新课标高考数学试题的命制的回眸与展望

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新课标高考数学试题的命题的回眸与展望

——兼析2010年高考数学（理科）试题

海南华侨中学 李红庆

新课标高考数学试题的命题的回眸与展望

新课程高考已经在最初进行课程改革的海南、宁夏、山东、广东四省（区）考了4年，作为海南重点中学的教研组长，连续3年受海南省考试局聘任的高考数学阅卷质量检查员，海南省高考数学方案《考试说明》的起草与论证的专家组成员，经历了4年考前调研试题的制作，3年试题评卷质量检查监督，连续4年试题分析与评价报告．可以说新课程高考过程我具备完整的履历．另外，这几年我为报刊杂志写了不少模拟试题，压轴题的预测的文章，连续3年的试题分析与评价报告都发表在考试专业委员会的刊物《考试研究》上，对2007年海南、宁夏试题的研究的文章《“沿袭”与“创新”永远是高考数学命题的主旋律》发表在《数学通报》2008年第3期上，对2009年海南、宁夏试题的研究的文章《一览庐山真面目 方知身在此山中》发表在《数学通报》2009年第8期上，对2010年理科数学第21题的文章《一道新课标高考试题解法机理分析及其通性通法》发表在《中学数学》2010年第9期上．今天我报告的内容：高考数学命题特点的4年回眸，今年数学命题走向的展望，并兼评析2010年高考数学（理科）试题． 一、4年命题特点回眸

1．4年试题内容分布结构：

2007年试题内容分布结构示图解：

2008年试题内容分布结构示图解：

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2009年试题内容分布结构图解：

2010年试题内容分布结构图解：

2．试题出现的特点： 必修一：前3年是1道简单的集合运算和1道函数的性质；2010年有3道小题，明显必修一考点与传统试题在靠拢．

必修二：前3年是1道三视图的体积计算或三视图与基本不等式结合运算，1道在在长方体模型下位置关系判断，1道与空间向量都能解决的立体几何大题；2010年必修二的内容明显在增加，必修二分值提高了10分．

必修三：前3年是1道算法框图，1道统计的数值特征，1道必修三与选修2-3结合的大题；2010年必修三只有1道程序框图，必修三连续3年考点较多，今年有明显的下降． 必修四：前3年是1道三角函数图像，1道三角变换，1道平面向量与其他知识结合的小题，如果不出现数列大题时，或出现一道平面向量与三角结合的大题；2010年只有一道涉及到半角公式的三角变换小题，考点数和分值明显减少．

必修五：前3年是1或2道数列小题，1道不等式小题，如果不出现数列大题时，或出现一道解三角形的大题，或与算法结合解三角形的大题，或出现一道数列大题，不难会与推理结合；2010年是1道解三角形的余弦定理和面积公式的试题，1道考查数列递推关系，叠加方法求通项和错项相减求和的大题，尽管是放的第17题的位置，既考常规又有一定的难度，考点与分值明显增加．

选修2-1：内容与分值比较稳定，前3年是1或2道涉及到圆锥曲线性质的小题，1道简单逻辑用语的小题（命题的否定，充分、必要条件判断，与、或、非运算），1道与必修二都能解决的立体几何大题，1道圆锥曲线的大题；2010年考试内容比较常规，分值稳定． 选修2-2：考试内容与分值比较稳定中稍有加强，前3年是1道简单的复数运算，或1道导数的分析函数性质或积分题，1道导数解决函数性质的大题（考查分类讨论思想）；2010年是1道复数小题，1道圆锥曲线小题，1道导数应用和1道各分小题，1道传统的导数应

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用的分类讨论大题，分值、难度、考点明显在变化．

选修2-3：稳定中有点减弱，前3年与必修三结合整合成一道大题，1道计数原理或二项式定理小题，或统计案例的内容大题；2010年小道二项分布小题，1道独立检验的大题，但难度较小，每年都在选修2-3中找实际应用试题，应该说对新增加的内容考遍了，可以预测概率统计类应回归传统了．

3．内容没有变但考点在变换

内容分值基本上没有太多变化，但考点在变，如：考简单逻辑用语的内容： 2007年考点是全称命题的否定，已知命题p：?x?R，sinx?1，则 （ ） A．?p：?x?R，sinx?1 B．?p：\x R，sinx?1 C．?p：?x?R，sinx?1 D．?p：\x R，sinx>1 2008年考点是充分与必要条件，平面向量a，b共线的充要条件是 （ ） A．a，b方向相同 B．a，b两向量中至少有一个是零向量 C．???R，b??a D．存在不全为零的实数?1，?2，?1a??2b?0 2009年考点是判断命题的真假，有四个关于三角函数的命题： p1：?x?R，sin2x2?cos2x2?12 p2：?x，y?R，sin(x?y)?sinx?siny

?2 p3：?x?(0,?]，1?cos2x2?sinx p4：sinx?cosx?x?y?

其中的假命题是 （ ）

A．p1，p4 B．p2，p4 C．p1，p3 D．p2，p3 2010年考点是考两个命题的“或”、“且”、“非”的运算：

已知命题p1：函数y?2x?2?x在R上为增函数，p2：函数y?2x?2?x在R上为减函数，则在命题q1：p1?p2，q2：p1?p2，q3：(?p1)?p2和q4：p1?(?p2)中，真命题是（ ） A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4

纵观命题的走向，2007年仅考全称命题的否定的表达式的书写，不判断真假；2008年

表面考充要条件，实质上考存在命题的概念，对于答案C来说，存在?是有前提条件是a?0，并且?是能找出来的，即??ba，存在命题的存在是具体的东西，不是抽象的；2009年考

判断以三角函数为背景的全称、特称命题的真假．2010年试题走向可以继续考充要条件，也可能考两个命题的“或”、“与”、“非”的判断；今年考点预测比较困难，因为当考的考点都考遍了．

又如：统计内容，2007年考统计的数字特征之一方差问题，2007年试题：甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表

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s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差．则有（ ）

（A）s3?s1?s2 （B）s2?s1? s3 （C）s1?s2?s3 （D）s2?s3?s1

点评：本题采用又“算”又“不算”的方法最好，“算”注意提出公因数，“不算”注意规律，如x1?5??7?8?9?10?20?5??7?10??5??8?9?20?17??5?5?20中不要约分，再

如s1??5??1.5?2?5??0.5?2?5?0.5?2?5?1.5?2?，把式子整理：

?20?110210122?10?12或?8??1.5?10?8?或?10??0.5?． ?10?20?1s1??(5?5)?1.52?(5?5)?0.52???20?1 本题还可以利用标准差的“平均距离”的含义，不经过计算直接得到结论．

2008年考的统计的茎叶图，2008年试题：从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：

甲品种：271 273 280 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 354 356 由以上数据设计了如下茎叶图：（略）

根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：① ；② ．

对变量x，y有观测数据(xi,yi)（i?1，2，?，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui,vi)（i?1，2，?，10），得散点图2．由这两个散点图可以判断 （ ）

A．变量x与y正相关，变量u与v正相关 B．变量x与y正相关，变量u与v负相关 C．变量x与y负相关，变量u与v正相关 D．变量x与y负相关，变量u与v负相关

纵观命题的走向，统计从考数值特征，茎叶图，统计案例的散点图的相关性，从大题来看，已经考了统计数据的直方图与数学期望，实际上也考了数据的折线图，2010年考了统

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计案例中独立检验，现在的走向是回归直线的偏差、残差图和统计的抽样方法问题，数据的表格与扇形图，这些考点是命题的考量，当也可以把考点转向离散变量问题．

4．同一考点但难易程度有变化，如复数考点为例：

2007年试题：i是虚单位，

?5?10i3?4i= （用a?bi的形式表示，a，b?R）

z?2zz?122008年试题：已知复数z?1?i，则?（ ）

A．2i B．?2i C．2 D．?2 2009年试题：复数

3?2i2?3i?3?2i2?3i等于（ ）

A．0 B．2 C．?2i D．2i 2010年试题：已知复数z?14123?i(1?3i)2，z是z的共轭复数，则z?z?（ ）

A． B． C．1 D．2

前4年都是考复数加减运算与分母实数化，2010年新增加了共轭复数概念考查，难度明显增大了．

5．新课标与大纲的试题的区别 以立体几何多面体试题为例，新课程主要考查视图、识图能力，计算图形的表面积与体积，新教材中不定义正棱锥、正棱柱、正棱台，教材的重点是视图、识图与计算，2007年、2009年考棱锥的三视图的体积，2008年考以长方体为模型的三视图与基本不等式交融问题，实行新课程的其他试题对三视图考查也多．

又以算法的试题为例，这三年都考查了算法的框图问题，对于算法还是我在2007年讲的话，算法框图是以考查赋值框，判断框，输出输入框等功能的基础，从思维推理和代数运算角度考查学生，对于程序编写，还不能进行考查，其一，教材使用的程序还没有完全统一；其二，考虑到幅员辽阔国情，城乡差别较大，如果出现编写程序的题对考生有失公平．2009年考了以解三角形为背景的算法思想，这是一道非常好的题目．

2009年理科第17题是一道开放性有度且可控的经典之作．它可以从新课程所倡导的研究性学习，算法思想和测量问题的实验的角度上解决问题，当然这道本质是考查算法思想，就算法思想而言，考生思考空间还比较广阔的，下面列举一些可行的方案．

试度用开放性命题，但每次试验都不太成功，2008年茎叶图定性描述，学生描述非常混乱，试题极不好评分，2010年也是填空题，答案是开放的，应该说确切答案应是：圆锥、三棱锥、正四棱锥，当然还有三棱柱、一个侧面垂直于底面且底面是矩形的四棱锥等，问题是符合上述条件的四棱锥其实也是四棱锥，三棱柱也有符合条件的，也有不符合条件的，究竟填哪答案才符合题目的外延呢？！因此，这类试度是失败的．

二、今年高考试题命题的走向

统计、概率与离散变量的分布列命题走向

统计、概率与离散变量分布列类的试题，国家考查中心命制试题往往受到它旗杆、引领作用的限制，这几年试题几乎把必修三和选修2-3新增加的内容都考够了，07年几何概型与二项分布相结合的试题，08年考查离散变量的线性关系的数学期望、方差关系，09考查统计数据的直方图，数据的期望，2010年还考查统计数据的频率分布直方图、数据的概率、分类变量的独立检验（辽宁第18题和全国新课标第19题）．从国家考试中心命制其他两题来看，在概率试题上专家在骨子里还是考查注重过程分析的离散变量分布列问题，从全国新

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课标试题的选择题来看，试题已经向大纲试题回归，我预测概率统计类试题也应该向大纲试题回归了．现在是时候了．

辽宁省理科18题：为了比较注射A ，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组

2注射药物B ．表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果．（疱疹面积单位： mm）

表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布表

疱疹面积 [60，65） [65，70） [70，75） [75，80） 频 数 30 40 20 10 表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布表 疱疹面积 [60，65） [65，70） [70，75） [75，80） [80，85） 频 数 10 25 20 30 15 （Ⅰ）完成下面频率分布直方图，并且比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；

注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图

注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图

（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”． 表3：

注射药物A 注射药物B 合 计 疱疹面积小于70mm2 疱疹面积不小于70mm2 合 计 n= a= c= b= d= 状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。

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附：K?2n(ad?bc)2(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)．

0．025 5．024 0．010 6．635 0．001 10．828 P（K2≥k） k 0．100 2．706 0．050 3．841 全国大纲试题Ⅰ理科18题：投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过初审专家的评审的概率均为0.5，复审稿件能通过评审的概率为0.3．各位专家独立评审．

（Ⅰ）求投向该杂志的1篇稿件被录用的概率；

（Ⅱ）记X表示投到杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望． 解析：（Ⅰ）记A表示事件：稿件能通过初审专家的评审；

Bj（j=1，2）表示事件：稿件能通过第j位初审专家的评审；

C表示事件：稿件能通过复审专家的评审．

因为P(Bj)?0.5，P(C)?0.3，则有A?B1B2?(B1B2?B1B2)C，

所以，P(A)?0.5?0.5?(0.5?0.5?0.5?0.5)?0.3?0.4；

（Ⅱ）因为X~B(4,0.4)，X?0，1，2，3，4．则X的分布列为 P(X?k)?C4k0.4k?0.64?k（k?0，1，2，3，4）

X的数学期望是EX?4?0.4?1.6． 评析：考查事件的相互的逻辑关系，互斥事件的概率、二项分布与数学期望，属于注重过程分析，设分事件处理问题比较方便． 全国大纲试题Ⅱ理科20题：如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．

（Ⅰ）求p；

（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率； （Ⅲ）?表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求?的期望．

解析：记Aj表示事件：电流能通过元件Tj（j?1，2，3，4）； A表示事件：T1，T2，T3中至少一个能通过电流； B表示事件：电流能在M与N之间通过． （Ⅰ）A?A1?A2?A3，A1，A2，A3相互独立，

则P(A)?P(A1?A2?A3)?(1?p)3?1?0.999?0.001，则p?0.9有； （Ⅱ）B?A4?A4(A1?A1A2)?A3，则有

P?B??P(A4)?P(A4)(P(A1)?P(A1)P(A2))P(A3)?0.9891

（Ⅲ）由于电流通过电子元件的概率都是0.9，且电流能否通过电子元件是相互独立，

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所以，?~B(4,0.9)，E??4?0.9?3.6．

导数应用与函数的命题走向分析：

导数应用与函数类试题的命题，往往选择对数和指数函数为背景，考查函数的单调性，含参量的分类讨论，求不等式恒成立的条件，今年从国家考试中心命制的理科4份试题来看，围绕着两个重要不等式ex?x?1（仅当x?0时等号成立），ln(1?x)?x及其变式，如：全国新课标试题第21题（ex?x?1），全国大纲Ⅱ理科第22题（ex?x?1）；全国大纲Ⅰ第20题（用x?1替代ln(1?x)?x中的x，得lnx?x?1?0，再用得?ln1x?1x1x替代lnx?x?1?0中x，

?1?0；辽宁省试题还是沿袭过去分类讨论的风格．

辽宁理科第21题：已知函数f?x??(a?1)lnx?ax2?1． （Ⅰ）讨论函数f?x?的单调性；

（Ⅱ）设a??1，如果对任意x1，x2?(0,??)，f?x1??f?x2??4x1?x2，求a的取值范围．

解析：（Ⅰ）函数f?x?的定义域为(0,??)，f??x??2ax?a?1x2，

当a??1时，f??x??0，故函数f?x?在(0,??)上是减函数； ?a?12a?a?12a当?1?a?0时，令f??x??0得，x?，若x?(0,)时，f??x??0；若

x?(?a?12a故函数f?x?在(0,,??)时，f??x??0．

?a?12a在()上是增函数；

?a?12a,??)上是减函数．

当a?0时，f??x??0，故函数f?x?在(0,??)上是增函数． （Ⅱ）由（Ⅰ）当a??1时，函数f?x?在(0,??)上是减函数， 不妨设0?x1?x2，则

f?x1??f?x2??f?x1??f?x2?，4x1?x2?4(x2?x1)，

对任意x1，x2?(0,??)，f?x1??f?x2??4x1?x2等价于

f?x1??4x1?f?x2??4x2恒成立，则函数g?x??f?x??4x在(0,??)上是减函数，

g??x??2ax?4x?a?1x2?0在(0,??)上恒成立，即a?(?4x?12x?12)min，

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因为?4x?12x?12?4(x??2(x?14214)14)?98?2(x?14?4)?98(x?14)?1?2?494?1??2，

)?(x?所以，a??2，故a的取值范围是(??,?2]．

全国大纲Ⅰ理科第20题：已知函数f?x??(x?1)lnx?x?1． （Ⅰ）若xf??x??x2?ax?1，求a的取值范围； （Ⅱ）证明：(x?1)f(x)?0．

解析：（Ⅰ）函数f?x?的定义域为(0,??)，f??x??x?1x?lnx?1?

xlnx?1x，

2xf??x??x?ax?1，则a??x?lnx在区间(0,??)上恒成立，令h(x)??x?lnx，

h??x???1?1x，令h??x??0得x?1，则h?x?max?h(1)??1，故a的取值范围[?1,??)；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，h?x???x?lnx??1，即lnx?x?1?0，

当0?x?1时，f?x??(x?1)lnx?x?1?xlnx?lnx?x?1?xlnx?0，又x?1?0， 所以(x?1)f(x)?0；

当x?1时，f?x??lnx?(xlnx?x?1)?lnx?x(?ln1x?1x?1)?lnx?0， 所以(x?1)f(x)?0．注意：考查不等式ln(1?x)?x！ 全国大纲Ⅱ理科第22题：设函数f?x??1?e?x． （Ⅰ）证明：当x??1时，f?x??（Ⅱ）设当x?0时，f?x??xax?1xx?1；

，求a的取值范围．

xx?1解析：（Ⅰ）证明：当x??1时，f?x??x等价于ex?x?1，令g?x??ex?x?1，

g??x??e?1，若?1?x?0时，g??x??0；若g??x??0．所以g(x)?g(0)?0，

即ex?x?1，故当x??1时，f?x??xx?1；

1a（Ⅱ）由题设x?0知，f?x??1?e?x?0，当a?0时，存在x??所以f?x??xax?1，

xax?1?0，

不成立；当a?0时，f?x??xax?1等价于axf?x??f?x??x?0，

?x令h?x??axf?x??f?x??x，h??x??af(x)?axf??x??f??x??1，f??x??e?1?f?x?，

则 h??x??af(x)?axf(x)?ax?f(x)．

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（i）当0?a?12时，由（Ⅰ）知，x?(x?1)f?x?，于是

h??x??af?x??axf?x??a(x?1)f?x??f?x??(2a?1)f?x??0，

则 h?x?在[0,??)上是减函数，h?x??h?0??0，即f?x??（ii）当a?12xax?1成立；

时，由（Ⅰ）知：ex?x?1，e?x?1?x，即x?f?x?，于是

h??x??af(x)?axf(x)?ax?f(x)?af?x??axf?x??af(x)?f?x?， 即h??x??(2a?ax?1)f?x?，存在0?x? 即 ?x?(0,2a?1a2a?1a，使得h??x??0，

xax?1)时，h?x??h(0)?0，所以f?x??1不成立，

综上所述：实数a的取值范围是[0,]．

2另解：（Ⅱ）f?x??1?1ex?xax?1对x?0成立，由1?ax?1exx1ex?0知a?0，

又 ax?1?0，则ax?1??x，若x?0时，a为任意实数；

若x?0时，得a?1?x?e?1x(e?1)1x2x，令u(x)?x?e?1x(e?1)xx?1e?1x?1x， ∴ u??x???exx2(e?1)x??0？，从而u?x?在(0,??)上递增，

a?lim[1?x?0x?1?exx(e?1)?1?12]?1?limx?1?exxx?0x(e?1)?1?lim1?exxxx?0e?1?xe?1?lim?exxxx?02e?xe

?1?limx?02?x，故实数a的取值范围是[0,]．

21 解析几何试题命题的走向分析：

解析几何试题命题方向比较稳定，还是在考查圆锥曲线各种几何量及位置关系，考查直线与圆锥曲线的位置关系，试题命题挥不去的向量情结，解题方法上也挥不去的根与系数的关系的情结．注意传统教材中一些好的东西，尽管新课标减掉了，但解题的帮助较大，也要适当向学生介绍，如圆锥曲线的焦半径公式，今年试题使用焦半径公式做比较简捷． 辽宁理科第20题：设F1，F2分别为椭圆C：

xa22?yb22?1（a?b?0）的左、右焦点，

过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60?，F1到直线l的距离为23． （Ⅰ）求椭圆C的焦距；

?????????（Ⅱ）如果AF2?2F2B，求椭圆C的方程．

?解析：（Ⅰ）设椭圆的焦距F1F2?2c，依题意，2c?sin60?23，得c?2，故焦距为4；

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????????? （Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由AF2?2F2B及l的倾斜角为60?，

直线l的方程为y???y?223(x?2)．

联立?3(x?2)2222，得4(3?b2)y2?43b2y?3b4?0（∵a2?b2?4）

??bx?ay?ab 由韦达定理知，y1y2???????????3b244(b?3)，y1?y2??3b22b?3，

因为AF2?2F2B，y1??2y2，令y2?Y，则y1??2Y， 所以，?2Y?y1y2??23b244(b?3)3b22，得Y?23b248(b?3)24b242，---------①

?Y?y1?y2??b?3，得Y?28(b?3)，--------②

由①、②得，b2?5，从而得，a2?9， 故椭圆C的方程为

x29?y25?1．

另解（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)， 由于l的倾斜角为60?， 直线l的方程为y?3(x?2)．

??y?3(x?2)222422 联立?22，4(b?3)(x?2)?4b(x?2)?b?0（∵a?b?4） 2222??bx?ay?ab????????? 因为AF2?2F2B，得2?x1?2(x2?2)，令x2?2?t，则x1?2??2t，

依韦达定理得，?t?(x1?2)?(x2?2)???2t?(x1?2)(x2?2)??2b22b?32，得t?b24b22b?3，------①

b244(b?3)，得t?8(b?3)，-------②

由①、②得，b2?5，从而得，a2?9， 故椭圆C的方程为

x29?y25?1．

全国大纲Ⅰ理科第21题：已知抛物线C：y2?4x的焦点为F，过点K(?1,0)的直线l与

C相交于A，B两点，点A关于x轴对称点为D． （Ⅰ）点F在直线BD上；

????????8（Ⅱ）设FA?FB?，求△BDK的内切圆

9M的方程．

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解析：（Ⅰ）证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则D(x1,?y1)，直线l的方程为x?my?1， 联立??x?my?1?y?4x2，得y2?4my?4?0，依韦达定理得，y1?y2?4m，y1y2?4，

22直线BD的方程为y?y2?令y?0，得x??y1y24y2?y1x2?x1(x?y14)，即y?y2?4y1?y2(x?y24)，

?1，故点F在直线BD上．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，y1?y2?4m，y1y2?4，x1?1?my1?2，x2?1?my2?2，

????????88 则 (x1?1)(x2?1)?my1y2?2m(y1?y2)?8?8?4m，由FA?FB?得，8?4m2?，

9922 解之：m??43，则直线l：3x?4y?3?0或3x?4y?3?0，

16?79434y2?y1377由（Ⅰ）知，判别式△?16(m2?1)?，|y2?y1|?7，kBD???，

直线BD的方程为3x?7y?3?0或3x?7y?3?0，因为A关于x对称点为D，则KF为

?BKD的角平分线，设圆心为(t,0)，则3|195?1|?|3t?3|51?|3t?3|449，解之t?19或t?9（舍），

半径r?23，故圆M方程为(x?)2?y2?9．

xa22全国大纲Ⅱ理科第21题：已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B，D两点，且BD中点为M(1,3)．

（Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|?|BF|?17，

证明：过A，B，D三点的圆与x轴相切．

?yb22?1（a?0，b?0）

解析：（Ⅰ）由题设知，直线l：y?x?2，设B(x1,y1)，D(x2,y2)，

联立??y?x?2?bx?ay?ab?0222222，得(b2?a2)x2?4a2x?a2(4?b2)?0，

ca依韦达定理：x1?x2?4a222b?a?2，得2a?(c?a)?a，得e?2222?2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）双曲线C：3x2?y2?3a2?0（a?0），A(0a), x1?x2?2，x1x2??4?3a22，F(2a,0)，

?0，不妨设x1??a，x2?a，则

|BF|?(x1?2a)2?y12?4x1?4ax1?a22?a?2x1，

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2 |DF|?(x2?2a)2?y2?4x2?4ax2?a22?2x2?a，

所以，|BF|?|DF|?(a?2x1)(2x2?a)=2a(x1?x2)?4x1x2?a2=5a2?4a?8?17， 解之：a?1或a??95（舍），故|BD|?2|x1?x2|?6，|MA|?3，

则|MB|=|MD|=|MA|=3，经过B，D、A三点的圆为

(x?1)2?(y?3)2?9，且点M到x轴的距离也等于圆的半径3， 故过A，B，D三点的圆与x轴相切． 立体几何与空间向量命题走向分析：

由于空间向量普通使用，立体几何试题变得相对“简单”了，学生在心理对立体几何的恐惧感有所减弱，但近几年立体几何试题命题的走向，考查设未知数，未知位置点的问题，给予的图形让空间直角坐标系不赋置上，预测立体几何试题的走向，还是考查未知线段的量、空间角，甚至可以考查点的未知位置问题．

辽宁理科第19题：已知三棱锥P?ABC中，PA?平面ABC，AB?AC，

PA?AC?12AB，N为AB上一点，AB?4AN，M，S分别为PB，BC的中点．

（Ⅰ）证明：CM?SN；

（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小．

解析：由PA?平面ABC，AB?AC，可建立如图所示空间直角坐标系A?xyz，因为PA?AC?12AB，可设PA?2a，则AC?2a，AB?4a，依题意可求出：B(4a,0,0)，C(0,2a,0)，P(0,0,2a)，M(2a,0,a)，N(a,0,0)，S(2a,a,0)

（Ⅰ）∵CM?(2a,?2a,a)，SN?(?a,?a,0)，

?????????∴CM?SN?2a?(?a)?2a?(?a)?a?0?0， ??????????????????∴CM?SN，故CM?SN；

（Ⅱ）设平面CMN的法向量为n?(x,y,1)，

????????? ∵CN?(a,?2a,0)，CM?(2a,?2a,a)，

???????x?2y?0?CM?n?0∴ ?????，即?，解之：

2x?2y?1?0???CN?n?0x??1，y??12，∴n?(?1,?32a?1222,1)，设SN与平面CMN所成角为?，

????|SN?n|??则sin?????|SN||n|32a?2，∴???4，

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故SN与平面CMN所成角的大小为45?．

全国大纲Ⅰ理科第19题：四棱锥S?ABCD中，SD?底面ABCD，AB∥DC，AD?DC，AB?AD?1，DC?SD?2，E为棱SB上的一点，平面EDC?平面SBC．

（Ⅰ）证明：SE?2EB；

（Ⅱ）求二面角A?DE?C的大小．

解析：建立空间直角坐标系D?xyz（如图）

A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，（Ⅰ）因为E为棱SB上的一点，设SE??EB， S(0,0,2)，

设平面SBC的法向量n?(x,y,1)， ∵BC?(?1,1,0)，CS?(0,?2,2)，

???????x?y?0?BC?n?0∴????，即?， ??2y?2?0???CS?n?0???????????????解之：x?1，y?1，所以n?(1,1,1)， ∵SB?(1,1,?2)，SE??EB，

????????????1?12∴ (1??)EB?SB?(1,1,?2)，BE?(,,)，

1??1??1????????????????????????????2??2??2∴DE?DB?BE?(，又∵ ,,),,) CE?CD?DE?(1??1??1??1??1??1??∵y轴?平面CDE，∴可设平面CDE的法向量为m?(a,0,1)， ??????????∴

?1??a?21???0，a??2?，所以m?(?22?,0,1)，

由平面EDC?平面SBC得，n?m?????????∴SE?2EB，即SE?2EB．

??1?0，解之??2，

????222（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DE?(,,)，

333由于x轴?平面ADE，设平面ADE的法向量为p?(0,b,1)，

????22所以DE?p?b??0，解之：p?(0,?1,1)，由（Ⅰ）知，m?(?1,0,1)，

33设二面角A?DE?C的大小为?（90????180?），

|cos?|?|p?m||p||m|?12，∴??120?，

故二面角A?DE?C的大小120?．

全国大纲Ⅱ理科第19题：如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1

的中点，E为AB1上一点，AE=3EB1．

（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1和CD 的公垂线；

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（Ⅱ）设异面直线AB1和CD的夹角为45?，求二面角A1?AC1?B1的余弦值．

解析：（Ⅰ）证明：以B为原点，分别以射线BA，BB1为x轴，y轴建立空间直角坐标系B?xyz．设AB=2，由于AC=BC，设等腰△ABC的底边上的高为c．则

B(0,0,0)，A(2,0,0)，A1(2,2,0)，B1(0,2,0)，C(1,0,c)，

C1(1,2,c)，因

????D为BB1的中点，D(0,1,0)，

?????3???33AB1?(?,,0)， 422∵AB1?(?2,2,0)，又∵AE=3EB1，∴AE?????????????1311∴ BE?(,,0)，DE?(,,0)，DC?(1,?1,c)，

2222????????1????????1∴DE?DC??1??(?1)?0?c?0，∴DE?DC，即DE?DC

22????????????????11∵ DE?AB1??2??(?2)?0?0?0，∴ DE?AB1，即ED?AB1，

22故DE为异面直线AB1和CD 的公垂线．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB1?(?2,2,0)，DC?(1,?1,c)，

?????????|AB1?DC|42??????∴ cos????，解之：c??24|AB1||DC|2222?c????????2， ∵y轴∥平面AA1C1，∴平面AA1C1法向量可设n?(x,0,1)， 又 AC1?(?1,2,2)，∴ AC1?n??x?2?0，得x??????设平面AC1B1的法向量为m?(a,b,1)，B1C1?(1,0,????????2，即n?(2,0,1)，

2)，

????????AC1?m?0??a?2b?2?0?a??2因为?????，即?，解之：?， ?????a?2?0?b??2?B1C1?m?0∴ m?(?2,?2,1)，设二面角A1?AC1?B1的大小为?，则

cos??|n?m||n||m|?1515，故二面角A1?AC1?B1的余弦值为1515．

数列试题命题走向分析：

由于新课标试题只有5道解答试题，数列与三角按大小年分配，数列与三角交换进行，如今年考查了数列大题，明年就可以考查2-3道数列小题，就数列命题而言，它应该与推理与证明结合比较好，可以选择递推数列，但难度不宜过大，最好是由特殊情形得到一般情形，由于新课标是把数列的要求与难度提高了，不是减弱了，应该把一阶和二阶线性递推数列落实到位，还有一次分式数列也要落实到位，请上http://my.hersp.com/600055/blog.aspx看文章《谈高考数学试题中递推数列解题模式研究》，就能可能出现递推数列解法搞明白．

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考生的空间想象能力．考查三个视图轮廓线的概念．

15．过点A?4,1?的圆C与直线x?y?1?0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为 命制意图与评析：直线与圆相切的性质，圆的切线的性质及圆的方程，考查对基础知识与基础概念的掌握．

16．在△ABC中，D为边BC上一点，BD?12?DC，?ADB?120，AD?2．若△ADC的面积为3?3，则?BAC?

命制意图与评析：考查了解斜角三角形的二大内容：三角形面积公式和余弦定理，也考查了考生的转化思想和处理几何信息的能力． 17．设数列?an?满足a1?2，an?1?an?3?22n?1． （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

（Ⅱ）令bn?nan，求数列?bn?的前n项和Sn． 解：（Ⅰ）由an?1?an?3?22n?1，令n?1，2，?，n?1， 得a2?a1?3?21， a3?a2?3?23， a4?a3?3?25， ??????

an?an?1?3?22n?3，上述n?1个式相加，得 an?a1?3(2?2?2???2（Ⅱ）bn?nan?12n?4，则Sn?n352n?3)?2?3?k2(1?4n?1)1?42?22n?1；

1n?2k4?12(1?4?2?4???n?4n)

k?1 令Tn?1?4?2?42???n?4n???，则4Tn?1?42?2?43???(n?1)4n?n4n?1???② ②—①得，?3Tn?(4?4???4)?n4所以，Tn?因此，Sn?4929(1?4)??29n2nn?1?4(1?4)1?4nn?n?4n?1，

4n3?4?nn49?49(3n?1)?4，

(3n?1)?4．

命制意图与评析：考查数列的递推关系，等比数列前n的求和公式，用叠加法求通项公式，用错位相减的求和公式，这些都是数列的通性通法，但难度较大，错位相加考生学习过程并不困难，但真正被考生掌握是特别困难的，新课程背景下的考生运算能力极差，是中学数学教育中无法回避的短板，也是考生很难跨过的一道坎．

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18．如图，已知四棱锥P?ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC?BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点． （Ⅰ）证明：PE?BC；

（Ⅱ）若?APB??ADB?60?，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值． 解法一：（Ⅰ）延长EH交BC于F，

在△CAB和△DBA中，

∵ABCD为等腰梯形， ∴CB?DA，

?CBA??DAB，

AB?BA，

∴△CAB≌△DBA，

∴?3??5，

又∵EH是直角三角形AHD斜边的中线 ∴ AE?EH， ∴?1??2??4，

在直角三角形AHD中，

?1??3?90，即?4??5?90，

??∴?HFC?90?，即EH?BC，

又∵PH?平面ABCD，BC?平面ABCD， ∴PH?BC图，

又∵PH，EH是平面PEH内两相交直线， ∴BC?平面PEH， 又∵ PE?平面PEH ∴ PE?BC； （Ⅱ）由于△AHB是等腰直角三角形，则?HAB?45?， 又因为ADB?60?，则?1?30?，设AB?AP?a，则

ADsin45??ABsin6022?，得AD?222463a，EH?66a，设PH?h，则

h?a?(2a)?2a，作AK垂直HE延长线于K，则AK?平面PEH，

AKAP24 则AK?AHsin?2?a，所以，sin?APK?24?，

故直线PA与平面PEH所成角的正弦值是．

解法二：易知AC，BD，PH两两垂直，建立空间直角坐标系H?xyz（如图），

Ph? 由于ABCD为等腰梯形，设AH?BH?m，CH?DH?n（n?m），H，

则A(m,0,0)，B(0,m,0)，C(?n,0,0)，D(0,?n,0)，P?0,0,h?，由于E是AD中点， 则E(,0)，-------------3分

22????mn （Ⅰ）∵EP?(?,,h)，

22,?mn状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。

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????∵BC?(?n,?m,0)，

∴ EP?BC??????????????????m2?(?n)?n2， ?(?m)?h?0?0（此算式1分，没有扣1分）

∴ EP?BC，即PB?BC；

（Ⅱ）∵PA?(m,0,?h)，PB?(0,m,?h)，∵APB?60?，

∴ cos60??????????h22222?12，即2h2?m2?h2，???①

m?h?????m?h????∵DA?(?m,?n,0)，∵DB?(0,?n?m,0)， ∴cos60??n(n?m)m?n?(n?m)22?nm?n22?12，即m?3n，???②

由①、②得，m?3n，h?3n，

因为z轴?平面PEH，

所以平面PEH的法向量可设n?(x,1,0)，

????mn 由于HE?(,?,0)， 22????mnn3 所以，HE?n?x??0?0，解之x?，即n?(,1,0)，

322m????所以，AP?(?3n,0,3n)，设线PA与平面PEH所成角是?，

????AP?n?则sin??????APnn6n?43?24，

故直线PA与平面PEH所成角的正弦值是24．（1分）

命制意图与评析：以四棱锥为背景来考查空间几何线线垂直、直线与平面成角、平面

几何中等腰梯形的性质及空间向量应用中平面法向量的设置和用公理体系中直面成角的定义与角的找法．应该说难倒考生道不空间几何问题，而是平面几何问题和考生的分析问题与解决问题的能力．中学数学教育中另一短板是学生的平面几何知识学的很不扎实，其原因除课标因素外，另一个原因是中考的命题，初中不是基础教育的最终学段，中考中有相当多的内容不列入考试，致使很多内容初中没有学．按新课标之理念，初中有对称图形对折叠问题，高中有合情推理问题，命题者怎么不能想到考生中百分之九十的人不会用等腰梯形对角线的对称性（AH=BH，CH=DH）．在立体几何中设未知数问题本来几年前外省考试中已经是一种趋势，但对于见到未知量就怕的新课标下的考生确是又是迈不过的一道坎．

19．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

性别 是否需要志愿者

男

女

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需要

不需要

40 160

30 270

（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（Ⅱ）是否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由． 附：

P(K?k) k 20．050 0．010 0．001 3．841 6．635 10．828 k?2n(ad?bc)2?a?b??c?d??a?c??b?d?

30?40500解：（Ⅰ）该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例估计为

（Ⅱ）k?2?14%；

500(40?270?160?30)70?430?200?3002?9.967?6.635，

所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关； （Ⅲ）由（Ⅱ）知有99%把握认为老年人是否需要提供帮助与性别有关， 抽样时按老年人的性别抽样，其中需要提供帮助男老年人的比例是P1?需要提供帮助女老年人的比例是P2?30500?6%．

40500?8%；

命制意图与评析：考查独立检验的2×2列联表，抽样调查方法，设计抽样方法搜集数据和用样本估计总体等知识．试题难度不大，但对于这类问题中学教学中注意不够，是容易被忽视的内容．这几年高考把课标2-3新增加的内容都已经考了，对于概率与统计离散数学试题的走向不好判断了，应该回归过程事件分析中．

20．设F1，F2分别是椭圆E：

xa22?yb22?1（a?b?0）的左、右焦点，过F1斜率为1的

直线l与E相交于A，B两点，且AF2，AB，BF2成等差数列． （Ⅰ）求E的离心率；

（Ⅱ）设点P(0,?1)满足PA?PB，求E的方程． 解（Ⅰ）由AF2，AB，BF2成等差数列得，

AF2?BF2?2AB，

由椭圆定义AF2?AB?BF2?4a， 所以，AB?43a，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB：y?x?c，

?b2x2?a2y2?a2b2?0联立?，得(b2?a2)x2?2a2cx?a2(c2?b2)?0，

?y?x?c状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。

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x1?x2??2acb?a222，x1x2?2a(c?b)b?a22222（或△?4a2b2(b2?c2?a2)?8a2b4）

?b?a22x1?x2?AB?（或x1?x2?(x1?x2)?4x1x2（弱智公式）

2?22abb?a222），

221?1|x1?x2|?4ab222b?a?432222a，即a?2b?2a?2c，解之e?2；

（或用焦半径公式：|AB|?2a?e(x1?x2)?2a?（Ⅱ）设椭圆E：

x222cab?a22?4322a，a?2c）

2b?yb22，由于PA?PB，则点P(0,?1)在线段AB的?1（b?0）

?x2?2y2?2b2?0中垂线上，设AB中点M(x0,y0)，联立?，3x2?4bx?0，

?y?x?bx0?x1?x22??b32b3，y0??232b3?b?b3，线段AB的中垂线：y?x2b3??(x?23将点P(0,?1)b)，

代入得，?1???b，解之b?3，故椭圆E：

18?y29?1．

命制意图与评析：考查直线方程和直线与圆锥曲线的关系，利用方程思想分析位置关系，

同时考查了等差数列的定义，都属于传统平面解析试题．如果使用焦半径公式做可能更简捷些，命题者往往喜欢在新增内容和减弱处命题，但解答绝对是不超纲的，对数学试题而言超不超纲，学问全在做答案上．平时命制试题要说让课标和考纲去见鬼吧！ 21．设函数f?x??ex?1?x?ax2． （Ⅰ）若a?0，求f?x?的单调性区间； （Ⅱ）若x?0时，f?x??0，求a的取值范围．

解：（Ⅰ）若a?0时，f?x??ex?1?x的定义域为(??,??)，

xf??x??e?1，令f??x??0，得x?0，

作出f??x?的根轴图：

（或当x?(??,0时)，f??x??0，当

f??x??0）， x?(0,??时，)所以，f?x?的减函数区间是(??,0)；增函数区间是(0,??)．

x（Ⅱ）（i）若a?0时，f??x??e?1?2ax由于ex?x?1，f??x??x?2ax?(1?2a)x，

（i）若1?2a?0，即a?(1?2a)x?0，得x?0，

12时，当x?0时，f??x??0，而f(0)?0，

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