关于矩阵AB和BA的特征值与特征向量的讨论

关于矩阵AB和BA的特征值与特征向量的讨论

福建农林大学 尤天革

一、特征值与特征向量的概念

1、特征值与特征向量定义：设V是数域F上的n维向量空间，?为其线性变换，A是?在基??i?下的方阵表示。若λ∈F及非零向量?∈V使

??=λ? 或Ax=λx

（x是?在基??i?下的坐标列），则称λ为?或A的特征值或特征根，?称为?的属于λ的特征

向量，x称为A的特征向量。

2、结论：设?是数域F上的线性变换，A是线性变换?在基?1，?2，…，?n下的矩阵，则线性

变换?与其对应的n阶矩阵A有相同的特征值，且n阶矩阵A的特征向量X是?的特征向量在基?1，?2，…，?n下的坐标。

特征值与特征向量是本书教学的一个中心，它是本书前面所学知识的一个应用，有关

特征值与特征向量的一些习题的证法或求法应当是前面所学的总结。下面举6个例子说明。

二、特征值与特征向量的几个例子

例1 试证：当n阶方阵A、B均为对称阵时，AB与BA有相同的特征值。

证明1：由特征多项式︱AB－λE︱=︱(AB??E)'︱=︱B'A'??E︱=︱BA－λE︱ 于是AB与BA有相同的特征多项式，从而它们有相同的特征值。 证明2：已证明过，方阵与它的转置方阵有相同的特征值 因此AB与(AB)'有相同的特征值，而(AB)'=B'A'=BA 于是AB与BA有相同的特征值

证明3：设X是方阵AB对应于特征值λ的特征向量，则λX=ABX=A'B'X=(BA)'X 由定义知道，AB与(BA)'有相同的特征值，而(BA)'与BA有相同的特征值， 因此AB与BA有相同的特征值。

例2 试证n阶方阵A、B有一个可逆时，AB与BA有相同的特征值。

证明1： 不妨设A可逆（由对称性，B可逆同样）

︱AB－λE︱=︱ABAA?1?A(?E)A?1︱=︱A(BA??E)A?1︱ =︱A︱︱BA－λE︱︱A?1︱=︱BA－λE︱

因此AB与BA有相同的特征多项式，则AB与BA有相同的特征值。

?0证明2：因为有等式??EEB0E??EB??0E???E?????=?0??A?E??E0??BE02A?? E? 两边取行列式得

=

EBA?EE而

A?E=

?EBAEAE

EBA?E=︱λE－AB︱，

?EB=︱λE－BA︱（此处使用了一个

结论，即若A、B、C、D都是n阶方阵，且AC=CA，则有

AB=AD?CB，此处不证明） CD 所以︱λE－AB︱=︱λE－BA︱，即AB与BA有相同的特征值。

例3 试证：当A、B均为n阶方阵时，AB与BA有相同的特征值。

证明1：（1）先证：n阶方阵AB-E与BA-E具有相同的可逆性

其实，只要证AB-E可逆时，(BA?E)?1?B(AB?E)?1A?E 考察(BA?E)[B(AB?E)?1A?E]=(BA?BB?1)[B(AB?B?1B)?1A?E]

=B(A?B?1)[BB?1(A?B?1)?1A?E]=B(A?B?1)[(A?B?1)?1A?E] =BA?B(A?B?1)=E。

（2）证：当A、B均为n阶方阵时，AB与BA有相同的特征值。分二部进行，

设λ是AB的一个特征值，

（ⅰ）当λ=0时，有0=︱AB－0Ｅ︱=︱AB︱=︱BA︱=︱BA－λＥ︱ 因此，λ=0也是BA的特征值。

（ⅱ）当λ≠0时，利用(1A)B?E与B(1A)?E有相同的可逆性，

?? 因为︱AB??E︱=?n︱(1A)B?E︱=0，?n≠0

?则︱(1A)B?E︱=0，推出︱B(1A)?E︱=0

?? 因此︱BA??E︱=?n︱B(1A)?E︱=0

?所以λ也是BA的特征值

证明2：（定义法）设λ是AB的一个特征值，X是对应于λ的一个特征向量 则(AB)X=λX，等式两边左乘B，得到

BA(BX)??(BX) ⑴

（ⅰ）当BX=0时，λX=A(BX)=0，而X≠0，则λ=0，于是 ︱AB－0E︱=︱AB︱=︱BA︱=︱BA－0E︱=0 所以λ=0是BA的特征值。

（ⅱ）当BX≠0时，由⑴式根据定义，

有非零向量BX就是BA对应于特征值λ的特征向量 所以λ也是BA的特征值。

证明3：（使用矩阵的标准性证明）

设R（A）=r，则存在可逆阵P、Q使

?E PAQ=IA=?r?00?? 0? 于是PABP?1=PAQQ?1BP?1=IAC Q?1BAQ=Q?1BP?1PAQ=CIA 其中记C=Q?1BP?1=(Cij)

?c11c12??c21c22?......?又IAC=?cr1cr2?00??......?00?T︱IAC??E︱=??...c1n??...c2n??c11c12?......?c21c22?...crn?，CIA=??......?...0???cn1cn2......?00????=

n?r?(??)︱T︱ ??...c1r...c2r.........cnr0...0??0...0? ?.........?0...0??0?c11???c21?其中T=

?...??cr1c1r??c1r?1c1r?2??c2r?1c2r?2c22??...c2r??，???...............???cr2...crr????crr?1crr?2c12......c1n??...c2n?

......??...crn?????（n-r）阶对角阵??????T︱CIA??E︱=????...????...?

?...?...???0?n?r?=(??)︱T︱ ???cr?1,1cr?1,2?cr?2,1cr?2,2其中????......??ccn,2?n,1...cr?1,r??...cr?2,r?

......??...cn,r??IAC与CIA有相同的特征多项式，而

︱IAC??E︱=︱PABP?1??E︱=︱PABP?1?P(?E)P?1︱

=︱P︱︱AB－λE︱︱P?1︱=︱AB－λE︱

同理可得︱CIA??E︱=︱BA－λE︱

于是AB与BA有相同的特征多项式

因此AB与BA有相同的特征值。

例4 设A、B均为n阶方阵，且A的n个特征值两两互异，试证明：A的特征向量恒为B的特征向量的必要与充分条件是AB=BA。

证明：设A的特征向量恒为B的特征向量。令X1，X2，…，Xn是A的分别属于其不

同特征值?1，?2，…，?n的特征向量，则X1，X2，…，Xn线性无关。

故P=（X1，X2，…，Xn）可逆，且

??10...0???0?...02? AP=P??....???00...?n?? 由题设，可令BXi=?iXi（i=1，2，…，n）则

??1?0? BP=P?.??00...?2.00??...0?，于是

..??...?n?0...??10...0???1???0?...02?= P?0 BAP=BP??.?....????00...?n???0??10...0???1???0?...02??0 =P??....??.???00...?n??0?0?2.0...0???10...0????...0??0?2...0?

..??....????...?n??00...?n??2.00??...0?=ABP ?..?...?n? 因P可逆，故AB=BA。

反之，设AB=BA。令V?i是A的对应于其特征值?i的特征子空间（i=1，2，…，n），

由于?1，?2，…，?n两两互异，故V?i是一维的，于是可令

V?i=L（Xi）

由于AB=BA，所以ABXi=BAXi=B?iXi=?iBXi，即BXi∈V?i 故BXi=?iXi（i=1，2，…，n）。因此

A的特征向量都是B的特征向量。

例4的另一种叙述（用线性变换叙述）设V是数域F上的n维向量空间，σ，τ是V的线性

变换，σ的特征值互异。证明：σ的特征向量都是τ的特征向量的必要与充分条件是

στ=τσ。 证明：设?1，?2，…，?n为σ的n个互异的特征值，则σ的特征子空间

V?i（i=1，2，…，n）都是一维的。

设σ的特征向量都是τ的特征向量。因为σ可以对角化， 即V中有基?1，?2，…，?n，使σ关于这个基的矩阵为

??10...0???0?...02? A=??....???00...?n?? 即?1，…，…，从也是τ 的?2，?n是σ的分别属于特征根?1，?2，?n的特征向量，

特征向量：???i????ii，i=1，2，…，n，于是 τ关于基?1，?2，…，?n的矩阵为

??1?0 B=??.??00...?2.00??...0? ?..?...?n?则AB=BA，所以στ=τσ。

反之，设στ=τσ，令ξ为σ的属于特征根?i的特征向量，则ξ∈V?i 由dimV?i=1知V?i=L（ξ）。另一方面，?(?(?))=?(?(?))=?i???? 所以????∈V?i，从而????=μξ，即ξ为τ的特征向量。

因此σ的特征向量都是τ的特征向量

例5 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵。证明：AB的特征多项式fAB???与BA的特征多项式

fBA???有如下关系

?nfAB?????mfBA???

证明1：(1)当m=n时，由例2的证明2，显然有 ?nfAB?????mfBA??? （2）当m≠n时，不妨设m＞n，作

?B? A1?(A,0m?(m?n)),B1???，于是A1,B1为m阶方阵，由（1）知道，

0?(m?n)?m? ︱?Em-A1B1︱=︱?Em-B1A1︱

?BA0? 但A1B1=AB，而B1A1=??

?00? 所以︱?Em-AB︱=︱?En-BA︱︱?Em?n︱=?m?n︱?En-BA︱ 于是?n︱?Em-AB︱=?m︱?En-BA︱，即?nfAB?????mfBA???。 证明2:把结论等价改为AB与BA有相同的非零特征值。

（定义法）设λ是AB的一个非零特征值，X是对应于λ的一个特征向量 则(AB)X=λX。显然BX≠0。否则，若(AB)X=0，即λX=0 于是λ=0或X=0，矛盾。所以，BA(BX)??(BX)

即λ为BA的特征值。

同理可证BA的非零特征值是AB的特征值。

例6 复数域上n×n上矩阵A，B，C，若AB-BA=C，并且C可以与A和B交换，证明：C的特征值全为0。

证明：设A，B，C分别是复数域上n维向量空间V的线性变形σ，τ，δ关于基?1，…，?2，

?n的矩阵，则由AB-BA=C知στ-τσ=δ，并且由C与A，B交换知δ与σ，τ可换。

设λ是C的任一特征值，则λ也是δ的特征值。令V?是δ的属于特征值λ的特征子空间，则V?是δ的不变子空间。由于σδ=δσ，τδ=δτ，故不难验证V?也是σ和τ的不变子空间。记

?1??︱V?,?1??︱V?,?1??︱V?。

显然?1?1??1?1??1，因V?≠﹛0﹜，故可在V?中取基：…，则?1关于基?1,?2，…，?1,?2，?r。

?r的矩阵为?Er。记

?1,?1关于基：?1,?2，…，?r的的矩阵分别为A1,B1，则有?1?1??1?1??1有 A1B1?B1A1??Er 。因为Tr(A1B1)?Tr(B1A1)，所以 Tr(A1B1?B1A1)?0，而Tr(?Er)=rλ。 于是rλ=0，从而λ=0。因此C的特征值全为0。

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