南京市白下区2012届高三“市二模”模拟考试数学试卷

南京市白下区2012届高三“市二模”模拟考试

数学试卷

注意事项：

1. 本试卷共4页，包括填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）两

部分，本试卷满分为160分，考试时间为120分钟；

2. 统一用黑色水笔作答，答题前，请务必将自己的姓名、学校、考号填涂在答卷纸上相应位置上，试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内，考试结束后，交回答卷纸。 一、

填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在相应位置上。

1. 已知函数f(x)?cosx，则f(x)的导函数f'(x)= 。

2. 命题“?x?R,x2?2?0”的否定是 命题。（填“真”或“假”之一）

x2y2??1(0?m?9)的焦距为23，则m? 。 3. 若椭圆9m4. 抛物线y2?2x上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标是 。 5. 下面四个条件中，使a?b成立的充分而不必要的条件是 。（填写序号）

3322①a?b?1 ②a?b?1 ③a?b ④a?b

6. 如图所示的“双塔”形立体建筑，已知P?ABD和Q?CBD是

两个高相等的正三棱锥，四点A,B,C,D在同一平面内，要使塔尖P,Q之间的距离为50m, 则底边AB的长为 m。 7. 若m,n为两条不同的直线，?,?为两个不同的平面，则以下命

题正确的是 .（填写序号） ①若m//?，n??，则m//n； ②若m//?，?//?，则m//?；

③若m??，m//n，?//?，则n??； ④若m?n，m??，n??，则???

第6题图

8. 如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使

点M与点F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是 .（填写“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”和“圆”中的一种情况） 9. 曲线y?x与y?8在它们交点处的两条切线与轴所围成的x三角形的面积为 。

第8题图

10. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的表面积为12?，

则这个正三棱柱的体积为 。 11. 如图所示，在圆锥PO中，已知PO?2，⊙O的直径

AB?2，点C在弧AB上，且?COB?60°，则二面角

B?PA?C的余弦值是 。

x2y212. 已知点F是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左焦点，

ab第11题图

点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，若

?ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 。

213. 已知函数f(x)?(ax?x)?xlnx在?1,???上单调递增，则实数a的取值范围

是 。

14. 已知点P是抛物线x?4y上一个动点，过点P作圆x?(y?4)?1的两条切线，切

点分别为M,N，则线段MN长度的最小值是 。

二、解答题：本大题共六小题，共计90分。请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、

证明过程或演算步骤。 15. （本小题满分14分）

222x2y2??1表示双曲线，命题q：圆x2?(y?1)2?9与圆设命题p：方程

a?6a?7(x?a)2?(y?1)2?16相交。若“?p且q”为真命题，求实数a的取值范围。

16. （本小题满分14分）

已知函数f(x)?(ax2?bx?c)e2?x在x?1处取得极值，且在点(2,f(2))处的切线方程为6x?y?27?0。 （1） 求a,b,c的值；

（2） 求函数f(x)的单调区间，并指出f(x)在x?1处的极值是极大值还是极小值。

17. （本小题满分14分）

已知圆C经过两点P(?1,?3),Q(2,6)，且圆心在直线x?2y?4?0上，直线l的方程为(k?1)x?2y?5?3k?0。 （1） 求圆C的方程；

（2） 证明：直线l与圆C恒相交； （3） 求直线l被圆C截得的最短弦长。

18. （本小题满分16分）

如图，平面ABDE?平面ABC，?ABC是等腰直角三角形，AC?BC?4，四边形

ABDE是直角梯形，BD//AE,BD?BA,BD?1AE?2, O,M,N分别为2CE,AB,EM的中点。

（1） 求证：OD//平面ABC； （2） 求证：ON?平面ABDE；

（3） 求直线CD与平面ODM所成角的正弦值。

第18题图

19. （本小题满分16分）

x2y2如图，A,B是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右顶点，M是椭圆上异于A,B的

ab任意一点，若椭圆C的离心率为（1） 求椭圆C的方程；

（2） 设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交直线MB于点Q，试证明：直线

1，且右准线l的方程为x?4。 2PQ与x轴的交点R为定点，并求出R点的坐标。

20. （本小题满分16分）

已知函数f(x)??x?x?b,g(x)?alnx， （1） 若f(x)在x???32第19题图

3?1?,1?上的最大值为，求实数b的值；

8?2?2（2） 若对任意x?? 1,e?，都有g(x)??x?(a?2)x恒成立，求实数a的取值范围；（3） 在（1）的条件下，设F(x)???f?x?,x?1，对任意给定的正实数a，曲线

?g?x?,x?1y?F(x)上是否存在两点P,Q，使得?POQ是以（O为坐标原点）为直角顶

点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由。

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数学参考答案

一、填空题：

1．?sinx 2．假 3．6 4．

1 5．② 6．503 7．③④ 26331 12．?1,2? 13．a? 14． 332e21. 8．椭圆 9．6 10．54 11．22. 二、解答题：

x2y223. 15．解：若p真，即方程??1表示双曲线，

a?6a?724. 则?a?6??a?7??0，??6?a?7． ………………………………5分 25. 若q真，即圆x2??y?1??9与圆?x?a???y?1??16相交，

26. 则1?a2?4?7,??35?a?35． ………………………………10

分

27. 若“?p且q”为真命题，则p假q真， ??a??6或a?728. ??，即?35?a??6，

???35?a?3522229. ?符合条件的实数a的取值范围是?35?a??6． ………………………………14

分

30. 16．解：（1）f??x???2ax?b?e2?x?ax2?bx?ce2?x??1?

22?x?31. ??， ………………………………4分 ?ax?2a?bx?b?ce??????1???f??1??0??a??2a?b???b?c???e?0???032. 由题意，?f??2???6，即????4a?2?2a?b???b?c???e??6，

??0?f?2??15???4a?2b?c?e?15??33. ?a?c?1,b?5； ………………………………8分 34. （2）由（1）知，f?x??x2?5x?1e2?x，

35. ?f??x???x2?3x?4e2?x???x?4??x?1?e2?x， ………………………………10分 36. 令f??x??0，得?4?x?1，f??x??0，得x??4或x?1，

????

?函数f?x?的单调递增区间为??4,1?，单调递减区间为???,?4?和?1,???．……13分

37. 由此可知，f?x?在x?1处的取值是极大值． ………………………………14分 38. 17．解：（1）设圆C的方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0． …………………………2分 ??1?9?D?3E?F?0?D??4??39. 由条件，得?4?36?2D?6E?F?0，解得?E??2，

?D?F??20E??(?)?2?(?)?4?0?2240. ?圆C的方程为x2?y2?4x?2y?20?0． ………………………………6分 41. （2）由?k?1?x?2y?5?3k?0，得k?x?3???x?2y?5??0，

?x?3?0?x?342. 令?，得?，即直线l过定点?3,?1?，……………………………8分

x?2y?5?0y??1??43. 由32???1??4?3?2???1??20?0，知点?3,?1?在圆内，

44. ?直线l与圆C恒相交． ………………………………10分 45. （3）圆心C?2,1?，半径为5，由题意知，

2246. 直线l被圆C截得的最短弦长为252???2?3???1?1???45．………………14分

??E 47. 18．（1）证明：如图1，取AC中点F，连接OF,BF．

248. ?O是EC中点，?OF是?CAE的中位线， 49. ?OF//EA，且OF?1EA， 2O

N 150. 又DB//EA，且DB?EA，?OF//DB且OF?DB，

251. ?四边形ODBF是平行四边形，?OD//FB．

D F A B

C

M 52. ?OD?面ABC,FB?面ABC，OD//平面ABC．………………5分

图1

53. （2）证明：连接CM，?N是EM的中点，?ON//CM．

54. ?平面ABDE?平面ABC，平面ABDE?平面ABC?AB， 55. BD?平面ABDE，BD?AB，?BD?平面ABC， 56. ?CM?平面ABC，?BD?CM,?BD?ON．

57. 又?ABC是等腰直角三角形，AC?BC，M是AB的中点， 58. ?CM?AB，?ON?AB，

59. 由AB,DB?平面ABDE,AB?DB?B，?ON?平面ABDE．……………………11分 60. （3）解：建立如图2所示的空间直角坐标系．

61. 由条件，得M?0,0,0?,C22,0,0,E0,22,4,D0,?22,2，?O?????62. ?MO?????????2,2,2，

???????????E 2,2,2,MD?0,?22,2,CD??22,?22,2， ?????63. 设平面ODM的法向量为n??x,y,z?，

????????????64. 由n?MO,n?MD，

N z O y ???2x?2y?2z?0n65. ??，取??3,1,2，

???22y?2z?0D A C x ??M 图2

66. 设直线CD与平面ODM所成角为?，则 ??????62?22?223067. sin??cos?n,CD??， ?1025?23B 68. ?直线CD与平面ODM所成角的正弦值为30． ………………………………16分 10?c1?a?2?2??a?a?269. 19．解：（1）由题意：??4，解得?．

c???b?3222?a?b?c??x2y270. ?椭圆C的方程为??1． ………………………………6分

4371. （2）由（1）知，A??2,0?,B?2,0?，设M?x0,y0?，R?t,0?，则 72. 直线AM的方程为y?y0?x?2?， x0?273. 令x?4，得y??6y0?6y0，即点P的坐标为?4,?， …………………………9分 x0?2x?20??74. 由题意，MQ?PQ，?kMQ?kPQ??1，

6y02y04?ty0x0?2??75. ?， …………………………12分 ???1，即?6x0?24?t?x0?2??x0?2?22x0y0322?1,?y0??4?x076. 又??，

43477. ??

4?t31??，?t??． 642

?1?78. ?直线PQ与x轴的交点R为定点??,0?． …………………………………16分

?2?79. 20．解：（1）由f?x???x3?x2?b，得f??x???3x2?2x??x?3x?2?， 80. 令f??x??0，得x?0或81. 列表如下：

2． 3?1???,0? ?2??

x

f??x? f?x?

1? 2

0 0 极小值

?2??0,? ?3?2 30 极大值

?2??,1? ?3??

?

?

1f(?)

2? ?

13241282. 由f(?)??b，f()??b，?f(?)?f()，

283272313383. 即最大值为f(?)??b?，?b?0． ………………………………5分

28884. （2）由g?x???x2??a?2?x，得?x?lnx?a?x2?2x．

85. ?x??1,e?,?lnx?1?x，且等号不能同时取，?lnx?x,即x?lnx?0，

x2?2xx2?2x86. ?a?恒成立，即a?()min． ………………………………7分

x?lnxx?lnx?x?1??x?2?lnx?x2?2x87. 令t?x??， ,x??1,e??，求导得，t??x??2x?lnx?x?lnx?88. 当x??1,e?时，x?1?0,lnx?1,x?2?lnx?0，从而t??x??0，

89. ?t?x?在?1,e?上为增函数，?tmin?x??t?1???1，?a??1． …………………10分 ??x3?x2,x?190. （3）由条件，F?x???，

alnx,x?1?91. 假设曲线y?F?x?上存在两点P,Q满足题意，则P,Q只能在y轴两侧， 92. 不妨设P?t,F?t???t?0?，则Q?t,t3?t2，且t?1．

93. ??POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，

????????94. ?OP?OQ?0，??t2?f?t?t3?t2?0 ??*?，

????95. 是否存在P,Q等价于方程?*?在t?0且t?1时是否有解． …………………12分 96. ①若0?t?1时，方程?*?为?t2??t3?t2t3?t2?0，化简得t4?t2?1?0，

????

97. 此方程无解；

98. ②若t?1时，?*?方程为?t2?alnt?t3?t2?0，即

??1??t?1?lnt， a199. 设h?t???t?1?lnt?t?1?，则h??t??lnt??1，

t100. 显然，当t?1时，h??t??0，即h?t?在?1,???上为增函数， 101. ?h?t?的值域为?h?1?,???，即?0,???， 102. ?当a?0时，方程?*?总有解．

103. ?对任意给定的正实数a，曲线y?F?x? 上总存在两点P,Q，使得?POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．………………16分

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