水平未知时一种图像恢复正则化算法(图像和数字图像的定义,图像的退化模型)

分类号密级

ＵＤＣ：编号

学位论文

噪声水平未知时一种图像恢复正则化算法

柳建军

指导教师姓名肖庭延教授河北工业大学

申请学位级别硕士学科、专业名称：应用数学

论文提交时间２００５年６月论文答辩时间：２００５年６月

学位授予单位河北工业大学

答辩委员会主席

评阅人：２００５年６月

噪声水平未知时一种图像恢复正则化算法

摘要

图像恢复是图像信息处理中的基本问题之一．近年来，其技术广

泛应用于射电天文学、卫星遥感、医学成像、工业视觉等领域．恢复的方法有正则化方法、迭代方法、统计方法等．

针对噪声水平未知情况，本文改进了Ｒ．Ｙｏｕｍａｒａｎ和Ａ．Ａｄｌｅｒ提

出的图像恢复双参数（ａ，Ｎ）正则化框架。具体方面包括：正则参数。的选取基于Ｌ一曲线准则迭代确定；将需要很大存储量的Ｅｕｌｅｒ方程求解转换成等价的只需很少存储量的极小化问题，用共轭梯度最小二乘法求解；共轭梯度最小二乘法迭代次数Ｎ由问题精度要求自适应产生；基于粗糙初值的正则参数迭代初值的快速选取等。

对两种具有代表性的图像降质模型（均匀模糊和Ｇａｕｓｓ模糊）进

行大量数值试验的结果表明此方法具有较快的收敛速度和较好的恢复能力，改进信噪比（ＩＳＮＲ）普遍提高０．３ｄｂ以上．同时，本方法程序全部应用ｍａｔｌａｂ语言在台式电脑上实现，希望对在台式电脑上进行实时高效图像恢复工作有促进作用．

关键词：图像恢复，正则化方法，Ｌ一曲线准则，迭代确定正则参数，双参数框架，

壁曼壅王墨塾壁＝塑璺堡堡墨垂型垡基鎏

Ａｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｉｍａｇｅｒｅｓｔｏｒａｔｉｏｎｗｉｔｈｏｕｔｋｎｏｗｉｎｇｎｏｉｓｅ

ｌｅｖｅｌ

ＡＢＳ’Ｉ’ＲＡＣＴ

Ｉｍａｇｅｒｅｓｔｏｒａｔｉｏｎｉｓｏｎｅｏｆｔｈｅｂａｓｉｃｐｒｏｂｌｅｍｓｉｎｄｉｇｉｔａｌｉｍａｇｅ

ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．Ｉｎｒｅｃｅｎｔｙｅａｒｓ，ｔｈｅｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｉｓｗｉｄｅｌｙａｐｐｌｉｅｄｉｎｍａｎｇ

ｆｉｅｌｄｓ，ｓｕｃｈａｓｒａｄｉｏａｓｔｒｏｎｏｍｙ，ｓａｔｅｌｉｔｅｒｅｍｏｔｅｓｅｎｓｉｎｇ，ｍｅｄｉｃａｌｉｍａｇ－

ｉｎｇａｎｄｉｎｄｕｓｔｙｖｉｓｉｏｎ．Ｔｈｅｕｓｕａｌｍｅｔｈｏｄｓｉｎｃｌｕｄｅｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ

ｍｅｔｈｏｄ，ｉｔｅｒａｔｉｖｅｍｅｔｈｏｄ，ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｍｅｔｈｏｄａｎｄＳＯｏｎ．

Ｉｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓ．ａｎｉｍｐｒｏｖｅｄｃｏｍｂｉｎｉｎｇｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｆｒａｍｅｗｏｒｋ

ｏｆｔｗｏｐａｒａｍｅｔｅｒｓｔｙｐｅ，ｐｒｏｐｏｓｅｄｂｙＲ．ＹｏｕｍａｒａｎａｎｄＡ．Ａｄｌｅｒ，ｉｓ

ｐｒｅｓｅｎｔｅｄａｎｄｄｉｓｃｕｓｓｅｄｆｏｒｓｔａｂｌｅｉｍａｇｅｒｅｓｔｏｒａｔｉｏｎｗｉｔｈｏｕｔｋｎｏｗｉｎｇ

ｎｏｉｓｅｌｅｖｅｌｏｆｔｈｅｉｎｐｕｔｄａｔａ．Ｓｏｍｅｄｅｔａｉｌｓｏｆｔｈｅｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔｓｉｎ—

ｃｌｕｄｅｔｈｅａｄｏｐｔｉｏｎｏｆｗｅｌｌ—－ｋｎｏｗｎＬ－ｃｕｒｖｅｃｒｉｔｅｒｉｏｎｗｉｔｈ

ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｆｏｒａａｓｐｅｅｄ ｕｐｒｏｕｇｈｉｎｉｔｉａｌｖａｌｕｅｏｆｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒ，ｔｈｅ

ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎｏｆＥｕｌｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｒｅｑｕｉｒｉｎｇｖｅｒｙｌａｒｇｅａｍｏｕｔｏｆｓｔｏｒａｇｅ

ｔｏａｎｅｑｕａｔｉｏｎｒｅｑｕｉｒｉｎｇｍｕｃｈｌｅｓｓｍｅｍｏｒｙ，ｔｈｅｒｅｌａｔｅｄａｎａｌｙｓｉｓａｎｄ

ｐｒｏｏｆ，ｔｈｅｄｅｓｉｇｎｏｆｔｈｅｎｅｗａｌｇｏｒｉｔｈｍａｎｄＳＯｏｎ．

Ｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｒｅｓｕｌｔｓｈａｖｅ

ｓｈｏｗｎｔｈａｔｏｕｒｎｅｗａｌｇｏｒｉｔｈｍｈａｓｆａｓｔｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｓｐｅｅｄａｎｄｇｏｏｄ

ａｒｅｒｅｓｔｏｒａｔｉｏｎｅｆｆｅｃｔ，ａｎｄｖａｌｕｅｓｏｆＩＳＮＲｉｍｐｒｏｖｅｄｕｐｏｎ０．３ｄｂｇｅｎ—

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ｉｎａｃｈｉｅｖｅａｌｌｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘｐｅｒｍｅｎｔｓｔｏｇｉｖｅａｐｅｒｓｅｎａｌｃｏｍｐｕｔｅｒＭａｔｌａｂｌａｎｇｕａｇｅａｎｄｗｉｓｈｈａｎｄｏｎｔｈｉｓｗｏｒｋｓ．

ＫＥＹＷＯＲＤＳ：ｉｍａｇｅｒｅｓｔｏｒａｔｉｏｎ，ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ，Ｌ—ｃｕｒｖｅ

ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ，ｃｈｏｏｓｉｎｇｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｐａｒｍｅｔｅｒ，ｆｒａｍｅｗｏｒｋｏｆｔｗｏｐａｒａｍ—

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Ｉｌ

塞童壅！垂垫坠＝塑里堡堡基重型堡篁鎏

符号说明

ｈ（ｘ，ａ；Ｙ，卢）

日＋

Ｍｏ

ｎ［ｆｌ

丘

ＳⅣＲ

ＲＳＮＲ

ＩＳＮＲ

１Ｖ降质系统算子或系数矩阵点源扩散函数空间Ｆ上的距离正则参数Ｈ的广义逆Ｔｉｋｈｏｎｏｖ展平泛函稳定泛函噪声水平相对于ｄ、ｏｔ的正则解信噪比正则化图像信噪比改进信噪比

独创性声明

本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北工业大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料．与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意．

学位论文作者签名：朽胡骜日期：ｐ步．６．ｆｏ

关于学位论文版权使用授权的说明

本学位论文作者完全了解河北工业大学有关保留、使用学位论文的规定．特授权河北工业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅．同意学校向国家有关部门或机构迭变论文的复印件和磁盘．

（保密的学位论文在解密后适用本授权说明）

学位论文作者签名：

导师签名日期：妨．６、Ｉｂ日期：矶够．矗旧

河北工业大学硬士学位论文

第一章绪论

５１１问题的提出：从不适定问题角度诠释图像恢复

２１世纪是一个充满信息的时代，图像作为人类感知世界的视觉基础，是人类获取信息、表达信息和传播信息的重要手段；２１世纪又是一个数字的时代，上个世纪９０年代初，美国副总统戈尔提出“数字地球”的概念，其巾图像是构成数字地球的信息基础，不同遥感平台提供的多源遥感图像为数字地球这一概念提供了坚强的信息支持【Ｉｊ．困此，数字图像处理技术已成为当今信息科学、计算机科学、工程科学、地球科学．生物学以及医学等诸多方面学者研究图像的有救工具．

作为数字图像处理基本问题之，图像恢复ｌ可题一直伴随着数字图像技术的不断发展而发展．对图像恢复领域的研究开始于上个世纪五六十年代，当时前苏联和美国的科学家都在进行各自的太空计划（ｓｐａｃｅｐｒｏｇｒａｍｓ），他们获取了大量有关地球和太阳系的网像（ｉｍａｇｅ）信息．但是，这些图像很模糊，在当时的技术条件下根本无法看清，没有任何使用价值【“．幸运的是科学家们坚信这些图像中包含丰富的信息，终于经过不懈的努力恢复出图像的原始信息，才有今天相对成熟且广瑟应用的图像恢复技术．

１－１－１图像和数字圉像

虽然图像一词在人们日常交流中使用频率很高，大多数人也知道一幅图像是什么，但对图像却没有严格的定义．为了定义图像恢复，我们必须就图像一词的定义达成一致．图像即是人或事物的一个模仿或表示，例如，一幅林肯的照片就是这位美国总统某次出现在镜头前得到的一个表示．图像会以各种各样的形式出现ｔ可视的和非可视的；抽象的和实际的；适于和不适于计算机处理的等等，因此给出图像的分类是十分必要的．我们引入集合沦的观点，根据其形式或产生方法，考虑所有的物体的集合（见图１．１），图像形成其中的一个子集，并且在该子集中的每幅图像都和它所表示的物体存在对应关系．在图像集合中，一个非常重要的子集便是由连续函数和离散函数组成的抽象数学图像，其中离散函数就是能被计算机直接处理的数字图像．

下面给出数字图像的定义．既然图像是与之对应的物体的—个表示，那么数字图像可以理解为物体的一个数字表示．从物理和数学的角度看，一幅图像记录的是物体辐射能量的空间分布，这个分布是空问坐标、时间和波长的函数，即，＝，扛，Ｙ，ｏ，＾，ｔ）Ｌ“．本论文讨论的是二维静ｌｈ黑白图像，所以空间坐标变量ｚ．波长＾和时间变量‘可以从函数中去除，这样一幅图像就可必用下面的二元函数表示

这样一幅图像就可以用下面的二元函数表示』＝，（ｚ，Ｙ）．从计算机科学的角度来看，所Ｉ＝，（Ｔ，Ｙ）．从计算机科学的角度来看，所１

河北工业大学硕士学位论文

第一章绪论

５１—１问题的提出：从不适定问题角度诠释图像恢复

２１世纪是一个充满信息的时代，图像作为人类感知世界的视觉基础，是人类获取信息、表达信息和传播信息的重要手段；２１世纪又是一个数字的时代，上个世纪９０年代初，美国副总统戈尔提出“数字地球。的概念，其中图像是构成数字地球的信息基础，不同遥感平台提供的多源遥感图像为数字地球这一概念提供了坚强的信息支持ＩＺＪ．因此，数字图像处理技术已成为当今信息科学、计算机科学、工程科学、地球科学、生物学以及医学等诸多方面学者研究图像的有效工具．

作为数字图像处理基本问题之一，图像恢复问题一直伴随着数字图像技术的不断发展而发展．对图像恢复领域的研究开始于上个世纪五六十年代，当时前苏联和美国的科学家都在进行各自的太空计划（ｓｐａｃｅｐｒｏｇｒａｍｓ），他们获取了大量有关地球和太阳系的图像（ｉｍａｇｅ）信息．但是，这些图像很模糊，在当时的技术条件下根本无法看清，没有任何使用价值【２ｊ．幸运的是科学家们坚信这些图像中包含丰富的信息，终于经过不懈的努力恢复出图像的原始信息，才有今天相对成熟且广泛应用的图像恢复技术．

１—１—１图像和数字圉像

虽然图像一词在人们日常交流中使用频率很高，大多数人也知道一幅图像是什么，但对图像却没有严格的定义．为了定义图像恢复，我们必须就图像一词的定义达成一致．图像即是人或事物的一个模仿或表示，例如，一幅林肯的照片就是这位美国总统某次出现在镜头前得到的一个表示．图像会以各种各样的形式出现ｔ可视的和非可视的；抽象的和实际的；适于和不适于计算机处理的等等，因此给出图像的分类是十分必要的．我们引入集合论的观点，根据其形式或产生方法，考虑所有的物体的集合（见图１．１），图像形成其中的一个子集，并且在该子集中的每幅图像都和它所表示的物体存在对应关系．在图像集合中，一个非常重要的子集便是由连续函数和离散函数组成的抽象数学图像，其中离散函数就是能被计算机直接处理的数字图像．

下面给出数字图像的定义，既然图像是与之对应的物体的一个表示，那么数字图像可以理解为物体的一个数字表示．从物理和数学的角度看，一幅图像记录的是物体辐射能量的空间分布，这个分布是空间坐标、时间和波长的函数，即Ｉ＝ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ，Ａ，ｔ）ｌ“．本论文讨论的是二维静止黑白图像，所以空间坐标变量ｚ、波长Ａ和时间变量ｔ可以从函数中去除，这样一幅图像就可以用下面的二元函数表示Ｉ＝，（ｚ，Ⅳ）．从计算机科学的角度来看，所１

——————————————！堕垄垩查塑墼＝塾里堡堡墓至型垡篁鎏

谓数字图像就是二元函数ｆ（ｘ，Ｙ）进行采样（ｓａｍｐｌｉｎｇ）和量化（ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ）（即离散操作）后得到的图像，因此，通常一幅数字图像表现为一个矩阵．

图１．１：图像的分类

Ｆｉｇ．１．１Ｉｍａｇｅｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ

数字图像的获取方式很多，但无论哪种方式，最终得到的数字图像都是—个矩阵，而且获取过程中必然伴随着图像质量的下降（退化）．这是因为，在实际成像过程中，由于种种原因【３Ｊ，如光学系统的象差、成像过程的相对运动、Ｘ射线的散布特性、各种外界因素干扰以及图像数字化过程中的误差和噪声等等，使得所得到的数字图像的质量较之原始图像有不同程度的下降．本文所讨论的只是点降质，所谓点降质是降质因素只影响图像中像索灰度级变化．而对于其它的降质因素，如图像彩色的变化、随时间产生的变化等，不在本文讨论的范围．通常情况下，这点降质可用下述降质模型来描述．

１—１—２囝像降质连续模型

如果将图像的降质过程模型化为一个降质系统（或算子）Ｈ，并假设输入原始图像为ｆ（ｘ，Ｙ），经降质系统作用后输出的降质图像为９（茁，Ｙ），在降质过程中引进随机噪声为可加性噪声ｎ（ｘ，Ｙ）（如果是乘性噪声，可以用对数转换方式转化为相加形式）．那么，降质过程的模型如图１．２所示：２

河北工业大学硕士学位论文

图１．２：图像降质过程模型【４】

Ｆｉｇ．１．２Ｉｍａｇｅｄｅｇｒａｄｅｄｍｏｄｅｌ

用公式表示为：

ｇ（ｘ，Ｙ）＝Ｈ［ｆ（ｘ，ｇ）］＋ｎ（ｘ，Ｙ）

熟知，二元Ｄｉｒａｃ函数６扛一ｎ，Ｙ—ｐ）满足下述两个条件：

ａ扛一Ｑ，可一仂＝｛吾：ｉ三；ｉ菩

Ｏｌ，Ｙ—ｐ）ｄｏｄ卢＝１

于是一幅连续的图像，（ｚ，Ｙ）可以用上述的６函数表示成二维卷积形式：

，（ｚ，Ⅳ）＝ｆｆＩ（８，卢）６（ｘ－－ｒａｙ－－ｊ３）ｄｏｅｄ卢

此时，降质模型（１．１）成为

ｇ（ｘ，Ｙ）＝Ｈ［ｆ（ｘ，ｇ）ｊ＋ｎ（ｚ，Ｙ）

＝日【胪（郇）６（Ｚ－－ＯＬ，ｙ－－刚删用州训）

如果Ｈ为一线性算子，并假设可加性对积分是有效的，则

出川＝胪Ｉ，（Ⅱ厕６（Ｘ－－０ｂｙ－－酬妇ｄ卢蜘（啪）

又由于，陋，卢）与ｚ和Ｙ无关，并由线性齐次性可得

ｇ（ｚ，Ⅳ）＝ｆｆｆ（。，卢）日陋（ｘ－－ｒａｙ－－ｐ）］ｄＱｄ卢＋ｎ（。，Ⅳ）（１．２）（１－３）（１４）（１５）（１．１）

——璧薹垄垩壅墅堕＝壁璺堡堡墓垂型些基鎏

令九（。，Ｄ；Ｙ，卢）＝Ｈ［６（ｘ—ＯＬ，Ｙ—ｐ）】，则有

出㈤＝胪㈦脚（蚋ｍｐ）如阳＋咄㈡（１．７）

其中，ｈ（ｘ，ｏ；Ｙ，ｐ）称为日的冲激响应，它表示系统对坐标为（Ｏｔ，卢）处的冲激函数的响应，能够完全刻画系统日．多数情况下它表现为时不变性，反映到图像中为空不变性，即

ｈ（ｘ，ｏ；Ｙ，ｐ）＝＾（ｚ—ｎ，Ｙ—ｐ）

在光学中，冲激为一个光点，（１．８）Ｓｐｒｅａｄｈ（ｚ，Ｑ；Ｙ，ｆ１）一般也被称为点源扩散函数（ＰｏｉｎｔＦｕｎｃｔｉｏｎ，记为ＰＳＦ）．将（１．８）式代入（１．７）式得

，磐

如Ｍ２／／ｍ厕＾（Ｘ－－ｏｚ，ｙ－－剐ｎ即栅（训）

＝ｆ（ｚ，Ｙ）十ｈ（ｘ，Ｙ）＋礼（ｚ，Ｙ）（１．９）

其中十表示卷积运算．

这样我们就得到要研究的图像降质线性空不变连续模型（１．９）．可以看出，图像上任一点的运算结果只取决于该点的输入值，而与坐标位置无关．而对于不同的点源扩散函数就形成不同的降质模型，后面数值试验部分针对的就是两个特殊ＰＳＦ形成的具有代表性的图像降质模型：均匀降质模型和Ｇａｕｓｓ降质模型．

如果称得到降质图像９（ｏ，Ｙ）的过程为成像过程的话，则所谓图像恢复就是成像过程的反向过程，即：要由得到的降质图像ｇ（ｘ，Ｙ）和降质系统的机理（降质算子）日，反求原图像．从数学上来说，就是在已知ｇ（ｘ，Ｙ）及核＾（。，ａ；Ｙ，卢）的情况下，求解二维Ｐｒｅｄｈｏｌｍ方程．这是一类典型的反问题，求解的本质困难是：它在数值上很不稳定，或者说，它在Ｈａｄａｍａｒｄ意义下是不适定的［４，ｓ１．

１－１—３图像恢复问翘的不适定性

２０世纪初，Ｈａｄａｍａｒｄ为描述数学物理问题与定解条件的合理搭配引入４适定”（ｗｅｌｌ．ｐｏｓｅｄｎｅｓｓ）的概念ｍ】．

设ＰＦ和Ｐ矿分别是空间Ｆ和Ｕ的度量，Ａ：Ｆ—Ｕ是线性或非线性映射，对于

Ａｆ＝ｇ，ｆ∈Ｅ

给出下述的９∈Ｕ（１．１０）

定义１，１称问题或方程（１．１０）为适定的，如果它同时满足下述三个条件４

河北工业大学硕士学位论文

（１）Ｖｇ∈Ｕ，都存在，∈Ｆ满足方程（１．１０）（解的存在性）；

（２）设９１，９２∈Ｕ，若＾和，２分别是方程（１．１０）对应于９１≠仍的解，则

＾≠，２（解的唯一性）；

（３）解相对于空间偶（Ｆ＇ｕ）而言是稳定的（解的稳定性），即ｔＶｅ＞０，ｊｄ（Ｅ）＞０，

只要

ｐｕ（ｇｌ，９２）≤ｄ（Ｅ）

匣有ｐ尸（ｇｌ，９２∈Ｕ），Ｌ＾厶＜Ｅ，ｌＡ＾＝ｇＡ尼＝如

反之，若上述三个条件中，至少有一个不能满足，则称其为不适定的．

由上述定义１．１，图像恢复问题是一类典型的不适定问题，它可以不满足一个或多个Ｈａｄａｍａｒｄ条件，原因在于成像系统本身的特性或观测数据的误差【９ｊ．

（１）解的存在性可以不成立

观测过程中噪声的存在将导致获得的图像与任一景象不相容（ｉｎｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ）．这表明成像系统本身可能就是不可靠的，自然也就不可能期望从由它获得的图像出发，恢复出真实景象来．

（２）解的唯一性可以不成立

当表现系统特征的算子Ａ是个多对一（ｍａｎｙ—ｔｏ－ｏｎｅ）映射时，对任意观测图像，存在着非平凡的解空间与它相容（ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ），这表明反问题的解可以是不唯一的．例如：对有限带宽成像系统，所有带宽外的图像数据作为成像算子的零空间是非空的．此外，即使日是非奇异的，对解空间约束信息的－－ｄ＇部分损失，也可以造成不唯一的解．如：ｇ＠，Ｙ）是一幅包含Ｎ×Ｎ个像素（ｐｉｘｅｌ）的图像，由于降质的原因，其提供的对解空间的约束最多为Ⅳ２个，如果说约束小于Ⅳ２，在没有其它附加信息的情况下，恢复，（ｚ，掣）（Ⅳ×Ｎ）显然是不唯一的．

（３）懈的稳定性可以不成立

通常问题（１．１）是一类第一类算子方程，第一类算子Ａ的固有特性决定解Ｉ（ｘ，Ｙ）对观测数据ｇ（ｘ，Ｙ）扰动的敏感性。原始数据很小的误差也会导致近似解与真解的严重偏离，真所谓＊差之毫厘，失之千里”。而实际情况恰恰是我们要处理的都是近似数据，不是精确数据，这必然决定解的稳定性不成立．

正因为如此，图像恢复这类反问题在Ｈａｄａｍａｒｄ意义下是不适定的，若不用特殊的方法来处理，将得不到合理的答案．

０

噪声水平未知时一种图像恢复正则化算法

５ｌ一２关于图像恢复代数方法的简单评述

上节中指出：我们考虑的图像降质模型是线性空不变系统，且噪声是加法性类型的．因而可在一个统一的线性代数范畴内，用公式表示图像恢复问题，这就是恢复的代数方法．对于离散的降质模型【４】：

Ｈｆ＋礼＝ｇ（１．１１）

这类方法的核心思想是：由给定的降质图像９和对降质模型日及噪声竹的先验了解，寻找一个对原始图像，的最优估计，，而使事先确定的最优准则最小．

１．反向滤波

反向滤波又称为无约束最小二乘滤波Ｉ“．由（１．１１）式得噪声项为

ｎ＝ｇ—Ｈｆ

构造准则函数

Ｊ（，）＝叫ｎ怕一Ｈｆｌｌ２

这样，反向滤波方法等效于寻找一个，使得ｔ，（，）最小，即ＨＩ与ｇ的偏差最小，或者说噪声项范数最小．这是典型的最小二乘问题。由变分方程：

６Ｊ（，）＝ＨＴＨｆ—ＨＴｇ＝０

得

，＝（日Ｔ日）ｑⅣＴ９

若Ｈ为非奇异，则，＝日一１９，熟知，此时ＨＴＨ的条件数很大，求逆很不稳定，所以此方法对于图像恢复中的噪声项颇为敏感．

２．统计性正则化方法

从随机性角度看待噪声的产生，设ＲＳＳ＝Ｅ｛，，Ｔ）和Ｒ。。＝Ｆ｛ｎ礼Ｔ）分别为原始图像和噪声的相关矩阵，其中Ｅ｛ ）代表数学期望运算．构造准则函数

Ｊ（，）＝ｒａｉｎＥ｛ｌｌｆ一向２）

Ｊ

极小化准则函数需要知道ｆ和＇１２的相关矩阵，这是困难的．因而，线性近似扳小化准则函数过程得到：

，＝Ｒ，，ＨＴ（ＨＲｆｆＨｒ＋％。）一１９

６（１１２）

一。一一堡！｝三些奎堂坠兰垡丝苎

需要求逆的矩阵ＨＲＩｓｔｆｒ＋日。。的条件数好于胪日，因而此方法对噪声的敏感性有所下降．但是它要求预知噪声项礼的统计信息，这一要求显然限制了它的应用范围．实际问题中有时噪声水平未知，即使勉强估计出噪声能量，由于估计的不准确性，原问题求解精度也难以保证．

３．确定性正则化方法

从确定性角度看待噪声的产生，构造准则函数

ｔ，（，，ａ）２乎（扩Ｈｉｌｌ２＋。ＩＩＬｆｌｌ２）

其中ｎ是正则参数，Ｌ一般为高通滤波算子．Ｌ，本质上是对，光滑性的约束，以减小Ｈ的小奇异值对高频部分的影响，保持大奇异值影响不变．此时极小化准则函数得：

，＝（ＨｒＨ＋ⅡＬＴ三）一１丑Ｔ９（１．１３）

选取合适的正则参数Ｏ／，可使日…日＋ａＬ。Ｌ的条件数相当好，求逆稳定．这就需要相应的确定正则参数的准则，较成熟的作法是选Ｑ４满足１１９一日，¨２＝ＩＩｎＩｌ２．然而，当ＩＩ叫１２未知，即噪声水平未知时，确定合适的ａ值是一个困难的问题．这已经成为成功应用正则化方法来处理图像恢复问题的焦点之一．

纵观上面三种方法，反向滤波只要求了解降质系统的冲激响应（传递函数）的知识，不需已知噪声水平，但由于传递函数存在零点的问题，只能局限于离原点不太远的有限区域内进行，且不稳定，这有相当大的随意性和局限性；方法２、３同属于直接Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法范畴，所谓直接的Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法是指：利用直接法（例如ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解）求解式（１．１２）、（１．１３）．虽然求解过程较反向滤波稳定性大幅提高，但只能对噪声水平已知情况的应用，且要保留日和日…日，不仅计算量大，而且存储量也是难以忍受的．

４．基于Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法的共轭梯度法

对于固定的参数Ｑ＞０，显然可以将功能很强的共轭梯度法（ＣｏｎｊｕｇａｔｅＧｒａｄｉｅｎｔｍｅｔｈｏｄ）用于正定对称线性方程组（１．１２）、（１．１３）的求解．这较之直接法当然在计算量上要大为节省，但仍然要形成和保留日１’日，这在存储方面的开销很大．因而Ｒ．Ｙｏｕｍａｒａｎ和ＡＡｄｌｅｒ于２００４年给出一种不直接形成口７日＋ａＬＴＬ的ＣＧＴｉｋ算法，应用于图像恢复，建立了双参数图像恢复正则化框架，取得了较好的效果…．即使如此，在其具体实施过程中，还存在有关参数需要经验地确定等不足，详见第三章第三节．因此，如何在噪声水平未知的情况下将上述算法进一步完善，使得参数的选取更加快速和切实可行就构成了本文的主要工作．７

壁塞垄兰鲞垫堕＝墼里堡堡基垂型丝差篓

此外，图像恢复方法还包括迭代法（显示迭代格式和隐式迭代格式【１１１），递归方法，如离散卡尔曼滤波（ｄｉｓｃｒｅｔｅＫａｌｍａｎｆｉｌｔｅｒ）［１２，１３】和ＰＣＧ［１４，１５】方法等，它们已经应用到不同的恢复问题中，并且表现出不错的恢复效果．近年来，以这些方法为基础，结合特殊问题的特殊情况，人们提出了一系列新的恢复技术，特别是神经网络（ｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｓ）［１６＿２０Ｊ和小波（ｗａｖｅｌｅｔｓ）［２１－”Ｊ技术在图像恢复中的成功应用．由于本文方法隶属代数恢复方法，与上述方法属于不同范畴，这里不在详述．

５１－３本文的主要内容和工作意义

如前所述，将Ｔｉｋｈｏｎｏｖ的正则化方法应用于图像恢复问题，可取得比较满意的结果，而其中又以Ｒ．Ｙｏｕｍａｒａｎ和Ａ．Ａｄｌｅｒ最近的工作引人注目．正如文献１２４ｌ中所说：数字图像处理研究有很大一部分是服务于图像恢复的，包括对算法的研究和针对特定问题的图像处理程序的编制，而且数字图像处理中许多值得注意的成就都是在这两方面进行的．虽然图像恢复的新方法层出不穷，但正则化策略中的具体算法用于图像恢复领域还有较大的空间．因此，本文将在以下几个方面开展工作：

（１）应用共轭梯度最小二乘法（ｃＧＬｓ）求解Ｅｕｌｅｒ方程，研究其合适于微机上实施的经济格式和算法．

（２）研究噪声水平未知情况下如何完善ＣＧＴｉｋ算法，包括迭代确定正则参数ａ、由问题求解精度要求自适应产生ＣＧＬＳ法迭代次数Ⅳ及正则参数迭代初值的快速改进等．

（３）通过大量的数值试验，考察本算法的恢复效果和恢复速度．

我们相信，本研究工作的完成，将会为实际工作者提供一个即使在微机上也可以实施的图像恢复算法，并且该算法适用于降质图像噪声水平已知和未知两种情况，从而具有广泛的适应性．８

第二章图像降质模型的离散正则化

为了便于计算机处理，必须将连续降质模型离散化．如上一章所述，由于图像恢复问题本身的不适定性以及对算子Ｈ线性空不变性的假设，使得离散化后得到的线性方程组是严重病态的，我们必须将其进行正则化处理，即用一族与原问题相临近的适定问题的解去逼近原问题的解．

本章分兰节分别介绍Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化的三个主要步骤：离散化，正则化和正则参数的确定问胚．其中离散化一节采用传统的离散形式，而正则化一节则是后继讨论必要的理论准备，最后正则参数的确定是恢复问题中最困难也是最有魅力的地方，第三章的工作主要就集中在这里．

§２．１连续图像降质模型的离散化

考虑二维卷积型方程

９（ｚ，Ｙ）＝＾（ｚ，Ｙ）十ｆ（ｘ，Ｙ）＋ｎ（ｘ，Ｙ）

设输入的数字图像，（。，Ｙ）和冲激响应＾（ｚ，ｙ）分别具有Ａ

Ｍ≥Ａ＋Ｃ一１，Ｎ≥Ｂ＋Ｄ一１贝ⅡＸ（２．１）Ｂ和ｅ×Ｄ个样点，为避免误差和卷积周期交叠，用添零延伸的方法，将它们扩展成Ｍ×Ｎ个样点，其中

几一１厶＝２，（。，掣）ｏ曼ｚ≤Ａ一１且ｏ≤Ⅳ墨Ｂ一１

０（２．２）卜曲７Ａ冬茁ｓＭ一１或Ｂ≤可≤Ｎ一１

＾。：２＾（。，Ⅳ）ｏ≤ｚｌＣ≤Ｘ茎Ｍ一１或Ｄ≤Ｙ≤Ｎ一１０ｓｅ一１且ｏ≤，≤Ｄ一１（２．３）

将扩展函数丘（ｚ，Ｙ）和ｈ。扛，Ｙ）作为二维周期函数处理，即在Ｘ和Ｙ方向上周期分别为Ｍ和Ⅳ；同时考虑噪声项，即加上一个Ｍ

得完整的二维离散降质模型：

Ｍ一１Ⅳ一１ＸＮ的扩展离散噪声项ｎ。（ｚ，Ｙ），可

ｇｅ（ｚ，Ⅳ）＝∑∑，ｅ（ｍ，礼）也扛～ｍ，ｎ一可）

ｍ＝０ｎ＝０（２．４）其中玑（石，Ｙ）具有与ｈｅ∞，Ｙ）相同的周期．

９

墼垒王查塑堕＝丝里堡堡基至型垡蔓鎏

为了将（２．１）写成矩阵形式，我们引入

定义２．１设Ａ＝（ｏ玎）。。。，将Ａ的各行依次横排得到ｍｎ维行向量，称为矩阵Ａ的行展开，记为ｒｓ（Ａ１，即

ｒｓ（Ａ）＝（ａｌｌａ１２－ ０１ｎａ２ｌａ２２ －Ⅱ加 － ａｍｌ ｏｍ）（２．５）

将Ａ的各列依次纵排得到ｉｉｌｎ维列向量，称为矩阵Ａ的列展开，记为ｃｓ（Ａ），即

ｃｓ（Ａ）＝（ａｌｌ

可见行与列展开的关系为０２ｌ－． ｏｍｌｎ１２０２２－一ａｍ２ 盘ｌ。 ｏｍ。）Ｔ（２．６）

ｃｓ（ＡＴ）＝（ｒｓ（Ａ））Ｔ

令，、ｇ、ｎ分别代表Ｍ×Ｎ的函数矩阵厶（ｚ，Ｙ）、ｇｅ（ｚ，Ｙ）和ｎ。（ｚ，Ｙ）的各行堆叠成的ＭⅣ维列向量，即

丘（０，０）９。（Ｏ，０）ｎ。（０，０）

＾（ｏ，１）

丘（ｏ，Ⅳ一１）

，ｅ（１，０）

＾（１，１）

ｆ＝

＾（１，Ｎ一１）ｇ＝Ｆ。（ｏ，１）ｎ。（０，１）９。（ｏ，Ⅳ一１）吼（１，０）９。（１，１）ｎ。（Ｏ，Ｎ一１）ｎ。（１，０）ｎ。（１，１）乳（１，Ⅳ一１）

ｇｅ（Ｍ一１，０）

ｇｅ（Ｍ一１，１）轧（Ｍ一１，０）ｎ。（Ｍ一１，１）丘（Ｍ一１，０）上（Ｍ一１，１）

＾（Ｍ一１，Ｎ一１）

则（２．１）写成向量矩阵形式乳（Ｍ一１，Ｎ一１）ｎ。（Ｍ一１，Ｎ一１）

ｇ＝Ｈ｝＋ｎ（２．７）

式中Ｈ为ＭⅣ×ＭＮ维矩阵．此矩阵十分庞大，它包含Ｍ２个分块，每一分块的大小１０

为ＮＸＮ．Ｈ可用ＭＸＭ的分块循环矩阵［８１来表示

ＨｏＨＭ一１ＨＭ一２ － Ｈｌ

Ｈ＝Ｈ、ＨｂＨＭ。…Ｈ２（２．８）

ＨＭｏＨＭ一２ＨＭ一３…Ｈｎ

其中每个分块玛是由扩展函数ｈｅ（石，Ｙ）的第Ｊ行组成，即

ｋ（Ｊ，０）＾。（Ｊ，Ｍ一１）ｈｅ（＾Ｍ一２）ｈ。（Ｊ，１）

ｋ（Ｊ，１）ｈｅ（＾０）ｋ（Ｊ，Ｍ一１）＾。（Ｊ，２）

ｇｊ＝（２．９）

＾。（Ｊ，．＾彳一１）＾。（Ｊ，Ｍ一２）＾。（Ｊ，Ｍ一３）－－－＾。（Ｊ，０）

显然，口，也是一个循环矩阵１８Ｊ，因为它的第二个下标和Ｈ中各个分块的下标变化一样，也是右移循环．

以下各章节主要讨论的就是式（２，７）给出的离散降质模型，特别需要指出一点，这一表达式是在系统假设为线性和空不变性的条件下推导出来的．在实际中，噪声顷佗存在很多随机因素，很难预先估计，并且观察到的图像本身也带有误差，记为９６（Ｘ，Ｙ），即ｌｌ卯（ｚ，Ｙ）一ｇ（ｘ，Ｙ）ｌＩ冬６．在此条件下，图像恢复的问题在于：从带有误差的右端项舶扛，Ｙ）以及假定准确的Ｈ，估计出真实图像的，（ｏ，Ｙ）近似解，式（２．７）转化为代数方程

ＨＳ：９５｜∈Ｆ，ｇ∈Ｕ（２．１０）

的求解问题．

表面看来，式（２．１０）似乎很简单，但要从该式直接求出，的各个元素，对于实际图像来说其运算量是相当大的．就拿本文研究的问题来看，恢复一张２５６Ｘ２５６像素的黑白图像．此时，Ｍ＝Ｎ＝２５６，Ｈ的大小为ＭＮＸＭⅣ＝６５５３６Ｘ６５５３６，直接求，需要解６５５３６个联立线性方程组，这是相当繁琐的．而且。我们要给出一种在普通台式机上可以有效实现的恢复算法，系数矩阵日的存储单元也是必须考虑的同题，因为一个ｄｏｕｂｌｅ型稠密的矩阵需要的存储单元为６５５３６Ｘ６５５３６Ｘ８≈３２７６８Ｍｂ，这比一般机器内存大

的多．因此，必须充分利用Ｈ的循环性质，一要减少日的存储单元，二要减少联立方程组的计算复杂性，具体手段将在下一章详细给出．１１

§２－２离散问题的正则化

在上一章中，已指出图像恢复问题是一类典型的不适定的反问题，所以其对应的离散问题（２．１０）也是个病态的问题．为得到（２．１０）稳定的数值解，本节引入正则化策略．其基本思想是：用一族与原问题相邻近的适定问题的解去逼近原问题的解．自然，如何构造恢复模型的邻近问题而获得正则算子、如何控制与原问题邻近程度而决定与原始资料的误差水平相匹配的正则参数以及如何快速实现图像恢复求解过程便成为研究正则化的中心问题，这也是本文重点考虑的问题．首先给出正则算子的定义：

定义２．２Ｉｓ］一个由度量空间Ｆ到度量空间ｕ，且依赖于参数ａ＞０的算子ｎ（ｇ，ｏ）称为方程（２．１０）在ｇ＝ｇＴ的邻域内的正则算子，假如它满足下述两个条件；

（１）存在６ｌ＞０和ｏｌ＞０使得ｎ（ｇ，ａ）对ａ∈（０，ｎ１）、０≤６≤ｄｌ及Ｕ中满足不等式舳（９，卵）≤６１的所有９均有定义；

（２）存在一个集合％。＝Ｄ∈Ｕ：ｐｕ（ｇ，ｇＴ）Ｓ６１）及在其上定义的泛函Ｏ／＝ｎ（９，６），使得对任意给定的Ｅ＞０，总可以找到６（Ｅ）≤Ｊｌ，只要

ｐｕ（９，ｇＴ）≤６≤６（Ｅ），§∈Ｕ

便有

ｐＦ（厶，厅）茎Ｅ

其中，

，０＝几，ｄ）＝佗（§，ａ（§，６））（２．１１）

显然，如果舶满足阳（卯，卵）Ｓ６，则根据上述定义，将正则算子冗及泛函ｏ＝ｎ（绑，６）所确定的厶＝厶（％，５）＝冗（９６，Ｑ（卯，６））作为原问题的近似解是合理的．而且，每个这样的正则算子冗（卯，ａ（６））连同决定正则参数的不同原则和方法，都定义了构造原问题的近似解的一个稳定算法．于是，寻求原问题的稳定近似解的过程可转化为：

（１）构造正则算子冗（９，口）

（２）确定正则参数ｎ＝ｏ（６），使之与原始数据的误差水平６相匹配

构造正则算于的方法多种多样，下面重点研究的是Ｔｉｋｈｏｎｏｖ提出的基于变分原理的正则化方法【２…，通过引入所谓的展平泛函（ｓｍｏｏｔｈｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ）来构造正则算子．设方程（２．１０）存在精确解舟（当古典解不存在时可用广义解．序＝日＋ｇ来代替），对于任何Ｑ＞０称下述具有参数ｄ的泛函

Ｍ。＝ｐ刍（日，，９）＋Ⅱｎ【，］，ｇ∈Ｕ，，∈ＦｌｃＦ（２１２）

１２

河北工业大学硕士学位论文

为展平泛函：其中，只是Ｆ中的稠密子集，ｎ［ｆ】是定义在Ｒ上的非负连续泛函（称为稳定泛函），且满足下述条件：

（１）待求的ｆＴ∈乃

（２）ｖｏｒ＞０集合｛，ＩＱ［，】５ｄ＝ｃｏｎｓｔ｝是乃中的紧子集．

可以证明下面的结论

定理２．１．设日是度量空间Ｆ到度量空间Ｕ的连续算子，则Ｖｏ＞０和均∈Ｕ，ｊ厶∈Ｆ使得泛函（２．１２）在Ｆｌ上达到极小值，即：

Ｍ。魄，引２魅Ｍ“【，，引

之，定义了一个由Ｕ＿＋Ｆ的算子冗。：（２ １３）由上述定理，ＶⅡ＞０和Ｖｇ∈Ｕ，在空间Ｆ中有唯一的元素厶与之对应；换言

厶＝冗。（９，Ｄ），ｇ∈以厶∈Ｆ（２．１４）

由于算子冗。对ＶｏＬ＞０和Ｖ９∈ｕ都有定义，自然冗。对。∈（０，ＯＬｌ）及满足不等式Ｐｕ（９ｒ，邯）Ｓｄ的卯也有定义．因而，这样定义的算子满足正则算子定义的第一个条件．下面的定理表明，对于适当选择的正则参数口＝口（９ｄ，６），冗（９，ｄ）也满足正则算子的第二个条件．

定理２．２设疗是对应于方程（２．１０）的准确右端项的准确解：日厅＝ｔｉｔ．于是，ｖｅ＞０，及满足下列的在【０，６ｌ】上定义的非负、非减函数ｐｌ（口），仍（ｏ）：

志≤徘ｍ（０）＝。

均存在６０（Ｅ，卢ｌ，倪，厅）Ｓｄ１，只要

Ｐｕ（ｇｄ，ｇＴ）曼５，卯∈阢５≤５０

便有ＰＦ，ｌ露厅、Ｊ＜一Ｅ《｜｜兄扫ｄ口卯∞ｋＪ

这样我们就在连续情况下说明了正则算子的存在性，并且给出了一种构造正则算子的方法．下面讨论离散的情况，设Ⅳ“和Ｌ“分别为离散解空间与数据空间，定义如下：

Ｗ“＝｛ｆ“：／“＝（ｆｏ，＾，…，厶）Ｔ）

驴＝｛矿：ｇ“＝（ｇｏ，ｇｈ．一，‰）Ｔ）

１３

显然，上述所有定理对Ｗ“空闻和Ｌ“空间同样成立．取离散稳定泛函Ｑ［，】＝ｌＩ，“｜｜品。。它的具体形式与对待求解所篪加的条件（如光滑性要求）有关，我们得到Ｔｉｋｈｏｎｏｖ展平泛函的离散形式：

＾让［，“，９翻＝｜｜日＾，“～鲋ｈＩｌ２小＋ａＩＩ，“ｌ｜静。

称上述泛函的极小值点，即满足

Ｖ蛾ｈ‰ｈ朗２，。ｉ；ｎⅣｆ。啦∽菇１

定理２．３设ｏ＞０和醵∈Ｌ“任意给定，则

（１）问题（２．１５）的极小点髓∈Ｗ“存在且唯一；

（２）问题（２．１５）的极小点茁∈Ｗ“满足下述方程：

（Ｈ，Ｔ．Ｈ＾＋ｏＧ），“＝月吾９｝

（３）堙是关于ａ和站的连续函数．

其中的矩阵Ｃ可为单位阵，９｝∈驴（２，１５）的业∈Ｗ“为离散正则解．类似于连续正则化的情况［８１，关于极小化问题有下述结论（２．１６）

我们注意到，求解式（２．１６）为获得式（２．１５）的极小点提供了一个有效的途径，同时其在确定正则参数的求解过程中也具有重要的意义．

§２—３噪声水平已知情况下确定正则参数的准则

在实施正则化方法的过程中，确定和使用正则参数是核心问题之一，也是一个非常困难的问题，这是由问题本身的不适定性造成的．正则参数ｎ太小，构造的近似问题的解继承原问题过多的不适定因素，图像的平滑区域仍然充满着噪声；正则参数。太大，近似问题的解精度不够，图像的边缘和纹理比较模糊｛ｚａｌ．同时，确定正则参数也是一个十分有魅力的地方，近年来许多数字图像恢复有意义的成果都在这方面取得【８ｊ．

确定正则参数的准则大致分为两类，需要预知噪声能量或原图像能量信息的准则和不需要噪声能量或原图像能量信息的准则．前一类准则以原图能量、噪声能量或两者同时作为约束条件确定正则化参数，如Ｔｉｋｈｏｎｏｖ的先验估计、Ｍｏｒｏｚｏｖ的偏差原理和广义偏差原理、Ａｒｃａｎｇｅｌｉ准则等【８】、以及迭代法ｆ２６Ｊ确定正则参数等．除此之外还有比较新的方法，如自适应正则化参数方法，该方法对图像的边缘和纹理区域使用较小的正则化参数，平滑的区域使用较大的正则化参数【２７，２…．

１４

—————————————————塑韭三些地圭耋堡垒塞

１．Ｍｏｒｏｚｏｖ偏差獗理

定义偏差方程

ｑｏ（ａ）＝庙（风厶，ｇ）（２．１７）

定理２Ａ（Ｍｏｒｏｚｏｖ偏差原理）【２９】如果妒融）是单值函数，则当船（珥矗，ｇ）＞ｄ时。存在这样的Ⅱ＝Ｑ（ｄ），使得

ｐｕ（马。丘（毋，ｇ）＝５

式中，０∈｛１１Ｑ【，］＝，ｉ∈ｎＦｌｆＱ（，ｙ】）．

２．广义偏差原理

定义广望偏差方程

砌（ｏ）＝ｌＩＨ…。一卯Ｉ｝２一（ｄ＋＾ｌｌ臂０）２

岛（８）＝Ｉ｛峨嚣一船１１２一（６＋划嚣咿一ｎ，Ｉｌ嚣ＪＪ２

３．Ａｒｃａｎｇｅｌｉ准则【３１］

Ａｒｃａｎｇｅｌｉ于１９６６年几乎与Ｍｏｒｏｚｏｖ同时但独立地提出确定正则参数的一个偏差

ｌｉａｒ；一酬一击＝ｏ（２．１８）

Ｐ（＆）＝、／厂｜ｆ玩疗～卯ｆｆ

。ｌｉ。ｍｏｐ（乜）＿ｏ，熙Ｐ（乜）２ｏ。

当噪声能量或原图像能量信息已知时，上述准则都是相当有效的，其中龙以Ｍｏｒｏｚａｖ

１５要求最优正则参数∥满足砌（矿）＝０．文献ｆ３０］提出一种修改的广义偏差原理，对于，ｙ∈【０，ｏ。），我们定义为新的偏差方程．数值试验表明新原理的收敛性和稳定性均很好．方法，他主张由下式：来确定正则参数．注意到：对于每个固定的６＞０，函数对是ｎ连续、单调递增的，且有故存在唯一的一个ａ＝ａ（６）满足方程（２．１８）．偏差原理使用的最为普遍．显然，当噪声能量或原图像能量信息未知，即噪声水平未知时，它们就无能为力了．这一缺点大大限制了它们的应用范围．对于第二类准则的具体细节以及如何数值地加以快速实施，我们将在下～章讨论．

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