2011年中考数学综合训练（几何探究题） - 5

2011年中考数学综合训练（几何探究题）

1、两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB =∠DCE = 90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．

（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为_______ 和位置关系为_____ ；

（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；

（2）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.

E F E F D E D

C C F C H G H G H D G

B A

B A A B 图3 图1 图2

2．（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG;

AHFBE图1DGCAHFDAFDLEG图3B图2ECGB C

(2) 若点E在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H， 则EF、EG、ＣH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； . (3) 如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC, 连结CL，点E是CL上任一点, EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； 3. 在△ABC中，AC=BC，?ACB?90?，点D为AC的中点．

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作FH?FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．

A A FDF D HE

C BCB 图2HE图1

（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明． 4、（1）如图1所示，在四边形ABCD中，AC=BD，AC与BD相交于点O，E、F分别是AD、BC的中点，联结EF，分别交AC、BD于点M、N，试判断△OMN的形状，并加以证明；

（2）如图2，在四边形ABCD中，若AB?CD，E、F分别是AD、BC的中点，联结FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论： ； （3）如图3，在△ABC中，AC?AB，点D在AC上，AB?CD，E、F分别是AD、BC的中点，联结FE并延长，与BA的延长线交于点M，若?FEC?45?，判断点M与以AD为直径的圆的位置关系，并简要说明理由．

MAMNAEDOEDAEDCBBBFFFC

图 1 图2 图3

5. 已知△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放 在D处．

(1)如图①，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出重叠部分AEDF的面积(直接写出结果)．

(2)如图②，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F，设AE＝x，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

(3)若BD＝2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E． 设CF＝x(x＞1)，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

C

6. 在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．

(1)如图①，当∠DAB＝120°，∠B＝∠D＝90°时，求证：AB＋AD＝AC．

(2)如图②，当∠DAB＝120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明． (3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．

7. 设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC．

(1)证明：PC＝2AQ．

(2)当点F为BC的中点时，试比较△PFC和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明． 6.

2011年中考数学训练（与函数有关的综合题）

k

1、如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝

x

y 的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，

1

已知OA＝10，点B的坐标为(m，－2)，tan∠AOC＝．

3

A O B (1)求反比例函数的解析式； (2)求一次函数的解析式；

(3)在y轴上存在一点P，使△PDC与△CDO相似，求P点的坐标．

2、如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，并且OA、OC的长满足：

|OA－2|＋(OC－23)2＝0． (1)求B、C两点的坐标．

(2)把△ABC沿AC对折，点B落在点B1处，AB1线段与x轴交于点D， 求直线BB1的解析式．

(3)在直线BB1上是否存在点P使△ADP为直角三角形？若存在， 请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3、已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)、B(0，n)，

其中m、n是方程x2－6x＋5＝0的两个实数根，且m＜n，． (1)求抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的面积； (3)P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．

4、如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿

D C x

y A B O D B1 C x D y B C O

A x

CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP． （1）点B的坐标为 ；用含t的式子表示点P的坐标为 ；

（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？

（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形

的面积是△ONC面积的

1？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 3y

y

NBC

P

OMAx

1． (1)过点A作AE⊥x轴，垂足为E.

CBO（备用图）

Axy P A O B C E x 1?tan?AOE?，?OE?3AE.3 ?OA?10，OE2?AE2?10，?AE?1，OE?3.?点A的坐标为(3，1)．

k?A点在双曲线上，?1?，k?3．

3?双曲线的解析式

3

为y?．

x

3?2)在双曲线y?上， (2)?点B(m，x33??2?，m??．

m2?点B的坐标

D 2??3a?b?1，??a?，?3?为??，?2?． ……??3??3

2?a?b??2?????2?b??1.?一次函数的解析式 2为y?x?1．

3(3)C，D两点在直线y?2?3?x?1上，?C，D的坐标分别是C?，0?，D(0，?1)． 32??313． ?OC?，OD?1，DC?22过点C作CP?AB，垂足为点C．

PDDCDC213?△PDC∽△CDO，??，PD??.

DCODOD4又OP?DP?OD?

139?9??1?， ?P点坐标为?0，?． 44?4?

3．(1)解方程x?6x?5?0，得x1?5,x2?1． 由m＜n，知m=1，n=5．

∴A(1，0)，B(0，5)． ………………………1分

2D y B ??1?b?c?0,?b??4,∴? 解之，得?

c?5.c?5.??所求抛物线的解析式为y??x?4x?5. ……3分

2C E O 第25题图

A x (2)由?x2?4x?5?0,得x1??5,x2?1.故C的坐标为(-5，0)． ………4分 由顶点坐标公式，得 D(-2，9)．………………………………………………5分 过D作DE⊥x轴于E，易得E(-2，0)．

?S?BCD?S?CDE?S梯形OBDE?S?OBC

?15?91?3?9??2??5?5=15．…………………………………………7分 222 (注：延长DB交x轴于F,由S?BCD=S?CFD-S?CFB也可求得) (3)设P(a，0)，则H(a，?a?4a?5)．

直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，须且只须BC等分线段PH，亦即PH的中点

2?a2?4a?5(a,)在直线BC上．

2易得直线BC方程为：y?x?5.

?a2?4a?5?a?5. ∴

2解之得a1??1,a2??5(舍去)．故所求P点坐标为(-1，0)． 4．解：（1）（6，4）；（t,2t）.（其中写对B点得1分） 312（2）∵S△OMP =×OM×t，

231212∴S =×（6 -t）×t=?t+2t．

23312 ＝?(t?3)?3（0 < t <6）．

3∴当t?3时，S有最大值．

（3）存在．

由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4）， 则直线ON的函数关系式为：y?4x． 3 设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：y??bx?b， 3yT2 43b??y?xx?????34?b解方程组?得?

?y??bx?b?y?4b??34?b??3b4b,)． ∴直线ON与MT的交点R的坐标为(4?b4?b

CED2 NBT1 R1 R2 PD1 OM（备用图）

Ax

?a2?4a?5?a?5. ∴

2解之得a1??1,a2??5(舍去)．故所求P点坐标为(-1，0)． 4．解：（1）（6，4）；（t,2t）.（其中写对B点得1分） 312（2）∵S△OMP =×OM×t，

231212∴S =×（6 -t）×t=?t+2t．

23312 ＝?(t?3)?3（0 < t <6）．

3∴当t?3时，S有最大值．

（3）存在．

由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4）， 则直线ON的函数关系式为：y?4x． 3 设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：y??bx?b， 3yT2 43b??y?xx?????34?b解方程组?得?

?y??bx?b?y?4b??34?b??3b4b,)． ∴直线ON与MT的交点R的坐标为(4?b4?b

CED2 NBT1 R1 R2 PD1 OM（备用图）

Ax

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