流体力学4

第四章 流体动力学基础

学习要点：本章是该门课程的重点，熟练掌握三大方程的应用、伯努利方程的物理意义和流体力学意

义、适用条件及其修正等；掌握流函数与速度势函数的存在条件及其计算等；了解应力与应变之间的关系、理想流体的无漩流与有漩流、势流叠加原理等。

第一节 流体的运动微分方程

连续性微分方程是控制流体运动的运动学方程，还需建立控制流体运动的动力学方程，这就是流体的运动微分方程。

一、理想流体运动微分方程

在运动的理想流体中，取微小平行六面体(质点)，正交的三个边长dx,dy,dz,分别平行于x,y,z坐标轴(图4—1)。设六面体的中心点o＇，速度u压强ｐ，分析该微小六面体ｘ方向的受力和运动情况。

1.表面力：理想流体内不存在切应力，只有压强。

图4—1连续性微分方程

ｘ方向受压面(abcd面和a?b?c?d?面)形心点的压强为：

?p （4—1） pM?p?12?xdx?p （4—2） pN?p?12?xdx受压面上的压力为： PM?pMdydz （4—3）

PN?pNdydz （4—4）

质量力： FBx?X?dxdydz （4—5） 由牛顿第二定律

?p?x?Fxx，得： ?mdudt[(p?12?p）] dydz+X?dxdydz??dxdydzdx)-（p?12?xdxdux ，化简得： dtdux1?p?X????xdt?duy?1?p?Y???y?dt （4—6） ?duz1?pZ?????zdt? 45

?ux?ux?ux?ux1?p?X????u?u?uxyz?x?t?x?y?z???uy?uy?uy?uy1?p将加速度项展成欧拉法表达式 ?Y?? ??u?u?ux?xy?yz?z （4—7）?y?t?1?pZ?????utz?ux??uxz?uy??uyz?uz??uzz??z?用矢量表示为： f??1?p??u?t?u??u （4—8）

??上式即理想流体运动微分方程式，又称欧拉运动微分方程式。该式是牛顿第二定律的表达式，因此是控制理想流体运动的基本方程式。

1755年欧拉在所著的《流体运动的基本原理》中建立了欧拉运动微分方程式(4—7)，及上一节所述的连续性微分方程式。对于理想流体的运动，含有ux,uy,uz和ｐ四个未知量，由式(3—30)和式(3—36)组成的基本方程组，满足未知量和方程式数目一致，流动可以求解。因此说，欧拉运动微分方程和连续性微分方程奠定了理想流体动力学的理论基础。 二、粘性流体运动微分方程

一切实际流体都具有粘性，理想流体运动微分方程存在局限。为此需要建立粘性流体的运动微分方程，本书不做详细推导，仅从物理概念上做简要说明。

1．粘性流体的动压强

理想流体因无粘滞性，运动时不出现切应力，只有法向应力，即动压强ｐ。用类似分析流体静压强特性的方法，便可证明任一点动压强的大小与作用面的方位无关，是空间坐标和时间变量的函数，即：p?p(x,y,z,t)。

粘性流体的应力状态和理想流体不同，由于粘性作用，运动时出现切应力，使任一点的法向应力的大小与作用面的方位有关。如以应力符号的第—个下角标表示作用面的方位，第二个角标表示应力的方向，则法向应力pxx?pyy?pzz，进—步研究证明，同一点任意三个正交面上的法向应力之和都不变，即

pxx+pyy+pzz=p??+p??+p?? （4—9）

据此，在粘性流体中，把某点三个正交面上的法向应力的平均值定义为该点的动压强以p表示：

?? （4—10） p?13pxx?pyy?pzz如此定义，粘性流体的动压强也是空间坐标和时间变量的函数：

p?p?x,y,z,t? （4—11）

2.应力和变形速度的关系

粘性流体的应力与变形速度有关，其中法向应力与线变形速度有关，切应力则与角变形速度有关。

流动中某点的动压强p是过该点三个相互正交平面上法向应力的平均值，同某一平面上的法向应力有一定差值，称为附加法向应力，以p'xx,p'yy,p'zz。表示，它是流体微团在法线方向上发生线变形(伸长或缩短)引起的。

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?ux?pxx?p?p??p?2?xx?x??uy?? （4—12） p?p?p?p?2??yyyy?y??uz?p?p?p?p?2??zzzz?z?切应力与角变形速度的关系，在简单剪切流动中符合牛顿内摩擦定律??u内摩擦定律推广到一般空间流动,得出：

du，将牛顿dy??yz??zy??????zx??xz??????yx????xy3．粘性流体运动微分方程

???uz?y??uy?z??ux?z?uy?x???uxz （4—13） ???uyx???采用类似于推导理想流体运动微分方程式(4—6)的方法，取微小平行六面体，根据牛顿第二定律建立以应力(包括切应力)表示的运动微分方程式，并以式(4—12)、式(4—13)代人整理，使得到粘性流体运动微分方程：

?ux?ux?ux?ux21?p?X???x?v?ux??t?ux?x?uy?y?uz?z???uy?uy?uy?uy21?pY??v?u??u?u?u?yx?xy?yz?z （4—14） ??y?t?1?pZ???v?2uz???utz?ux??uxz?uy??uyz?uz??uzz??z?用矢量表示为：f?式中：?2?1?p?v?2u?2?u?t?u??u （4—15）

????2?x2???y2???z22——拉普拉斯（Laplace）算子。

自欧拉提出理想流体运动微分方程以来，法国工程师纳维(Claude.Louis.Marie.Henri. Navier，1785.2.10~1836.8.21，法国力学家、工程师)和英国数学家斯托克斯(G.Stokes，1819

－1903)等人经过近百年的研究，最终完成现在形式的粘性流体运动微分方程，又称为纳维—

斯托克斯方程(简写为N—S方程)。

N—S方程表示作用在单位质量流体上的质量力、表面力(压力和粘性力)和惯性力相平

衡。由N—S方程式和连续性微分方程式组成的基本方程组，原则上可以求解速度场ux,uy,uz和压强场

p,可以说粘性流体的运动分析，归结为对N—S方程的研究。

?ay,uy?bx,uz?0,a,b为常数。试求：(1)流动是否可能实现；(2)流

[例4—1] 理想流体速度场为ux线方程；(3)等压面方程(质量力忽略不计) 解：(1)由连续性微分方程

?ux?uy?uz???0，满足连续性条件，流动是可能实现的。 ?x?y?z (2)由流线方程

dxdydxdy??得：，bxdx?aydy， uxuyaybx2积分得流线方程： bx?ay2?c

a,b同号，流线是双曲线，a,b异号，流线是圆。

47

??(3)由欧拉运动微分方程式(4—7)，不计质量力：?????????x1?p?uy?ux?ux?abx ?y?uy?x?aby1?p??y1?p?p(dx?dy)?ab(xdx?ydy)??x?y将方程组化为全微分形式: 1?dp?ab(xdx?ydy)??积分得：

x2?y2p???ab?c'

2令p=常数 即得等压面方程：

x2?y2?c

等压面是以坐标原点为中心的圆。

第二节 元流的伯努利方程

一、理想流体运动微分方程的伯努利积分

理想流体运动微分方程式是非线性偏微分方程组，只有特定条件下的积分，其中最为著名的是伯努利(Daniel Bernoull，1700～1782，瑞士科学家)积分。

?ux?ux?ux1?p?X???x?ux?x?uy?y?uz?z???uy?uy?uy1?pY??u?u?u?x?xy?yz?z （4—16） ??y?1?pZ???ux??uxz?uy??uyz?uz??uzz??z?由理想流体运动微分方程式(4—1)

dux1?p?X???x?dt?duy?1?p （4—17） Y?????ydt?1?pzZ???du??zdt?各式分别乘以流线上微分断面的坐标投影dx，dy，dz，然后相加，得：

1(Xdx?Ydy?Zdz)????p?xduxp?p=+dx??dy?dz?y?zdtdx?duydtz （4—18） dy+dudtdz1.引入限定条件：

①．作用在流体上的质量力只有重力：X?Y?0,Z??g

(Xdx?Ydy?Zdz)??gdz （4—19）

②.不可压缩，恒定流：??C,p?p?x,y,z?

??x1?p?p?p1dx???ydy??zdz??dp?d??? (4—20)

p?③.恒定流流线与迹线重合：dx?uxdt，dy?uydt，dz?uzdt则：

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duxdtdx+

duydtduzdy+dtdz=d?22ux?u2y?uz2?d??=

u22 (4—21)

将式(4—19),式（4—20）,式(4—21)带入式(4—18)，积分得：

?gz??p?u2?C （4—22）

2即： z?或： z1?p?u （4—23） ?2g?C2p1??2u12g=z2?p2??2u22g （4—24）

上述理想流体运动微分方程沿流线的积分称为伯努利积分，所得式(4—23)和式(4—24)均称为伯努利方程，以纪念在理想流体运动微分方程建立之前，1738年瑞士物理学家和数学家伯努利根据动能原理推出的用于计算流动问题的著名方程。

由于元流的过流断面积无限小，所以沿流线的伯努利方程就是元流的伯努利方程。推导该方程引入的限定条件，就是理想流体元流伯努利方程的应用条件，归纳起来有：理想流体、恒定流动、质量力中只有重力、沿元流(流线)、不可压缩流体。 二、伯努利方程的物理意义和几何意义

1.物理意义

式(4—23)中的前两项z、

p?和z?p?的物理意义，在第二章第三节中已说明，分别是

u2单位重量流体具有的比位能、压能和比势能；是单位重量流体具有的动能，即比动能和

2gu2单位动能。三项之和z??是单位重量流体具有的机械能，称为总比能或单位总能量。

?2gp式(4—24)则表示理想流体的恒定流动，沿同一维流(沿同一流线)。单位重量流体的机械能守恒。伯努利方程又称为能量方程。

2.流体力学意义

式(4—23)各项的流体力学意义为：z是位置水头，p?压强水头；两项之和Hp?z?p?是

u2测压管水头，是流速水头，能够直接量测，

2g量测原理在随后的例题中说明。三项之和

u2称为总水头。式(4—23)则表示理想z???2gp流体的恒定流动，沿同一维流(沿同一流线)各断面的总水头相等。理想流体的水头线是水平线(图4—2)。

3.几何意义

式(4—23)各项的几何意义是不同的几何高

图4—2水头线

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度：z是位置高度，

p?测压管高度。见表4—1。

表4—1 能量方程意义表 项 目 z 单位位能 物理意义 或比位能 流体意义 几何意义 位置水头 位置高度 或比压能 压强水头 测压管高度 或比势能 测压管水头 势能高度 或比动能 流速水头 总比能 总水头 p? z??p 单位势能 u22g z?u2?+2g p单位压能 单位动能 单位总能量 [例4—2] 应用毕托(Pito.H.)管测量点流速前文指出，流速水头可直接量测，现以均匀管流为例加以说明。设均匀管流，欲量测过流断面上某点A的流速(图4—3)。

解：在该点放置一根两端开口，前端弯转90°的细管，使前端管口正对来流方向，另一端垂直向上，此管称为测速管。来流在A点受测速管的阻滞速度为零，动能全部转化为压能。测速管中液面升高

P'?。

另在A点上游的同一流线取距很近的O点，因这两点相距很近，O点的压强p实际上等于放置测速管以前A点的压强，应用理想流体元流伯努利方程：

图4—3点流速的测量

u2p'?? （4—25） ?2g?pu2p'p???h0 （4—26） 2g??式中0点的压强水头，由另—根测压管量测，于是测速管和测压管中液面的高度差h0,就是A点的流速水头,该点的流速： u?2gp'?p??2gh0 （4—27）

根据上述原理，将测速管和测压管组合成测量点流速的仪器，图4—4所示，与迎流孔(测速孔)相通的是测速管，与侧面顺流孔（测压孔或环形窄缝）相通的是测压管。考虑到粘性流体从迎流孔至顺流孔存在粘性效应，以及毕托管构造对原流场的干扰等影响，引用修正系数C：

图4—4毕托管构造

u?C2gp'?p??C2gh0 （4—28）

式中C是修正系数。数值接近于1.0，由实验测定。

【例4-3】 有一贮水装置如图（4—5）所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。

图4—5

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【解】 当阀门全开时列1—l、2—2截面的伯努利方程：

H?0?0?0?0.6pa?2v2?2g

当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本方程?H?2.8pa，求出Ｈ值：

H?2.8pa??2.8?98060?28?mH2O?，代入到上式得：

9806?0.6?98060??（m/s） ???2?9.806??2.8?9806??20.78???0.6pa?v2?2g?H????所以管内流量：qV??4d2v2?0.785?20.78?0.235m3/s??

三、粘性流体元流的伯努利方程

实际流体具有粘性，运动时产生流动阻力，克服阻力作功，使流体的一部分机械能不可逆地转化为热能而散失。因此，粘性流体流动时，单位重量流体具有的机械能沿程减少，总水头线沿程下降。

自19世纪30年代以来，人们从大量经验事实中，总结出一个重要结论。能量可以从一种形式转换成另一种形式，既不能创造、也不能消灭，总能量是恒定的，这就是能量守恒原理。因此，设hw'为粘性流体元流单位重量流体由过流断面1—1运动至过流断面2—2的机械能损失，称为元流的水头损失，根据能量守恒原理，便可得到粘性流体元流的伯努利方程：

z1?

p1??2u12g=z2?p2??2u22g' （4—29） ?hw第三节 恒定总流的伯努利方程

上一节得到了粘性流体元流的伯努利方程式(4— 29)，为了解决实际问题，还需要将其推广到总流中去。 一、渐变流及其性质

在推导总流的伯努利方程之前，作为方程的导出条 件，将流动区分为渐变流和急变流。凡质点的迁移加速 度(位变加速度)很小，(u??)u?0的流动，或者说流线

图4—7急变流和渐变流

近于平行直线的流动定义为渐变流，否则是急变流(图4—7)。

显然，渐变流是均匀流的宽延，所以均匀流的性质，对于渐变流都近似成立，主要是： 1．渐变流的过流断面近于平面，面上各点的速度方向近于平行； 2．恒定渐变流过流断面上的动压强按静压强的规律分布，即：

z??p=C （4—30）

由定义可知，渐变流没有准确的界定标准，流动是否按均匀流处理，以所得结果能否满足工程要求的精度而定。 二、恒定总流的伯努利方程

51

1. 伯努利方程的推导

设恒定总流，过流断面1—1、2—2为渐变流断面，面积为A1,A2(图4—8)。在总流内任取元流，过流断面的微元面积、位置高度、压强及流速分别为dA,z1,p1,u1;dA2,z2,p2,u2。 1由元流的伯努利方程：

图4—8 总流的伯努利方程

z1?p1??2u12g=z2?p2??2u22g?h

'w以?dQ??u1dA1??u2dA2乘上式即是单位时间通过元流两过流断面的能量关系得： z1??p1??2u12g??dQ=?z2?p2??2u22g??dQ+?h'w?dQ （4—31）

总流是由无数元流构成的，上式对总流过流断面积分，便得到单位时间通过总流两过流断面的总能量关系：

A1??z1?p1???udA+?112u12gA1?u1dA1=??z2?A2p2???udA+?222u22gA2'?dQ （4—32） ?u2dA2+?hwQ分别确定三种类型的积分 ①．第一类积分：

??z???udA

p?A因所取过流断面是渐变流断面

z??p?c，则：

）?Q (4—33)

??z???udA=（z?pp??A②．第二类积分：

?u22g?udA

A各点的速度不同，引入校正系数?，积分按断面平均速度v计算：

?u22gAuv=? (4—34) ?udA=?2g?dA2g?QA32式中：?——流速分布不均匀动能校正系数，???2g?dA?udAAu33?v3?dA2g=

Av3A，是为校正以断面平均速度计算的动能与

A实际功能的差异而引入的校正系数， 匀的流动，???1.05～1.10，它取决于过流断面上的流速分布情况，分布较均

?1.05～1.10，通常取?＝1。

Q③第三类积分：hw?dQ

积分式hw?dQ单位时间总流由1—1至2—2的械能损失。现在定义hw'为总流单位重量

Q?'?'流体由1—1至2—2断面的平均机械能损失，称总流的水头损失

'hw??dQ=hw?Q (4—35)

Q 52

将(4—33)、(4—34)、(4—35)代人式(4—32)，得：

（z1?p1?）?Q+

2?v12g?Q=（z2?p2?）?Q+

?v222g?Q+hw?Q (4—36)

两断面间无分流及汇流，Q1?Q2?Q，并除以?Q，上式得： z1?p1?+

?1v122g=z2?p2?+

?2v222g+hw （4—37）

2. 伯努利方程的适用条件

式(4—37)即粘性流体总流的伯努利方程。将元流的伯努利方程推广为总流的伯努利方程，引入了某些限制条件，也就是总流伯努利方程的适用条件包括：

⑴.不可压缩流体恒定流； ⑵.质量力只有重力；

⑶.不可压缩流体(以上引自粘性流体元流的伯努利方程)； ⑷.所取过流断面为渐变流断面； ⑸.两断面间无分流和汇流； ⑹.两断面间无能量的输入或支出； ⑺.不存在相对运动。 3. 伯努利方程的方法步骤

式(4—36)是能量守恒原理的总流表达式。下面举例说明伯努利方程的应用。

⑴.断面选择 通常选择未知量所在的断面和已知量最多的断面，它们都必须是渐变流断面；

⑵.代表点选择 无压流一般选择自由液面，有压流一般选在管道中心；

⑶.位置基准面选择 习惯选择在过各代表点最低者的水平面。位置准面选择对结果无影响；

⑷.压强基准面选择 液体一般选取相对压强；气体一般选取绝对压强。压强准面选择对结果无影响；

⑸.列伯努利方程 对于初学者，应该分项列出，对于零也应该写出。但一般只用符号代替，而不代入具体数值，以便推导出未知量的计算公式；

⑹.解伯努利方程 求解出题目中所要求的未知量； ⑺.给出答案 给出正确的答案。

[例4—4] 用直径d＝100mm的水管从水箱引水(图4—9)。水箱水面与管道出口断面中心的高差H＝4m保持恒定，水头损失hw＝3m水柱。试求管道的流量。 解:断面选择1—1和2—2以及位置基准面的选择如图所示，1—1和2—2的代表点分别选择在自由液面处和管道出口中心，按相对压强计算，列伯努利方程得：

H?0?0=0?0+

取??v22g+hw

?1.0得：v?2g(H?hw)?4.43m/s

图4—9管道出流

53

Q??d24v?0.035m3/s

3m答：管道的流量0.035/s

四、伯努利方程应用的修正

伯努利方程是古典水动力学应用最广的基本方程。应用伯努利方程要重视方程的应用条件，切忌不顾应用条件，随意套用公式，要对实际问题做具体分析，灵活运用。下面结合三种情况加以讨论。

1.气体的伯努利方程

总流的伯努利方程式(4—36)是对不可压缩流体导出的，气体是可压缩流体，但是对流速不很大(v＜60m／s)，压强变化不大的系统，如工业通风管道、烟道等，气流在运动过程中密度的变化很小，在这样的条件下，伯努利方程仍可用于气流。由于气流的密度同外部空气的密度是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考虑外部大气压在不同高度的差值。

设恒定气流(图4—10)、气流的密度为?外部空气的密度为?a，过流断面上计算点的绝对压强P1abs,P2abs。

列1—1和2—2断面的伯努利方程式： z1?p1图4—10恒定气流

?+

2v12g=z2?p2?+2g+hwv22，

?1??2?1 （4—38）

2?v2进行气流计算，通常把上式表示为压强的形式

?z1?p1abs??v122??z2?p2abs?2?pw

（4—39）

压强损失 pw??hw

（4—40）

将式(4—39)中的压强用相对压强p1,p2表示，则：

p1abs?p1?pa （4—41） p2abs?p2?pa??a?z2?z1? （4—42）式中入pa为z1处的大气压，pa??a?z2?z1?为高程z2处的大气压，代人式(4—37)，整理得：

p1?式中：

2?v12v2 ???a????z2?z1??p2??2?pw （4—43）

2p1,p2称为静压；

2?v12?v22,2称为动压，静压与动压之和称为全压。

??a???g为单位体积气体所受有效浮力，?z2?z1?为气体沿浮力方向升高的距离，乘积??a???g?z2?z1?为1—1断面相对于2—2断面单位体积气体的位能，称为位压。

式（4—43）就是以相对压强计算的气流伯努利方程。

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当气流的密度和外界空气的密度相同??为零，式（4—43）化简为：

?a，或两计算点的高度相同z1?z2时，位压

p1?2?v12?p2?2?v22?pw； （4—44）

当气流的密度远大于外界空气的密度(????a)，此时相当于流体总流，式(4—44)中?a可忽略不计，认为各点的当地大气压相同，式(4—43)化简为：

p1?除以?，即：

2?v12???z2?z1??p2?2?v22?pw （4—45）

z1?p1???1v122g?z2?p2??2?2v22g?hw （4—46）

由此可见，对于流体总流来说，压强p1,p2不论是绝对压强，还是相对压强，伯努利方程的形式不变。

2.有能量输入或输出

总流伯努利方程式(4—36)是在两过流断面间除水头损失之外，在无能量输入或输出的条件下导出的。当面过流断面间有水泵、风机等被动机(图4—11)或水轮机、气轮机等原动机(图4—12)时，存在能量的输入或输出。

图4—11有能量输入的总流

图4—12有能量输出的总流

此种情况，根据能量守恒原理，计入单位重量流体经流体机械获得或失去的机械能，式(4—29)便扩展为有能量输入或输出的伯努利方程式：

z1?p1??2?1v12g?H?=z2?p2?+

?2v222g+hw （4—47）

式中：“±”——由于原动机给流体输出能量，故选负号；而被动机吸收流体的能量，故选正号。

3.两断面间有分流或汇流

总流的伯努利方程式(4—36)，是在两过流断面间无分流和汇流的条件下导出的。而实际的供水供气管道沿程多有分流和汇流，对于两断面间有分流的流动(图4—13)，设想1—1断面的来流，分为两股(以虚线划分)，分别通过2—2、3—3断面。

对1'?1'(1—l断面中的一部分)和2—2断面列伯努利方程，其间无分流：

图4—13沿程分流

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z1?p1?+

2v12g?z2?p2?2v2??hw1?2 （4—48） 2g因所取1—1断面为渐变流断面。向l各点的势能相等，则：

z1'?p'??z1?p1? （4—49）

如1—1断面流速分布较为均匀流，则：

v'21p1v21z1???Z1???2g?2g （4—50） ?p'2v12p2v2故 z1???2g?z2???2g?hw1?2 （4—51）

p1近似成立。同理可得：

2pv2 z1?p1?v1?z3?3?3?hw1?3（4—52）

?2g?2g由以上分析，对于实际I程中沿程分流的总流，当所取过流断面为渐变流断面，断面上流速分布较为均匀，并计人相应断而之间的水头损失。

若是汇流，即设想1—1、2—2断面的来流，合为3—3断面，同理可推导出伯努利方程：

222p3v3v12p2v2p2v2z1???z2???hw1?2，z2???z3???hw2?3

?2g?2g?2g?2gp1

第四节 恒定总流的动量方程

总流的动量方程是继连续性方程式、伯努利方程式(4—36)之后的第三个积分形式基本方程，它们在流体力学及水力学中习惯地被称为三大方程，应用极为广泛。下面由动量原理，推导总流的动量方程。 一、恒定总流的动量方程

1.总流的动量方程及其推导

设恒定总流，取过流断面Ⅰ－Ⅰ、Ⅱ－Ⅱ为渐变流 断面，面积为A1,A2，以过流断面及总流的侧表面围成 的空间为控制体(图4—14)。控制体内的流体，经dt时 间，由Ⅰ—Ⅰ运动到Ⅱ—Ⅱ位置。

在流过控制体的总流内，任取元流1—2，断面面积 为dA1、dA2，点流速为u1、u2，时间dt，元流动量的 增量为：

图4—14总流动量方程推导

dK?K1'?2'?K1?2?K1'?2?K2?2'?K1?1'?K1'?2 （4—53）

因为是恒定流，dt前后K1'?2无变化，则：

dK=K2?2'?K1?1'=?2u2dtdA2u2-?1u1dtdA1u1 （4—54）

????dt时间，总流动量的增量，因为过流断面为渐变流断面，各点的流速平行，按平行矢量

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??合成的法则，定义速度u1为u2方向的基本单位向量分别为i1为i2，得：

???????dK????2u2dtdA2u2?i2????1u1dtdA1u1?i1 （4—55）

?????A2??A1?对于不可压缩流体?1??2??，并引入校正系数，以断面平均流速代替点流速积分得

?dK??dt?2v2A2v2??dt?1v1A1v1??dtQ??2v2??1v1???Fdt （4—56）

式中?是为校正以断面平均速度计算的动量与实际动量的差异而引入的校正系数，称为流速分布不均匀动量校正系数。

2u?dAA??vA2 （4—57）

?值取决于过流断面上的速度分布，速度分布较均匀的流动，??1.02～1.05，通常取??1.0。

由动量原理，质点系动量的增量等于作用于该质点系上的外力的冲量：

?Fdt??dtQ??2v2??1v1? (4—58)

?F??Q??2v2??1v1?

??Fx??Q??2v2x??1v1x???投影式 ??Fy??Q??2v2y??1v1y? (4—59)

????Fz??Q??2v2z??1v1z?式(4—58)、式(4—59)就是恒定总流的动量方程。此方程表明，作用于控制体内流体上的外力，等于单位时间控制体流出动量与流入动量之差。综合推导式(4—59)规定的条件，总流动量方程的应用条件有：恒定流、过流断面为渐变流断面和不可压缩流体。

2.动量方程应用举例

【例4—5】 水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直径管相连接处的断面1—1上压力表读数p1=17.6×104Pa，管中流量qv=0.1m3/s，若直径d1=300㎜，d2=200㎜，转角?=60°，如图4—14所示。求水对弯管作用力F的大小。

【解】 水流经弯管，动量发生变化，必然产

生作用力F。而F与管壁对水的反作用力R平衡。管道水平放置在xoy面上，将R分解成Rx和Ry两个分力。

取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，如图所示，坐标按图示方向设置。 ⑴.根据连续性方程可求得：

图4—14

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v1?qv?4?d12 0.1?4???1.42m/s??0.32v2?qv?4?2d20.1?4

?3.18?m/s?2??0.2⑵.列管道进出口的伯努利方程

p12p2?p1??v12?v22?17.6?103?1000?1.422?3.1822?17.2?103?Pa?

??2v12p2v2????2g?2g，则：

??⑶.所取控制体受力分析，进、出口控制面上得总压力：

P1?p1A1?17.6?103??4?0.32?12.43（kN） ?0.22?5.40（kN）

P2?p2A2?17.6?103??4壁面对控制体内水的反力Rx、Ry，其方向先假定如图(4—14)所示。 ⑷.写出动量方程

选定坐标系后，凡是作用力（包括其分力）与坐标轴方向一致的，在方程中取正值；反之，为负值。 沿x轴方向：

P??P2?Rx??qVv2?v1cos?1cos??

Rx??qVv2?v1cos??P2?P1cos?

(KN) ?0.1?3.18?1.42cos60??5.40?12.43cos60???0.568沿y轴方向：P1sin??Rx??qV?0?v1sin??

??Ry?P1sin???qVv1sin??12.43sin60?0.1?1.42sin60?10.88????(KN)

管壁对水的反作用力：R22?Rx?Ry???0.568?2?10.882?10.89（KN）

水流对弯管的作用力F与R大小相等，方向相反。

总流动量方程是动量原理的总流表达式，方程给出了总流动量变化与作用力之间的关系。根据这一特点，求总流与边界面之间的相互作用力问题，以及因水头损失难以确定．运用伯努利方程受到限制的问题，适于用动量方程求解。 三、动量矩方程

上面对动量定理的推导过程中所用之方法、步骤，对动量矩定理也完全适用，而所得结果与动量定理完全相似，将动量换成动量矩就成为动量矩定理；这里不作重复的推导。

恒定流动的动量矩定理为：

Aou???r?v?vdA????r?v?vdA???r?F? (4—60)

nniiAIN上式表明，在流出面上的流出动量矩与流入面上的流入动量矩之差等于外力矩之和。 常见的流体机械中，离心式水泵、风机等都是将其机械能转换为流体的动能和压能的。水轮机、气轮机等则是利用流体的动能使叶片机械转动向外输出功率，其工作原理都是相同

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的。

图4—15表示水轮机叶轮的两个叶片所形成的槽道，流体自叶轮外径r1的圆周面流入槽道，经叶轮内径r2的圆周面流出槽道，进入叶轮中心区域的导管沿轴向流出；叶轮叶片就是在流体流动时获得力矩而转动向外做功的。

假定叶片数目足够多，则叶片间的槽道可近似为一维流动，各截面上的速度是均匀的。还假定叶轮作等角速?的漩转，则叶轮中流场虽为不恒定，但叶轮中的总体动量矩不随时间变化，

可适用恒定的动量矩公式，下面我们来导出水轮机(也称涡轮机)的动量矩公式。

先选取控制面：半径r1的进口圆周团和半径r2的出口圆周团之间的流体表面，其中包括各叶片与流体之接触面；

现在分析控制面上的运动情况及受力情况。设流体以相对速度vr经半径r1的圆周团流入叶片槽道，由于半径r1的圆周速度即牵连速度ve1?r1?，则流体流入槽道的绝对速度为

图4—15

v1?vr1?ve1 (4—61)

设绝对速度为v1与圆周切向夹角为?1．则其径向vn1分量和周向分量Vt1的大小分别为

vn1?v1sin?1 (4—62)

vt1?v1cos?1 (4—63)

同理，流体在流出半径r2圆周面上的相对速度vr2，牵连速度ve2?r2?，则绝对速度为

vr2?ve2 (4—64)

设绝对速度为V2与圆周切向夹角为?2，则其径向分量Vn2和周向分量Vt2的大小分别为

vn2?v2sin?2， (4—65) vt2＝v2cos?2 (4—66)

在流量为Q的情况下，流出控制面的动量矩为其切向动量?Qvt2与半径r2的乘积，即：

?Qvt2?r2??Qv2r2cos?2 (4—67)

同理，流入控制团的动量矩为其切向动量?QVt1与半径r1之乘积，即：

?Qvt1?r1??Qv1r1cos?1 (4—68)

假定无粘性力作用，则控制面中的两圆周面上的压力合力不产生力矩，只有叶片对流体的作用力矩M'。则根据动量矩定理，(4—64)式减(4—65)式等于外力矩：

M'0??Q?v2r2cos?2?v1r1cos?1???Q?vt2r2?vt1r1? (4—69)

根据作用反作用原理，叶片上获得流体所给的作用力矩力

M0??Q?V1r1cos?1?V2r2cos?2???Q?Vt1r1?Vt2r2? （4—70）

这就是欧拉涡轮方程式，是涡轮机械的基本方程式。叶轮所获得的功率为

P?M0???Q?v1ve1cos?1?v1ve2cos?2???Q?vt1ve1?vt2ve2? （4—71）

?当流出叶片槽道的绝对速度V2的方向取半径方向，即??90时，则叶轮获得的力矩公式变

为：

M0??QV1r1cos?1??QVt1r1 （4—72）

相应地，叶轮所获得的功率公式为

P??QV1Ve1cos?1??QVt1Ve1 （4—73）

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