2008.2009.2010.2011.2012.2013年全国新课标数学高考试卷大全超

2008年普通高等学校统一考试（宁夏卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。 1、已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：

那么ω=（ ） A. 1

B. 2

C. 1/2

D. 1/3

2、已知复数1z i =-，则221

z z

z -=-（ ）

A. 2i

B. －2i

C. 2

D. －2

3、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A. 5/18

B. 3/4

C.

/2 D. 7/8

4、设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则

4

2

S a =（ ） A. 2 B. 4 C.

152

D.

172

5、右面的程序框图，如果输入三个实数a 、b 、c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ） A. c > x

B. x > c

C. c > b

D. b > c

6、已知1230a a a >>>，则使得2

(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是（ ）

A.（0，1

1

a ）

B. （0，1

2

a ）

C. （0，

31a ） D. （0，

3

2a ） 7、0

20

3sin 702cos 10--=（ ）

A. 1

2

B. 2

C. 2

D. 2

8、平面向量a r ，b r

共线的充要条件是（ ）

A. a r ，b r 方向相同

B. a r ，b r 两向量中至少有一个为零向量

C. R λ?∈， b a λ=r r

D. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r

9、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（ ） A. 20种

B. 30种

C. 40种

D. 60种

10、由直线21=

x ，x=2，曲线x

y 1

=及x 轴所围图形的面积为（ ） A. 415 B. 4

17 C. 2ln 21 D. 2ln 2

11、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点

距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A. （

4

1

，－1） B. （

4

1

，1） C. （1，2） D. （1，－2）

12、某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（ ）

A. 22

B. 32

C. 4

D. 52

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

13、已知向量(0,1,1)a =-r ，(4,1,0)b =r

，||a b λ+=r r

0λ>，则λ= ____________

14、过双曲线22

1916

x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。过点F 平行双曲线的一条渐近线的

直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为______________

15、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面

上，且该六棱柱的体积为

9

8

，底面周长为3，那么这个球的体积为 _________ 16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下：

由以上数据设计了如下茎叶图：

甲品种： 271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种：

284

292

295

304

306

307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329

331

333

336

337

343

356

根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：

①__________________________________________________________________________ ②__________________________________________________________________________

三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。

17、（本小题满分12分）

已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。

（1） 求{}n a 的通项n a ；

（2） 求{}n a 前n 项和n S 的最大值。

18、（本小题满分12分）

如图，已知点P 在正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°。

（1） 求DP 与CC 1所成角的大小；

（2） 求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小。

1A

19、（本小题满分12分）A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2。根据市场

（1） 在A 、B 两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获

得的利润，求方差DY 1、DY 2；

（2） 将x （0≤x ≤100）万元投资A 项目，100－x 万元投资B 项目，f(x)表示投资A

项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x 为何值时，f(x)取到最小值。 （注：D(aX + b) = a 2DX ）

20、（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦

点分别为F 1、F 2。F 2也是抛物线C 2：24y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且25

||3

MF =

。 （1） 求C 1的方程；

（2） 平面上的点N 满足12MN MF MF =+uuu r uuu r uuu u r

，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，

若OA uu r ·OB uu u r =0，求直线l 的方程。

21、（本小题满分12分）设函数1()(,)f x ax a b Z x b =+

∈+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3y =。

（1） 求()y f x =的解析式；

（2） 证明：曲线()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；

（3） 证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的

面积为定值，并求出此定值。

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22、（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线AP 垂直直线OM ，垂足为P 。

（1）证明：O M ·OP = OA 2；

（2）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于B 点。过B 点的切线交

直线ON 于K 。证明：∠OKM = 90°。

23、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线C 1：cos ()sin x y θθθ=??=?为参数，曲线C 2

：()x t y ???????为参数。 （1）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；

（2）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1'C ，2'C 。写出

1'C ，2'C 的参数方程。1'C 与2'C 公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由。

24、（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数|4||8|)(---=x x x f 。

（1） 作出函数)(x f y =的图像；

（2） 解不等式2|4||8|>---x x 。

2008年普通高等学校统一考试（宁夏卷）

数学（理科）参考答案

一、选择题 1．B 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 9．A

10．D

11．A

12．C

二、填空题 13．3

14．

3215

15．

43

π 16．

1．乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．

2．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．

3．甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm ，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm ． 4．乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．

三、解答题 17．解：

（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，由已知条件，11

1

45a d a d +=??+=-?，解出13a =，2d =-．

所以1(1)25n a a n d n =+-=-+． （Ⅱ）21(1)

42

n n n S na d n n -=+

=-+24(2)n =--． 所以2n =时，n S 取到最大值4． 18．解：

如图，以D 为原点，DA

则(1

00)DA =，，uu u r ，(001)CC '=，，uuu r

． 连结BD ，B D ''．

在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ．

设(1)(0)DH m m m =>，，

uuu r

， 由已知60DH DA <>=，

o uuu r uu u r

，

由cos DA DH DA DH DA DH =<>，uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r g

可得2m =

解得2m =

，所以122DH ??= ? ???

，uuu r ．

（Ⅰ）因为0011cos 2DH CC ?+?+?'<>==，uuu r uuu r ， 所以45DH CC '<>=，

o uuu r uuu r ． 即DP 与CC '所成的角为45

． （Ⅱ）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，

，uuu r ．

因为01101cos 2DH DC ?+?+?<>==，uuu r uuu r ， 所以60DH DC <>=，

o uuu r uuu r ． 可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30

． 19．解：

（Ⅰ）由题设可知1Y 和2Y 的分布列分别为

150.8100.26EY =?+?=， 221(56)0.8(106)0.24DY =-?+-?=，

220.280.5120.38EY =?+?+?=，

2222(28)0.2(88)0.5(128)0.312DY =-?+-?+-?=． （Ⅱ）12100()100100x x f x D Y D Y -????=+ ? ?????

22

12100100100x x DY DY -????=+ ? ????? 22243(100)100

x x ??=

+-?? 2224(46003100)100

x x =-+?， 当6007524x ==?时，()3f x =为最小值． 20．解：

（Ⅰ）由2C ：24y x =知2(1

0)F ，． 设11()M x y ，，M 在2C 上，因为253MF =，所以1513x +=， 得123

x =

，1y =． M 在1C 上，且椭圆1C 的半焦距1c =，于是

222248193 1.a b

b a ?+=???=-?

， 消去2b 并整理得 4293740a a -+=，

解得2a =（13

a =不合题意，舍去）． 故椭圆1C 的方程为22

143

x y +=． （Ⅱ）由12MF MF MN +=uuu r uuu u r uuu r 知四边形12MF NF 是平行四边形，其中心为坐标原点O ， 因为l MN ∥，所以l 与OM 的斜率相同，

故l

的斜率32

3

k == 设l

的方程为)y x m =-．

由223412)x y y x m ?+=??=-??，，

消去y 并化简得 22916840x mx m -+-=．

设11()A x y ，，22()B x y ，，

12169

m x x +=，212849m x x -=． 因为OA OB ⊥uu r uu u r ，所以12120x x y y +=．

121212126()()x x y y x x x m x m +=+--

2121276()6x x m x x m =-++

22841676699

m m m m -=-+g g 21(1428)09

m =-=．

所以m =．

此时22(16)49(84)0m m ?=-?->，

故所求直线l

的方程为y =

-

y =+ 21．解： （Ⅰ）2

1()()f x a x b '=-+， 于是2123210(2)a b a b ?+=?+???-=+??

，， 解得11a b =??=-?，， 或948.3a b ?=????=-??， 因a b ∈Z ，，故1()1

f x x x =+-． （Ⅱ）证明：已知函数1y x =，21y x =

都是奇函数． 所以函数1()g x x x =+

也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形． 而1()111

f x x x =-++-． 可知，函数()

g x 的图像按向量(11)=，a 平移，即得到函数()f x 的图像，故函数()f x 的图像是以点(11)，为中心的中心对称图形．

（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点00011x x x ??+ ?-??，． 由02

01()1(1)f x x '=--知，过此点的切线方程为 2000200111()1(1)x x y x x x x ??-+-=--??--??

． 令1x =得0011x y x +=-，切线与直线1x =交点为00111x x ??+ ?-??

，． 令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为00(21

21)x x --，． 直线1x =与直线y x =的交点为(11)，． 从而所围三角形的面积为00000111212112222121x x x x x +---=-=--． 所以，所围三角形的面积为定值2．

22．解：

（Ⅰ）证明：因为MA 是圆O 的切线，所以OA AM ⊥． 又因为AP OM ⊥．在Rt OAM △中，由射影定理知， 2OA OM OP =g ．

（Ⅱ）证明：因为BK 是圆O 的切线，BN OK ⊥． 同（Ⅰ），有2OB ON OK =g ，又OB OA =， 所以OP OM ON OK =g g ，即

ON OM OP OK

=． 又NOP MOK =∠∠，

所以ONP OMK △∽△，故90OKM OPN == ∠∠．

23．解：

（Ⅰ）1C 是圆，2C 是直线． 1C 的普通方程为221x y +=，圆心1(00)C ，，半径1r =． 2C

的普通方程为0x y -=．

因为圆心1C

到直线0x y -+=的距离为1， 所以2C 与1C 只有一个公共点．

（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为

1C '：cos 1sin 2x y θθ=???=??，（θ为参数）； 2C '

：4x y ?=????=??

（t 为参数）． 化为普通方程为：1C '：2241x y +=，2C '

：122y x =

+，

联立消元得2

210x ++=，

其判别式24210?=-??=， 所以压缩后的直线2C '与椭圆1C '仍然只有一个公共点，和1C 与2C 公共点个数相同．

24．解：

（Ⅰ）44()2124848.x f x x x x ??=-+?

， ≤，， ≤，

图像如下：

（Ⅱ）不等式842x x --->，即()2f x >， 由2122x -+=得5x =．

由函数()f x 图像可知，原不等式的解集为(5)-∞，．

2009年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）

数学（理工农医类）

选择题（每小题5分，共60分）

（1）已知集合M={x|－3

(A) {x|－5＜x ＜5} (B) {x|－3＜x ＜5}

(C) {x|－5＜x ≤5} (D) {x|－3＜x ≤5}

（2）已知复数12z i =-，那么1

z =

（A

）+ （B

） （C ）1255i + （D ）1255i - （3）平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b +=

（A

(B) (C) 4 (D)12

（4）已知圆C 与直线x －y=0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C 的方程为

（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B)

22(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D)

22(1)(1)2x y +++= （5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有

（A ）70种 （B ） 80种 （C ） 100种 （D ）140种

（6）设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则9

6S S =

（A ） 2 （B ） 73 （C ） 8

3 （D ）3

（7）曲线y= 2x

x -在点（1，－1）处的切线方程为

（A ）y=x －2 (B) y=－3x+2 (C)y=2x －3 (D)y=－2x+1

(8)已知函数()f x =Acos(x ω?+)的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f =

（A ）23-

(B) 23 (C)－ 12 (D) 1

2 （9）已知偶函数()f x 在区间

[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是

（A ）（13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D) ［12，2

3）

（10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ，2a ，。。。N a ，其中收入记为 正数，支出记为负数。该店用下边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V ，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的

（A ）A>0,V=S －T

(B) A<0,V=S －T

(C) A>0, V=S+T

（D ）A<0, V=S+T

（11）正六棱锥P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D －GAC

与三棱锥P －GAC 体积之比为

（A ）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2

（

2x =5, 2x 满足2x+22log (x －1)=5, 1x +2x ＝

（A ）52 (B)3 (C) 7

2 (D)4

（13）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h ，1020h ，1032h ，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 h.

（14）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a =

（15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）。

则该几何体的体积为 3

m （16）以知F 是双曲线22

1

412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为 。

（17）（本小题满分12分）

如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075，0

30，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060，AC=0.1km 。试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km

≈1.414

≈2.449）

（18）（本小题满分12分）

如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，

N 分别为AB ，DF 的中点。

（I ）若平面ABCD ⊥平面DCEF ，求直线MN 与平面DCEF

所成角的正值弦；

（II ）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。

（19）（本小题满分12分）

某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。 （Ⅰ）设X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列；

（Ⅱ）若目标被击中2次，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P （A ）

（20）（本小题满分12分）

已知，椭圆C 过点A 3(1,)

2，两个焦点为（－1，0），（1，0）。

求椭圆C 的方程；

E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。

（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)=21

x 2－ax+(a －1)ln x ，1a >。

（1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有1212()()1f x f x x x ->--。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明讲

已知 ?ABC 中，AB=AC, D 是 ?ABC 外接圆劣弧 AC 上的点（不与点A,C 重合），延长BD 至E 。

求证：AD 的延长线平分∠CDE ；

若∠BAC=30，?ABC 中BC 边上的高为

?ABC 外

接圆的面积。

（23）（本小题满分10分）选修4－4 ：坐标系与参数方程在直

角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，

曲线C 的极坐标方程为ρcos （3πθ-）=1，M,N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点。

（1）写出C 的直角坐标方程，并求M,N 的极坐标；

（2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程。

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数()|1|||f x x x a =-+-。

（1）若1,a =-解不等式()3f x ≥； 13

（2）如果x R ?∈,()2f x ≥,求a 的取值范围。

参考答案

选择题（每小题5分，共60分）

(1) 【答案】B 【解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解.

(2) 【答案】D 【解析】211121212(12)(12)12i i i i i z --===++-+＝1255i -

(3) 【答案】B 【解析】由已知|a|＝2,|a ＋2b|2＝a2＋4a·b ＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴2a b +

= (4) 【答案】B 【解析】圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可.

(5) 【答案】A 【解析】直接法：一男两女,有C51C42＝5×6＝30种,两男一女,有C52C41＝10×4＝40种,共计70种；间接法：任意选取C93＝84种,其中都是男医生有C53＝10种,都是女医生有C41＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种.

(6) 【答案】B 【解析】设公比为q ,则36333(1)S q S S S +=＝1＋q3＝3 ? q3＝2，于是

36936112471123S q q S q ++++===++

(7) 【答案】D 【解析】y ’＝2222(2)(2)x x x x ---=--,当x ＝1时切线斜率为k ＝－2

(8) 【答案】B 【解析】由图象可得最小正周期为2π3， 于是f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2

关于7π12对称，所以f(2π3)＝－f(π2

)＝2

3 (9) 【答案】A 【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)； ∴得f(|2x －1|)＜f(1

3),再根

据f(x)的单调性；得|2x －1|＜13 解得13＜x ＜2

3

(10) 【答案】C 【解析】月总收入为S,因此A ＞0时归入S,判断框内填A ＞0 支出T 为负数,因此月盈利V ＝S ＋T

(11) 【答案】C 【解析】由于G 是PB 的中点,故P －GAC 的体积等于B －GAC 的体积 在底面正六边形ABCDER 中

BH ＝ABtan30°＝AB

而BD AB

故DH ＝2BH

于是VD －GAC ＝2VB －GAC ＝2VP －GAC

(12) 【答案】C 【解析】由题意1

1225x x += ①22222log (1)5x x +-= ②所以1

1252x x =-,121log (52)x x =- 即21212log (52)x x =-令2x1＝7－2t,代入

上式得7－2t ＝2log2(2t －2)＝2＋2log2(t －1)，∴5－2t ＝2log2(t －1)与②式比较得t ＝x2；于是2x1＝7－2x2)

(13) 【答案】1013 【解析】9801+10202+103214x ???=＝1013

(14) 【答案】

31 【解析】∵Sn ＝na1＋12n(n －1)d

∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d

∴6S5－5S3＝30a1＋60d －(15a1＋15d)＝15a1＋45d ＝15(a1＋3d)＝15a4

(15) 【答案】4 【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3,

体积等于1

6×2×4×3＝4

(16) 【答案】9 【解析】注意到P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F ’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|－|PF ’|＝2a ＝4

而|PA|＋|PF ’|≥|AF ’|＝5

两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A 、P 、F ’三点共线时等号成立.

(17)解:

在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,

所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，

故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ， ……5分

在△ABC 中，

,ABC sin C

BCA sin ∠=∠A AB

即AB=,

2062315sin ACsin60+=

因此，BD=。

km 33.0206

23≈+

故B ，D 的距离约为0.33km 。

(18) （18）（I ）解法一：

取CD 的中点G ，连接MG ，NG 。

设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，

则MG ⊥CD ，MG=2，NG=2.

因为平面ABCD ⊥平面DCED ，

所以MG ⊥平面DCEF ，

可得∠MNG 是MN 与平面DCEF 所成的角。因为MN=6，所以sin ∠MNG=36

为MN 与平面DCEF 所成角的正弦值 ……6分 解法二：

设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，以D 为坐标原点，分别以射线DC ，DF ，DA 为x,y,z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图. 则M （1,0,2）,N(0,1,0),可得MN

=(－1,1,2).

又DA

=（0，0，2）为平面DCEF 的法向量，

可得

cos(,)3||||MN DA MN DA MN DA ?==- 所以MN 与平面DCEF 所成角的正弦值为

cos 36

=· ……6分

(Ⅱ)假设直线ME 与BN 共面， ……8分 则AB ?平面MBEN ，且平面MBEN 与平面DCEF 交于EN

由已知，两正方形不共面，故AB ?平面DCEF 。

又AB//CD ，所以AB//平面DCEF 。面EN 为平面MBEN 与平面DCEF 的交线， 所以AB//EN 。

又AB//CD//EF ，

所以EN//EF ，这与EN ∩EF=E 矛盾，故假设不成立。

所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线. ……12分

(19) （19）解：

（Ⅰ）依题意X 的分列为

………………6分

（Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i 部分”，i=1，2.

B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i 部分”，i=1，2.

依题意知P （A1）=P(B1)=0.1，P （A2）=P(B2)=0.3，

11111122

A A

B A B A B A B =???,

所求的概率为 1111

1122()()()()

P A P A B P A B P A B P A B =+++（） 11111122()()())()()()P A B P A P B P A P B P A P B +++（

0.1

0.90.90.10.10.10.30?+?+?+?= ………12分

(20) （20）解： （Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为2219114b b +=+，解得23b =，

234b =-（舍去） 所以椭圆方程为22

143x y +=。 ……………4分

（Ⅱ）设直线AE 方程为：3(1)2y k x =-+，代入22143x y +=得

2223(34)4(32)4()1202k x k k x k ++-+--=

设(x ,y )E E E ,(x ,y )F F F ,因为点3(1,)2A 在椭圆上，所以

2234()12

2

x 34F k k --=+

32E E y kx k =+- ………8分 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以—K 代K ，可得

2234()12

2

x 34F k k +-=+ 32E E y kx k =-++

所以直线EF 的斜率()212F E F E EF F E F E y y k x x k K x x x x --++=

==--

即直线EF 的斜率为定值，其值为1

2。 ……12分

(21) (21)解：(1)()f x 的定义域为(0,)+∞。

2'

11(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x --+--+-=-+==2分 （i ）若11a -=即2a =,则

2

'(1)()x f x x -=

故()f x 在(0,)+∞单调增加。

(ii)若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <;

当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >

故()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加。

(iii)若11a ->,即2a >,同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加. (II)考虑函数 ()()g x f x x =+

21(1)ln 2x ax a x x =-+-+

则

2

1()(1)(1)11)a g x x a a x -'=--+≥-=- 由于1，即g(x)在(4, +∞)单调增加，从而当120x x >>时有

12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--，当

120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---·········12分

（22）解：

（Ⅰ）如图，设F 为AD 延长线上一点

∵A ，B ，C ，D 四点共圆，

∴∠CDF=∠ABC

又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB,

且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF,

对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF,

即AD 的延长线平分∠CDE.

（Ⅱ）设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H,则

AH ⊥BC.

连接OC,A 由题意∠OAC=∠OCA=150, ∠ACB=750,

∴∠OCH=600.

设圆半径为r,则r+23r=2+3,a 得r=2,外接圆的面积为4π。

（23）解： （Ⅰ）由得1)3cos(=-πθρ

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7ioq.html