.5，

id175.1?l查表得 ??70→??0.6，??60→??0.71，而??68.5时可利用插值法得

??0.71?误差为

0.6?0.71?(68.5?60)?0.6165；

70?600.6712?0.6165?100%?8.9%，取??0.6712，误差较大，应该取?为

0.6165??0.6712?0.6165?0.6439。

24?177.8?103第三步 又取??0.6439则 d??179(mm)。

0.6439??11检验??0.6439的正确性：

4?a2?c24?1?24002?18002?????67，

id179?l查表得 ??70→??0.6，??60→??0.71，而??67时可利用插值法得

??0.71?误差为

0.6?0.71?(67?60)?0.633；

70?600.6439?0.633?100%?1.7%，取??0.6439，误差较小低于5%。

0.633所以AB压杆的直径可取为d?179mm。

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