2022年上海市培养单位上海应用物理研究所811量子力学考研题库

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2017年上海市培养单位上海应用物理研究所811量子力学考研题库（一） (2)

2017年上海市培养单位上海应用物理研究所811量子力学考研题库（二） (7)

2017年上海市培养单位上海应用物理研究所811量子力学考研题库（三） (14)

2017年上海市培养单位上海应用物理研究所811量子力学考研题库（四） (23)

2017年上海市培养单位上海应用物理研究所811量子力学考研题库（五） (30)

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第 2 页，共 37 页 2017年上海市培养单位上海应用物理研究所811量子力学考研题库（一）

说明：①本资料为VIP 包过学员内部使用资料。涵盖了历年考研常考题型和重点题型。

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一、填空题

1．

一维谐振子升、降算符

、a 的对易关系式为_____;粒子数算符N 与、a 的关系是 ;哈密顿量H 用N 或

、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。 【答案】

2． 普朗克的量子假说揭示了微观粒子_____特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的_____性。

【答案】粒子性；波粒二象性

【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量子假说

爱因斯坦后来将此应用到了光电效应上，并因此获得诺贝尔奖，二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大贡献，这为量子力学的诞生奠定了基础.

3． —粒子的波函数为写出粒子位于间的几率的表达式_____。 【答案】

4．

设体系的状态波函数为如在该状态下测量力学是F 在确定的值则力学量算符与态矢

量的关系为_____。 【答案】

5． 微观粒子的状态由波函数描述，波函数一般应满足的三个条件是_____、_____、_____。

【答案】连续性；有限性；单值性

6． 总散射截面Q 与微分散射截面

的关系是_____。 【答案】

二、简答题

7． 简述波函数的统计解释。

【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

8． 请用泡利矩阵

定义电子的自旋算符，并验证它们

满足角动量对易关系。

【答案】电子的自旋算符其中，

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9． 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。

【答案】测不准关系

物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同

时有确定的测值。

10．

写出角动量的三个分量

的对易关系. 【答案】这三个算符的对易关系为

11．写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。

【答案】总自旋为0:

总自旋为1:

12．分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】

13．自旋可以在坐标表象中表示吗？

【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。

14．在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？

【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。

三、证明题

15．假设A 、B 、C 是三个矩阵，证明

【答案】所以

16．粒子自旋处于的本征态试证明的不确定关系

：

【答案】易知

但是（常数），所以有：

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同理，可得因此：

四、计算题

17．已知二阶矩阵A 、B 满足：在B 表象中，求出矩阵A 、B 。

【答案】根据定义有：

由于

故得：

由此式求出B 的本征值为0，1。

在B 表象中，B 为对角矩阵，对角矩阵元等于本征值，所以B 可以表示为：

设：

则有：

由③可得： 由③可得：

由式⑤、⑥可得：可取

为实数）

，代入②式，即得B 表象中A 的矩阵表示：

由①、⑦表示的A 、B 已满足题设条件。故α可取实数。令α=0,则:

18．已知

分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，

为电子的总角动量。（）

的共同本征态为证明

是

的本征态，并就

两种情况分别求出其

相应的本征值。 【答案】

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