24.2.2直线与圆的位置关系之切线长定理

蓬莱大辛店中学

徐岩

切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切 点的半径几何应用:

.

O

∵L是⊙O的切线 ， ∴OA⊥L

L A

切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.

.

O

LA

1.经过半径的外端； 2.与半径垂直.OA是⊙O的半径 几何应用: OA⊥L于A

L是⊙O的切线.

练习1:已知：AB是弦，AD是切线 ，判断∠DAC与圆周∠ABC之间的关 系并证明. B E

C A D

在经过圆外 一点的切线 上，这一点 和切点之间 的线段的长 叫做这点到 圆的切线长

A

· O

P

切线与切线长的区别 与联系：

B

(1)切线是一条与圆相切的直线,不可以度量； (2)切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长, 可以度量。

切线长定理 从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相 等，圆心和这一点的连 线平分两条切线的夹角。 几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B

B。

O

P A

PA = PB ∠OPA=∠OPB

反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法

我们学过的切线，常有 六个 五个1、切线和圆只有一个公共点；

性质：

2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

若连结两切点A、 B,AB交OP于点M.你 又能得出什么新的结 论?并给出证明.OP垂直平分AB∴PA = PB 平分线∴OP垂直平分AB

B。

O

M

P

A

证明：∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点

∠OPA=∠OPB

∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的

若延长PO交 ⊙O于点C,连结CA、 CB,你又能得出什 C 么新的结论?并给出 证明. CA=CB

B。

PA

O

证明：∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点

∴PA = PB∴PC=PC

∠OPA=∠OPB

∴ △PCA ≌ △PCB

∴AC=BC

例.PA、PB是⊙O的两条切线， A、B为切点，直线OP交于 ⊙O于点D、E,交AB于C。(1)写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA,OB ⊥PB,AB ⊥OP (2)写出图中与∠OAC相等的角

AE

O

C DB

P

∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC (3)写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP, △AOC≌ △BOC, △ACP≌ △BCP (4)写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB (5)若PA=4、PD=2,求半径OA

反思：在解决有关 圆的切线长问题时， 往往需要我们构建 基本图形。

A。

O

P B

(1)分别连结圆心和切点(2)连结两切点 (3)连结圆心和圆外一点

B

小

结：E

1.切线长定理 从 圆外一点引圆的两 条切线，它们的切 线长相等，圆心和 这一点的连线平分 两条切线的夹角。

O

。

C D

P

A ∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB OP

垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等，角 相等，弧相等，垂直关系提供了理论 依据。必须掌握并能灵活应用。

2.圆的外切四边形的两组对边的和相等

例题选讲 例：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F,且AB=8cm, BC=13cm,CA=12cm,求AF、BD、CE的长。 x E A x O F 8﹣ x B D 12﹣x C

12﹣x

8﹣ x

例.如图，△ABC中,∠C =90º ,它的 内切圆O分别与边AB、BC、CA相切 D 于点D、E、F,且BD=12,AD=8, 求⊙O的半径r.B

A

O E

F

C

例.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B, 并与圆O的切线分别相交于C、D, 已知 PA=7cm, A (1)求△PCD的周长. D (2) 如果∠P=46°, ·O P 求∠COD的度数 EC B

随堂训练 1、如图，△ABC中,∠ ABC=50°,∠ACB=75 °, 点O 是△ABC的内心，求∠ BOC的度数。 A

O

1 ∠ BOC= 90°+ 2

∠ A

B

C

变式：△ABC中,∠ A=40°,点O是△ABC的内心， 求∠ BOC的度数。

知识拓展

2、△ABC的内切圆半径为 r , △ABC的周长为 l , 求△ABC的面积。(提示：设内心为O,连接OA、 OB、OC。) 若△ABC的内切圆半径为 r , 周长为 l , 则S△ABC= A

1 lr 2r B r O r C

o..

o.

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