高中理科数学公式大全完整版

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高中数学公式大全（最新整理版）

§01. 集合与简易逻辑

1. 元素与集合的关系

U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.

2.德摩根公式

();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.

3.包含关系

A B A A B B

=?=U U A B C B C A ????

U A C B ?=ΦU C A B R ?=

4.容斥原理

()()card A B cardA cardB card A B =+-.

5．集合12{,,

,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真

子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.一元二次方程的实根分布

依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 .

设q px x x f ++=2)(，则

（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件

为0)(=m f 或2402

p q p m ?-≥?

?->??；

（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为

()()0f m f n <或2()0()0402

f m f n p q p m n >??>??

?-≥?

?<-=0)(0)(n f m f 或

??

?>=0

)(0

)(m f n f ； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402

p q p m ?-≥?

?-

8.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，

(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式

(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是

min (,)0()f x t x L ≥?.

(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二

次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是

(,)0()man f x t x L ≤?.

(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是0

00a b c ≥??

≥??>?

或2

040a b ac

10.四种命题的相互关系

原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否；

逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否；

否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；

逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否；

15.充要条件

（1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件.

（2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

§02. 函数

11.函数的单调性

(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么

[]1212()()()0x x f x f x -->?[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2121在?>--上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --

()(2

121在?<--上是减函数.

(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)

(x f

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2

为减函数.

12.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.

13．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．

14.若函数)(x f y =是偶函数，则

)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.

15.对于函数

)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函

数)(x f 的对称轴是函数2

b

a x +=;

两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图

象关于直线2

b

a x +=对称.

16若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关

于点)0,2

(a

对称;

若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期

为a 2的周期函数.

17.函数()y f x =的图象的对称性

(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=- (2)()f a x f x ?-=.

(2)函数()y f x =的图象关于直线2

a b

x +=

对称()()f a mx f b mx ?+=-

()()f a b mx f mx ?+-=.

18.两个函数图象的对称性

(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.

(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b

x m

+=

对称. (3)函数)(x f y =和)(1

x f y -=的图象关于直线

y=x 对称.

19.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线

0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.

20．互为反函数的两个函数的关系

a b f b a f =?=-)()(1.

21.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f k

y -=-,并不是)([1

b kx f y +=-,而函

数)([1b kx f y +=-是])([1

b x f k

y -=的反函数.

22.几个常见的函数方程 (1)正比例函数

()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.

(2)指数函数

()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.

(3)对数函数()log a f x x =,

()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.

(4)幂函数

()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.

(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数

()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，

0()

(0)1,lim 1x g x f x

→==.

23.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，

或)0)(()(1

)(≠=+x f x f a x f ， 或1

()()

f x a f x +=-(()0)f x ≠,

或[]1(),(()0,1)2

f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ；

(3))0)(()

(1

1)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周

期T=3a ；

(4))

()(1)

()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且

1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =?≠<-<，

则)(x f 的周期T=4a ；

(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++

()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的

周期T=5a ；

(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.

24.分数指数幂

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3

(1)m n

a =

（0,,a m n N *

>∈，且1n >）. (2)1

m n

m n

a

a

-

=

（0,,a m n N *

>∈，且1n >）.

25．根式的性质 （1

）n a =.

（2）当n

a =；

当n

,0||,0

a a a a a ≥?==?-

26．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.

(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.

注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p

表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

27.指数式与对数式的互化式

log b

a

N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. 28.对数的换底公式

log log log m a m N

N a

=

(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).

推论 log log m n

a a n

b b m

=(0a >,且

1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).

29．对数的四则运算法则

若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;

(2) log log log a a a M

M N N

=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.

§03. 数 列

30. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x

y N p =+.

31.数列的同项公式与前n 项的和的关系

11

,

1,2n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为

12n n s a a a =+++).

32.等差数列的通项公式

*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；

其前n 项和公式为

1()2n n n a a s +=

1(1)

2n n na d -=+ 211

()22d n a d n =+-. 33.等比数列的通项公式

1*11()n n

n a a a q q n N q

-==

?∈； 其前n 项的和公式为

11(1)

,11,1n n a q q s q

na q ?-≠?

=-??=? 或11

,11,1n n a a q

q q s na q -?≠?

-=??=?.

34.等比差数列{}n a :11,(0)

n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为

1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=??

=+--?≠?-?

；

其前n 项和公式为

(1),(1)

1(),(1)111n n nb n n d q s d q d

b n q q q q +-=??=-?-+≠?---?

.

§04. 三角函数

35．常见三角不等式 （1）若(0,)2

x π

∈，则sin tan x x x <<.

(2) 若(0,

)2

x π

∈

，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.

36.同角三角函数的基本关系式

22sin cos 1θθ+=，tan θ=

θ

θ

cos sin ，tan 1cot θθ?=.

37.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

21

2(1)sin ,sin()2(1)s ,

n

n n co απαα-?

-?+=??-?

4

2

1

2

(1)s,

s()

2

(1)sin,

n

n

co

n

co

α

π

α

α

+

?

-

?

+=?

?-

?

38.和角与差角公式

sin()sin cos cos sin

αβαβαβ

±=±;

cos()cos cos sin sin

αβαβαβ

±=;

tan tan

tan()

1tan tan

αβ

αβ

αβ

±

±=.

22

sin()sin()sin sin

αβαβαβ

+-=-(平方正

弦公式);

22

cos()cos()cos sin

αβαβαβ

+-=-.

sin cos

a b

αα

+)

α?

+(辅助角?

所在象限由点(,)

a b的象限决定,tan

b

a

?= ).

39.二倍角公式

sin2sin cos

ααα

=.

2222

cos2cos sin2cos112sin

ααααα

=-=-=-

.

2

2tan

tan2

1tan

α

α

α

=

-

.

40.三角函数的周期公式

函数sin()

y x

ω?

=+，x∈R及函数

cos()

y x

ω?

=+，x∈R(A,ω,?为常数，且A≠0，ω

＞0)的周期

2

T

π

ω

=；

函数tan()

y x

ω?

=+，,

2

x k k Z

π

π

≠+∈(A,

ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T

π

ω

=.

41.正弦定理

2

sin sin sin

a b c

R

A B C

===.

42.余弦定理

2222cos

a b c bc A

=+-;

2222cos

b c a ca B

=+-;

2222cos

c a b ab C

=+-.

43.面积定理

（1）

111

222

a b c

S ah bh ch

===（

a b c

h h h

、、分别

表示a、b、c边上的高）.

（2）

111

sin sin sin

222

S ab C bc A ca B

===.

(3)

OAB

S

?

=

44.三角形内角和定理

在△ABC中，有()

A B C C A B

ππ

++=?=-+

222

C A B

π+

?=-222()

C A B

π

?=-+.

45.实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;

(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

46.向量的数量积的运算律：

(1) a·b= b·a（交换律）;

(2)（λa）·b= λ（a·b）=λa·b= a·（λb）;

(3)（a+b）·c= a·c +b·c.

47.平面向量基本定理

如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那

么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、

λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的

一组基底．

48．向量平行的坐标表示

设a=

11

(,)

x y,b=

22

(,)

x y，且b≠0，则

a b(b≠0)

1221

x y x y

?-=.

49. a与b的数量积(或内积)

a·b=|a||b|cosθ．

50. a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的

投影|b|cosθ的乘积．

51.平面向量的坐标运算

(1)设a=

11

(,)

x y,b=

22

(,)

x y，则

a+b=

1212

(,)

x x y y

++.

(2)设a=

11

(,)

x y,b=

22

(,)

x y，则

a-b=

1212

(,)

x x y y

--.

(3)设A

11

(,)

x y，B

22

(,)

x y,则

2121

(,)

AB OB OA x x y y

=-=--.

(4)设a=(,),

x y R

λ∈，则λa=(,)

x y

λλ.

(5)设a=

11

(,)

x y,b=

22

(,)

x y，则

a·b=

1212

()

x x y y

+.

52.两向量的夹角公式

cosθ=(a=

11

(,)

x y,b=

22

(,)

x y).

53.平面两点间的距离公式

,A B

d=||

AB AB AB

=?

=

11

(,)

x y，B

22

(,)

x y).

54.向量的平行与垂直

设a=

11

(,)

x y,b=

22

(,)

x y，且b≠0，则

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5

A||b ?b=λa 12210x y x y ?-=. a ⊥b(a ≠0)?a ·b=012120x x y y ?+=. 55.线段的定比分公式 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则

1212

11x x x y y y λλλλ+?=??+?

+?=?+?

?12

1OP OP OP λλ+=+ ?12

(1)OP tOP t OP =+-（1

1t λ

=+）. 56.三角形的重心坐标公式

△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、

22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是

123123(,)33

x x x y y y G ++++.

57.点的平移公式

''

''

x x h x x h y y k y y k ??=+=-?????=+=-????''

OP OP PP ?=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上

的对应点为'

'

'

(,)P x y ，且'

PP 的坐标为(,)h k . 58.“按向量平移”的几个结论

（1）点(,)P x y 按向量a=(,)h k 平移后得到点

'(,)P x h y k ++.

(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a=(,)h k 平移

后得到图象'C ,则'

C 的函数解析式为()y f x h k =-+.

(3) 图象'

C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象C ,

若C 的解析式()y f x =,则'

C 的函数解析式为()y f x h k =+-.

(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a=(,)h k 平移后得

到图象'C ,则'

C 的方程为(,)0f x h y k --=.

(5) 向量m=(,)x y 按向量a=(,)h k 平移后得到的向量仍然为m=(,)x y .

59. 三角形五“心”向量形式的充要条件

设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则

（1）O 为ABC ?的外心2

2

2

OA OB OC ?==. （2）O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=. （3）O 为ABC ?的垂心

OA OB OB OC OC OA ??=?=?.

（4）O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++=.

（5）O 为ABC ?的A ∠的旁心

aOA bOB cOC ?=+.

§06. 不 等 式

60.常用不等式：

（1）,a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．

（2）,a b R +∈

?2

a b

+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．

（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> （4）柯西不等式

22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈

（5）b a b a b a +≤+≤-.

61.极值定理

已知y x ,都是正数，则有

（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；

（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值

24

1s . 推广 已知R y x ∈,，则有

xy y x y x 2)()(22+-=+

（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,|

|y x +最大；

当||y x -最小时,||y x +最小.

（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；

当||y x -最小时, ||xy 最大. 62.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有

2

2x a x a a x a

22x a x a x a >?>?>或x a <-.

63.无理不等式 （1

()0()0

()()f x g x f x g x ≥??

>?≥??>?

. （2

）

2()0

()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥?≥??

>?≥??

?>?

或.

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6

（3

2()0()()0

()[()]f x g x g x f x g x ≥??

?>??

. 64.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,

()()()()f x g x a a f x g x >?>;

()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??

>?>??>?

.

(2)当01a <<时,

()()()()f x g x a a f x g x >?<;

()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??

>?>??

§07. 直线和圆的方程

65.斜率公式

21

21

y y k x x -=

-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.

66.直线的五种方程

（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点

111(,)P x y ，且斜率为k )．

（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截

距).

（3）两点式

11

2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y

(12x x ≠)).

(4)截距式 1x y

a b

+=(a b 、分别为直线的横、

纵截距，0a b ≠、)

（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时

为0).

67.两条直线的平行和垂直

(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+

①121212||,l l k k b b ?=≠;

②12121l l k k ⊥?=-. (2)若

1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,

①111

12222

||A B C l l A B C ?

=≠

； ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 68.夹角公式 (1)21

21

tan |

|1k k k k α-=+.

(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)

(2)1221

1212

tan |

|A B A B A A B B α-=+.

(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,

12120A A B B +≠).

直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2

π. 69. 1l 到2l 的角公式

(1)21

21

tan 1k k k k α-=

+.

(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)

(2)1221

1212

tan A B A B A A B B α-=+.

(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,

12120A A B B +≠).

直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是

2

π. 70．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为

00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线

1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为

111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是

0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,

λ是参变量．

71.点到直线的距离

d =

(点00(,)P x y ,直线l ：

Ax By +).

72. 圆的四种方程

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7

（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程

220x y Dx Ey F ++++=(22

4D E F +-＞0).

（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ

θ

=+??=+?.

（4）圆的直径式方程

1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).

73. 圆系方程

(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是

1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ?--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．

(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆

C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是

22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待

定的系数．

(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆

2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是

2222

111222()0

x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．

74.点与圆的位置关系

点00(,)P x y 与圆2

22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种

若d =

d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆

上;d r

75.直线与圆的位置关系 直线0=++C By Ax 与圆

222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

0相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d .

其中2

2

B

A C Bb Aa d +++=

.

76.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，

d O O =21

条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

条公切线相交22121??+<<-r r d r r ;

条公切线内切121??-=r r d ; 无公切线内含??-<<210r r d .

77.圆的切线方程

(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=． ①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是

0000()()

022

D x x

E y y x x y y

F ++++

++=. 当00(,)x y 圆外时, 000

0()()

022

D x x

E y y x x y y

F ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．

②过圆外一点的切线方程可设为

00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．

③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．

(2)已知圆2

2

2

x y r +=．

①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为

200x x y y r +=;

②斜率为k

的圆的切线方程为

y kx =±. §08. 圆锥曲线方程

78.椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的参数方程是

cos sin x a y b θ

θ

=??

=?. 79.椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>焦半径公式

)(21c a x e PF +=，)(2

2x c

a e PF -=.

80．椭圆的的内外部

（1）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的

内部2200

221x y a b

?+<.

（2）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的

外部2200

221x y a b

?+>.

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8

81. 椭圆的切线方程

(1)椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上一点00(,)

P x y 处的切线方程是00221x x y y

a b +=.

（2）过椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>外一点

00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y y

a b

+=. （3）椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>与直线

0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.

96.双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式

21|()|a PF e x c =+，2

2|()|a PF e x c

=-.

82.双曲线的内外部

(1)点00(,)P x y 在双曲线

22

2

21(0,0)x y a b a b

-=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22

2

21(0,0)x y a b a b

-=>>的外部2200221x y a b ?-<. 83.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为122

22=-b

y a x ?渐近线方程：

22220x y a b -=?x a

b y ±=. (2)若渐近线方程为x a

b

y ±=?0=±b y a x ?双

曲线可设为λ=-22

22b

y a x .

(3)若双曲线与122

22=-b

y a x 有公共渐近线，可设为

λ=-2

2

22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.

84. 双曲线的切线方程

(1)双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上一点

00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y

a b

-=.

（2）过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>外一点

00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y y

a b

-=. （3）双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>与直线

0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.

100. 抛物线px y 22

=的焦半径公式

抛物线2

2(0)y px p =>焦半径02

p CF x =+

. 过焦点弦长

p x x p

x p x CD ++=+++

=21212

2. 85.抛物线px y 22

=上的动点可设为P )

,2(2

y p

y 或或)2,2(2

pt pt P P (,)x y ，其中 22y px =.

86.二次函数

2

2

24()24b ac b y ax bx c a x a a

-=++=++(0)a ≠的图象

是抛物线：（1）顶点坐标为2

4(,)24b ac b a a

--；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a

-+-；（3）准线方程是2414ac b y a

--=.

87.抛物线的内外部

(1)点00(,)P x y 在抛物线2

2(0)y px p =>的内部

22(0)y px p ?<>.

点00(,)P x y 在抛物线2

2(0)y px p =>的外部22(0)y px p ?>>.

(2)点00(,)P x y 在抛物线2

2(0)y px p =->的内

部2

2(0)y px p ?<->.

点00(,)P x y 在抛物线2

2(0)y px p =->的外部

22(0)y px p ?>->.

(3)点00(,)P x y 在抛物线2

2(0)x py p =>的内部22(0)x py p ?<>.

点00(,)P x y 在抛物线2

2(0)x py p =>的外部22(0)x py p ?>>.

(4) 点00(,)P x y 在抛物线2

2(0)x py p =>的内

部2

2(0)x py p ?<>.

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9

点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ?>->.

88. 抛物线的切线方程

(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+. （2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. （3）抛物线22(0)y px p =>与直线

0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 89.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是 12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数). (2)共焦点的有心圆锥曲线系方程

22

221x y a k b k +=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.

90.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB =

1212||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程???=+=0

)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0?>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）. 91.圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成

轴对称的曲线是 2222

2()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++--=++. 92.“四线”一方程 对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用

002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02

y y +代y 即得方程 0000000222x y xy x x y y Ax x B Cy y D E F ++++?++?+?+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方

程得到. §09. 立体几何 93．证明直线与直线的平行的思考途径

（1）转化为判定共面二直线无交点；

（2）转化为二直线同与第三条直线平行；

（3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.

94．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 95．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点；

（2）转化为线面平行；

（3）转化为线面垂直. 96．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直；

（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 97．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 98．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 99.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ． (2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)．

(3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ．

100.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 101.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a=λb ． P A B 、、三点共线

?||AP AB ?AP t AB =?(1)OP t OA tOB =-+. ||AB CD ?AB 、CD 共线且AB CD 、不共线?AB tCD =且AB CD 、不共线. 102.共面向量定理 向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的?存在实

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10

数对,x y ,使p ax by =+．

推论 空间一点P 位于平面MAB 内的?存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使

OP OM xMA yMB =++.

103.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点

共面；若O ?平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．

C A B 、、、

D 四点共面?AD 与AB 、AC 共面?AD xAB yAC =+?

(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ?平面ABC ）.

104.空间向量基本定理

如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝xa ＋yb ＋zc ．

推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使

OP xOA yOB zOC =++.

105.向量的直角坐标运算

设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 106.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则

AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.

107．空间的线线平行或垂直

设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r

，则 a b r r P ?(0)a b b λ=≠r r r r ?12

121

2x x y y z z

λλλ=??

=??=?；

a b ⊥r r ?0a b ?=r r

?1212120x x y y z z ++=.

109.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则

,A B d =||AB AB AB

=

?=.

110.点Q 到直线l 距离

h =

(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA ，向量b=PQ ).

111.异面直线间的距离

||

||

CD n d n ?=

(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).

112.点B 到平面α的距离

||

||

AB n d n ?=

（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）.

113.异面直线上两点距离公式

d θ

.

',d EA AF =. d =（'

E AA

F ?=--）.

(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'

AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).

已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则

①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.

114.球的半径是R ，则

其体积34

3

V R π=

, 其表面积2

4S

R π=．

115.球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长

. (2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:

棱长为a ,外. 116．柱体、锥体的体积

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11

1

3V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）

. 1

3

V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）

.

§10. 排列组合二项定理

117.分类计数原理（加法原理）

12n N m m m =+++. 118.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =???. 119.排列数公式

m

n

A =)1()1(+--m n n n =！

！

)(m n n -.(n ，m ∈

N *

，且m n ≤)．

注:规定1!0=. 120.排列恒等式

(1）1

(1)m m n n

A n m A -=-+; （2）1m m

n n n A A n m -=

-; （3）1

1m m n n A nA --=;

（4）11n n n

n n n nA A A ++=-;

（5）1

1m m m n n n

A

A mA

-+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?++?=+-.

121.组合数公式

m n C =

m n m

m

A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！

)(m n m n -?(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).

122.组合数的两个性质

(1)m n C =m

n n C - ;

(2) m n C +1-m n C =m n C 1+.

注:规定10=n C .

123.组合恒等式

（1）1

1m

m n n n m C C m --+=

; （2）1m m

n n n C C n m -=-; （3）11m

m n n n C C m

--=;

（4）

∑=n

r r n

C

=n

2;

（5）1

121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C .

(6)n n

n r n n n n C C C C C 2210=++++++

负整数解有 11

n m n C +--个.

124.二项式定理 r

r n r n n n n n n n n b a C b a C b a C a C b a +

+++++=+--- 222110)( ;

二项展开式的通项公式

r

r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，

=.

§11、12. 概率与统计

125.等可能性事件的概率

()m

P A n

=

. 126.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和

P(A ＋B)=P(A)＋P(B)．

127.n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．

128.独立事件A ，B 同时发生的概率 P(A ·B)= P(A)·P(B).

129.n 个独立事件同时发生的概率

P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．

130.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率

()(1)

.k k n k

n n P k C P P -=- 131.离散型随机变量的分布列的两个性质

（1）0(1,2,)i P i ≥=; （2）121P P ++=.

132.数学期望

1122n n E x P x P x P ξ=++++

133.数学期望的性质

（1）()()E a b aE b ξξ+=+.

（2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. (3) 若ξ服从几何分布,且

1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E p

ξ=

. 134.方差

()()()2

2

2

1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?+

+-?+

135.标准差

σξ=ξD .

136.方差的性质

(1)()2

D a b a D ξξ+=；

(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-.

(3) 若ξ服从几何分布,且

1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则2q

D p

ξ=

. 137.方差与期望的关系

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12

()2

2D E E ξξξ=-.

138.正态分布密度函数

(

)()

()2

2

26,,x f x x μ--=

∈-∞+∞，式中的实

数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.

139.标准正态分布密度函数

(

)()2

2,,x f x x -=∈-∞+∞.

.

140.回归直线方程

y a bx =+，其中

()()()1122211n n

i i i i i i n n

i i

i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx

====?

---?

?==?--??

=-?∑∑∑∑. 141.相关系数

()(

)

n

i i x x y y r --=

∑

()(

)

n

i

i

x x y y --=

∑|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.

§13. 极 限

142.特殊数列的极限

（1）0||1lim 1

1||11

n

n q q q q q →∞

不存在或.

（2）

1101100()

lim ()()k k k k t t t n t t k

k t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-?

+++?==?+++??>?

不存在 . （3）(

)11

1lim

11n

n a q a S q

q

→∞

-==

--（S 无穷等比数列}{11

n a q - (||1q <)的和）.

143. 函数的极限定理

lim ()x x f x a →=?0

lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.

144.函数的夹逼性定理

如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足： （1）()()()g x f x h x ≤≤;

（2）0

lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==（常数）,则

lim ()x x f x a →=.

本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立. 145.几个常用极限

（1）1

lim

0n n

→∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；

（2）00lim x x x x →=，00

11

lim x x x x →=.

146.两个重要的极限 （1）0sin lim

1x x

x

→=；

（2）1lim 1x

x e x →∞

??

+= ???

(e=2.718281845…).

147.函数极限的四则运算法则

若0

lim ()x x f x a →=，0

lim ()x x g x b →=，则

(1)()()0

lim x x f x g x a b →±=±????；

(2)()()0

lim x x f x g x a b →?=?????;

(3)()()()0lim 0x x f x a b g x b

→=≠. 148.数列极限的四则运算法则 若lim ,lim n n n n a a b b →∞

→∞

==，则

(1)()lim n n n a b a b →∞

±=±；

(2)()lim n n n a b a b →∞

?=?；

(3)()lim

0n n n

a a

b b b →∞=≠

(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞

→∞

→∞

?=?=?( c 是常数).

§14. 导 数

149.)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）

000000()()()lim lim

x x x x f x x f x y

f x y x x

=?→?→+?-?''===??.

150.瞬时速度

00()()()lim

lim t t s s t t s t s t t t

υ?→?→?+?-'===??.

151.瞬时加速度

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13

00()()()lim

lim t t v v t t v t a v t t t

?→?→?+?-'===??.

152.)(x f 在),(b a 的导数

()dy df

f x y dx dx

''===

00()()lim lim x x y f x x f x x x

?→?→?+?-==??. 153. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.

154.几种常见函数的导数

(1) 0='C （C 为常数）. (2) '1()()n n x nx n Q -=∈. (3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln =

'；e a x

x a log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a x

x ln )(='.

155.导数的运算法则

（1）'

'

'

()u v u v ±=±. （2）'

'

'

()uv u v uv =+.

（3）''

'2

()(0)u u v uv v v v

-=≠. 156.复合函数的求导法则

设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数

)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且

'''

x u x

y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=.

§15. 复 数

157.复数的相等

,a bi c di a c b d +=+?==.（,,,a b c d R ∈）

158.复数z a bi =+的模（或绝对值） ||z =||a bi +

159.复数的四则运算法则

(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++; (2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-; (3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++; (4)

2222

()()(0)ac bd bc ad

a bi c di i c di c d c d

+-+÷+=

++≠++. 160.复数的乘法的运算律

对于任何123,,z z z C ∈，有 交换律:1221z z z z ?=?.

结合律:123123()()z z z z z z ??=??. 分配律:1231213()z z z z z z z ?+=?+? . 161.复平面上的两点间的距离公式

12||d z z =-=（111z x y i =+，222z x y i =+）.

162.向量的垂直

非零复数1z a bi =+，2z c di =+对应的向量分别是

1OZ ，2OZ ，则

12OZ OZ ⊥?12z z ?的实部为零?

2

1

z z 为纯虚数?2221212||||||z z z z +=+

?2221212||||||z z z z -=+?1212||||z z z z +=-?0ac bd +=?12z iz λ= (λ为非零实数).

163.实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程2

0ax bx c ++=，

①若2

40b ac ?=->,

则1,2x =②若2

40b ac ?=-=,则122b x x a

==-;

③若2

40b ac ?=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C

内有且仅有两个共轭复数根

2

40)x b ac =-<.

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