2013压轴题专题训练(含答案)

23．（2012山东济宁10分）如图，抛物线y=ax+bx﹣4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端点除外），过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP． （1）求该抛物线的解析式；

（2）当动点P运动到何处时，BP=BD?BC； （3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．

2

2

【答案】解：（1）∵抛物线y=ax+bx﹣4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点

2

?1?16a+4b?4=0?a=∴?，解得?2。 ?4a?2b?4=0??b=?1∴抛物线的解析式为y=x2?x?4。 （2）设点P运动到点（x，0）时，有BP=BD?BC，

在y=x2?x?4中，令x=0时，则y=﹣4，∴点C的坐标为（0，﹣4）。 ∵PD∥AC，∴△BPD∽△BAC。∴

2

1212BDBP。 ?BCBA∵BC?BC2?OC2?22?42?25，AB=6，BP=x﹣（﹣2）=x+2 ∴BD25?x+25，即BD??x+2?。 6322

∵BP=BD?BC，∴?x+2??54?x+2??25，解得x1=，x2=﹣2（不合33题意，舍去）。

∴点P的坐标是（

4，0）。 3- 1 -

∴当点P运动到（

42

，0）时，BP=BD?BC。3

2

24．（2012滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点． （1）求抛物线y=ax+bx+c的解析式；

（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

2

考点：二次函数综合题。

2

解答：解：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax+bx+c中，得

解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0 所以解析式为y=﹣x+x．

（2）由y=﹣x+x=﹣（x﹣1）+，可得

2

2

2

- 2 -

抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB ∴OM=BM ∴OM+AM=BM+AM

连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小 过点A作AN⊥x轴于点N， 在Rt△ABN中，AB=因此OM+AM最小值为

．

=

=4

，

26．（2012临沂）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°， ∵∠AOB=120°， ∴∠BOC=60° 又∵OA=OB=4，

- 3 -

∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=4×=2，

∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）； （2）∵抛物线过原点O和点A．B，

2

∴可设抛物线解析式为y=ax+bx， 将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得

，

解得，

∴此抛物线的解析式为y=﹣x+

2

x

（3）存在，

如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）， ①若OB=OP，

222则2+|y|=4， 解得y=±2， 当y=2

时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=

=

，

∴∠POD=60°，

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°， 即P、O、B三点在同一直线上， ∴y=2不符合题意，舍去， ∴点P的坐标为（2，﹣2）

222

②若OB=PB，则4+|y+2|=4， 解得y=﹣2，

故点P的坐标为（2，﹣2），

2222

③若OP=BP，则2+|y|=4+|y+2|， 解得y=﹣2，

故点P的坐标为（2，﹣2），

综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2

），

- 4 -

26．（12分）（2012?襄阳）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y

2

轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax+bx+c经过O，D，C三点． （1）求AD的长及抛物线的解析式；

（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？ （3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

解答： 解：（1）∵四边形ABCO为矩形， ∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10． 由题意，△BDC≌△EDC． ∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD． 由勾股定理易得EO=6． ∴AE=10﹣6=4， 222设AD=x，则BD=CD=8﹣x，由勾股定理，得x+4=（8﹣x）， 解得，x=3，∴AD=3． ∵抛物线y=ax+bx+c过点D（3，10），C（8，0）， ∴， 2解得 ∴抛物线的解析式为：y=﹣x+2x． （2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°， ∴∠DEA=∠OCE， 由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5． 而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t． - 5 -

当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC， ∴=解得t=，即=． ， 当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC， ∴=解得t=∴当t=，即． 或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似． =， （3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论： ①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么点必为抛物线顶点； 则：M（4，﹣）； MN，设N（4，m），则M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）； ）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（②EC为平行四边形的边，则EC将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，此时 N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）； 将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，此时 N（4，﹣26）、M（12，﹣32）； 综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为： ①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38） ②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26） ③M3（4，），N3（4，﹣）． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E． （1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？

- 6 -

（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．

解答： 解：（1）A（1，4）．…（1分）

由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4 ∵抛物线过点C（3，0）， ∴0=a（3﹣1）2+4， 解得，a=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．…（2分）

（2）∵A（1，4），C（3，0）， ∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6． ∵点P（1，4﹣t）．…（3分）

∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+．…（4分）∴点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣∴GE=（4﹣

）﹣（4﹣t）=t﹣

．…（5分）

．

又点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣， 即S△ACG=S△AEG+S△CEG=?EG?+?EG（2﹣）

- 7 -

=?2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．…（7分）

当t=2时，S△ACG的最大值为1．…（8分） （3）t=

或t=20﹣8

．…（12分）

（说明：每值各占（2分），多出的值未舍去，每个扣1分）

24．如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线解析式及点D坐标；

（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标； （3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．

解解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点， 答- 8 -

： ∴， 解得： ∴y=﹣x2+x+2； 当y=2时，﹣x2+x+2=2，解得：x1=3，x2=0（舍）， 即：点D坐标为（3，2）． （2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能： ①当AE为一边时，AE∥PD， ∴P1（0，2）， ②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等， 可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等， ∴P点的纵坐标为﹣2， 代入抛物线的解析式：﹣x2+x+2=﹣2 解得：x1=∴P点的坐标为（，x2=， ，﹣2），（，﹣2） ，﹣2）；p3（，﹣2）． 综上所述：p1（0，2）；p2（（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，﹣a2+a+2）， - 9 -

①当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a， PQ=2﹣（﹣a2+a+2）=a2﹣a， 又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°， ∴∠FQ′P=∠OCQ′， ∴△COQ′～△Q′FP，，， ∴Q′F=a﹣3， ∴OQ′=OF﹣Q′F=a﹣（a﹣3）=3，CQ=CQ′=此时a=，点P的坐标为（，）， =， ②当P点在y轴左侧时（如图2）此时a＜0，，﹣a2+a+2＜0，CQ=﹣a， PQ=2﹣（﹣a2+a+2）=a2﹣a， 又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°， ∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°， ∴△COQ′～△Q′FP，，，Q′F=3﹣a， 22．(满分14分)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点． (1) 求抛物线的解析式； - 10 -

(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标； (3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)． 解答：解：(1) ∵ 抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)． ?9a＋3b＝0?a＝1?∴ ，解得：?． ?16a＋4b＝4?b＝－3∴ 抛物线的解析式是y＝x2－3x． (2) 设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B(4，4)， 得：4＝4k1，解得k1＝1． ∴ 直线OB的解析式为y＝x． ∴ 直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m． ∵ 点D在抛物线y＝x2－3x上． ∴ 可设D(x，x2－3x)． 又点D在直线y＝x－m上， ∴ x2－3x ＝x－m，即x2－4x＋m＝0． ∵ 抛物线与直线只有一个公共点， ∴ △＝16－4m＝0，解得：m＝4． 此时x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2， ∴ D点坐标为(2，－2)． (3) ∵ 直线OB的解析式为y＝x，且A(3，0)， ∴ 点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0，3)． - 11 -

设直线A'B的解析式为y＝k2x＋3，过点B(4，4)， 1∴ 4k2＋3＝4，解得：k2＝． 4∴ 直线A'B的解析式是y＝x＋3． 4∵ ∠NBO＝∠ABO， ∴ 点N在直线A'B上， 1∴ 设点N(n，n＋3)，又点N在抛物线y＝x2－3x上， 4∴ 14y A' B 1n＋3＝n2－3n， N P2 O P1 N1 A D B1 图1 3解得：n1＝－，n2＝4(不合题意，会去)， 4345∴ 点N的坐标为(－，)． 416方法一：如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1， 345则N1(－，－)，B1(4，－4)， 416∴ O、D、B1都在直线y＝－x上． ∵△P1OD∽△NOB， ∴ △P1OD∽△N1OB1， 1∴ ＝＝， ON1OB12345∴ 点P1的坐标为(－，－)． 832x OP1OD453将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(，)． 328- 12 -

345453综上所述，点P的坐标是(－，－)或(，)． 832328y A' B 方法二：如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△NN 2OB2， 则N4532(O 16，4)，B2(4，－4)， P2 ∴ O、D、B2都在直线y＝－x上． ∵ △P1OD∽△NOB， ∴ △P1OD∽△N2OB2， ∴ OP1OD1ON2＝OB2＝2， ∴ 点P4531的坐标为(32，8)． 将△OP31D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(－8，－4532)． 综上所述，点P的坐标是(－38，－4545332)或(32，8)． ∴OQ′=3， CQ=CQ′=， 此时a=﹣，点P的坐标为（﹣，）． - 13 -

P1 N2 A D B2图2 x

综上所述，满足条件的点P坐标为（，），（﹣，）． 24、（2012浙江温州14分）如图，经过原点的抛物线y??x2?2mx(m?0)与x轴的另一个交点为A.过点P(1,m)作直线PM?x轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）.连结CB,CP。 （1）当m?3时，求点A的坐标及BC的长； （2）当m?1时，连结CA，问m为何值时CA⊥CP？

（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并写出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）当m=3时，y=－x＋6x。

令y=0得－x＋6x=0，解得，x1=0，x2=6。∴A（6，0）。 当x=1时，y=5。∴B（1，5）。

∵抛物线y=－x＋6x的对称轴为直线x=3，且B，C关于对称轴对称，

∴BC=4。

（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）

由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB。 又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△ACH∽△PCB。 ∴

22

2

AHPB。 ?CHBC2

∵抛物线y=－x＋2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，且B，

C关于对称轴对称，

∴BC=2（m－1）。

∵B（1，2m－1），P（1，m），∴BP=m－1。

- 14 -

又∵A（2m，0），C（2m－1，2m－1），∴H（2m－1，0）。 ∴AH=1，CH=2m－1， ∴

1m?13?，解得m= 。 2m?12?m?1?2（3）存在。∵B，C不重合，∴m≠1。

（I）当m＞1时，BC=2（m－1），PM=m，BP=m－1， （i）若点E在x轴上（如图1），

∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP。 ∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2（m-1）=m，解得m=2。 此时点E的坐标是（2，0）。

（ii）若点E在y轴上（如图2），过点P作PN⊥y轴于点N， 易证△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，即m－1=1，解得，m=2。 此时点E的坐标是（0，4）。

（II）当0＜m＜1时，BC=2（1－m），PM=m，BP=1－m， （i）若点E在x轴上（如图3）， 易证△BPC≌△MEP，

∴BC=PM，即2（1－m）=m，解得，m=此时点E的坐标是（

2。 34 ，0）。 3（ii）若点E在y轴上（如图4），

过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE， ∴BP=NP=OM=1，即1－m=1，∴m=0（舍去）。

综上所述，当m=2时，点E的坐标是（0，2）或（0，4），

当m=

24时，点E的坐标是（，0）。 33- 15 -

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