浙江省五校2011届高三第一次联考数学理试题

高中 数学 理科 有难度

浙江省五校

2010—2011学年度高三第一次联考

数学试题（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间为120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：

如果事件A,B互斥，那么P(A B) P(A) P(B) 如果事件A,B相互独立，那么P(A B) P(A) P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率为p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生

k次的概率

kkn k

P(k 0,1,2,n(k) Cnp(1 p)

,n)

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合要求的． 1．已知复数z

2i

，则z z的值为 1 i

B．

C．2

x

D． 2

（ ）

A．0

2

2．已知集合A {xy lg(4 x)}，B {yy 3,x 0}时，A

A．{xx 2} C．{x1 x 2}

B

（ ）

B．{x1 x 2} D．

（ ）

3．已知p,q为两个命题，则“p是真命题”是“p q是真命题”的

A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

4．已知等比数列 an 中，a1 1，且2a2,3a3,4a4成等差数列，则a3等于

（ ）

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11 C．1 D．或1 44

5．位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向

21

向左或向右，并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则质点P移动五次后

33

A．0

B．

位于点(1,0)的概率是

B．

（ ）

4

24340C．

243

A．8

24380D．

243

23

,tanC ，则 54

D．C B A

6．已知 ABC中，sinB

A．A C B C．B C A

（ ）

B．A B C

7．已知f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x (0,)时，f(x) ln(x2 x 1)，

则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是

A．3

B．5

C．7

D．9

（ ）

3

2

8．若函数y f(x)图像上的任意一点P的坐标(x,y)满足条件x2 y2，则称函数f(x)具

有性质S，那么下列函数中具有性质S的是

A．f(x) ex 1 C．f(x) sinx

（ ）

B．f(x) ln(x 1) D．f(x) tanx

9．如右图所示，A,B,C是圆O上的三点，CO的延长线与 10

线段AB交于圆内一点D,若OC xOA yOB，则（ ） A．0 x y 1 B．x y 1

．

已

知

C．x y 1

9

D． 1 x y 0

2

2

(x

2 a)0

1

ax ，a

则 9x

a

(a1

9

3a3

5a52 (2a2 7a4 7a4

B．3

10

11

2

9a6) 8a89a6 的值为

12

)

（ ）

A．3 C．3 D．3

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

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11．某算法的程序框图如右图所示，输出结果为． 12．函数f(x) (sinx cosx)2 2sin2x的单调递增区间

为．

11

13．设x 2cosA成立，可得x2 2 2cos2A，

xx11

x3 3 2cos3A,,由此推得xn n(n N*) ．

xx

14．设a,b,c为三个非零向量，且a b c 0,a 2,b c 2，

则b c的最大值是 ．

15．关于

x的方程x3 px 2 0有三个不同实数解，则实数p的取值范围

为 ．

16．已知数列 an 中，a1 1,a2 3，对任意n N*，an 2 an 3 2n,an 1 2an 1都

成立，则a11 a10 ．

17．三对夫妇去上海世博会参观，在中国馆前拍照留念，6人排成一排，若每位女士的旁边

不能是其他女士的丈夫，则不同的排法种数为 ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知向量m (2, 1),n (sin

A

,cos(B C))， 2

A,B,C为 ABC的内角，其所对的边为a,b,c

（1）若A

2

，求n；（2）当m n取得最大值时，求角A的大小； 3

22

（3）在（2）成立的条件下，当a b c的取值范围．

19．某旅游公司为四个旅行团提供A,B,C,D四条旅游路线，每个旅行团任选其中一条，

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（1）四个旅行团选择的旅行路线各不相同的概率；

（2）设旅行团选择旅游线路的总数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望．

20．数列 an 的前n项和为Sn，a1 1，an 1 2Sn 1，等差数列 bn 满足b3 3,b5 9， （1）分别求数列 an ， bn 的通项公式；

*

（2）若对任意的n N，(Sn ) k bn恒成立，求实数k的取值范围．

12

21．已知函数f(x) ln(x 1),g(x) e 1， （1）若F(x) f(x) px，求F(x)的单调区间；

（2）对于任意的x2 x1 0，比较f(x2) f(x1)与g(x2 x1)的大小，并说明理由．

x

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22．已知定义域为(0, )的函数f(x)满足：

（1）对任意x (0, )，恒有f(10x) 10f(x)； （2）当x (1,10]时，f(x) x lgx （I）求f(100)，f(

1

)的值； 100

（II）记区间Ik (10k,10k 1]，其中k Z，当x Ik时，求f(x)的解析式； （III）当x Ik（k 0,1,2,3,

）时, f(x)的取值构成区间Dk，定义区间(a,b]的区

间长度为b a，设区间Dk在区间Ik上的补集的区间长度为ak，求证：

lga0lga1lga2

a0a1a2

lgan10

． 81an

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参考答案

二、填空题

11．2； 12．[

3

k , k ](k Z)； 13．2cosnA； 14．； 88

15．p 3； 16．1024； 17．60． 三、解答题 18．（1）A

12

), n 1；---------------4分 时，n 32AAA

cos(B C) 2sin2 2sin 1，-------------6分 222

（2）m n 2sin

当sin

A1

，即A 时，m n取得最大值；--------------------8分 223

（3）由

abc 2, b 2sinBc, 2siCn，----------------10sinAsinBsinCsi3

分

b2 c2 4sin2B 4sin2C 4 2sin(2B )，---------------12分

6

2 1

0 B , sin(2B ) 1, 3 b2 c2 6．-------------------14分

326

4

A43

19．（1）记事件A：四个旅行团选择的旅行路线各不相同，P(A) 4 ；----------6

432

分 （2

-----------------7分

2C412C(2 C4)A2

1C4A2121

P( 1) 4 ，P( 2) ， 4

464464

2

4

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3234C4C4A3A493

，，------------------11分 P( 3) P( 4) 44

416432

E 1

12193175

．----------------14分 2 3 4

6464163264

20．（1）由an 1 2Sn 1----①得an 2Sn 1 1----②，

① ②得an 1 an 2(Sn Sn 1)， an 1 3an, an 3n 1；----------------3分

b5 b3 2d 6, d 3, bn 3 (n 3) 3 3n 6； -----------------6分

a1(1 qn)1 3n3n 1

（2）Sn ， -------------8分

1 q1 32

3n 113n 6

即 k 对n N*恒成立，--------10 ( )k 3n 6对n N*恒成立，n

322

分 令cn

3n 63n 9 2n 73n 6

c c n 1 ，， nn 1

3n33n3n

当n 3时，cn cn 1，当n 4时，cn cn 1，--------------12分

(cn)max c3

22

，k ．----------14分 99

1px p 1

p ，-----------2x 1x 1

21．（1）F(x) f(x) px ln(x 1) px， F (x)

分

①当p 0时，F (x) 0在( 1, )上恒成立，

F(x)的递增区间为( 1, )；---------3分

②当p 0时，F(x)的递增区间为( 1, )；--------------6分 ③当p 0时，F(x)的递增区间为( 1, 1

1)， p

递减区间为( 1

1

, )；------------8分 p

x

（2）令G(x) g(x) f(x) e 1 ln(x 1)(x 1)，

1exx ex 1

G (x) e ，

x 1x 1

x

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令H(x) exx ex 1(x 1)，H (x) ex(x 2) 0在( 1, )上恒成立，

当x 0时，H(x) H(0) 0成立， G (x) 0在x 0上恒成立， G(x)在(0, )上单调递增， 当x 0时，G(x) G(0) 0恒成立， 当x 0时，g(x) f(x) 0恒成立，

对于任意的x2 x1 0时，g(x2 x1) f(x2 x1)，---------------12分

又x2 x1 1

x2 1x1(x2 x1)

0， x1 1x1 1

x2 1

ln(x2 1) ln(x1 1)， x1 1

ln(x2 x1 1) ln

f(x2 x1) f(x2) f(x1)，即g(x2 x1) f(x2) f(x1)．--------------15分

22．（1） f(100) 10f(10) 109 90, f(10) 10f(1) 100f(

11) 1000f() 10100

19

f() -------------4分 1001000

（2） x Ik且 k N 则f(x) 10f(

x) 10

xx x

10kf(k) 10k k lgk

1010 10

x 10klgx k10k-----------6分 x Ik且 k Z,k 0 时 由 f(x) 10f(

得 f(x)

x) 10

1

f(10x) 10x

10kf(k)

10

k

即 f(x) x 1k0lxg k

0-------------8分 1

故 x Ik且 k Z 有 f(x) x 10klgx k10k -------------9分

'k（3） x Ik且 k N时, f(x) 1 10

1

0 故Dk 10k,910k xln10

k

Dk在区间Ik上的补集为 910k,10k 1 --------------12分 a 10 k

T

lga0lga1lga2

a0a1a2

lgan12

2 an1010

n

n10

T12 2 3 101010n91 T n 1

101010

1n1 1 n

1 nn 1n n 1

10109 10 10

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91lga0lga1lga2

T T 109a0a1a2

lgan10

． -------------15分 an81

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