运筹学课程设计

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运筹学课程设计论文

一、问题重述

一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3公斤A1，或者在乙车间用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1，A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间480小时，并且甲车间每天至多能加工100公斤A1，乙车间的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论一下3个附加问题：

1）若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？

2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？

3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？

二、问题分析

这是一个求获利最大的优化问题，要分析的问题是每天要用多少桶牛奶在哪个加工A1种类的奶制品，又要用多少桶牛奶在哪个车间加工A2种类的奶制品。问题的主要约束条件有牛奶的数量、甲乙两种设备的加工能力和人工的劳动时间。依据题目中所给的条件，建立以下模型。

三、模型假设

1.每千克奶制品的获利与它们各自的产量无关。 2.设备和人工都没有突然停止不加工的现象。 3.牛奶的供应不会中断。

四、符号说明

x1表示每天生产奶制品A1所要的牛奶桶数，x2表示每天生产A2奶制品所用的牛

奶桶数，z为每天的利润。

五、基本模型的建立

每天用x1桶的牛奶可以生产3x1千克的A1种奶制品，此时获利为24?3x1；用

x2桶牛奶可以生产4x2千克的A2种奶制品，此时获利为16?4x2，所以得到目标

函数为maxz?72x1?64x2

下面是约束条件

1.生产两种奶制品的牛奶总量不能超过50桶即x1?x2?50

2.每天加工两种奶制品的时间不能超过正式员工的总的劳动时间即12x1?8x2?480

3.A1种奶制品的产量不得超过甲设备每天的工作能力即x3?100

x1,x2均不能为负值

即x1,x2?0 综上可得

maxz?72x1?64x2?x1?x2?50?12x?8x?480?12??x3?100??x1,x2?0

六、模型求解

LINGO求出的模型的最优值为3360，最优解为x1=20, x2=30,即用20桶牛奶

生产A1种奶制品，用30桶牛奶生产A2种奶制品。

七、结果分析

从运行在最优解的情况下，slack or surplus 给出了各种资源在最优条件下的剩余情况，其中设备甲的还剩下40千克的加工能力，牛奶和正式工人的劳动时

间的剩余为0.一般称资源剩余为0的约束为有效约束，若把目标函数看做是“效益”，成为有效约束的“资源”一旦增加，“效益”必定也会增长。Dual prices为对偶价格，即“资源”增长1个单位“效益”的增加量。其中牛奶增加1个单位时利润增加48元，劳动时间增加1个单位时利润增加2元，甲设备的工作能力是非有效约束，它的增加不会带来效益的增加。这里“效益”的增加可看做“资源”的潜在价值，经济学上称影子价格即1桶牛奶的影子价格为48元，1小时劳动力的价格为2元，甲类设备的影子价格为0，以下验证上面的结论。 (1)增加一桶牛奶后的lingo编程及结果：

（2）增加1小时劳动力后的lingo编程及运行结果：

附件

2.9 某昼夜服务的公交路线每天各时间区段内所需司机和乘务员人数如表2-19所示：表2-19 班次时间所需人数

1 6:00~10:00 60 2 10:00~14:00 70 3 14:00~18:00 60 4 18:00~22:00 50 5 22:00~2:00 20 6 2:00~6:00 30 设司机和乘务员分别在个时间区段一开始上班，并连续工作8小时，问该公交路线至少配备多少名司机和乘务员。列出这个问题的线性规划模型。

解：设x1,x2,x3,x4,x5x6,分别6:00~14:00,10:00~18:00,14:00~22:00, 18:00~2:00,22:00~6:00 2:00~10:00上班的人数。依题意，目标函数为 min z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 约束条件如下：

?x1?x2?70?x?x?60?23?x3?x4?50? ?x4?x5?20?x?x?30?56?x1?x6?60??x1,x2,x3,x4,x5,x6?0LINGO编程及运行结果如下

有计算得到至少应该安排150名司机和乘务员，最优解为x1=60， x2=10 ，

x3=50，x4=0 ，x5=30，x6=0。

2.10 某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果种A、B、C含量，原料成本，各种原料每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如表2-20表示。表2-20 原料甲乙丙原料成本/(元/每月限制用千克) 量/千克 A 2.00 2000 ?60% ?15% B 1.50 2500 C 1.00 1200 ?20% ?60% ?50% 加工费/(元/千0.50 0.40 0.30 克) 3.40 2.85 2.25 售价/（元/千克）问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？试建立这个问题的线性规划的数学模型。

解：设甲牌号的糖果中A,B,C原料的含量分别为x1,x2,x3，乙牌号糖果中

A,B,C原料的含量分别为x4,x5,x6，丙牌号的糖果中A,B,C原料的含量分别为

x7,x8,x9根据题意得出目标函数为

maxz=3.14(x1?x2?x3)+2.85(x4+x5+x6)+2.25(x7?x8?x9)-2(x1?x4?x7)-1.5(x2?x5?x8)-(x3?x6?x9)-0.5(x1?x2?x3)-0.4(x4+x5+x6)-0.3(

x7?x8?x9)

化简整理得

max z=0.9x1?1.4x2?1.9x3?0.45x4?0.95x5?1.45x6?0.07x7?0.45x8?.095x9根据表2-20可知

，

x1?0.6?x1?x2?x3?,

x3?0.2?x1?x2?x3?,

x4?0.15?x4?x5?x6?x6?0.6?x4?x5?x6? ,x9?0.5?x7?x8?x9?

?-0.4x1+0.6x2+0.6x3?0?0.8x-0.2x-0.2x?0312??-0.85x4+0.15x5+0.15x6?0??0.4x6-0.6x4-0.6x5?0?整理得到约束条件?0.5x9-0.5x8-0.5x7?0

?x+x+x?2000?147?x2+x5+x8?2500??x3+x6+x9?1200??x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9?0

由运行结果可知该厂获得的最大利润为6160。其最优解为x1=1526.7，

x2=1017.8,x3=0x4473.3,x5=1482.2,x6=1200,x7=0,x8=0,x9=0。即生产甲牌号的糖果2544.5千克，乙牌号的糖果3155.5千克，不生产丙牌号的糖果。

2.11某厂生产三种产品Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ。每种产品要经过A、B两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A工序，它们以 A1，A2表示；有三种规格的设备能完成Ｂ工序，它们以B1， B2，B3表示。产品Ⅰ可在A、B任何一种规格设备上加工。产品Ⅱ可在任何规格的Ａ设备上加工，但完成Ｂ工序时，只能在B1设备上加工；产品Ⅲ只能在A2与B2设备上加工。已知各种机床设备的单件工时，原材料，产品销售价格，各种设备有效台时以及负荷操作时各种机床设备的费用用表２－２１表示，要求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。

表2-21 设备产品设备有效台时/台满负荷时的设备费用/元 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 时 A1 A2 B1 B2 B3 5 7 6 4 7 10 9 8 12 11 6000 10000 4000 7000 4000 300 321 250 783 200 原料费/(元/0.25 0.35 0.50 件) 1.25 2.00 2.80 单价/（元/件)

B1，解：设Ⅰ产品在A1，A2， B2，B3设备上加工的件数分别为x1,x2,x3,x4,x5，

产品Ⅱ在A1，A2，B1设备上加工的件数分别为x6,x7,x8，产品Ⅲ在A2和B2设备上加工的件数为x9,x10。

300?5x1+10x6? 6000321A2设备的费用为?7x2+9x7+12x9?

10000250B1设备的费用为?6x3+8x8?

4000783B2设备的费用为?4x4+11x10?

7000200B3设备的费用为 ?7x5?

4000目标函数为

A1设备的费用为

maxz=1.25?x1+x2?+2x8+2.8x9-0.25?x1+x2?300321?5x1+10x6?-?7x2+9x7+12x9?

600010000250783200-?6x3+8x8?-?4x4+11x10?-?7x5?400070004000-0.35x8-0.5x9-

约束条件为

?5x1+10x6?6000?7x+9x+12x?1000079?2?6x3+8x8?4000??4x4+11x10?7000? ?7x5?4000?x+x=x+x+x?12345?x6+x7=x8??x9=x10??x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10?0

由运行结果可知最大利润为794，最优解为

4.7某造船厂根据合同从当年起连续三年年末各提供三艘规格型号相同的大型客货轮。已知该厂这三年内生产大型客货轮的能力及每艘客轮成本如表4-50所示。

表4-50 年度正常生产时间内加班生产时间内正常生产时每艘可完成的客货轮可完成的客货轮成本/万元数/艘数/艘 1 2 3 500 2 4 2 600 3 1 3 550 已知加班生产时，每艘客货轮成本比正常生产时高出70万元。又知造出来的客货轮如当年不交货，每艘每积压一年造成损失为40万元。在签订合同时，该厂已储备了两艘客货轮，而该厂希望在第三年年末完成合同还能储备一艘备用。问该厂应如何安排每年客货轮的生产量，使在满足上述各项要求的情况下，总的生产费用加积压损失最少？

解：把这个问题转化成产销平衡的问题如下表所示，其中A1,A2,A3分别为第一，二，三年正常生产时客货轮的生产，A4,A5,A6分别为第一，二，三年加班生产时客货轮的生产，

A7为储存的两艘客货船。产销平衡表如下

1 2 3 4 产量产地成本销地 A1A2A3A4A5A6A7500 M M 570 M M 0 540 600 M 610 670 M 40 3 580 640 550 650 710 620 80 4 0 0 0 0 0 0 0 7 2 4 1 3 2 3 2 销量 3

设出以下变量

xij为第i年生产的客货船在第j年被提供，cij为第i年生产的客货轮在第j年被被提供的本

，

aj为第j年的需求量，bj为第j年的合同量。

74目标函数为minz???cijxij

i?1j?1?4??xij?aj?j?1?7约束条件??xij?bj

?i?1?xij?0??

由运行结果可知总生产费用积压最少为4650万元。第一年正常生产2艘，并在第一年年末提供给合同方，加班生产3艘并积压，第二年正常生产4艘，年末提供2艘，积压2艘，加班生产2艘并积压，第三年正常生产1艘并于年末提供，加班生产3艘并在年末提供，积压的2艘在第一年年末和第二年年末各提供1艘。

6.9有4个工人，要指派他们去完成4种工作，每人做各种工作消耗的时间如表6-19所示，问指派那个人去做哪种工作，可使消耗的时间为最小？

表6-19 工人甲乙丙丁工种 A 15 19 26 19 B 18 23 17 21 C 21 22 16 23 D 24 18 19 17 ?1当指派第i人去完成第j种工作解： xij??

?0当不指派第i人去完成第j种工作建立数学模型：

minz=??cijxij

ij??xij?1,j?1,2,3,4?i???xij?1,i?1,2,3,4 ?j?x?0或1?ij

有运行结果知：可消耗的最少时间为70小时，最有安排为甲做B工作，乙做A工作，丙做C工作，丁做D工作。

3.11已知某工厂计划生产Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三种产品，各产品需要在A,B,C设备上加工，有关数据见表3-29。试回答：设备代号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 设备有效台时/月 A 8 2 10 300 B 10 5 8 400 C 2 13 10 420 单位产品利润/千元 3 2 2.9 （1）如何充分发挥设备能力，使生产赢利最大？（2）若为了增加产量，可借用其他工厂的设备B，每月可借用60台时，租金为1.8万元，问借用B设备是否合算？

（3）若另有两种新产品Ⅳ，Ⅴ，其中Ⅳ需用设备A为12台时；B为5台时；C为10台时，单位产品赢利2.1千元；新产品Ⅴ需用设备A为4台时，B为4台时，C为12台时，单位产品赢利1.87千元。如A,B,C设备台时不增加，分别回答这两种新产品投产在经济上是否合算。

（4）对产品工艺重新进行设计，改进结构。改进后生产每件产品Ⅰ，需用设备A为9台时，设备B为12台时，设备C为4台时，单位产品赢利4.5千元，问这对原计划有何影响？

解：(1)设生产Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ三种产品的数量分别为x1,x2,x3,x4,x5建立模型 maxz?3x1?2x2?2.9x3

?8x1?2x2?10x3?300??10x1?5x2?8x3?400?2x?13x?10x?42023?1 在LINGO软件中编程及运行结果

最大利润为135.5千元，即生产Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ种产品的数量分别为24,24,5.

（2）借用其他工厂的B设备后

minz?3x1?2x2?2.9x3?18?8x1?2x2?10x3?300??10x1?5x2?8x3?460?2x?13x?10x?42023?1

借用B设备后，最大利润减少了7.5千元，所以借用B设备不合算。

（3）增加产品Ⅳ后

maxz?3x1?2x2?2.9x3?2.1x4?8x1?2x2?10x3?12x4?300??10x1?5x2?8x3?5x4?400?2x?13x?10x?10x?420234?1

增加Ⅳ产品后，利润增加了0.1千元，所以增加Ⅳ产品合算。

增加产品Ⅴ后