2022—2022年兴义地区重点中学高考一轮复习教学案——平面向量及

2019—2020年兴义地区重点中学高考一轮复习教学

案——平面向量及运算的坐标表示

一.明确复习目标

1．明白得平面向量的坐标概念;

2.把握平面向量的坐标运算,把握共线向量的坐标表示；

二．建构知识网络

1.平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分不取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底。由平面向量的差不多定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi y j =+，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标。

(1) 假设a xi y j =+,那么2||a x y =+

(2)假设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)那么2121(,)AB x x y y =--,

||(AB x =表示相等向量的有向线段的始点、终点的坐标未必相同.

(3) 向量相等 坐标相同。

2.平面向量的坐标运算

(1) 假设()()2211,,,y x b y x a ==，那么()2121,y y x x b a ±±=±

(2) 假设a =(x,y)，那么λa =(λx, λy)

(3) 假设()()2211,,,y x b y x a ==，那么1212a b x x y y ?=?+?

3. 设()()2211,,,y x b y x a ==那么

向量共线:1221//0a b x y x y ?-=

向量垂直:⊥，? 02121=?+?y y x x

三、双基题目练练手

1.(2006山东)设向量a =〔1,-3〕，b =〔-2,4〕，c =〔-1,-2〕，假设表示向量4a 、4b -2c 、2〔a -c 〕、d 的有向线段依次首尾相接能构成四边形，那么向量d 为 ( )

A.〔2,6〕

B.〔-2,6〕

C.〔2,-6〕

D.〔-2,-6〕

2.平面上A 〔-2，1〕，B 〔1，4〕，D 〔4，-3〕，C 点满足2

1AC =→--→--CB ，连DC 并延长至E ，使|→--CE |=4

1|→--ED |，那么点E 坐标为： ( ) A 、〔-8，35-〕 B 、〔311,38-〕 C 、〔0，1〕 D 、〔0，1〕或〔2，311〕

3.向量a 、b 满足|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，那么|a +b |等于 ( )

A.1

B.2

C.5

D.6

剖析：欲求|a +b |，一是设出a 、b 的坐标求，二是直截了当依照向量模运算.

4.(2005全国Ⅲ)向量(,12),(4,5),(,10),OA k OB OC k ===-，且A.B.C 三点共线，那么k= .

5.(2005湖北)．向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过5，那么k 的取值范畴是

6.设→--OA =〔3，1〕，→--OB =〔-1，2〕，→--OC ⊥→--OB ，→--BC ∥→--OA ，O 为坐标原点，那么满足→--OD +→--OA =→--OC 的→--OD 的坐标是＿＿＿＿

7.向量()2,3=a ，()1,1-=b ,向量m 与b a 23-平行,︱m ︱=4137那么向量m 的坐标是_____________

◆例题答案:1-3.DBD;

3.∵|a +b |2+|a －b |2=2〔|a |2+|b |2〕，∴|a +b |2=2〔|a |2+|b |2〕－|a －b |2=6. 法2:利用22||a a =

4. 23

-; 5. [－6，2]; 6.〔１１，６〕. 7.()16,44=m 或()16,44--=m 四、经典例题做一做

【例1】平面内给定三个向量()()()1,4,2,1,2,3=-==，回答以下咨询题：

〔1〕求满足n m +=的实数m,n ；

〔2〕假设()()

a b c k a -+2//，求实数k ；

〔3〕假设满足()()+-//

5=-，求

解：〔1〕由题意得()()()1,42,12,3n m +-= 因此???=+=+-2234n m n m ，得??

???==9895n m 〔2〕()()2,52,2,43-=-++=+a b k k c k a

()()()13

16,025432-=∴=+--+?∴k k k 〔3〕设(,)d x y =那么()()4,2,1,4=+--=-y x

由题意得()()()()???=-+-=---5140124422y x y x

得???-==13y x 或???==3

5y x , (3,1)(5,3)d =-或 ◆方法提炼：1.利用平面向量差不多定理,

2.利用共线向量定理. 【例2】〔2006全国Ⅱ〕向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-

<<。

〔Ⅰ〕假设a b ⊥，求θ； 〔Ⅱ〕求a b +的最大值。 解：〔Ⅰ〕,sin cos 0a b θθ⊥若则＋＝，

得 tan 1π

π

θθ=- (-<<),22 因此 ;4π

θ=-

〔Ⅱ〕 由(sin ,1),(1,cos )a b θθ==得

2||sin a b θ+==

sin()1,4a b πθ+=+当时取最大值，max , 1.4

a b πθ=+=即当时 ◆解题评注：向量一三角函数综合是一类常考的题目，要明白得向量及运算的几何意义，要能熟练解答。 【例3】ABC ?中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,-1),BC 边上的高为AD ，求。 解：设D(x,y), 那么()()()3,,2,3,1,2--=--=+-=b BC y x BD y x AD //,⊥

()()()()???=-+--=+---∴0263301326y x y x 得?

??==11y x 因此()2,1-=

【例4】如图，设抛物线y 2=2px 〔p>0〕的焦点为F 通过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明直线AC 通过原点O 解法一：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),F(

2p 0)，那么C(,2p -y 2) 那么1122(,),(,)22

p p FA x y FB x y --→--→=-=- ∵ →--FA 与→--FB 共线, ∴ 0y )2

p x (y )2p x (1221=---

即2

211y )2p x (y )2p x (-=- 〔*〕 代p

2y x ,p 2y x 2

22211==整理得，y 1·y 2=-p 2 ∵112(,),(,)2

p OA x y OC y --→--→

==- 21121210222

p y p p x y y y p y --=?-= ∴ →--OA 与→--OC 共线，即A 、O 、C 三点共线，

也确实是讲直线AC 通过原点O

解法二：设A(x 1,y 1)，C(2

p -,y 2)，B(x 2,y 2) 欲证A 、O 、C 共线，只需且仅需OC OA

k k =，即2p y x y 211-=,又p 2y x 211= ∴ 只需且仅需y 1y 2=-p 2，用韦达定理易证明

解题评注：两向量共线的应用专门广泛，它能够处理线段〔直线〕平行，三点共线〔多点共线〕咨询题，使用向量的有关知识和运算方法，往往能够幸免繁冗的运算，降低运算量，不仅方法新颖，而且简单明了。向量与解析几何的综合是又一命题热点。

核心步骤:

【研讨.观赏】(2005上海)在直角坐标平面中，点P 1(1,2),P 2(2,22), P 3(3,23)……P n (n,2n )，其中n 是正整数，对平面上任一点A 0，记A 1为A 0关于点P 1的对称点，A 2为A 1关于点P 2的对称点，．．．，A n 为A n-1关于点P n 的对称点。

〔1〕求向量20A A 的坐标；

〔2〕当点A 0在曲线C 上移动时，点A 2的轨迹是函数y=f(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x ∈(0,3]时，f(x)=lgx 。求以曲线C 为图象的函数在(]4,1上的解析式；

〔3〕对任意偶数n ，用n 表示向量n A A 0的坐标。

解.(1)设点A 0(x,y), A 0关于点P 1的对称点A 1的坐标为(2-x,4-y),

A 1为P 2关于点的对称点A 2的坐标为(2+x,4+y),

∴20A A ={2,4}.

(2) ∵20A A ={2,4},

∴f(x)的图象由曲线C 向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.

又x ∈(3k,3k+3)时,x-3k ∈(0,3), f(x)周期是3,因此f(x)=f(x-3k)=lg(x-3k)

设曲线C 的函数是y=g(x),那么

g(x)=f(x+2)-4=lg(x+2-3k)-4, [现在x+2∈(3k,3k+3), 即 x ∈3k-2,3k+1),]

是以3为周期的周期函数.

当x ∈(1,4]时,g(x)=lg(x+2-3)-4=lg(x-1)-4.

(3)n A A 0 =n n A A A A A A 24220-+++ , 由于k k k k P P A A 2122222--=,得

n A A 0 =2(n n P P P P P P 14321-+++ )

=2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n-1}) =2{2

n ,3)12(2-n }={n,3)12(4-n } 五．提炼总结以为师

1、熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法那么进行运算。

2、两个向量平行的坐标表示。

3、运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。

同步练习

5.2平面向量的坐标表示 【选择题】

1.〔2004年天津，理3〕假设平面向量b 与向量a =〔1，－2〕的夹角是180°，且|b |=35，那么b 等于 ( )

A.〔－3，6〕

B.〔3，－6〕

C.〔6，－3〕

D.〔－6，3〕

2.正方形PQRS 对角线交点为M ，坐标原点O 不在正方形内部，且→--OP =〔0，3〕，→--OS =〔4，0〕，那么→--RM = 〔 〕

A 、〔21,27--〕

B 、〔21,27〕

C 、〔7，4〕

D 、〔2

7,27〕 3. 〔2004年辽宁，6〕点A 〔－2，0〕，B 〔3，0〕，动点P 〔x ，y 〕满足·=x 2，那么点P 的轨迹是 ( )

A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

4.〔2004全国Ⅱ〕平面上直线l 的方向向量e =〔－54，5

3〕，点O 〔0，0〕和A 〔1，－2〕在l 上的射影分不是O '和A ′，那么O A ''=λe ，其中λ等于 ( ) A.511 B.－511 C.2 D.－2

【填空题】 5.()(),1,,2,1x b a ==且2+与-2平行，那么x=______

6．〔2005天津〕在直角坐标系xOy 中，点A(0,1)和点B(-3,4)，假设点C 在∠AOB 的平分线上且| |=2,那么=

◆练习简答：1-4.AADD;

4.∵e 是单位向量,∴OA 在e 上的投影为λ=46255

e OA ?=--=-, 5.12; 6. )5103,510(- 【解答题】

7.平面上四点A(1,2),B(5,8),C(-2,6),D(a,b),求当四边形ABCD 为凸四边形且BD 平分AC 时,实数a,b 应满足的条件.

解:设AC,BD 交于点E,易得111()(,4)22

BE BA BC =

+=--,又(5,8)BD a b =-- 设11(5,8)(,4)2BD BE a b λλλ=--=--得,(λ>1) ∴115811480284a a b b λλλ?-=-?-+=??-=-?

消得且1,42a b <-<

8.点A(2,3),B(5,4),C(7,10),假设()AP AB AC R λλ=+?∈,试咨询

(1)λ为何值时,点P 在一、三象限角平分线上？

〔2〕λ为何值时，点P 第三象限？

解.设点P 的坐标为〔x,y 〕，那么(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--

(5,4)(2,3)[(7,10)(2,3)]AB AC λλ+=-+-

(35,17)λλ=++，由AP AB AC λ=+?得

2355531747x x y y λλλλ-=+=+?????-=+=+??

，点P 坐标为〔5+5λ,4+7λ〕.

9.( 2005山东)向量(cos ,sin )m θθ=和(2sin ,cos ),(,2)n θθθππ=-∈，且825m n +=，求cos()28θπ+的值

解: 因为(cos sin sin ),m n θθθθ+=-+

(cos m n θ+=

===由82m n +=，得7cos()425πθ+= 又2cos()2cos ()1428

πθπ

θ+=+- 因此 216cos ()2825

θπ+= ∵ 592,8288πθπππθπ<<∴<+<因此4cos()285θπ+=- 10. .A 〔4，0〕，N 〔1，0〕，假设点P 满足AN ·AP =6|PN |.

〔1〕求点P 的轨迹方程，并讲明该轨迹是什么曲线；

〔2〕求||的取值范畴；

解：〔1〕设P 〔x ，y 〕，=〔x －4，y 〕，=〔1－x ，－y 〕，=〔－3，0〕，∵·=6||，

∴－3〔x －4〕=6221）

（）（y x -+-，即3x 2+4y 2=12. ∴3

42

2y x +=1.∴P 点的轨迹是以〔－1，0〕、〔1，0〕为焦点，长轴长为4的椭圆. 〔2〕N 〔1，0〕为椭圆的右焦点，x =4为右准线，设P 〔x 0，y 0〕，P 到右准线的距离为d ，d =4－x 0，d PN ||=e =21，|PN |=2

1d =240x -.∵－2≤x 0≤2，∴1≤|PN |≤3. 当|PN |=1时，P 〔2，0〕；当|PN |=3时，P 〔－2，0〕.

【探究题】向量(,)u x y =与(,2)v y y x =-的对应关系用()v f u =表示

（1） 证明：关于任意向量,a b 及常数m ，n 恒有

()()()f ma nb mf a nf b +=+成立；

（2） 设(1,1),(1,0)a b ==，求向量()f a 及()f b 的坐标； 求使()(,)f c p q =，〔p ，q 为常数〕的向量c 的坐标

证：〔1〕设1212(,),(,)a a a b b b ==，那么

1122(,)ma nb ma nb ma nb +=++，故

222211()(,22)f ma nb ma nb ma nb ma nb +=++-- )2,()2,(122122b b b n a a a m -+-=，

∴()()()f ma nb mf a nf b +=+

〔2〕由得()f a =〔1，1〕，()f b =〔0，－1〕

〔3〕设c =〔x ，y 〕，那么()(,2)(,)f c y y x p q =-=， ∴y=p ，x=2p －q ，即c =〔2P －q ，p 〕

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7ixl.html