初三数学保送生模拟试卷

初三优秀生考试数学试卷

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．已知x?m是方程2x2?3x?1?0的根，则代数式2(2m?1)?3m的值是 （ ）

229A．1 B．2 C．3?17 D．3?17 2．已知直线y?kx?a与抛物线y??x2?bx?c交点是A（1，m）和B（-3，n），那么不等式

x2?(k?b)x?a?c?0的解是 （ ）

A．x>1 B．x<-3 C．-3-3

3．如图△ABC中，∠BAC=Rt∠，D在CB延长线上，∠DAB=∠C，DB=4，BC=5，则AB的长是 （ ） A．3 B．4 C．1513 D．1013 13134．如图，AD是△ABC的高，AB=15，AC=8，AD=6，则△ABC的外接圆半径 （ ）

A．4 B．5 C．6 D．5或6

A

D

第3题 第4题 二、填空题（每小题5分，共20分） 5．已知a、b是实数，4a2+b2=4a-2b-2=k，那么k= ． 6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，AB=12，则高CD的长等于 ．

7．已知y关于x的函数y?(a?1)x2?(2a?1)x?a（a为常量）的图象与坐标轴有且只有2个公

共点，那么a的值是 ．

BCAFEBDGC

第6题 第8题 8．如图，已知AD是△ABC的高，AD=BD=4，DC=2，E是AC上的动点，EF⊥AB于F，EG⊥BC

于G，则FG的最小值是 ． 三、解答题（共35分） 9．（10分）在古希腊，国王接到了珠宝工匠为他打造的纯金新王冠，称一称正好是他所给的纯金

重量2035g，但贪财的工匠在黄金里掺了银，于是国王叫来阿基米德进行查办，到底掺了多少

33

g的银．阿基米德用“溢水法”测出王冠的体积是110cm，已知金的密度是19.3g/cm，银的密度是10.5g/cm3，请求出王冠里掺了多少g的银．

10．（12分）张先生有一套2层的房子，每层各100m2，李先生也有一套2层的房子，他俩联系

了甲、乙两家装修公司，两家每平方米的单价分别为a元和b元（a≠b），甲公司装修两家的

楼下，乙公司装修两家的楼上．经核算，李先生楼上、楼下各花10万元． （1）用含a，b的代数式表示两位先生每平方米的平均装修单价； （2）两位先生每平方米的平均装修单价谁低？说明理由．

11．（13分）如图1，O是矩形ABCD的对称中心，过O点的直线分别交AD、BC于E、F，沿

EF折叠使A落在H，B落在G，HG交AD、CD于N、M，FG交CD与L． （1）求证：△EHN≌△FCL；

（2）我们容易证明△MND≌△MLG及△ENH∽△MND，当矩形ABCD为正方形时，设

abcAE=EH=a，HN=LC=b，EN=c，DM=d，DN=e，EN=ML=f（如图2），则有d?e?f?k（k为相似比）．

①根据正方形邻边相等，a,b,c,d,e,f还满足关系 ； ②求证：k=1；

③将图2中的直角梯形单独画出来，如图3，请用两种方法将这个梯形分割成2对全等的三角形．

aHbfHAENDMOLBFCGAaEcNeDAEAEdMfbOOLCGOBFBFBF

图1 图2 图3

数学学科试题参考答案及评分标准

一、选择题（每小题5分，共20分） 1．A 2．C 3．D 4．B 解析：

1．2(2m?1)?3m=2(3m)?3m?2m?3m?1

2222992．抛物线的开口向下，利用大致的图象，看图求解

3．由已知可得△ADC∽△BDA，∴AD2=DB×DC=36，∴AD=6，

又由相似得：AB：AC=4：6=2：3，∴设AB=2k，AC=3k，由勾股定理得 (2k)2+(3k)2=52，k=513（舍负），∴AB=1013 13134．如图，画上外接圆和直径AE，易证△ABE∽△ADC，∴15?AE，AE=20，即半径为10

68AOBEDC

二、填空题（每小题5分，共20分） 5．2 6．3 7．1,0,?1 8．610

85解析：

22

5．由4a2+b2=4a-2b-2得(4a2-4a+1)+( b2+2b+1)=0，即(2a-1)+(b+1)=0，∴a?1,b??1，

2∴k=4a2+b2=2

6．如图，作斜边上的中线CE，那么∠AEC=2×15°=30°，所以CD=CE÷2=AB÷4=12÷4=3

7．情况1：当这个函数是一次函数时，a=1；

情况2：当这个函数是二次函数，且图象过原点时，a=0；

情况3：当这个函数是二次函数，且顶点在x轴上时，(2a+1)2-4a (a -1)=0，a??1

88．如图，连BE，并取BE的中点M，连EM,GM，易证∠FMG=90°，FM=MG，故△FMG是等

腰直角三角形，∴要使FG最小，只要FM最小，即只要BE最小，此时BE为△ABC的高。 由面积关系得：1?4?6?1?25?BE，解得BE?125，

522∴FM?1BE?65，∴FG?2FM?610 255

三、解答题（共35分）

9．解：设王冠里有金x克，银y克，那么

①??x?y?2035（5分），将①、②变形得 y?x??110②??19.310.5③?10.5x?10.5y?2035?10.5?11?10.5?193 ??10.5x?19.3y?10.5?19.3?110?11?10.5?185④④-③得：8.8y=11×10.5×8，y=105，（9分）∴x=1930， 答：王冠里掺了105g的银．（10分）

10．解：（1）张先生每平方米的平均装修单价：100a?100b?a?b元；（3分）

2002李先生每平方米的平均装修单价：

20?2ab元；（7分）

10?10a?bab(a?b)2?4ab(a?b)2a?b2ab????0，（2）∵（11分）

2a?b2(a?b)2(a?b)∴李先生每平方米的平均装修单价低．（12分）

11．解：

（1）∵O是矩形的对称中心，∴AE=CF，∵AE=HE，∴HE=CF，

易证∠H=∠C，∠HEN=∠CFL，∴△EHN≌△FCL（3分） （2）①a?c?e?d?f?b；（5分）

②由已知，a?kd,b?ke,c?kf，（9分）

代入①得kd?kf?e?d?f?ke，(k?1)(d?f?e)?0， ∵d?f?e?0，∴k?1?0，∴k?1； ③列举3种：（13分）

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