最大最小问题

十五、小 学 数 学 奥 数

——最大最小问题

〔简析〕人们碰到的各种优化问题、高傲低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小

学阶段的最大最小问题。最大最小问题涉及到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。

22〔例〕：有甲、乙两个两位数，甲数的等于乙数的。这两个两位数的差最多是多少？

7322〔解析〕：甲数：乙数＝:?7:3，甲数是7份，乙数是3份。由甲是两位数可知，每份的

37数最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-4）＝56。 答：这两个数的差最多是56。

511、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的恰好等于乙数的，那么甲、乙两数的和最小是多

64少？

2、把14拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？ 3、三个自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是114。这三个数中最小的数是多少？ 4、有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个三位数的和是286。求所有这样的6个三位数中最小的三数数。

部分答案：

2、这要考虑一些隐售的限制条件，可以这样思考：

<1>要使14拆成的自然数的乘积最大，所拆成的数的个数要尽可能多，但1不应了现，因为1与任何数的积仍为原数。

<2>拆出的加数不要超过4，例如5，它还可以拆成2和3，而2×3>5，所以加数大于4的数还要继续拆小。

<3>由于4＝2＋2＝2×2，因此拆出的加数中可以不出现4。

<4>拆出的加数中2的个数不能多于两个，例如拆成三个2，不如拆成两个3，因为三个2的积为8，两个3的积为9，这就是说，应尽可能多拆出3。

因为14＝3×4＋2，所以把14拆成3，3，3，3，2时，积为3×3×3×３×２＝162最大。 3、因为：最大数×中间数－最小数×中间数＝114，即（最大数－最小数）×中间数＝114 而三个连续自然数中，最大数－最小数＝2，因此，中间数是114?2＝57，最小的数是57－1＝56

小学数学典型应用题--最值问题

2010-05-12 09:49:49| 分类： 教学导航 | 标签： |字号大中小 订阅

【含义】 科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。

【数量关系】 一般是求最大值或最小值。

【解题思路和方法】 按照题目的要求，求出最大值或最小值。

例1 在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放

两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？

解 先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块

饼烤另一面，再烤3分钟即可。这样做，用的时间最少，为9分钟。

答：最少需要9分钟。

例2 在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千米，已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运1千米花费1元，集中到几号煤场花费最

少？

解 我们采用尝试比较的方法来解答。

集中到1号场总费用为 1×200×10＋1×400×40＝18000（元） 集中到2号场总费用为 1×100×10＋1×400×30＝13000（元）

集中到3号场总费用为 1×100×20＋1×200×10＋1×400×10＝12000（元） 集中到4号场总费用为 1×100×30＋1×200×20＋1×400×10＝11000（元）

集中到5号场总费用为 1×100×40＋1×200×30＝10000（元）

经过比较，显然，集中到5号煤场费用最少。

答：集中到5号煤场费用最少。

重庆 武汉 例3 北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地10台，北京 800 400 上海可调运外地4台。现决定给重庆调运8台，给武汉调运6台，

若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？

解 北京调运到重庆的运费最高，因此，北京 往重庆应尽量少调运。这样，把上海的4台全都调

往重庆，再从北京调往重庆4台，调往武汉6台，运费就会最少，其数额为

500×4＋800×4＋400×6＝7600（元）

答：上海调往重庆4台，北京调往武汉6台，调往重庆4台，这样运费最少。

1.某车间有铣床3台，车床3太，自动机床1台，生产一种由甲、乙两种零件组成的产品。每台铣床每天生产甲零件10个或者乙零件20个；每台车床每天生产甲零件20个，乙零件30个；自动机床每天生产甲零件30个，或者生产乙零件80个。问：如何安排生产才能获得最多的成套产品？每天最多能生产多少套产品？

2.若干箱货物总重19.6吨，每箱重量不超过353千克，今有在中卫1.5吨的汽车。问：至少需要几辆汽车才能把这些货物一次全部运走？ 谢谢各位了！ 问题补充：

如果没有人再答了，就给你分，好吗？

我来帮他解答

2007-3-31 19:40 满意回答

上海 500 300 回答一道一题能不能给点分

第一题

因为80/30大于20/10大于30/20

所以：自动机床最善于生产乙零件；车床最善于生产甲零件.因此确定：自动机床只生产乙零件，车床只生产甲零件；铣床生产部分甲零件和部分乙零件，使其配套。

答：自动机床一天生产80个乙零件；

车床一天生产3×20＝60个甲零件；

铣床一天生产20/3个乙零件、80/3个甲零件，三种机器一天共生产260/3套产品（即三天共生产（260/3）*3=260套产品）.

小学数学趣题巧算（五年级分册）

一、百题

1．最大是几？最小是几？

一个三位小数四舍五入后是 5.70，那么原来这个三位小数最大是几？最 小是几？

2．第 1995 个数字是几？

3÷7 的商是一个循环小数，那么这个商的小数点后的第 1995 个数字是 几？

3．求 A+B+C+D+E+F 的和

下面算式中的每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，相 同的字母代表相同的数字。求 A+B+C+D+E+F 的和。 A B C D E F × 3

B C D E F A

4．你能求出这些数字的和吗？

把 3 化成小数后，小数部分的前1995位数字的和是多少？ 13

5．排大小

在数学小组活动的时候，张老师出示 4 张卡片，每张卡片上各写着一个 分数，这 4 个分数是： 27 299 29 301

1993 45 1995 47

张老师说：“谁能迅速、正确地把它们从小到大排列起来？”

6．这样排列对吗？

张、王、李、赵四位同学每人手里各拿一个分数，他们分别拿的分数是

5 、 12 、 30 、

6 。数学老师让他们按手里所拿分数的大小排成一队，他 12 31 67 17

们排的结果是：

王、张、赵、李

你说他们排得对吗？如果不对，请按要求排出来。

7．正好分完

有 6 堆桃，把第一堆平均分给 8 个人，还余 5 个；把第二堆平均分给 8 个人，还剩 4 个；把第三堆平均分给 8 个人，还余 3 个；把第四堆平均分给

8 个人，还余 7 个；把第五堆平均分给 8 个人，还余 1 个；第六堆与第二堆 的个数一样多；如果把六堆桃子放在一起，平均分给 8 个人，能不能正好分 完？为什么？

8．个位数字是几？

五（1）班有学生 38 人，他们住在同一条街的同一侧；他们家的门牌号 数分别是 7 号、17 号、27 号、37 号、47 号、??、357 号、367 号、377 号。 把他们 38 家的门牌号数相乘，所得的积的个位数字是几？

9．巧凑 1995

在下面 13 个 8 之间的适当位置添上+、-、×、÷运算符号或括号，使得 下式成立： 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 =1995

10．街道主任的数学题

一次数学小组到安华小区去做社会调查。数学小组同学问街道主任：“您 这个小区有多少人口？”，街道主任风趣地说：“51995”的末四位数字就是 我这个小区的人口数！”原来这位主任是一位退休的数学教师。小组同学很 快算出了安华小区的人口数。同学们你也算算看。

11．小明的哥哥今年几岁？

用 9 去除一个六位数，所得的商是一个没有重复数字的最小的六位数， 而原来的六位数的数字和正好是小明哥哥的年龄。请问小明的哥哥今年几 岁？

12．倒数第 100 面彩旗是什么颜色？

为了迎接建国 45 周年，某街道从东往西按照五面红旗、三面黄旗、四面 绿旗、两面粉旗的规律排列，共悬挂 1995 面彩旗，你能算出从西往东数第 100 面彩旗是什么颜色的吗？

13．停车场的面积

胜利公园前面有一块梯形停车场，如下图。图中三角形 ABC 的面积是 253 平方米，三角形 BOC 的面积比三角形 AOD 的面积大 42 平方米，问停车场的面 积是多少平方米？

14．最大填几？最小填几？

在 523 后面添上一个三位数，使所得六位数同时能被 7、8、9 整除，所 填三位数最大是几？最小是几？

15．让剩下的数最大

把前十个质数由小到大、从左向右排成一行，删掉其中十个数字，让剩 下的数最大，应该怎么删？

16．勾掉其中一个数字

两个数的和是 51，勾掉大数中的一个数字，得到的是小数，求出这两个 数。

17．试验园地有多大？

和平里小学园艺小组有一块正方形的试验园地。他们在这块园地里进行 小麦和玉米的良种培育试验。其中小麦占地 105 平方米，玉米占地 8x 平方米， 如右图，那么这块试验田一共有多少平方米？（正方形边长为整数）

18．往返一次需要几小时？

两个港口相距 240 公里，一轮船往返于两港之间，往返一次需 35 小时， 逆水航行比顺水航行要多用 5 小时。现有一艘机帆船，每小时航行 12 公里， 这机帆船往返一次需要几小时？

19．打碎玻璃是要赔的

把 100 块玻璃由甲地运往乙地。按规定，把一块玻璃安全运到，得花运 费 3 元。如果运输途中打碎一块玻璃，则要赔偿 5 元。在结算时共得运输费 260 元，问在运输中打碎了几块玻璃？

20．先不要动手

一张长方形的纸，按照下图方法折叠几次以后，用剪刀在三角形中间剪 开，剪出来的是什么形状的纸片？一共有几个？请先不要动手，用脑子想， 得出答案，然后再折一折，剪一剪，看看你的答案对不对。

21．卖菜

安华里菜站运来 84 斤黄瓜、105 斤西红柿、126 斤茄子，售货员把这些 菜一份一份地称好了，正好称完，每份的黄瓜、西红柿、茄子都一样多。售 货员很快把这些菜卖完了。经理问售货员，这些菜卖给了多少人？每人最少 能买多少斤？他一时说不出来，请你帮助算一算。

22．小猴子数桃子

猴子妈妈采来了一篮桃子，她让小猴子数一数共采了多少桃子。小猴子

3 个 3 个地数，最后多出 1 个，它就把多出的一个扔在一边；它又 5 个 5 个 地数，到最后还是多出一个，它又把多出的 1 个扔在一边；最后它 7 个 7 个 地数，还是多出 1 个。它数了三次，到底有多少桃子，还是不清楚。小朋友， 你知道这篮子里至少有多少个桃子吗？

23．保证他比别人得分多

若干名学生参加三次赛跑，在一次赛跑中获得第一名的学生得 10 分，第 二名得 6 分，第三名得 2 分，而且没有并列情况，那么学生 A 在三次赛跑中 至少要得多少分才能保证他比其他学生得分多？

24．温度上升·体积增加

温度每上升 4℃，某种气体体积就增加 5 立方厘米。如果温度是 34℃时， 这种气体的体积是 36 立方厘米，那么温度是 10℃时，气体的体积是多少立 方厘米？

25．三辆汽车何时再相会？

某货运场有三辆汽车运货物，甲汽车运送一次要 1 个半小时，乙汽车运 送一次要1 1 小时，丙汽车运送一次要2 小时。如果三辆汽车早8：00同时从 4

货运场出发，那么它们再次相会时将是什么时间？

26．师徒情谊深

师徒二人共同加工 26 个零件，徒弟先到车间，就先拿了一些零件放在自 己的机床边。师傅来了，一看徒弟拿去要加工的零件太多了，他除了拿了留 给他的零件外，又从徒弟那里拿过来一半零件。徒弟觉得自己应该多干一点， 又从师傅那里拿来一半。师傅不肯，徒弟只好再给师傅 5 个零件。最后还是 师傅比徒弟多加工 2 个零件。问徒弟最初准备加工的零件是多少？

27．由“相等”入手

和平里小学五年级四个班共买了 135 本图书，但不知道每班各买了多少 本，只知道，如果五（1）班减少 3 本，五（2）班加上 3 本，五（3）班增加 一倍，五（4）班减少一半，那么四个班所买的图书本数就相等了。请你帮助 算一算，每个班各买了多少本？

28．先锯后拼

把一个长 25 厘米、宽 10 厘米、高 4 厘米的长方体木块锯成若干个大小 相等的正方体，然后拼成一个大的正方体，问这个正方体的表面积是多少平 方厘米？

29．其实并不难

1995×1995+1994×1994-1995×1994-1994×1993

30．小数点移动的学问

①甲、乙两数的和是 43．648。如果把甲数的小数点向右移动一位就等 于乙数，甲、乙二数各是多少？ ②甲数减去乙数等于 36．63，甲数的小数点向左移动两位就等于乙数， 甲、乙二数各是多少？

31．小华拿走多少个球？

把若干只小盒排成一行，每只盒子里都放上球。从第一只小盒开始，放 入小球的个数依次是 1、2、3、4、??。小华从中拿走一只盒子里的球，剩 下所有盒子里的球数总和为 200 个。小华拿走多少个球？ 32．求商

一个六位数 23□56□是 88 的倍数，这个数除以 88 的商是多少？

33．按要求组数

用 0、1、2、3、7、8 六个数字可以组成多少个能被 9 整除的、没有重复 数字的四位数。

①145 1 × 1 11 12

34．分解凑整

②1995×199419941994-1994×199519951995

35．以除代乘 ①48×25

②568×125 ③3．44×0．05

36．聪明的会计

光华小学的体育老师带一些钱到体育商店买了 72 个小足球。当他拿着发 票到会计处报销时，不小心把两点墨水滴在发票上了，正好滴在总钱数的两 个数字上，使总钱数变成了□67．9□元。同学们，你能根据这些条件算出每 小足球的单价吗？聪明的会计很快就算出来了。

37．雪后步测圆周长

大雪过后，欧可和老师共同步测一个圆形花坛的周长。他俩的起点和走 的方向完全相同，欧可每步长 48 厘米，老师每步长 60 厘米。由于两人脚印 有重合，所以雪地上只留下 80 个脚印，求花坛的周长。

38．不用通分

求（1） 1 ? 1 ? 1 ? 1

? 1 ? 1 ? 1 ?

1 的和。 2 6 12 20 30 42 56 72 （2） 1 ? 1×3 1 ? 3×5 1 5×7 ? ?? ? 1

1993×1995 的和。

39．多少雁？多少雀？

有一群雁向南飞，迎面飞来一群雀。两雀对一雁，还多一雁；两雁对三 雀，还多二雀。问有多少雁？多少雀？

40．有趣的算式

请你先算出下面三个算式的结果 11×11= 111×111= 1111×1111=

再根据这些个算式的积的规律，写出??1????? 1×1?1?1

??? 1的结果，并计

算出这个积的数字和。 9个1 9个1

41．射击比赛

甲、乙二人进行射击比赛。规定每中一发记 20 分，脱靶一发扣去 12 分。 两人各打了 10 发子弹，共得 208 分，其中甲比乙多得 64 分，甲、乙二人各 中了多少发？

42．观察排列规律

观察下列各数排列规律：

0 ， 1 ， 2 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ，??

1 2 1 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1

问 11 排在第几个位置上？ 16

43．两种取法一样吗？

一个筐里有 6 个苹果、5 个桃、7 个梨。

（1）小华从筐里任取一个水果，有多少种不同的取法？ （2）小华从这三种水果各取一个，有多少种不同的取法？

44．十个数互不相同

如果十个互不相同的两位奇数之和等于 898，那么这十个数中最小的一 个数是多少？

45．判断数的奇偶性

在 20～100 中所有 3 的倍数的和是奇数还是偶数？ 在 1 ? 24

46．求 A、B 各是几

1 ? 1 中，A、B各是几？ A B

47．找等积三角形

下图平行四边形 ABCD 中 EF∥AC，连结 BE、AE、CF、BF，与△BCE 等积 的三角形有几个？

48．求三角形 ABC 的面积

在△ABC 中，AD 是 AC 的四分之一，AE 是 AB 的五分之二。若 S△AED=2 平 方厘米，求△ABC 的面积。

49．小朋友喝糖水

桌子上有一杯凉开水，里面放了 5 克糖。一个孩子跑来把糖水倒出一半 喝掉，添上 3 克糖，加满水，和匀，走了。第二个孩子跑来，也把糖水倒出 一半喝掉，添上 3 克糖，加满水，和匀，走了。??这样来过 1995 个孩子之 后，杯子里的糖能增加到 10 克吗？

50．一个正方形里一个字

请你仔细观察右面的图形，把它分成五个正方形，使每个正方形包含一 个字，应该怎样分？

51．红花献给英雄

和平里小学五（1）班有学生 40 名，他们在一起做纸花，每人手中的纸

从 7 张到 46 张不等，没有二人拿相同的张数。今规定用 3 张或 4 张纸做一朵

花，并要求每人必须把分给自己的纸全部用光，并尽可能地要多做一些花， 问最后用 4 张纸做的花共有多少朵？

52．要求尽可能地小

有 4 个不同的自然数，它们当中任意两个数的和都是 2 的倍数，任意三 个数的和都是 3 的倍数。为了使这 4 个数尽可能地小，这 4 个数的和是多少？

53．把苹果分成偶数堆

筐中有 72 个苹果，将它们全部取出来，分成偶数堆，使得每堆中苹果的 个数相同。一共有多少种分法？

54．化成有限小数

写出所有分母是两位数，分子是 1，而且能够化成有限小数的分数。

55．速算

（1）0．618×999．9+0．0618 （2 ） 1993×1993 ? 1994 ×1992 1994 ×1994 ? 1995×1993

56．求正方形的面积

下图中 ABCD 是一个正方形，E、F、N、H 分别是 AB、BC、CD、AD 的中点。 已知 A′B′C′D′（图中阴影部分）的面积是 4 平方厘米，求正方形 ABCD 的面积。

57．现场出题

五（1）班学生到英雄笔厂包装车间参观。参观中，张老师根据包装台上 的自动铅笔数，现场出了一道数学题，请同学们思考：

有 99 支合格的英雄牌自动铅笔需要装盒出厂。盒子有两种规格：一种可 以装 12 支，另一种可以装 5 支。现在要把 99 支全部分装在两种盒子里，而 且每一盒都装满，应该怎么装？

58．求 m 的最小值

1512 乘以一个整数 m，得到一个完全平方数，m 最小是几？

59．对号入座

洪波、陈荣、张润田 3 人分别在甲、乙、丙 3 个工厂工作，他们分别是 钳工、车工和木工。现在知道，洪波不在甲厂，陈荣不在乙厂，在甲厂的不 是车工，在乙厂的是钳工，陈荣不是木工，你知道张润田在哪个工厂，干的 是什么工种吗？

60．合理分配

某种商品的价格是：每 1 个 1 角钱；每 5 个 4 角钱；每 9 个 7 角钱。小 赵的钱至少能买 50 个，小李的钱至多能买 500 个，小李的钱比小赵的钱多多 少？

61．余数相同求除数

有一个不等于 1 的整数，用它去除 967、1000、2001，得到的余数相同， 这个整数是多少？

62．互赠图书

新年快到了，五年级三个班决定互相赠送一些图书，三个班原有的图书 数量各不相同。如果五（1）班把本班的一部分图书赠给五（2）班和五（3） 班，那么这两个班的图书数量各增加一倍；然后五（2）班也把本班的一部分 图书赠给五（1）班和五（3）班，这两个班的图书数量也各增加一倍；接着 五（3）班又把本班的图书的一部分赠给五（1）班和五（2）班，这两个班的 图书又各增加一倍。这时，三个班的图书数量都是 72 本，问原来各班各有图 书多少本？

63．变幻无穷的彩灯

少年宫游乐厅内悬挂着 200 个彩色灯泡，这些灯或亮或暗，变幻无穷。 200 个灯泡按 1～200 编号。灯泡的亮暗规则是：第 1 秒，全部灯泡变亮；第

2 秒，凡编号为 2 的倍数的灯泡由亮变暗；第 3 秒，凡编号为 3 的倍数的灯 泡改变原来的亮暗状态（即亮的变暗，暗的变亮）；第 4 秒，凡编号为 4 的 倍数的灯泡改变原来亮暗状态，这样继续下去，??200 秒为一周期。当第 200 秒时，哪些灯是亮着的？

64．求减数

在一道减法算式中，被减数加减数再加差的和是 674，又知减数比差的 3 倍多 17，求减数。

65．a×b×c=？

有三个整数 a、b、c，已知 a×b=480，a×c=360，b×c=432，那么 a×b ×c=？

66．两位朋友的家相隔几个门？

甲、乙二人是朋友，他们都住在同一条胡同的同一侧，甲住 11 号，乙住 189 号。甲、乙二人的住处相隔几个门？

67．不知长宽高求体积

有一个长方体，正面和上面两个面积的和为 209 平方厘米，并且长、宽、 高都是质数。求它的体积。

68．从一点看三面

有一个正方体，棱长是 13，它是由 13×13×13=2197 个单位小立方体粘 在一起构成的。从正方体的一个顶点望去，最多能看到多少个单位立方体的 面？

69．一半真一半假

A、B、C、D 四人赛跑，三名观众对赛跑成绩做如下估计： 王晨说：“B 得第二名，C 得第一名。” 张旭说：“C 得第二名，D 得第三名。”

李光说：“A 得第二名，D 得第四名。” 实际上，每人都说对了一半。同学们，你能说出 A、B、C、D 各是第几名 吗？

70．汽油、机油和柴油

油库里有 6 桶油，分别装着汽油、柴油和机油。油桶上只标明 15 公升、

16 公升、18 公升、19 公升、20 公升和 31 公升，却没有注明是哪一种油。只 知道柴油是机油的 2 倍，汽油只有一桶。请你分析一下，各个油桶里装的是 什么油？

71．有趣的“魔术数”

你知道“魔术数”吗？

将自然数 N 接写在另一个自然数的右边（例如，将 2 接着写在 34 的右边 就是 342），如果得到的新数都能被 N 整除，那么自然数 N 就叫做魔术数。

小朋友，在小于 100 的自然数中，你能找到多少个这样的魔术数，它们 各是几？

72．求前 1995 个算式的和

有这样一串算式：1＋2＋3，2＋4＋6，3＋6＋9，4＋8＋12，5＋10＋15，?? 问这串算式的前 1995 个算式的和是多少？

73．三位老师三个学校

王老师、李老师、张老师这三位老师中，一位是小学教师，一位是中学 教师，一位是大学教师。这三位教师的情况是：

（1）张老师比大学教师年龄大； （2）王教师和中学教师不同岁；

（3）中学教师比李老师年龄小。 请你判断谁是小学教师？谁是中学教师？谁是大学教师？

74．不能数只能计算

下图中一共有多少个三角形？

75．把一个正方体展开

把一个正方体展开，有多少个不同的展开图？

76．判断奇、偶性

某校举行数学竞赛，共有 20 道题。评分标准规定，答对一题给 3 分，不 答给 1 分，答错一题倒扣 1 分。全校学生都参加了数学竞赛，请你判断，所 有参赛学生得分的总和是奇数还是偶数？

77．排队照相的学问

7 位老朋友相约在公园聚会，想照一张照片留念。如果他们站成一排， 共有多少种站法？

78．解题的关键是要先找“规律”

下面这串数是按一定规律排列的： 6、3、2、4、7、8、??

那么这串数的前 1995 个数的和是多少？第 1995 个数除以 5 余几？

79．分数居第三位的同学至少得多少分？

某次数学考试，满分是 100 分。6 位同学的平均分是 91 分。这 6 人成绩 各不相同，其中有一人得 65 分，那么，分数居第三位的同学至少得多少分？

80．巧推六位数

有一个六位数：ABCD56，把它的末两位数移到前面，得到一个新的六

位数56 ABCD，新六位数比原六位数少303435，求原来六位数。

81．架电线

光明乡一共有 30 个村，每 3 个村都不在一条直线上，每两村之间架一条 电线，一共要架多少条电线？

82．从反面去想

1～100 中所有不能被 9 整除的数的和是多少？

83．要求尽量小

有四个不同的自然数，它们当中任意两个数的和都是 2 的倍数，任意三 个数的和都是 3 的倍数。为了使这四个数尽量小，这四个数分别是多少？

84．按要求写数

你能写出比 1 大，比 100 小，用 5 除余 2，用 6 除余 5 的所有整数来吗？

85．两条直角边为互质数

直角三角形的面积是 996 平方厘米，其直角边为整厘米数，并且为互质 数。符合这些条件的直角三角形共有多少个？它们中两条直角边之和最小是 多少厘米？

86．多少不同车票？多少不同票价？

某次列车从甲站到乙站，中途要停靠 6 个车站，铁路部门要为这次列车 准备多少种不同的车票？这些车票中有多少种不同的票价？

87．想通后很简单

甲、乙两车同时从 A 地出发去 B 地，甲车每小时行 50 千米，乙车每小时

行 45 千米，途中甲车停车 3 小时，结果甲车比乙车晚一小时到达 B 地。A、B 两地之间的距离是多少千米？

88．求甲车行的路程

A、B 两站相距 28 千米，甲车每小时行 33 千米，乙车每小时行 37 千米。 甲、乙两车分别从 A、B 两站同时相对开出，往返于两站之间，那么，当两车 第三次相遇时（迎头相遇），甲车行了多少千米？

89．不能重也不能漏

有 2 张伍元币、3 张贰元币、7 张壹元币。要拿出 12 元，可以有几种拿 法？

90．按要求植树

植树节时，五年级少先队员栽种的树苗组成了一个每边 2 层的空心方 阵，已知最外一层每边栽种树苗 15 棵，五年级少先队员共栽树苗多少棵？

91．按规定计算

规定 A※B=3A-5B，其中 A、B 为自然数。 求：（1）10※0．8 的值； （2）1．7※0．9 的值。

92．积极参加体育运动

五（1）班有 45 人，其中有 20 人参加了球类运动，10 人参加了田径运 动，只有 3 人既参加了球类运动又参加了田径运动，那么没有参加这两种运 动的有多少人？

93．先求出因数再求积

三个相邻的偶数的乘积是一个六位数 2□□□□2，求这个六位数。

94．对折对折再对折

在右图的 16 个方格中分别填入数字，并按下列顺序对折四次。

13 9 5 1 14 10 6 2 15 11 7 3 16 12 8 4

（1）将上半张对折盖住下半张； （2）将下半截对折盖住上半截； （3）将右半截对折盖住左半截；

（4）将左半截对折盖住右半截。 这样对折四次后，最上面方格中的数字是几？

95．防止考试时作弊

某礼堂有 20 排座位，其中第一排有 10 个座位，后面每一排都比它前面 的一排多一个座位。如果允许参加考试的学生坐在任意一行，但是在同一行 中不能与其他同学挨着，那么在考试时，这个礼堂最多能安排多少名学生就 试？

96．特殊数的排列

把只有三个约数的数从小到大排列，第十五个数是多少？

97．先找规律，后填数

请你仔细观察下面每串分数的排列规律，根据排列规律填出（ ）里的 数。

（1） 1 ， 1 ，

1 ， 16 ，（）， 1 ， 1

2 6 12 20 42 56

（2 ） 1 ， 5

5 ，（）， 30 13 ， 104 17 153

98．求平行四边形的高

平行四边形 ABCD 的边 AD 长 10 厘米，直角三角形 AGD 的直角边 AG 长 8 厘米，已知阴影部分的面积比三角形

EFG 的面积大 10 平方厘米，求 AE 长多 少厘米？

99．页码的学问

一本书的页码需要 1995 个数字，问这本书一共有多少页？

100．学者的生与死

有一位学者，在几年前去世了。他去世的年龄正好是他出生年数的 1 。又知道这位学者于1965年获得博士学位。这位学者是哪一年去世的？ 31

去世时是多少岁？

二、百 讲

1．最大是几？最小是几？

一个三位小数四舍五入后是 5．70，那么原来这个三位小数最大是几？ 最小是几？

分析与解 这个三位小数最大是 5．704，最小是 5．695。这是因为：根 据四舍五入的原则，如果大于 5．704，四舍五入后得到的数将大于 5．70， 例如 5．705，四舍五入后是 5．71。

如果小于 5．795，四舍五入后得到的数将小于 5．70，例如 5．694，四 舍五入后是 5．69。

2．第 1995 个数字是几？

3÷7 的商是一个循环小数，那么这个商的小数点后的第 1（180÷50×2） ÷（180÷45+180÷60）=36/35995 个数字是几？

分析与解3÷7 = 0．4?28571?，观察左式这个商，是一个由六 个数字组成的循环小数。

1995÷6=332??3，这说明 1995 个数字中有：332 个“428571”还余 3 个数字，可见第 1995 个数字是 8。

3．求 A＋B＋C＋D＋E＋F 的和

下面算式中的每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，相 同的字母代表相同的数字。求 A＋B＋C＋D＋E＋F 的和。 A B C D E F × 3 B C D E F A

分析与解 观察上面算式，六位数乘以 3，积仍为六位数，说明 A=1，2

或 3。设 A=1。从乘式中看出，3 乘 F 的乘积的个位数字为 A，即为 1；又知 3 乘 7 的积的个位数字为 1，所以 F=7。

同样可以看出，E×3 的积的个位数字加上 F×3 的积的十位数字 2 的和 为 7，说明 E×3 的积的个位数字是 5，所以 E=5。

同样道理，依次可以推出： D=8，C=2，B=4 A＋B＋C＋D＋E＋F =1＋4＋2＋8＋5＋7 =27

设 A=2 或 3，仿上面推算，在推算过程中都出现矛盾，无法推算下去， 说明 A 不可能是 2 或 3。

4．你能求出这些数字的和吗？

把 3 化成小数后，小数部分的前1995位数字的和是多少？ 13 分析与解

3 = 0． 2?30769? 1995÷6 = 332 ??3，说明前 13

1995 个数字中包含 332 个“230769”和“230769”中前 3 个数字“230”。 所以，前 1995 个数字和为： （2＋3＋0＋7＋6＋9）×332＋2＋3＋0 =27×332＋5 =8969

5．排大小

在数学小组活动的时候，张老师出示 4 张卡片，每张卡片上各写着一个 分数，这 4 个分数是： 27 299 29 301 1993 45 1995 47

张老师说：“谁能迅速、正确地把它们从小到大排列起来？”

分析与解 这是一道比较分数大小的题目。一般情况下，对于分母不同 的分数，可以通分或把分数化成小数后再比较它们的大小。但是不难看出， 这几个分数，无论是通分或化成小数，都是很麻烦的。 如果你认真观察这几个分数，就可以发现它们有这样一个共同的特点， 即每个分数的分子都比分母少 2。这样就可以找到一个新的比较方法： 27 比1小 2 29 29

299 比1小 301 2 301

1993 比1小 1995 2 1995

45 比1小 2 47 47 ∵ 2 ＜ 1995

2 ＜ 2 ＜ 301 47

2 （分子相同，分母越大，这个分数就越小） 29

∴ 27 ＜ 45 ＜ 299 ＜ 1993 29 47 301 1995

6．这样排列对吗？

张、王、李、赵四位同学每人手里各拿一个分数，他们分别拿的分数是

5 、 12 、 30 、

6 。数学老师让他们按手里所拿分数的大小排成一队， 12 31 67 17

他们排的结果是：

王、张、赵、李

你说他们排得对吗？如果不对，请按要求排出来。

分析与解 这又是一道比较分数大小的题目。仔细观察这组分数不难看

出：通分母或化成小数也是比较麻烦的。如果通分子，题目就会变得简单， 易于比较。 12 ? 31 60 ； 6 155 17

? 60 ； 5 ? 170 12 60 144 ； 30 ? 67 60 134

∵ 60 ＞ 134 60 144

＞ 60 ＞ 155 60 170

∴ 30 ＞ 5 67 12

＞ 12 ＞ 6 31 17

由此可见，他们排列的顺序是不对的。

7．正好分完

有 6 堆桃，把第一堆平均分给 8 个人，还余 5 个；把第二堆平均分给 8 个人，还剩 4 个；把第三堆平均分给 8

个人，还余 3 个；把第四堆平均分给

8 个人，还余 7 个；把第五堆平均分给 8 个人，还余 1 个；第六堆与第二堆 的个数一样多；如果把六堆桃子放在一起，平均分给 8 个人，能不能正好分 完？为什么？

分析与解 第六堆与第二堆的桃子个数一样多，说明把第六堆平均分给 8 个人，也余 4 个。

因为一堆一堆分完后，余下的桃加起来正好是 8 的倍数，即 （5＋4＋3＋7＋1＋4）÷8=3 所以把六堆放在一起分，正好分完。

8．个位数字是几？

五（1）班有学生 38 人，他们住在同一条街的同一侧；他们家的门牌号 数分别是 7 号、17 号、27 号、37 号、47 号、??、357 号、367 号、377 号。 把他们 38 家的门牌号数相乘，所得的积的个位数字是几？ 分析与解 我们知道，若干个数相乘的积，其个位数字决定于这若干个 数的个位数字的乘积的个位数字。38 家的门牌号数相乘，其积是：

7×17×27×37×47×??×367×377 观察上面算式可以看出，每个因数个位数字都是 7。通过计算，不难发 现，若干个 7 的乘积的个位数字有如下规律： 7 的个位数字是 7；75 的个位数字是 7； 72 的个位数字是 9；76 的个位数字是 9； 73 的个位数字是 3；77 的个位数字是 3； 74 的个位数字是 1；78 的个位数字是 1。

由上面可见，7 的若干个数连乘，所得的积的个位数字只有 7、9、3、1， 并且按这个顺序重复出现。因此，若干个门牌号连乘，其积的个位数字也有 同样的规律。 根据这个规律，很快推出：

38÷4=9??2，余数 2 表示 38 家的门牌号连乘，其积的个位数字是 7、 9、3、1 中的第二个数字，即是 9。

9．巧凑 1995

在下面 13 个 8 之间的适当位置添上＋、－、×、÷运算符号或括号，使 得下式成立：

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 =1995

分析与解 先找一个接近 1995 的数，如： 8888÷8＋888=1999

这个数比 1995 大 4，这样，就把原来的问题转化成找出利用剩下的 5 个 8 添上适当的运算符号，得出结果是 4 的算式。因为 （8＋8＋8＋8）÷8=4

1999－4=1995 所以，这个等式为 8888÷8＋888－（8＋8＋8＋8）÷8=1995

10．街道主任的数学题

一次数学小组到安华小区去做社会调查。数学小组同学问街道主任：“您 这个小区有多少人口？”，街道主任风趣地

说：“51995 的末四位数字就是我 这个小区的人口数！”原来这位主任是一位退休的数学教师。小组同学很快 算出了安华小区的人口数。同学们你也算算看。 分析与解 从 55 开始，积为四位数字。 55=3125

56 的末四位数字为 5625 57 的末四位数字为 8125 58 的末四位数字为 0625 59 的末四位数字为 3125 ??

观察上面的计算结果 2，很快发现，从 55 开始，5n 的末四位数字的变化 是有规律的，每隔 3 个就重复出现：3125、5625、8125、0625、3125、5625、 8125、0625、3125、?? 1995÷4＝498??3

所以，51995 的末四位数字是 8125，安华小区人口为 8125 人。

11．小明的哥哥今年几岁？

用 9 去除一个六位数，所得的商是一个没有重复数字的最小的六位数， 而原来的六位数的数字和正好是小明哥哥的年龄。请问小明的哥哥今年几 岁？

分析与解 题中谈到“用 9 去除一个六位数，所得的商是一个没有重复 数字的最小六位数。”根据这个条件，可推出这个商是 102345。 依题意，原来的六位数为

102345×9=921105 原来六位数的数字和为： 9＋2＋1＋1＋5=18

所以，小明的哥哥今年 18 岁。

12．倒数第 100 面彩旗是什么颜色？

为了迎接建国 45 周年，某街道从东往西按照五面红旗、三面黄旗、四面 绿旗、两面粉旗的规律排列，共悬挂 1995 面彩旗，你能算出从西往东数第 100 面彩旗是什么颜色的吗？

分析与解 从西往东倒数第 100 面彩旗，是从东往西正数第几面彩旗呢？ 这是正确解答本题的关键。 从西往东倒数第 100 面彩旗相当于从东往西正数第 1896 面彩旗，因为

1995—100＋1=1896 已知按“五红、三黄、四绿、两粉”的规律排列，即每 14 面彩旗又重复 出现。

1896÷（5＋3＋4＋2）=135??6

余数为 6，所以正数第 1896 面彩旗为黄色。

13．停车场的面积

胜利公园前面有一块梯形停车场，如下图。图中三角形 ABC 的面积是 253 平方米，三角形 BOC 的面积比三角形 AOD 的面积大 42 平方米，问停车场的面 积是多少平方米？

分析与解 S△ABC=S△BCD=253（平方米）（同底等高） S△ABC＋S△BCD=253×2=506（平方米） 根据“三角形 BOC 面积比三角形 AOD 面积大 42 平方米”这一条件，可知： S△AOD=S△BOC－42。 即 S 梯形 ABCD

=S△ABO＋S△BOC＋S△DOC＋S△AOD =S△ABC＋S△DOC＋S△BOC－42 =S△ABC＋S△BCD－42 =253＋253－42

=464（平方米） 所以，停车场面积为 464 平方米。

14．最大填几？最小填几？

在 523 后面添上一个三位数，使所得六位数同时能被 7、8、9 整除，所

填三位数最大是几？最小是几？

分析与解 所得六位数能被 7、8、9 整除，即能被 7、8、9 的最小公倍数 504 整除。

在 523 后面添上三个 0，成为六位数 523000。

在 523 后面添上三个 9，成为六位数 523999，只要求出 523000 到 523999 之间哪些数是 504 的倍数，这些数的后三个数字组成的最大三位数和最小三 位数，就是所要求的三位数。

523999÷504＝1039??343 这说明从 523999 中减去 343 的差就是 504 的倍数。 523999－343=523656

656 仍大于 504，所以 523656－504=523152，仍是 504 的倍数。 所以所填最大三位数是 656；所填最小三位数为 152。

15．让剩下的数最大

把前十个质数由小到大、从左向右排成一行，删掉其中十个数字，让剩 下的数最大，应该怎么删？ 分析与解 前十个质数是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。把 前十个质数由小到大排成一行是：

2357111317192329 一共是十六个数字。删去其中十个数字，则剩下六个数字，即是个六位 数。要使这个六位数最高位是 9 是不可能的。从左向右看，第一个数字 9 的

前面最大的数字是 7，应选 7 作为剩下的六位数的最高位的数字，而将它前 面的数字 2、3、5 删去。7 的后面当然是取 9 最大，将其前的七个数字 1、1、

1、3、1、7、1 删去。于是得到所求的最大的数是 792329。

16．勾掉其中一个数字

两个数的和是 51，勾掉大数中的一个数字，得到的是小数，求出这两个 数。 分析与解 根据已知条件可以断定，两个数中一个是两位数，一个是一 位数。这个两位数的十位数字一定是 4。如果比 4 小，两个数的和就要小于 51，当然，比 4 大也是不可能。因此，小数是 4，而大数是 47。

17．试验园地有多大？

和平里小学园艺小组有一块正方形的试验园地。他们在这块园地里进行 小麦和玉米的良种培育试验。其中小麦占地 105 平方米，玉米占地 8x 平方米， 如下图，那么这块试验田一共有多少平方米？（正方形边长为整数）

分析与解 由玉米试验园地 BCFE 占地 8x 平方米可以知道，BC 长 x 米， 这就是正方形的边长。正方形边长不可能是 8 米。如果是 8 米，正方形面积 就是 64 平方米，反而小于小麦占地面积，这是不可能的，因此 8 米是 EB 的 长。

又知道长方形 AEFD 的面积是 105 平方米。根据 105=105×1 105=35×3 105=21×5 105=15×7

可以推出，长方形 AEFD 的长和宽可能是 105 米和 1 米；或 35 米和 3 米； 或 21 米和 5 米；或 15 米和 7 米。

如果 AD 长 105 米，AE 长 1 米，那么 AE+EB=1+8=9（米），这样 AB 就不 等于 AD 了，与“正方形边长相等”矛盾，所以 105 米和 1 米不可能是长方形 AEFD 的长和宽。

同样道理，可推出 35 米和 3 米；21 米和 5 米，都不可能是长方形 AEFD 的长和宽。只有当 AD=15，AE=7 时，AB=7+8=15，从而得出 AB=AD 符合题意。 所以正方形面积为：152=225（平方米）

18．往返一次需要几小时？

两个港口相距 240 公里，一轮船往返于两港之间，往返一次需 35 小时， 逆水航行比顺水航行要多用 5 小时。现有一艘机帆船，每小时航行 12 公里， 这机帆船往返一次需要几小时？ 分析与解 轮船逆行需要：（35+5）÷2=20（小时）

轮船顺行需要：（35-5）÷2=15（小时） 轮船逆行速度为：240÷20=12（公里） 轮船顺行速度为：240÷15=16（公里） 水流速度为：（16-12）÷2=2（公里） 机帆船顺水速度为：12+2=14（公里） 机帆船逆水速度为：12-2=10（公里） 机帆船顺水需要：240÷14=17 1 （小时） 7

机帆船逆水需要：240÷10=24（小时） 机帆船往返一次需要：17 1 +24=41 1 7 7 （小时）

19．打碎玻璃是要赔的

把 100 块玻璃由甲地运往乙地。按规定，把一块玻璃安全运到，得花运 费 3 元。如果运输途中打碎一块玻璃，则要赔偿 5 元。在结算时共得运输费 260 元，问在运输中打碎了几块玻璃？

分析与解 假设 100 块玻璃全部运到，应得运费 300 元，而实际只得 260 元即少得 40 元。这说明打碎了玻璃，不但不给运费，还要倒扣赔偿。每打碎 一块玻璃，要少得 3+5=8（元）。已知共少得 40 元，40 元中有几个 8 元就是 打碎了几块玻璃。 （3×100-260）÷（3+5） =40÷8 =5（块）

20．先不要动手

一张长方形的纸，按照下图方法折叠几次以后，用剪刀在三角形中间剪 开，剪出来的是什么形状的纸片？一共有几个？请先不要动手，用脑子想， 得出答案，然后再折一折，剪一剪，看看你的答案对不对。

分析与解 8 个三角形。

21．卖菜

安华里菜站运来 84 斤黄瓜、105 斤西红柿、126 斤茄子，售货员把这些 菜一份一份地称好了，正好称完，每份的黄瓜、西红柿、茄子都一样多。售 货员很快把这些菜卖完了。经理问售货员，这些菜卖给了多少人？每人至少 能买多少斤？他一时说不出来，请你帮助算一算。

分析与解 根据题中条件可以看出，买菜人数一定是 84、105、126 的公

约数，又要求每人买的斤数最少，所以买菜人数一定是 84、105、126 的最大 公约数。 （84，105，126）=21

一共卖给了 21 人，每人买 4 斤黄瓜、5 斤西红柿、6 斤茄子，共买菜： 4+5+6=15（斤）

22．小猴子数桃子

猴子妈妈采来了一篮桃子，她让小猴子数一数共采了多少桃子。小猴子

3 个 3 个地数，最后多出 1 个，它就把多出的一个扔在一边；它又 5 个 5 个 地数，到最后还是多出一个，它又把多出的 1 个扔在一边；最后它 7 个 7 个 地数，还是多出 1 个。它数了三次，到底有多少桃子，还是不清楚。小朋

友， 你知道这篮子里至少有多少个桃子吗？

分析与解 本题可概括为“一个数用 3 除余 1，用 5 除余 2，用 7 除余 3， 这个数最小是多少？” 我们从余数开始逆推：

由于用 3 除余 1，所以这个数为 3n+1（n 为正整数）。

要使 3n+1 这个数继而满足用 5 除余 2 的条件，可用 n=1，2，3??来试 代，发现当 n=2 时，3×2+1=7 满足条件。

由于 15 能被 3 和 5 整除，所以 15m+7 这些数（m 为正整数），也能满足 用 3 除余 1，用 5 除余 2 这两个条件。

在 15m+7 中选择适当的 m，使之用 7 除得到的余数为 3。也是采取试代的 方法，试代的结果得出：当 m=3 时满足条件。

这样 15×3+7= 52 为所求的答案，也就是说这篮桃子至少有 52 个。 对于这类用 3、5、7 三个数来除分别得到不同余数的题目，有没有一个

解答的规律呢？有。我国有个著名的余数定理，它可以用四句诗来形象地记 忆。 三人同行七十稀， 五树梅花廿一支， 七子团圆正半月， 抛五去百便得知。

这四句诗叫“孙子点兵”歌，外国称它为“中国剩余定理”。这首诗的 意思是：70 乘上用 3 除所得的余数，21 乘上用 5 除所得的余数，15 乘上用 7 除所得的余数，然后把这三个乘积加起来，其和加或减 105 的整数倍，就可 以得到所需要的数了。

现在我们回到本题，并运用上述办法求解。由于用 3 除余 1，用 5 除余 2， 用 7 除余 3，所以， 70×1+21×2+15×3 =70+42+45

=157 因为要求的是最小值，所以 157-105 =52

23．保证他比别人得分多

若干名学生参加三次赛跑，在一次赛跑中获得第一名的学生得 10 分，第 二名得 6 分，第三名得 2 分，而且没有并列情况，那么学生 A 在三次赛跑中 至少要得多少分才能保证他比其他学生得分多？ 分析与解 下面就学生 A 得几种分的情况进行讨论

①如果学生 A 得：10+10+10=30（分） 其他学生得分不多于：6+6+6=18（分） ②如果学生 A 得：10+10+6=26（分） 其他学生得分不多于：10+6+6=22（分） ③如果学生 A 得：10+6+6=22（分） 或 10+10+2=22（分） 其他学生得分不多于：10+10+6=26（分） 或 10+6+6=22（分）

如果再继续讨论下去，学生 A 得分就会越来越小。观察上面几种情况， 不难看出，学生 A 必须得 26 分才能保证他比其他学生得分多。

24．温度上升 体积增加

温度每上升 4℃，某种气体体积就增加 5 立方厘米。如果温度是 34℃时， 这种气体的体积是 36 立方厘米，那么温度是 10℃时，气体的体积是多少立 方厘米？

分析与解 温度上升 4℃，气体体积就增加 5 立方厘米。 温度的变化是：34-10=24（℃），气体在 34℃时的体积比在

10℃时的体

积则增加 5×（24÷4）=30（立方厘米）

温度在 10℃时气体的体积是：36-30=6（立方厘米）

25．三辆汽车何时再相会？

某货运场有三辆汽车运货物，甲汽车运送一次要 1 个半小时，乙汽车运 送一次要1 1 小时，丙汽车运送一次要2 小时。如果三辆汽车早8∶00同时 4

从货运场出发，那么它们再次相会时将是什么时间？

分析与解 从早 8∶00 到三辆汽车在货场再次相会，所经过的时间必定 是90 分（1．5小时）、75分（1 1 小时）、120分（2 小时）的最小公倍数。 4

[90，75，120]=1800 1800÷60=30（小时） 30÷24=1??6

三辆汽车将于第二天下午 2∶00 在货运场再次相会。

26．师徒情谊深

师徒二人共同加工 26 个零件，徒弟先到车间，就先拿了一些零件放在自 己的机床边。师傅来了，一看徒弟拿去要加工的零件太多了，他除了拿了留 给他的零件外，又从徒弟那里拿过来一半零件。徒弟觉得自己应该多干一点， 又从师傅那里拿来一半。师傅不肯，徒弟只好再给师傅 5 个零件。最后还是 师傅比徒弟多加工 2 个零件。问徒弟最初准备加工的零件是多少？

分析与解 要想求徒弟最初准备加工多少个零件，应先求出徒弟最后加 工多少个零件。

师徒二人一共加工 26 个零件，最后师傅比徒弟多加工 2 个，那么徒弟最 后加工零件：

（26—2）÷2=12（个） 下面可以用逆推的方法，推出徒弟最初准备加工的零件数。 徒弟没给师傅 5 个零件时，徒弟有零件：12+5=17（个）

从 26 个零件中减去 17 个零件，就是师傅在徒弟拿走他手中零件的一半 后剩下的零件个数： 26－17=9（个） 徒弟没从师傅那里拿走一半之前，师傅有零件：9×2=18（个）而这时徒 弟只有零件：26－18=8（个）

这 8 个零件是师傅拿走徒弟手中零件的一半后剩下的，因此师傅没拿走 徒弟手中零件的一半之前徒弟有零件： 8×2=16（个）。

27．由“相等”入手

和平里小学五年级四个班共买了 135 本图书，但不知道每班各买了多少 本，只知道，如果五（1）班减少 3 本，五（2）班加上 3 本，五（3）班增加 一倍，五（4）班减少一半，那么四个班所买的图书本数就相等了。请你帮助 算一算，每个班各买了多少本？

分析与解 设五（3）班买了图书 x 本，那么根据题意，五（3）班所买 图书本数的两倍，等于五（1）班所买图书本数减 3，所以五（1）班所买图 书本数应为 2x+3；同理可推得，五（2）班所买图书本数应为 2x－3，五(4) 班所买图书本数应为 4x。

列方程，得

解方程，得

(2x+3）+(2x－3)+x+4x=135 x=15

五（1）班买图书 2x+3=30+3=33（本） 五（2）班买图书 2x－3=30－3=27（本） 五（3）班买图书 x=15（本） 五（4）班买图书 4x=4×15=60（本）

28．先锯后拼

把一个长 25 厘米、宽 10 厘米、高 4 厘米的长方体木块锯成若干个大小 相等的正方体，然后拼成一个大的正方体，问这个正方体的表面积是多少平 方厘米？

分析与解 原长方体的体积为：25×10×4=1000（立方厘米），那么把 这个长方体锯成若干个大小相等的正方体后所拼成的大正方体的棱长为： 1000=10×10×10 即正方体棱长为 10 厘米。 所以，所拼成的大正方体的表面积为： 10×10×6=600（平方厘米）

29．其实并不难

1995×1995+1994×1994-1995×1994-1994×1993 分析与解 原式=（1994+1）×1995+1994×1994-1995×1994 -1994×1993

=1994×1995+1995+1994×1994-1995×1994 -1994×1993

=1995+1994×1994-1994×1993

=1995+1994×（1993+1）-1994×1993 =3989

30．小数点移动的学问

①甲、乙两数的和是 43．648。如果把甲数的小数点向右移动一位就等 于乙数，甲、乙二数各是多少？ ②甲数减去乙数等于 36．63，甲数的小数点向左移动两位就等于乙数， 甲、乙二数各是多少？ 分析与解

①根据题中条件：“甲数的小数点向右移动一位就等于乙数”说明乙数 是甲数的 10 倍，那么 43．648 是甲数的（10+1）倍，所以，

甲数为：43．648÷（10+1）=3．968 乙数为：3．968×10=39．68

②根据题中条件：“甲数的小数点向左移动两位就等于乙数”，说明甲 数缩小到百分之一后就等于乙数，即甲数是乙

数的 100 倍，或甲数比乙数大

（100-1）倍。这（100-1）倍正好是 36．63，所以 乙数为：36．63÷（100-1）=0．37 甲数为：0．37×100=37

31．小华拿走多少个球？

把若干只小盒排成一行，每只盒子里都放上球。从第一只小盒开始，放 入小球的个数依次是 1、2、3、4、??。小华从中拿走一只盒子里的球，剩 下所有盒子里的球数总和为 200 个。小华拿走多少个球？ 分析与解 当小华未拿走球时，所有盒子里球的总数一定大于 200，而 这些球的总数一定是：

1+2+3+??，即若干个连续自然数的和。那么，从这个和中减去其中一 个加数，其差应为 200。 设共有 19 只小盒，那么球的总数为

1+2+3+??+19=（1+19）×19÷2=190 这个数小于 200，不符合题意。 设共有 20 只小盒，那么球的总数为 1+2+3+??+20=（1+20）×20÷2=210

这个数比 200 大，210-200=10。若小华拿走 10 个球，就符合题意了。 设共有 21 只小盒，那么球的总数为 1+2+3+??+21=（1+21）×21÷2=231

这个数比 200 大，231-200=31，不合题意，因为最后一个盒里才装 21 个球，小华取走 31 个不合理。 所以小华拿走的那一小盒，里面装有 10 个球。

32．求商

一个六位数 23□56□是 88 的倍数，这个数除以 88 的商是多少？

分析与解 设这个六位数为23 A56 B。因为这个六位数是88的倍数， 所以必定是 8 和 11 的倍数。

根据能被 8 整除的数的特征：“一个数的末三位数能被 8 整除，这个数 就能被 8 整除”，B 可以取 0 或 8。 如果 B=0，那么，根据能被 11 整除的数的特征：“一个数，奇数位上数 字和与偶数位上数字和的差被 11 整除，这个数就能被 11 整除”可以知道：

2+A+6-（3+5+0）=A 是 0 或 11 的倍数。显然，A 不可能是 11 的倍数，因为 A 必须小于 10。因此得到

所以六位数为：230560 A=0

除以 88 的商为：230560÷88=2620

如果 B=8，那么根据能被 11 整除的特征，可求得 A=8，于是六位数为 238568。这个数与 88 的商为： 238568÷88=2711

33．按要求组数

用 0、1、2、3、7、8 六个数字可以组成多少个能被 9 整除的、没有重复 数字的四位数。 分析与解 能被 9 整除的数的特征是：“一个数各个数位上的数字和能

被 9 整除，这个数就能被 9 整除。”

在 0、1、2、3、7、8 这六个数字中，1、2、7、8 与 0、3、7、8 这两组 数字的数字和都是 9 的倍数。因此，用这两组数字组成的四位数必然能被 9 整除。 用 1、2、7、8 能组成 24 个四位数。 用 0、3、7、8 能组成 18 个四位数。

所以一共可以组成 24+18=42（个）能被 9 整除、又没有重复数字的四位 数。

①145 1 × 1 11 12

34．分解凑整

②1995×199419941994-1994×199519951995 分析与解 ① 145 1 ? 1 11 12 ? 144 12 ? 1 11 12

? （144 ? 12 ）× 1 11 12 ? 144× 1 12 ? 12 1 11 ? 12 × 1 11 12

②1995×199419941994-1994×199519951995 =1995×1994×100010001-1994×1995×100010001 =0

35．以除代乘 ①48×25 ②568×125

③3．44×0．05 分析与解①48×25 =48×（25×4）÷4 =4800÷4 =1200

②568×125 =568×（125×8）÷8 =568000÷8 =71000 ③344×0．05 =344×5×0．0001 =344×10÷2×0．001 =0．0172

一分数分别与 5、25、125 相乘，可以先把这个数分别扩大 10 倍、100 倍、1000 倍，然后再分别除以 2、除以 4、除以 8，这种方法叫做以除代乘法。

36．聪明的会计

光华小学的体育老师带一些钱到体育商店买了 72 个小足球。当他拿着发 票到会计处报销时，不小心把两点墨水滴在发票上了，正好滴在总钱数的两 个数字上，使总钱数变成了□67．9□元。同学们，你能根据这些条件算出每 个小足球的单价吗？聪明的会计很快就算出来了。 分析与解□67．9□元=□679□分

因为□679□分是 72 个小足球的总价钱，所以它能被 72 整除，同时也能 被 8 和 9 整除。

根据能被 8 整除的数的特征，这个数的末三位数应能被 8 整除，可以断 定末三位数为 792，即末位数字为 2。根据能被 9 整除的数的特征，这个数的 各位数字之和必为 9 的倍数。当这个数首位数字为 3 时，就能满足要求。（因 为 3+6+7+9+2 之和能被 9 整除）

总价钱为 36792 分=367.92 元，每个小足球单价为

367.92÷72=5.11（元）

37．雪后步测圆周长

大雪过后，欧可和老师共同步测一个圆形花坛的周长，他俩的起点和走 的方向完全相同，欧可每步长 48 厘米，老师每步长 60 厘米。由于两人脚印 有重合，所以雪地上只留下 80 个脚印，求花坛的周长。

分析与解欧可和老师从起点到第一次脚印重合所走过的距离为 48 和 60 的最小公倍数 240（厘米）。 240÷48=5（步），即欧可有 5 个脚印。

240÷60=4（步），即老师有 4 个脚印。 因为他俩有一个脚印是重合的，所以 240 厘米长的这段距离共有 5+4-1=8（个脚印）

又因为一周共留下 80 个脚印，80÷8=10，即一周内共含 10 个 240 厘米 的距离。 所以花坛周长为：240×10=2400（厘米） =24（米）

38．不用通分

求（1） 1 ? 1 ? 1 ? 1

? 1 ? 1 ? 1 ?

1 的和。 2 6 12 20 30 42 56 72 （2） 1 ? 1×3 1 ? 3×5 1 5×7 ? ?? ? 1

1993×1995 的和。 分析与解 （1）原式 ? 1 1×2 ? 1 ? 2 ×3 1 3×4

? ?? ? 1 ? 7 ×8 1 8×9

1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 2 ? 1 ? 1 9 3 3 4 8 9 ? 8 9

（2）原式 ? 1 ×（1 ? 1 ） ? 1 ×（ 1 ? 1 ）2 3 2 3 5 2 ×（ 1 ? 1 ） 1993 1995

? 1 ×（1? 1 ? 1 ? 1 ? ?? ? 1 ? 1 ） 2 3 3 5 ? 1 ×（1 ? 1 ） 1993 1995 2 1995

? 1 × 1994

? ?? ? 1

2 ? 997 1995 1995

以上解法叫做“拆分”。有关“拆分”的知识，这里不能一一列讲，请 同学们自己学点“拆分”的知识，对提高自己的计算能力是有很大好处的。

39．多少雁？多少雀？

有一群雁向南飞，迎面飞来一群雀。两雀对一雁，还多一雁；两雁对三 雀，还多二雀。问有多少雁？多少雀？ 分析与解根据题中条件“两雀对一雁，还多一雁”可知，假如再飞来两 只雀的话，就恰好是“两雀对一雁”了，这就是说，雀数恰好是雁数的 2 倍 了。实际上，雀数是雁数的 2 倍少 2，即

雀数=雁数×2-2（1） 又根据题中条件“两雁对三雀还多二雀”可知，假如飞走两只雀的话， 就恰好是“两雁对三雀”了，也就是说，雀数就是雁数的 1．5 倍了，实际上 雀数是雁数的 1．5 倍多 2，即 雀数=雁数×1．5+2（2）

比较（1）、（2）两式可知，4 只雀相当于雁数的 2－1．5= 0 ．5（倍）， 由此不难求出： 有雁：4÷0．5= 8（只） 有雀：8×2-2=14（只）

40．有趣的算式

请你先算出下面三算式的结果 11×11= 111×111= 1111×1111=

再根据这些算式的积的规律，写出1?1?1????? 1×1?1?1

??? 1的结果，

并计算出这个积的数字和。 9个1

9个1

分析与解 通过计算得出，下列 3 个算式的积为 11×11=121

（2 个 1）（2 个 1） 111×111=12321 （3 个 1）（3 个 1） 1111×1111=1234321

（4 个 1）（4 个 1） 根据上面三个算式的积的规律，不难看出 1?1?1

??? 1×1?1?1

??? 1 = 12345678987654321 9个1 9个1

所以，积的数字和为：（1+2+3+??+8）×2+9=81。

41．射击比赛

甲、乙二人进行射击比赛。规定每中一发记 20 分，脱靶一发扣去 12 分。 两人各打了 10 发子弹，共得 208 分，其中甲比乙多得 64 分，甲、乙二人各 中了多少发？

分析与解 根据题中条件，可以求出： 甲得：（208+64）÷2=136（分） 乙得：（208-64）÷2=72（分）

又知甲、乙二人各打了 10 发子弹，假设甲打的 10 发子弹完全打中，应 该得 20×10=200（分），比实际多得 200－136=64（分），这是因为每脱靶 一发比打中一发少得 20+12= 32（分）的缘故。多出的 64 分里有几个 32 分， 就是脱靶几发。由此可得，甲脱靶了 64÷32=2（发） 所以甲打中 10-2=8（发） 列出综合算式如下：

10－[20×10－（208+64）÷2]÷（20+12）= 8（发） 同理，乙打中： 10－[20×10－（208－64）÷2]÷（20+12）=6（发）

42．观察排列规律

观察下列各数排列规律：

0 ， 1 ， 2 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ，??

1 2 1 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1

问 11 排在第几个位置上？ 16

分析与解 观察分子排列规律：

0，1，2；1，2，3，4；1，2，3，4，5，6；?? 分子、分母之和规律如下： 1，3，3；5，5，5，5；7，7，7，7，7，7；??

如果按分子，分母之和是否相同分组，第一组为 1；第二组为 3；第 3 组为 5；第四组为 7；??即分子、分母之和为奇数。假设一个分数在第 n 组，那么分子、分母之和为 2n－1。 11 的分子分母之和是27 。 16

27 = 2 ×14 - 1所以 11 排在第14 组中。 16

由观察可知，一个分数排在某组的第几个数上，与分子的数值一致（除 第一组外），所以 11 排在第14组第11个数。 16

前 13 组共有：1+2+4+6+??+2（13-1） =1+2×(1+2+3+??+12） =157

157+11=168

所以 11 排在第168个位置上。 16

43．两种取法一样吗？

一个筐里有 6 个苹果、5 个桃、7 个梨。

（1）小华从筐里任取一个水果，有多少种不同的取法？

（2）小华从这三种水果各取一个，有多少种不同的取法？ 分析与解

（1）只取苹果，有 6 种取法；只取桃，有 5 种取法；只取梨，有 7 种取 法。根据加法原理，一共有 6+5+7= 18 种不同取法。

（2）分三步进行，第一步取一个苹果，有 6 种取法；第二步取一个桃，

有 5 种取法；第三步取一个梨，有 7 种取法。根据乘法原理，要取三种不同 类的水果，共有 6×5×7＝210 种不同取法。

44．十个数互不相同

如果十个互不相同的两位奇数之和等于 898，那么这十个数中最小的一 个数是多少？ 分析与解 要想使十个数中最小的那个两位奇数尽量小，必须使其它 9 个两位奇数尽量大，而且它们互不相同，那么，这九个数应取 83、85、87、 89、91、93、95、97、99，它们的和是： （83＋99）×9÷2

＝819 因此，最小的一个奇数为 898－819＝79

45．判断数的奇偶性

在 20～100 中所有 3 的倍数的和是奇数还是偶数？

分析与解 从 20～100 中，所有 3 的倍数按从小到大的顺序排列是：

21、24、27、30、33、36、39、??、93、96、99 其中奇数为：21、27、33、39、??、93、99 这些奇数的个数为：（99－21）÷6＋1 ＝13＋1 ＝14

这就是说，在 20～100 中，所有 3 的倍数之和是由 14 个奇数和若干个偶 数相加而得到的。14 个奇数的和为偶数，若干个偶数的和也为偶数，偶数加 偶数仍为偶数。 所以，从 20～100 中，所有 3 的倍数的和为偶数。 46．求 A、B 各是几 在 1 ? 24

1 ? 1 中，A、B各是几？ A B

分析与解 这类题，可以分步解答：

①先找出 24 的约数：1、2、3、4、6、8、12、24

②扩分：即把 1 24

的分子、分母同时乘以两个约数的和，如 1 3 ? 8 ?

24 24×（3 ? 8）

③拆分：即把扩分后所得的分数拆成两个分数之和，使两个约数恰为两 个分数的分子： 1 ? 3 ? 8 24 24×（3 ? 8） ? 3

24×（3 ? 8） ? 8

24×（3 ? 8）

④约分：把所得的两个分数约分，便得到要求的结果： 1 ? 3 ? 24 24×11 8 ?

24×11 1 ? 1 88 33

∴ 1 ? 1 ? 1 24 88 33

是不是就这一组答案呢？不是的，还有几组其他答案。请你再做出一组 或几组答案来。

47．找等积三角形

右图平行四边形 ABCD 中 EF∥AC，连结 BE、AE、CF、BF，与△BCE 等积 的三角形有几个？

分析与解 在△ACE 与△BCE 中 CE＝CE AB∥DC

∵平行线间垂线相等，

∴S△ACE＝S△BCE（同底等高） 在△ACE 与△ACF 中， AC＝AC AC∥EF ∵平行线间垂线相等 ∴S△ACF＝S△ACE

同样道理， S△ABF＝S△ACE

∴与△BCE 等积的三角形有三个，它们是 △ACE、△ACF、△ABF。

48．求三角形 ABC 的面积

在△ABC 中，AD 是 AC 的四分之一，AE 是 AB 的五分之二。若 S△AED＝2 平方厘米，求△ABC 的面积。

分析与解 连结 EC。 ∵AC＝4AD

∴S△AEC＝4×S△AED

＝4×2

＝8（平方厘米） 在△ABC 与△AEC 中 AE ? 2 AB 5

∵S△AEC＝S△ABC ∴S△ABC＝S△AEC÷2×5 ＝8÷2×5

＝20（平方厘米）

49．小朋友喝糖水

桌子上有一杯凉开水，里面放了 5 克糖。一个孩子跑来把糖水倒出一半 喝掉，添上 3 克糖，加满水，和匀，走了。第二个孩子跑来，也把糖水倒出 一半喝掉，添上 3 克糖，加满水，和匀，走了。??这样来过 1995 个孩子之 后，杯子里的糖能增加到 10 克吗？

分析与解 原来杯子里有糖 5 克，即（6-1）克。 第一个孩子来过之后，杯子里有糖：

（6 - 1）×（1 - 1 ） ? 3 ? 11 ? 12 ? 1 ? （6 ?

1 ）克。 2 2 2 21

第二个孩子来过之后，杯子里有糖

（6 ? 1 ）×(? 1 ） ? 3 ? 23 ? 24 ? 1 ? （6 ?

1 ）克。

2 2 4 4 2 2

第三个孩子来过之后，杯子里有糖

（6 ? 1 ）×（1 ? 1 ） ? 3 ? 47 ? 48 ? 1 ? （6 ?

1 ）克。

4 2 8 8 2 3

同理，第1995个孩子来过之后，杯子里有糖（6－ 1 21995

）克。

显然，6 ? 1 21995

＜6，所以杯子里的水永远达不到6克，当然就更

不可能增加到 10 克了。

50．一个正方形里一个字

请你仔细观察右面的图形，把它分成五个正方形，使每个正方形包含一 个字，应该怎样分？

分析与解 具体分法如下图：

51．红花献给英雄

和平里小学五（1）班有学生 40 名，他们在一起做纸花，每人手中的纸

从 7 张到 46 张不等，没有二人拿相同的张数。今规定用 3 张或 4 张纸做一朵 花，并要求每人必须把分给自己的纸全部用光，并尽可能地要多做一些花， 问最后用 4 张纸做的花共有多少朵？ 分析与解 为了多做一些花，就需要尽量用 3 张纸做 1 朵花。我们采用 列表的方法找出用 4 张纸做 1 朵花的规律。

7 8 9 10 11 12 13 14 15 ?? 用 3 张纸 1 0 3 2 1 4 3 2 5 ?? 用 4 张纸 1 2 0 1 2 0 1 2 0 ??

从上表不难看出，用 4 张纸做花的朵数的规律是：1、2、0、1、2、0、1、 2、0、?? 40÷3＝13??1

（1＋2）×13＋1＝40（朵）

52．要求尽可能地小

有 4 个不同的自然数，它们当中任意两个数的和是 2 的倍数，任意三个 数的和都是 3 的倍数。为了使这 4 个数尽可能地小，这 4 个数的和是多少？ 分析与解 要满足“任意两个数的和都是 2 的倍数”这个条件，这 4 个 数的奇偶性必须相同，要么都是奇数，要么都是偶数。 要满足“任意三个数的和是 3 的倍数”这个条件，要求这 4 个数中的每

个数要么都是 3 的倍数，要么都是被 3 除余 1 的数，要么都是被 3 除余 2 的 数。但又要求“这 4 个数尽可能地小”，经试验，只有每个数都是被 3 除余 1 的数才行。

所以，这 4 个数为：1、7、13、19 这 4 个数的和是：1＋7＋13＋19＝40

53．把苹果分成偶数堆

筐中有 72 个苹果，将它们全部取出来，分成偶数堆，使得每堆中苹果的 个数相同。一共有多少种分法？ 分析与解 72 的约数有：

1、2、3、4、6、12、18、24、36、72

在这些约数中一共有 8 个偶约数，即可分为：2 堆、4 堆、6 堆、12 堆、 18 堆、24 堆、36 堆和 72 堆，一共有 8 种分法。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7j1o.html