量子力学课后答案

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? ? ? ? ? ? ? 第一章绪论

第二章波函数和薛定谔方程第三章力学量的算符表示第四章态和力学量的表象第五章微扰理论第六章弹性散射

第七章自旋和全同粒子

?301.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：?mT?b, b?2.9?10m?C。

证明：由普朗克黑体辐射公式：

8?h?31 ??d??d?， h?3c ekT?1c c及?? 、d???2d?得 ?? 8?hc1?? ?5， hc?e?kT?1

d?hc令x? ，再由??0，得?.所满足的超越方程为 ?d? kTxex 5?x e?1

hc x?4.97，即得用图解法求得?4.97，将数据代入求得?mT?b, b?2.9?10?3m?0C ?mkT

1.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie波长. 0hh?10解：? ???7.09?10m?7.09A p2mE

# 3E?kT，求T?1K时氦原子的de Broglie波长。 1.3. 氦原子的动能为 2 h0hh?10??12.63?10m?12.63A 解：? ??p2mE3mkT ?23?1其中m?4.003?1.66?10?27kg，k?1.38?10J?K

# 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量。（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。

绪论第一章B?10T，玻尔磁子?B?0.923?10?23J?T?1，求动能的量子化间隔?E，并与T?4K及已知外磁场T?100K 的热运动能量相比较。 p21解：（1）方法1：谐振子的能量E????2q2 2?2

p2q2可以化为??1 22

?2E?2?E? ????2???

的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为a?2?E,b?，相空间面积为 2 ?? 2?EEpdq??ab???nh,n?0,1,2,? ?? E?nh?,n?0,1,2,? 所以，能量方法2：一维谐振子的运动方程为q????2q?0，其解为

q?Asin??t???

速度为 q??A?cos??t???，动量为p??q??A??cos??t???，则相积分为

2222TTA??A??T222pdq? A??cos??t???dt?(1?cos??t???)dt??nh，n?0,1,2,? 0022

22A??nh E???nh?，n?0,1,2,? 2T 2?v?v evB?（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由，得R? eBR

?2 pdq?nh,n?1,2,3,?，以?,p???Rv??R??eBR2分别表示广义坐标和相应再由量子化条件的广义动量，所以相积分为 2?n?2n?1,2,?，，由此得半径为，n?1,2,?。 p?d??pd??2??Rv?2?eBR?nhR? ?0eB 2??11eBR122n? ?E??v2????eB?n?BB 电子的动能为???222?eB??

动能间隔为?E??BB?9?10?23J E?kT，所以当T?4K时，E?4.52?10?23J；当热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为T?100K 时，E?1.38?10?21J。

1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子

波长最大是多少？

ch 解：转化条件为，即有 h???ec2，其中?e为电子的静止质量，而??，所以????ec

0 h6.626?10?34?max???c??0.024A（电子的康普顿波长）。 ?318 ?c9.1?10?3?10e

?????????

第二章波函数和薛定谔方程

2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令 ???( r，t)??(r)f(t)

i?Et?

??(r)e?

?i? J?(???*??*??)2m

iiii ?Et?Et???Et???Et*??i? ?[?(r)e?（?(r)e）??*(r)e??（?(r)e?）]

??i?*?*? ?[?(r)??(r)??(r)??(r)]2m ? 可见 J与t无关。

2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：

1ikr1?ikr (1)??e (2)??e 12rr

从所得结果说明?1表示向外传播的球面波，?2表示向内(即向原点) 传播的球面波。 ??

解：J1和J2只有r分量

???1??1? 在球坐标中 ??r0 ?e??e??rr??rsin???

i?** ?(1) J1?(?1??1??1??1) 2m i?1ikr?1?ikr1?ikr?1ikr? ?[e(e)?e(e)]r0

2mr?rrr?rr

i?111111? ?[(?2?ik)?(?2?ik)]r02mrrrrrr

?k??k? ?r?r203

mrmr? ? J1与r同向。表示向外传播的球面波。 ?i?** J?(2) (?????2222??)2m

i?1?ikr?1ikr1ikr?1?ikr? (e)?e(e)]r0 ? [e2mr?rrr?rr

? ?i?[1(?1?ik1)?1(?1?ik1)]r 02mrr2rrr2r

?k??k? ??r??r 203?? 可见，J2与r反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。 mrmr补充：设?(x)?eikx，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？

?*?dx?dx?? ???

2 ∴波函数不能按?(x)dx?1方式归一化。

? 其相对位置几率分布函数为 2

????1表示粒子在空间各处出现的几率相同。

2.3 一粒子在一维势场

??，x?0 ? 0?x?a U(x)??0，

??，x?a?

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解： U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程 ?2d2?(x)?U(x)?(x)?E?(x) ?2 2mdx 在各区域的具体形式为

?2d2 ??1(x)?U(x)?1(x)?E?1(x) ① Ⅰ：x?0 2mdx2 ?2d2?2(x)?E?2(x) ② Ⅱ： 0?x?a ? 2mdx2 22?d x?a ??3(x)?U(x)?3(x)?E?3(x) ③ Ⅲ：22mdx

由于(1)、(3)方程中，由于U(x)??，要等式成立，必须 ?1(x)?0 ?2(x)?0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

d2?2(x)2mE ?2?2(x)?0 方程(2)可变为2dx?

令k2?2mE，得 ?2

d2?2(x)

?k2?2(x)?0 2 dx 其解为 ?2(x)?Asinkx?Bcoskx ④ 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得

?2(0)??1(0) ⑤ ???

?2(a)??3(a) ⑥ ⑤ ?B?0 ?A?0 ⑥ ?Asinka?0 ?sinka?0?ka?n? (n?1, 2, 3,?)

n? x ∴?2(x)?Asina 由归一化条件 2 ?(x)dx?1 ? a22n??得 A?sin0axdx?1 由 ?absinm?n?ax?sinxdx??mn aa2?A? 2a2n?sinxaa

2mE2 ?k ? 2?

?2?22 n (n?1,2,3,?)可见E是量子化的。 ?En?22ma

对应于E n的归一化的定态波函数为 i?2 n???Entsinxe, 0?x?a? ?n(x ,t)??aa? 0, x?a, x?a?1

2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是A?? a n???Asin(x?a), x?a? 证：?n?? a? 0, x?a? 由归一化，得 an?21??ndx?A?2sin2(x?a)dx??a a a1n??A?2[1?cos(x?a)]dx?a2 aa

A?2A?2an?x?cos(x?a)dx ? 2?a2?aa

a2 ?A?2a?A??asinn?(x?a)2n?a ?a ?A?2a1

∴归一化常数A?? a2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。

1??2x2?

解：?(x)? ?2?xe2 2? 22?2?1(x)??1(x)?4?2??x2e??x 2? 2?3222??x ??xe

22d?1(x)2?3 ?[2x?2?2x3]e??x ?? 2(x)?????dx?

d?1(x)1x?? x??? ? 令 0，得 x?0 ?dx

x???时，?1(x)?0。显然不是最大几率的位置。由?1(x)的表达式可知，x?0 ，d2?1(x)2?322223??2x2 而 ?[(2?6?x)?2?x(2x?2?x)]edx2 ? 3224??[(1 ?5?2x2?2?4x4)]e??x

?d2?1(x)4?311? ??2?0 ，可见是所求几率最大的位置。 x????2edx1????x??2 #

2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(?x)?U(x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。

证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为

? 2d2 ??(x)?U(x)?(x)?E?(x) ① 2 ?dx2 ?2d2 将式中的x以(?x)代换，得 ??(?x)?U(?x)?(?x)?E?(?x) ② 2?dx2

?2d2利用U?(?x)?U(x)?(?x)?E?(?x) ③ (?x)?U(x)，得 ?2?dx2

比较①、③式可知，?(?x)和?(x)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写

的是同一个状态，因此?(?x)和?(x)之间只能相差一个常数c。方程①、③可相互进行空间反演

(x?? x)而得其对方，由①经x??x反演，可得③， ?(?x)?c?(x) ④ ? 由③再经 ?x?x反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 ?(x)?c?(?x) ⑤ ?

④乘 ⑤，得 ?(x)?(?x)?c2?(x)?(?x)，可见，c2?1，所以 c??1

?(?x)??(x)，??(x)具有偶宇称，当c? ?1时， ?(?x)???(x)，??(x)具有奇宇称，当c? ?1时， U(?x)?U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。当势场满足

2.7 一粒子在一维势阱中

??U0?0, x?a U(x )?? x?a?? 0,

运动，求束缚态(0?E?U0)的能级所满足的方程。

解：粒子所满足的S-方程为

?2 d2 ??(x)?U(x)?(x)?E?(x) 2? dx2(x)的形式分区域的具体形式为按势能U ?2 d2 Ⅰ：??(x)?U0?1(x)?E?1(x) ???x?a ① dx212??2 d2 Ⅱ：? ?2(x)?E?2(x) ?a?x?a ② 2?dx2 ?2d2 Ⅲ：? ?3(x)?U0?3(x)?E?3(x) a?x?? ③ 22?dx

整理后，得

Ⅰ： ?1???2?(U0?E)2?1?0 ④

? Ⅱ： . ??2? 2??E?2?2?0 ⑤

Ⅲ： ??3??2?(U0?E)?3?0 ⑥

?2 令 k22?(U0?E)1??2 k22?2?E?2 则 Ⅰ：

???k2 Ⅱ： ?11?1?0 ⑦

. ??22??k2?2?0 ⑧ Ⅲ：

??3??k21?1?0 ⑨ 各方程的解为

??kx?Bek1x1 ?Ae1 ? 2?Csink2x?Dcosk2x ? ?k3 ?Ee1x?Fe?k1x

由波函数的有限性，有

? 1(??)有限 ?A?0? 有限 ?E?0 3(?)因此

?1 ?Bek1x? ?Fe?k 1x3 由波函数的连续性，有

(?a)??2(?a),?Be?k1a??Csink2a?Dcosk2a ?1? (?a)???2(?a),?kk1Be?1a?k2Ccosk2a?k2Dsink2a ?(a)???k2a?Dcosk2a?Fe1a2 3(a),?Csink ?? (a)??3?(a),?k2Ccosk2a?k2Dsink?k22a??k1Fe1a 整理 (10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 ?k1a eB?sink2aC?cosk2aD?0?0 k1e?k1aB?k2cosk2aC?k2sink2a D?0?0 0?sink?cosk?ka0 2aC2aD?e1F? 0?kcoskaC?ksinkaD?ke?k 222211aF?0

(10)(11)(12)(13) 解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须 ?0 ?k1a 0sink2acosk2ae 0k2cosk2a?k2sink2ak1Be?k1a

?k2cosk2a?k2sink2a0 ?k1a0?esink2acosk2a?e?k1a?

k2cosk2a?k2sink2ak1e?k1a sink2a?cosk2a0 ?k1e?k1asink2acosk2a?e?k1a? ?k1akcoska?ksinkake22221

ka?ka22?ka ?e? 1[?k1k2e1cosk2a?k2e1sink2acosk2a??k1a ? k1k2e?k1asin2k2a?k2sink2acosk2a]?2e

?k1e?k1a[k1e?k1asink2acosk2a?k2e?k1acos2k2a?

? k1e?k1asink2acosk2a?k2e?k1asin2k2a]2 2k1a[?2k1k2cos2k2a?k2 ?e?2sin2k2a?k1sin2k2a] 2 ?e?2k1a[(k22?k1)sin2k2a?2k1k2cos2k2a] ?2ka ∵ e1?0 22 ∴(k2?k1)sin2k2a?2k1k2cos2k2a?0 22 即 (k2?k1)tg2k2a?2k1k2?0为所求束缚态能级所满足的方程。

方法二：接（13）式

k2kCcosk2a?2Dsink2a ?Csink2a?Dcosk2a? 11

kk Csinka?Dcoska??2Ccoska?2Dsinka 2222 kk11

k2 k2cosk2a?sink2asink2a?cosk2a k1k1?0k2 k2cosk2a?sink2a?(sink2a?cosk2a) k1k1 k2k2?(coska?sinka)(sink2a?cosk2a) 22k1k1

kk ?(2cosk2a?sink2a)(2sink2a?cosk2a)?0k1k1

k2k2 (coska?sinka)(sink2a?cosk2a)?0 22k1k1

k2k2k2222 sinkacoska?sinka?cosk2a?sink2acosk2a?0222 2k1k1k1 2k2k (?1? 2)sin2k2a? 2cos2k2a?0k1k12

2 (k2?k12)sin2k2a? 2k1k2cos2k2a?0e?k1ak1 e?k1asink2a?cosk2a?k2cosk2a?k2sink2a00kk另一解法： ?ka(11)-(13)?2k2Dsink2a?k1e1(B?F)

?k1a(10)+(12)?2Dcoska?e(B?F) 2

(11)?(13) ?k2tgk2a?k1 (a) (10)?(12) (11)+(13)?2k2Ccosk2a??k1(F?B)e?ik1a (12)-(10)?2Csink2a?(F?B)e?ik1a 11( ) ? (13 ) ? k 2 ctgk 2 a ? ? k 1 （b） (12 ) ? (10 )

令 ??k2a，??k2a，则

? tg??? (c) 或? ctg???? (d)

2?U0a2 2222????(k1?k2)? (f) ?2(a)、(b)：合并 2kk2tgk2atg2k2a?2122 利用tg2k2a? k2?k11?tg2k2a

2-7一粒子在一维势阱

?U0?0,x?aU(x)??

?0,x?a

中运动，求束缚态(0?E?U0)的能级所满足的方程。

解：（最简方法-平移坐标轴法）

?2???U0?1?E?1 （χ≤0） Ⅰ： ??1 2??2 ???E?2 （0＜χ＜2a） Ⅱ：??2 2? ?2 Ⅲ：?????U0?3?E?3 （χ≥2a） 2?3 2?(U0?E)??????1?0 1?2??

2?E??????2?0 ?? 22??

?2?(U0?E)?? ???3?0?32??

22???k 1??1?1?0 (1) k1?2?(U0?E)?2?2 2???k束缚态0＜E＜U0 (2) k2??22?2?0 2?2?E???? 2(3)1?3?0 ??3?k

?1?Ae?kx?Be?kx ?2?Csink2x?Dcosk2x 11 ?3?Ee?k1x?Fe?k1x ?1(??)有限 ?B?0

?3(?)有限 ?E?0 因此

??1?Aek1x ?k1x?3?Fe 由波函数的连续性，有

?1(0)??2(0),?A?D (4)

?(0),?k1A?k2C ?1?(0)??2 (5)

?2k1a ???2(2a)??3(2a),?k2Ccos2k2a?k2Dsin2k2a??k1Fe (6)

?2(2a)??3(2a),?Csin2k2a?Dcos2k2a?Fe?2k1a (7)

(7)代入(6) Csin2ka?Dcos2ka??k2Ccos2ka?k2Dsin2ka 2222kk11

利用 (4)、(5)，得 k1k

Asin2k2a?Acos2k2a??Acos2k2a?2Dsin2k2a k2k1 kkA [(1?2)sin2k2a?2cos2k2a]?0k2k1

?A?0

kk? (1?2)sin2k2a?2cos2k2a?0 k2k1两边乘上(?k1k2)即得 2(k 2?k12)sin2k2a?2k1k2cos2k2a?0

2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为

x?0 ， ??, ?U, 0?x?a，?0 U( x)?? ??U1, a?x?b， ?b?x ，?0,

求束缚态的能级所满足的方程。

解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。方程为定态S- 2?d2 ? ?(x)?U(x)?(x)?E?(x) 22?dx

对各区域的具体形式为

?2???U(x)?1?E?1 Ⅰ：?1(x?0) ?

2? ????U0?2?E?2 Ⅱ：?2(0?x?a) 2?

2??2???U1?3?E?3 Ⅲ：??3(a?x?b) 2?

2? ????0?E?4 Ⅳ：?4 (b?x) 2? 对于区域Ⅰ，U(x)??，粒子不可能到达此区域，故 ?1(x)?0

??2? (U0?E)??2?0 ① 而 . ?2?2

2? (U1?E) ????3?0 ② ?3 ?2 2?E???2?4?0 ③ ?4 ??U?E?0 对于束缚态来说，有

2? (U0?E) ?? ∴ ?2 ④ ?k12?2?0 k12?2?

2? (U1?E) 2?? ?3 ⑤ ?k3?3?0 k32?2 ?22?? ?k4 ?4 ⑥ ?4?0 k4??2?E/?2 各方程的解分别为 ?2? Aek1x?Be?k1x sinkx?Dcoskx ?3?C22 ?k3x?4?Ee?Fe?k3x 由波函数的有限性，得 ?4(?)有限， ?E?0 ??Fe?k3x ∴4 由波函数及其一阶导数的连续，得 ?(0) ?B??A ?1(0)?2 ?A(ek3x?e?k3x) ∴ ?2 kx?kx ?2(a)??3(a)?A(e3?e3)?Csink2a?Dcosk2a ⑦ k3a?k3a?(a)?? ?3?(a)?Ak(e?e)?Ck2cosk2a?Dk2sink2a ⑧ 31

?kb ?3(b)? ?4(b)?Csink2b?Dcosk2b?Fe3 ⑨ ?(b)? ?4?(b)?Ck2sink2b?Dk2cosk2b??Fk3e?k3b ⑩ ?3 k1ek1a?e?k1aCcosk2a?Dcosk2a由⑦、⑧，得 (11) ? k1a?k1ak2e?eCsink2a?Dcosk2a

由 ⑨、⑩得(k2cosk2b)C?(k2sink2b)D?(?k3sink2b)C?(k3cosk2b)D k k (2cosk2b?sink2b)C?(?2cosk2b?sink2b)D?0 (12) k3 k3 1a?e?k1ak1ek 令??ka，则①式变为 (?sink2a?cosk2a)C?(?cosk2a?sink2a)D?0 ?e 1?e?k1ak2

联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须 k2k( cosk2b?sink2b)(?2sink2b?cosk2b) k3?0 k3

(?sink2a?cosk2a)(?cosk2a?sink2a)

(?coska?sinka)(k2coskb?sinkb)?(?sinka?coska)?即222222k3

?(?2sink2b?cosk2b)?0 k3 k2k2 ?coskbcoska?sink2bsink2a??sink2bcosk2a?22

k3k3

kk ?sink2bsink2a??2sink2bsink2a?2sink2bcosk2a)? k3k3 ??cosk2bsink2a?cosk2bcosk2a?0 kk sink2(b?a)(??2)?cosk2(b?a)((?2?1)?0 k3k3 k2k2 tgk(b?a)?(1??)(??) 2k3k3

把?代入即得 k2ek1a?e?k1ak2k1ek1a?e?k1a tgk2(b?a)?(1?)(?) k1a?k1ak1a?k1a k3e?ek3k2e?e 此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。 # 附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。

(ek1a?e?k1a)?sink2a?cosk2a0 (ek1a?e?k1a)k?k2cosk2ak2sink2a02?0?k3a 0sink2bcosk2b?e 0k2cosk2b?k2sink2bk3e?k3a ?k2cosk2ak2sink2a0

ka?kacosk2b?e?k3a? 0?(e1?e1)sink2b k2cosk2b?k2sink2bk3e?k3a

?sink2a?cosk2a0

?k1(ek1a?e?k1a)?sink2bcosk2b?e?k3a

k2cosk2b?k2sink2bk3e?k3a

ka?ka2?k3a)?k2k3e?k3acosk2acosk2b?k2esink2a ?(e1?e1（ 2?k3a cosk2b?k2k3e?k3asink2asink2b?k2ecosk2asink2b）

?k3b?k3bk1b?k1b ?k(e?e（)kkesinkacoskb?kecosk2a123222

cosk2b?k3e?k3bcosk2asink2b?k2e?k3bsink2asink2b））

2?(ek1a?e?k1a)[?k2k3cosk2(b?a)?k2sink2(b?a)]e?k3b

2 ?e [?(k1?k3)k2cosk2(b?a)?(k2?k1k3)sink2(b?a)]e?k3b 2 e?k1a[(k1?k3)k2cosk2(b?a)?(k2 ?k1k3)sink2(b?a)]e?k3b?0

2? [?(k1?k3)k2?(k2?k1k3)tgk2(b?a)]e?k3b 2 ?[(k1?k3)k2?(k2?k1k3)tgk2(b?a)]e?k3b?0 2k1a2k1a22 ?(k2?k1k3)]tgk2(b?a)?(k1?k3)k2e [(k2?k1k3)e ?(k1?k3)k2?0 此即为所求方程。第三章力学量的算符表示

?2x2i???t? 22e3.1 一维谐振子处在基态?(x)?，求： ? 122U???x； (1)势能的平均值 2

p2 (2)动能的平均值； T?

k1a ?(ek1a?e?k1a)[k1k3sink2(b?a)?k1k2cosk2(b?a)]e?k3b

(3)动量的几率分布函数。

?11222?2??2x2解：(1) xedx U???x?????22?

1?1?111?2 ???2?222???2????2224??2??2??

? 11?3?5???(2n?1)?2n?ax2 ??? xe dx?0 4a2n?1an

p21?*?2?(x)dx (2) T???(x)p

2?2??? 112??2x2???2x2?1d2 ? e2(??)e2dx 2??dx ?2?22??22?

??(1??2x2)e??xdx ?? ?2? ?22??22???2x2 ??[edx??2x2e??xdx] ?????2?

??22?? ??[??2?3]

2????????

222???????22 ??????2?4?4???2?

1 ??? 4

111 或 T?E?U????????? 244

* (3) c(p)??p(x)?(x)dx ?2??2?? ??2??1??????12 e?2x2ei?Px?dx 2??12ip2p2 ??(x?)??1?2?2?2?2?2? edx ??2??? p21ip???2(x?2)2?1?22?? ?e2?? e2dx ??2???

p2p2 ??1?2?2?2212?2?2?e??e ?2?????? 动量几率分布函数为 p2?1222 (p)?c(p)? ?e?? ???

1 3.2. 氢原子处在基态?(r,?,?)?e?r/a0，求： 3?a0

e2 (1)r的平均值； (2)势能?的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； r (5) 动量的几率分布函数。 ??? 1???? e1??2x22ei?Px?dx ??1?2???2r/a022

解：(1)r?r?(r,?,?)d??rersin? drd? d? 3000?a0

?4?3?2r/a0n!

?3radr xne?axdx?n?1 0 aa00 43!3??a0 34 2a0?2?? ?a??0??

e2e2?2??1?2r/a02(2)U?(?)??3ersin? drd? d? r?a0000r

e2?2???2r/a0??3ersin? drd? d? 000?a0

2? 4e ??3e?2r/a0r dra00

4e21e2??3??2 a0?2?a0? ?a??0??

(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为 ?2?4?2r/a0222 ?erdr ?(r)dr?[?(r,?,?)]rsin? drd? d? 300a0

4?2r/a02r ?(r)?3e

???????????????a0d?(r)42?3(2?r)re?2r/a0 dra0a0d?(r)?0， ? r1?0, r2??, r3?a0 令 dr 当 r1?0, r2??时，?(r)?0为几率最小位置 d2?(r)4842?2r/a0 ?(2?r?r)e232 a0dra0a0

d2?(r)8?2??e?0 3dr2r?a0a0

∴ r ?a0是最可几半径。 12?22 ?1???1??1??????2?2?(r2)?(sin?)? (4)T?p? ??rsin?????r??rsin2???2? 2?2? ?2?2??1?r/a02?r/a02 T??e?(e)rsin? drd? d? 3 2?000?a0

?2?2??1?r/a01d2d?r/a02?? e[r(e)]rsin? drd? d? 32?000?a0drr2dr ?241?r2?r/a0 ??(?(2r?)e dr 3 0a02?a0a0 22a0a04?2?2 ? (2?)?42???????00

*??(r)?(r,?,?)d? (5) c(p )??pi ???prcos?2?11?r/a02?erdresin? d?d? c(p )?003(2??)3/20?a0

i???prcos?2?2?r/a0 redre? d(?cos?) ?03/230 (2??)?a0 ?i?prcos??2??? ? r2e?r/a0dre3/230ipr?a0 (2??)0ii ?pr?2????r/a0?prn!re(e?e?)dr xne?axdx?n?1 ?03ip0a(2??)3/2?a0

2??11

?[?] i21i2 (2??)3/2?a3ip10(?p)(?p) a0?a0?44 a0?414ip? ? 2222233332a0??a0(a0p??)2a0?ip?a?(1?p)2 02a0?2

3/2(2a?)?0 ?2222?(a0p??)

35 8a0?2动量几率分布函数 ?(p)?c(p)?2 224 ?(a0p??)#

3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 Jer?Je??0 2?a442?a????????? Je??e? m2?n?m ? rsin?

证：电子的电流密度为 ??i?** J??eJ??e(?n?m??n e?m??n?m??n?m) 2?

?在球极坐标中为

??1???1? ??er ?e??e??rr??rsin??? ???式中er、e?、e?为单位矢量 ????1???i?1?* Je??eJ??e[?n?m(er?e??e?)?n?m2??rr??rsin???

????1?1? * ??n?e??e?)?n?m]?m(er ?rr??rsin??? ?ie???*?1?**??[er(?n?m?n???)?e(??n?m?mn?mn?m?n?m 2??r?rr?? ?1?1?*1?** ???)?e(?????n?m)]n?mn?m?n?mn?mn?m

r??rsin???rsin???

??n?m中的r和?部分是实数。

?ie?e?m22?2? (?im?n?m?im?n?m)e? ???n?me? ∴ Je??2?rsin??rsin?

可见，Jer?Je??0 2 J??e?m? e?n?m ?rsin?

3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1) 求一圆周电流的磁矩。 (2) 证明氢原子磁矩为 ?me???2? (SI)

? M?M?? zme??? (CGS)

??2?c

原子磁矩与角动量之比为

?e ? (SI)?M?2? z?? Lz??e (CGS)? ?2?c这个比值称为回转磁比率。解：(1) 一圆周电流的磁矩为 dM?iA?Je?dS?A （i为圆周电流，A为圆周所围面积） e?m2

?n?mdS??(rsin?)2 ?? ?rsin?

??e?m??rsin??n?mdS 2 e?m22 ???rsin??n?mdrd? (dS?rdrd?) ? 氢原子的磁矩为 (2) ??e?m2 M?dM????n?mr2sin? drd? 00? ??e?m22 ???2??n?mrsin? drd? 002? e?m2???22??? n?mrsin? drd?d? 2?000

e?m (SI) ??2?

e?m 在CGS单位制中 M??? 2?c

原子磁矩与角动量之比为

MzMMee ??? (SI) z?? (CGS) LL2?L2?czzz L23.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H?，L为角动量，求与此对应的量子体系 2I 在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动：

(2) 转子绕一固定点转动：

22解： (1)设该固定轴沿Z轴方向，则有 L?LZ 22 1?d2??????与t无关，属定态问题) 哈米顿算符 H, 其本征方程为 (HLZ2 2I2Id? ?2d2??(?)?E?(?)

2Id?2

????????2d?(?)2IE ???(?)22d??

2IEd2?(?) 2 令 m?2，则 ?m2?(?)?0 2 ?d?im? 取其解为 ?(?)?Ae (m可正可负可为零)

由波函数的单值性，应有 ?(??2?)??(?)?eim(??2?)?eim?

i2m?e?1, ∴m= 0，± 即 1，±2，…

m2?2 转子的定态能量为Em? (m= 0，±1，±2，…) 2I

可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。定态波函数为 ?m?Aeim?, A为归一化常数，由归一化条件

2?2?* 1??m?md??A2d??A22?00 1 A??2?

?? ∴ 转子的归一化波函数为 ?m? 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。 1im?e 2???? L(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为 H2I

1?2?与 t无关，属定态问题，其本征方程为 LY(?,?)?EY(?,?) H2I

? (式中 Y(?,?)设为H的本征函数，E为其本征值) ?2Y(?,?)?2IEY(?,?) L21?2Y(?,?)???2Y(?,?) IE???2，则有 L 令 2 ?2的本征方程，其本征值为此即为角动量L

L2???2??(??1)?2 (??0, 1, 2, ?)

m 其波函数为球谐函数Y?m(?,?)?N?mP?(cos?)eim?

?(??1)?2

∴ 转子的定态能量为 E?? 2I(2??1)重简并的。可见，能量是分立的，且是

3.6 设t=0时，粒子的状态为 2 ?(x)?A[sin kx?12coskx]

求此时粒子的平均动量和平均动能。

解：?(x)?A[sin2kx?1 coskx]?A[1(1?cos2kx)?1222coskx]

A ?[1?cos2kx?coskx] 2

Ai2kx?i2kxikx?ikx1 ?[1?1(e?e)?(e?e)] 222

A2??i0x1i2kx1?i2kx1ikx1?ikx1

? [e?2e?2e?2e?2e]? 22?? 2k? ?2k? k? ?k? 可见，动量pn的可能值为0 2 pn2k2?22k2?2k2?2k2?2 的可能值为0 动能2???2?2?

A2A2A2A2A2 )?2?? 对应的几率?n应为 ( 416161616

11111 ( )?A2?? 28888

上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得

A2A2A2 1??n?(?4?)?2????2?? 4162n

∴ A?1/?? ∴ 动量 p的平均值为 ? p?

2222AAAA? 0?2k???2???2k???2???k???2???k???2???016161616

2 p2pn T???n 2?n2?

2k2?21k2?21 ?0???2???2 ?p?nnn??82?85k2?2 ? 8?

3.7 一维运动粒子的状态是

?Axe??x, 当x?0 ?(x)?? 当x?0? 0,

其中??0，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。 (1)先求归一化常数，由解：?? 2 1??(x)dx?A2x2e?2?xdx ??0

A2 ?34?

3/2 ∴ A?2? ?? ? (x?0) (x)?2?xe (x)?0 (x?0) ? ??111/2?ikx3/2?(??ik)x c(p)?e?(x)dx?()?2?xe?(x)dx ????2??2?? ?2?31/2x1?(??ik)x?)[?e?e?(??ik)xdx ?(02????ik??ik??

2?31/2x2?31/21)??() ?(p22??2??(??ik)2(??i)

动量几率分布函数为

2?312?3?312 ?(p)?c(p)?? 22222??2p2?(???p) (??2)?

??d??x??(x)dx??i?4?3xe??x ??*(x)p(e)dx (2) p????dx ?3 ??i?4??x(1??x)e?2?xdx ??? 32?2?xdx ??i?4??(x??x)e??

11 3) ??i?4??(2? 4?4?2 ?0

3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数 ?( x)?Ax(a?x) 描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。解：由波函数 ?(x)的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为 3/2?2?x???????

?2n?sinx, 0?x?a? ?(x )?a a ?0, x?0, x?a? 222n?? E n? (n?1， 2， 3， ?) 22?a

?(E)?Cn 动量的几率分布函数为 ?an??*(x)?(x)dx?sinx?(x)dx Cn ???0a 先把? (x)归一化，由归一化条件， ?aa2222222 1??(x)dx?Ax(a?x)dx?Ax(a?2ax?x)dx ??00a ? A2(a2x2?2ax3?x4)dx 0

5555aaaa22 (??)?A ?A 32530

∴A? 5 a a230n? ∴ C ??sinx?x(a?x)dx n50aaa aa215n?n? ? 3[axsinxdx?x2sinxdx] 00aaa

2 15a2n?a3n?a2n?? 3[?xcosx?22sinx?xcosxn?aan?aan? a232an?2an? ? xsinx?cosx]2233aan?n?0

415n ?33[1?(?1)] n? 2402n2 ∴ ?(E)?Cn?66[1?(?1)] n? ?960，n?1， 3， 5， ?? ??n6?6 ?0，n?2, 4, 6, ?? 2?a?p??(x)dx??(x)?(x)dx E? ?(x)H??02?

a30?2d2 ?x(x?a)?[?x(x?a)]dx 20a52?dx

30?2a30?2a3a3 ?x(x?a)dx?(?) 550 23?a?a

5?2 ??a2

2?????????????

3.9.设氢原子处于状态 ?(r, ?,?)?R21(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?) 22

求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

解：在此能量中，氢原子能量有确定值

?es2?es2??2 (n?2) E 2??2213

角动量平方有确定值为

L2??(??1)?2?2?2 (??1)

角动量Z分量的可能值为

LZ1?0LZ2???

其相应的几率分别为 13 ，

44 其平均值为 133 LZ ??0?????? 444

3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为

??, r?a; U(r)?? ?0, r?a 求粒子的能级和定态函数。 r?a的区域，U(r)??，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波解：据题意，在函数 ??0 (r?a) a的区域内，U(r)?0。只求角动量为零的情况，即??0，这时在各个方向发现粒子的几由于在r? ?、?无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r有关，而率是相同的。即粒子的几率分布与角度 ?(r)，则粒子的能量的本征方程为与?、?无关。设为 21d?d? ? (r2)?E? 2?rdrdr

2?E2 令 U(r)?，得 rE?, k?22?n8?d2u 2u?0 ?k2dr

其通解为 ? u(r)?Acoskr?Bsinkr

AB??? (r)?coskr?sinkrrr

波函数的有限性条件知， ?(0)?有限，则

A = 0 B(r)?sinkr ∴ ?

r B?(a)?0 ? sinka?0 由波函数的连续性条件，有

a(n?1,2,?) ∵B? 0 ∴ka?n?

n? n2?22?? ∴ En? k 2a2?a ?(r)?Bn?sinr ra其中B为归一化，由归一化条件得 00

an?222 sin?4??Brdr?2? aB0a

∴ B? 2? a ∴ 归一化的波函数

sinr1a #

?(r)?2? ar

223.11. 求第3.6 题中粒子位置和动量的测不准关系(?x)?(?p)?? 01???d????d???a?(r)r2sin? dr2? p?0 解： 2522p?2? T?k? 4?1 2x?Ax[sin2kx?coskx]2dx?0 ? ?2?1 2A2x2[sin2kx?coskx]2dx?? x??? 2 (?x)2?(?p)2?(x2?x2)?(p2?p2)?? 3.12.粒子处于状态 11/2ix2 )exp[p0x?2] ?(x)?(?2??24?

式中? 为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系(?x)2?(?p)2?? ?(x)归一化，由归一化条件，得解：①先把

x2x ? ? (2)2??211x2?2? 1?edx?ed() 2??2??2??22?2??

111/2 ? ??() 222?? 2?? 21?? ∴ / 2?

∴ 是归一化的

i?2(x)?exp[px?x] ? 0?2

② 动量平均值为 i?i?? p0x? x2 p0x? x2??di22 p?*(?i?)?dx??i?e?( p0?? x)e?dx ?????dx?

?i ??x2dx ??i?( p0?? x)e??? ??2 ??x2 ?p0edx?i? ?xe ??xdx ???? ?p0

③ (?x)2?(?p)2?? ????????? x??????*x?dx??xe ??xdx （奇被积函数） ???2 x?2

1 ? ? 2?ii2? p0x??x2dp0x??x2??d2222 p????*? dx???e?e? dx ????dxdx

2??22p0 2)?i2??p0xe??xdx??2?2x2e??x dx ??(???????

2p0 21?2)?0?(??2?2)?(?2?p0) ??(?? ?2?22 212 (?x)?x?x? 2?2?2?22 222 (?p)?p?p?(??p0)?p0?? 22 1?21222???? (?x)?(?p)? 2?24

第四章态和力学量的表象 4.1.求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和L2x的矩阵元。 i??i?? p?r13??p??r?z?zp?y)e?d? 解：(Lx)p ?p?()e(yp2?? i??i??p?r13??p??r ?( )e(ypz?zpy)e?d? 2??

i??i??13??p??r???p?r ?()e(?i?)(pz?py)ed? 2???py?pz

i??? ?r??13?（p?p?） ?(?i?)(p?p)()ed? zy ?py?pz2??

?????i?(p?p)?(p?p?) yz?pz?py 2*?2???? (Lx)p? pp?(x)Lx?pd? i??i?? p?r13??p??r2??z?zp?y)ed? ?()e(yp 2??i??i?? p?r13??p??r??z?zp?y)(yp?z?zp?y)ed? ?()e(yp

2?? i??i??13??p?r???p?r?z?zp?y)(i?)(py ?()e(yp?pz)ed? 2???p?pzy

i??i??p?r??13??p??r ??z?zp?y)ed? ?(i?)(py?pz)()e(yp ?pz?py2??i??? ?r??213?（p?p?）2 ???(py?pz)()ed?

?pz?py2??

??2?? ???2(py?pz)?(p?p?) ????xe2 ??x221dx??xe??x2?????12?????e ??xdx 2???????????????pz?py4.2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。 un(x)?解：基矢：sinx aa

222??n E? 能量： n22?a

a2m?a1u

xsin2xdx? ucosnudu?2cosnu?sinnu?c 对角元：xmm?0aa2nn

2am?n?

(sinx)?x?(sin)dx 当时，m?n xmn?0aaa

1a?(m?n)?(m?n)???x?cosx?cosx?dx a0?aa? a2?1a(m?n)?ax(m?n)? ??[cosx?sinx]22aa(m?n)?a? 0?(m?n)?a ?a2(m?n)?ax(m?n)? ?[cosx?sinx]? 22a(m?n)?a(m?n)?0? ? ??a11m?n?(?1)?1???2 ?2(m?n)2??(m?n)

a4mnm?n?2(?1)?1 222?(m?n)

a2m?dn?*?un(x)dx??i? pmn?um(x)psinx?sinxdx0aadxa

2n??am?n? ??i2sinx?cosxdx0aaa

n??a?(m?n)?(m?n)??

??i2?sinx?sinx?dx0 aaa?? aa(m?n)?a(m?n)?? in????cosx?cosx? 2?a(m?n)?a a?(m?n)??0

n??a?11???(?1)m?n?1] i2??a??(m?n)(m?n)?

(?1)m?n?1i2mn??(m2?n2)a

cos(m?n)ucos(m?n)usin??C mucosnudu??2(m?n)2(m?n)

2n??????????????????4.3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。解：定态薛定谔方程为 21p222d C(p,t)?C(p,t)?EC(p,t) ????222?dp 221dp22 即 ????C(p,t)?(E?)C(p,t)?0 222?dp

两边乘以，得 ?? 1d22Ep2 ?C(p,t)?(?)C(p,t)?0 1dp2????? ???

11令? ? p?? p, ????????

2E ?? ??d 22C(p,t)?(???)C(p,t)?02 d? 跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为

En?(n?12)??

1i??2p2?Ent 2?C(p,t)?NneHn(?p)e

Nn为归一化因子，即式中 ?1/2N?() n1/2n ?2n!

4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。

解：

121?2?2122?????x??H? p???2x222?22??x2 ?Hpp???*p(x)H?p(x)dx ii?pxp?x1?2?2122??? e(????x)edx2??2??x22

ii(p??p)x(p??p)x?? ?2i112122??(p?)e?dx???xe?dx???? 2??2??22?? 2i2(p??p)x??p?1212??? ?(p??p)???()edx2???2?22??i?p

i2? p?211?(p??p)x2?2???(p??p)???()edx 2?2i?p?2????? 22

???????p1??(p??p)???2?22?(p??p)2?2?p?

?和L?的矩阵分别为 ?2和L?的共同表象中，算符L L4.5 设已知在Zxy

?0?i0??010??? 2???? Lx??i0?i? ?101? Ly? 22??0i?0????010?

求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵Lx和Ly对角化。

x的久期方程为解：L ??? 02 ?? ???0???3??2??0

22 ?0 ??2

1?0，?2??，?3??? ?? ?的本征值为0，?，?? ∴Lx ? Lx的本征方程

?a1?? 010??a1???????? ? 101??a2????a2? 2? ?a?????010??a3??3?

?a1? ???2和L?共同表象中的矩阵 ?的本征函数L 其中???a2?设为LZx

?? ?a3? 当?1? 0时，有 10??a1??0??0???????

101 ???a2???0? 2? ??????010??a3??0? ?a??0?2 ?????a?a，a2?0 ? 13???0? ?a3??a12???0? 2?a??? ?a?1??

∴ ?0??0? ??a1???

由归一化条件

?a1? ??2?**??(a,0,?a)0 1??0??2a1 011???a? ?1? 1 取 a1 ? 2

?1????2??的本征值0 。 ?对应于L ?0??0x? ???1? ??2??

当?2? ?时，有 ?a1? ?010??a1???????? ?101??a2????a2? 2?a???? ??010??a3??3?

? 2a?2 ??a??a2?2a1??1??1 ?(a1?a3)???a2???a2?2a3 2 ????a?a1??a3???31

a2? 2? ?a?1??

∴ ????2a1? ??a1?? ?? 由归一化条件

???? ?????1 ?a1???2*** 1?(a1,2a1,a1)?2a1??4a1 ??a1??1 取 a1 ? ??2 ?1???

?2??1?

?的本征值? ∴归一化的?????对应于Lx ?2??1?

???2?

当? 2???时，有 010??a1??a1? ???????? ?101??a2?????a2? 2??a?????3? ?010??a3??1?? a1?? 2???a??a2??2a11?1????? (a1?a3)????a2???a2??2a3 ?? 2????a?a1?1???a3???3 ??a2??? 2??a1? ?? ∴ ? ?????2a1? ???a1? ?? 由归一化条件

?a1? ??2*** 1?(a1,?2a1,a1)??2a1??4a1 ???a1???1 取 a1? 2?1????2??1? ?的本征值?? ∴归一化的???????对应于Lx2 ???1? ??2??

?表象的变换矩阵为 ?2和L?的共同表象变到L 由以上结果可知，从LZx 111? ???22? ?2?11?? S? ?0? 22? ?11???1? ?22?2?? ∴对角化的矩阵为L?x?SLxS ?1?11?1???0? 22??010??2?2?? ??111??11010? L???x??2??2 2?22????010??11?1??1 ?1??2?2?222?? ???111? ?????222????000

??11??11?10? ? ???? 2?22??22? 1??111???11???? ?22?22??2??

0??000?? 00????? ?20???0?0? ? 02????? 00?2??00??? 按照与上同样的方法可得

?的本征值为0，?，?? L y ?的归一化的本征函数为 L y

?1??1? ?1???????22???? ?2??i??i??? ??0 0 ????? ??????? ??22???? ?1??1??1? ?2?????????22????

?2和?的共同表象变到L?表象的变换矩阵为从L LZy????? 2?1?2??121 ?1?111???? 222???2 ?ii??1?S?0??S? ??2 ?22??? ?111??1???2 ?22??2?? ?利用S可使Ly对角化 0?ii221??2?1??? 2?1???2??000???? L??0? y?SLyS??0?00?????4.6. 求连续性方程的矩阵表示解：连续性方程为 ???????J ?t ?i?(???*??*??) ∴ J?2? ?i??J???(???*??*??) 而 ?

i?(??2?*??*?2?) ?2?

1??*??*T??) ?(?T i?

??????T??*) i??(?*T ∴ ?t *?(??)????T??*) i??(?*T ?t

写成矩阵形式为 ?????T???i? (???)???T?t ????(??T??)*?T?T*?0i? (???)???T? t第五章微扰理论

5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。解：这种分布只对r?r0的区域有影响，对r?r0的区域无影响。据题意知 ???U(r)?U(r) H0

其中U0(r)是不考虑这种效应的势能分布，即

2ze U（ r） ??4??0r

U(r)为考虑这种效应后的势能分布，在r?r0区域， Ze2 U(r )??4??r 0

在r?r0区域，U(r)可由下式得出， ? U(r) ??eEdr rZe43Ze? 1???r?r, (r?r0)233? 434??r?r4??r?00003 E??

Ze? (r?r0) 2?4??0r? r0? U(r)??eEdr?eEdr rr0 Ze2r0Ze2?1 ??rdr?dr 32???4??0r0?r4??0?r0rZe2Ze2Ze222 ??(r0?r)???(3r02?r2) (r?r0) 334??0r08??0r08??0r0 ?Ze2Ze222(3r0?r)? (r?r0)??3?H??U(r)?U0(r)??8??0r04??0r ? 0 (r?r0)?

????H?(0)????2?U(r)，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态由于r0很小，所以H02?

Z?r Z3a0(0)1/2?1?( 3)e） ?a0 (1)(0)*???1(0)d? E1???1H ?2Z 2?rZ3r0Ze2Zea022[?(3r0?r)?]e4?r2dr ?3?34??0r?a008??0r0 2Z?ra0 ∴r??a0，故e?1。 r0Z4e2Z4e2r0(1)224 ∴ E1 ??(3r0r?r)dr?rdr 330302??0a0r0??0a0

r05Z4e2Z4e225 ?? (r0?)?r 333052??0a0r02??0a0

Z4e2 ?r2 30 10??0a042 2Zes2 ?r0 3 5a0?? 5.2 转动惯量为I、电偶极矩为D的空间转子处在均匀电场在?中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。 ? 解：取 ?的正方向为Z轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为 ?2??12 L???D?cos? H??D???L 2I2I? (0)?1L?2, ????D?cos?，则 H 取H 2I?(0)?H?? ??H H ??视为微扰，用微扰法求得此问题。 H由于电场较小，又把 (0)?的本征值为E(())?1?(??1)?2 H? 2I(0) 本征函数为 ???Y?m(?,?) 0）?(0)的基态能量为 HE（?0，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知 0

2?H (2)?0 ?(0) E0? (0) E0?E??*(0)?(0) ?0???H??0d??Y?* H?m(?D?cos?)Y00sin? d? d?

*??D?Y ?m(cos? Y00)sin? d? d? 4?1 ??D?Y?* Ysin? d? d? m10 34? D?*??Y ?0 Y10sin? d? d?

D???1 ??2????????3 E(2)0?? '?H??02(0)E0?E?(0)????'D2?2?2I ??13?(??1)?22??1D2?2I 23?

??i?? ?p?re??r11?r/a0*?3/2???F?d??()e()ed? 其中Fmk?mk z（） p32i2???a0

取电子电离后的动量方向为Z方向， ??

取?、p所在平面为xoz面，则有 ?? ??r??xx??yy??zz ? θ r α ? ?(? sin?)(rsin?cos?)?(?cos?)(rcos?) ? ?? rsin?sin?cos??? cos?rcos? O y

x i?p rcos? 13/21eFmk?()e?(? rsin?sin?cos??? rcos?cos?)e?r/a0d?32i ??2?a0

13/21eFmk?( )32i2???a 0 i 2??p rcos??? e?(?rsin?sin?cos??? rcos?cos?)e?r/a0r2sin?drd? d?000

??的作用，微扰矩阵元为5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级：E01及E02，现在受到微扰H

??H??a，H11??H22??b；a、b都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 H12 21 解：由微扰公式得

(1)? E n?Hnn 2 ?Hmn(2)' En ? (0)(0)E?Emnm (1)(1)??b ??b 得 E01?H11E02?H22

2?Ha2 )m1(2'? E01? E01?E0mE01?E02m2

?Ha2m1(2)'? E02 ?E02?E0mE02?E01m

∴ 能量的二级修正值为

2a E1 ?E01?b? E?E0102

E2?E02?b? E02?E01

?????????5.4设在t?0时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为?sin? t，?及? 均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t跃迁到电离态的几率。

解：①当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为 4?es ? ? min?hvmin?E??E1?22?

?es413.6?1.6?10?19 ??3.3?1015Hz vmin??3426.62?102?h

②t ?0时，氢原子处于基态，其波函数为 1 ?k?e?r/a0 3?a0

i?? 13/2?p?r 在t 时刻， ?m?( )e2???? ??e??ri? t??(t)?e??rsin?t?(e?e?i? t) 微扰 H2i ?i? t ?F(e?e?i? t) ??

e??r?? 其中 F 2i

在t时刻跃迁到电离态的几率为 2?a(t) Wk?m m

1t ?ei?mkt?dt? Hmk am(t)?i?0

tF i(???)t??ei(?mk??)t?)dt? ?mk(emk i?0 Fmkei(?mk??)t?1ei(?mk??)t?1 ??[?] ??mk???mk?? 对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项， Fmkei(?mk??)t?1 a m(t)? ??mk?? 2F(ei(?mk??)t?1)(ei(?mk??)t?1)2mk Wk?m?am(t)? 22?(???) mk 4Fmk2sin21(?mk??)t2 ? ?2(?mk??)2 ??i???p?re??r11? ??*F?)3/2e?()e?r/a0d? 其中Fmkm?kd??(z（） p32i2???a0

取电子电离后的动量方向为Z方向， ??取?、 p所在平面为xoz面，则有 ???? ??r ??xx??yy??zz ?(?sin?)(rsin?cos?)?(?cos?)(rcos?) ?? rsin?sin?cos??? cos?rcos? ???? α θ ?r O y Fmk?(12??)3/2ee32i??a01i?p rcos??x (? rsin?sin?cos??? rcos?cos?)e?r/a0d? 2?? i??2??p rcos? e?(?rsin?sin?cos??? rcos?cos?)e?r/a0r2sin?drd? d?000 i??2??p rcos?11e3/2?( )e?(?cos? r3cos?sin?)e?r/a0drd? d? 32i000?a0 2??i ?p rcos???13/21e?cos??r/a)2?r3e0dr[e?cos?sin? d? ?(0032i2???a0

iiii?p rp r?p rp r?e?cos??2 3?r/a0???????re[(e?e)?22(e?e)]dr 03 iprpri2??2a0?

e?cos?16p1 ? 23ia?i2??2a00(1?p)3 2a0?2

7/216pe?cos?(a?)0 ?? 22238?(a0p??)

2 4Fmksin212(?mk??)tW? ∴ k?m22?(?mk??) 21222275sin128pe?cos?a?02(?mk??)t ? 222262?(a0p??)(?mk??)

i??2??p rcos?11e3/2?( )e?(?cos? r3cos?sin?)e?r/a0drd? d? 32i000?a0 2??i ???p rcos?13/21e?cos?3?r/a0?)2?redr[ecos?sin? d? ?(0032i2???a0

iiii2?p rp r?p rp r?e?cos?? 3?r/a0???re[(e??e?)?22(e??e?)]dr 3iprpri2 ??2a0?0

e?cos?16p1 ?23ia?i2??2a00(1?p)3 2a0?2

7/216pe?cos?(a?)0 ?? 22238?(a0p??)

2 4Fmksin212(?mk??)tW? ∴ k?m22?(?mk??) 21222275sin128pe?cos?a?02(?mk??)t ? 222262?(a0p??)(?mk??)

Fmk?(1)3/2e32i?a01???????????????5.5基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即

当t?0?0, ??? ?t/?当t?0(?为大于零的参数)??0e,

求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。

解：对于2p态，??1，m可取0, ?1三值，其相应的状态为 ?211 ?21?1 ?210 氢原子处在2p态的几率也就是从?100跃迁到?210 、 ?211 、?21?1的几率之和。 1t?ei?mkt?dt? Hmk 由 am(t)? i?0*???d? (H???e?(t)rcos?) ?,100??210H H 210100 ?*??RYe?(t)rcos? RYd? (取方向为Z轴方向) 21101000

?2??3* ?e?(t)R21rR10drY10Y00cos?sin?d? d? 000

1 (cos?Y00?Y10) 3

2??*1 ?e?(t)fY10Y10sin?d? d?003

1?e?(t)f 3? 256*3a0 f?R21(r)R10(r)rdr?0 8163

13/2213/2?4?2a0r?()?()redr 02a03a0a0

114！?255256 ??a?a0 05 6a438160

*???d??1e?(t)f ? H??H210100 210,1003

e?(t)2561282 ?a0?e?(t)a0 2433816

?* ? H211,100?e?(t)?211rcos??100d? 0 ?2??3* ?e?(t)RrRdrYcos?Y00sin? d? d? 211011 000?2?? 3*1Y11Y10sin? d? d? ?e?(t)R21rR10dr000 3 = 0 *????1,100??21 H21?1H?100d? ??2?*3?e?(t)RrRdrY1?1cos?Y00sin? d? d? 2110 000??2?* 13Y1?1Y10sin? d? d? ?e?(t)R21rR10dr000 3 = 0 ????????????????????????? 由上述结果可知，W100?211?0， W100?21?1?0 ∴ W1s?2p?W100?210?W100?211?W100?21?1 21ti?21t??,100edt? ?W100?210?2H210

?0 2t21282i?21t??t?/?2?2()(ea0?0)eedt?

0?243 2ti?21t? ?e?1 21282222)ea0?0 ?2( 1?2432??221 ? ?时，当t? 212822221)ea0?0 ?1s?2p?2( 1?2432?21?2 ? ? es43? es43 es211 其中?21?(E2?E1)? (1?)??33 ?48?a02?8?

5.6计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。 34es2?mk?2 解： r Amk?mk3?c3

由选择定则????1，知2s?1s是禁戒的

故只需计算2p?1s的几率

E?E1 ?21?2 ??

?es413?es4 ?3(1?)? 3 ?22?2428?2 而 r21?x21?y21?z21 2p有三个状态，即 ?210, ?211, ?21?1 (1)先计算z的矩阵元 z?rcos? ? *3* (z)21m,100?R21(r)R10(r)rdr??1mcos? Y00d? 0

1 ?fY1* Y00d? m3

1 ?f?m0 3

f ?(z)210,100? 3 (z)211,100?0 (z) 21?1,100?0

????

(2)计算x的矩阵元 x?rsin?cos?? (x)21m,100?rsin?(ei??e?i?) 21?*R21(r)R10(r)r3dr??Y1*sin? (ei??e?i?)Y00d? m? 20 12 ?f?Y1*m(?Y11 ?Y1?1)d? ? 23 1f(??m1??m?1) ? 6 133 Y11?? sin? ei? Y1?1?sin? e?i? Y00? 8?8?4? x)210,100?0 ?( 1f (x)211,100?? 6 1f (x)21?1,100? 61

rsin?(ei??e?i?) (3)计算y的矩阵元 y?rsin?sin??2i

1?*3*i??i?R(r)R(r)rdr?Ysin?(e?e) Y00d? ( y)21m,100?21101m?0?2i

?1f?2(????) m1m?12i3

1 ?f(??m1??m?1) i6

?(y)210,100?0

i (y)211,100?f 6

i (y)21?1,100?f 6

2?f2f212 1s?(2??2??f)?f2 ?r2p?663 (4)计算f

?256*3 ?R21(r)R10(r)rdr? fa0 0816

313/2213/2?4?2a0r

)?()redr ?(0 2a0a3a00

114！?255256272 ?a0?a0?a04 ?453336a0816

15222 f ?9a0 3

34es2?21?2 r A2p?1s?21 33?c

4es23?es432152

?()?9a0 ?33 3?c8?3 28?3e14?22s ?7?103(?) 3?c? es2

28?e109?1 ?7?6s3?1.91?10s ??3?c ??1?5.23?10?10s?0.52?10?9s A215.7 计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。解： J2p?1s?N2pA2p?1s???21 28? e103? es4s?N2p?736??2 3c?8? 25?2e14?N2p?6?8s3 ??21?10.2eV

3?c

e1025 ?N2p?6?3s42

3c?a0

?9 ?N?3.1?10W 2p

?9 若 N2p?10，则 J21?3.1W

5.8求线性谐振子偶极跃迁的选择定则 ?22 解： Amk?rmk?xmk

* xmk??mx?kdx

1kk?1x??[???k?1] 由 kk?1?22 * ?m?ndx??mn 1kk?1?m,k?1??m,k?1] xmk?[ ?22 m?k?1时， xmk?0 ? 即选择定则为 ?m?m?k??1

?x??y??z?i 7.1.证明：?

?x??y???y??x?2i??z 及证：由对易关系?

?x??y???y??x?0 ，得反对易关系?

?x??y?i??z ?

?z，得上式两边乘?

?x??y??z?i??z2 ∵ ??z2?1 ?

?x??y??z?i ∴ ?

??第七章自旋与全同粒子

7.2 求在自旋态 ?1(S2z)中，S?x和S?y的测不准关系：

(?S2x)(?Sy)2?? 解：在

S?z表象中?1(S2z)、S?x、S?y的矩阵表示分别为

??1????01???0?i?1( Sz)??0?? S?x?2??10?? S?2y?

????2???i0??? ∴ 在?1(Sz)态中 2

SS??01?x???1x?1?(1 0)2???10???1?????0????0 22

S2??01?x??1S?2????01??1??2x?1?(1 0)?????

222??10??2??10????0???4 (?S2S22?2x)?x?Sx?4 S????0?i??1?y??12S?y?12?(1 0)2??

?i0?????0????0 S2??0?i???0?i??1??y??1S?2?2y?1?(1 0)??????

222??i0??2??i0????0???4 2 (?S2?S2?2y)y?Sy?4 (?S)2(?S2?4xy)?

16 讨论：由S?x、S?y的对易关系 [S?x，S?y]?i?S?z 4(?S2S2?x)(?y)? 16 要求(?S)2(?S)2??2S2z

xy4

在??1(Sz)态中，Sz? 22

∴ (?S?422x)(?Sy)?

16 可见①式符合上式的要求。

①

?的久期方程为解：Sx

? ??2?0 ?2?(?)2?0????? ?22?? 2 ?的本征值为??。 ∴ Sx 2

?a1?? 设对应于本征值的本征函数为 ?1/2?? ?b?? 2?1?

??01??a1???a1?? ????? ，得 ?10????b???2??b?? 由本征方程 Sx1/21/22??11???? 2 ?b1??a1??? ?a?????b?? ? b1?a1

?1??1? a**?1????(a,a)11???1由归一化条件 ?1/2?1/2?1，得 a?1?

112

即 2a1?1 ∴ a1? b1? 22

?1?1?

?对应于本征值的本征函数为 ?1/2??1?? 22??

?a2??????的本征函数为 ?1/2?设对应于本征值 ?? b2?2?

?b2???a2?a???2??? ????????1/2?由本征方程 S ?????b2??a2 x?1/2????a?b?2??2?2?b2? 由归一化条件，得

a?**?2?? (a2,?a2)??1 ???a2?

112

即 2a2?1 ∴ a2? b 2 ? ? 22

?1?1?

? 对应于本征值?的本征函数为 ??1/2???1?? 22??

?的本征值为??。其相应的本征函数分别为同理可求得Sy2

???????7.3.求S及Sxy?? 2?10?2???i的本征函数。 ??01???0?i??的本征值和所属0????121?1????i2??????121?1?????i2???7.4 求自旋角动量(cos?,cos?,cos?)方向的投影

??S?cos??S?cos??S?cos? Snxyz

本征值和所属的本征函数。

?有哪些可能值？这些可在这些本征态中，测量Sz

?的平均值是多少？能值各以多大的几率出现？Sz ? 表象，S?的矩阵元为解：在Szn 01???0?i???10???????????Scos??cos??cos????? n2?10?2?i0?2?0?1??? cos?cos??icos?????S??? n2?cos??icos??cos???

其相应的久期方程 ??cos???(cos??icos?) 22?0? ?(cos??icos?)?cos??? 22 22??2222 ??cos??(cos??cos?)?0即 44 ?22(利用cos2??cos2??cos2??1)???0 4

? ?的本征值为??。所以Sn2

a? 设对应于S??的本征函数的矩阵表示为?(S)????n??，2?b? 则

cos?cos??icos???a???a???????????????? ?cos?2?cos??icos???b?2?b?

?a(cos??icos?)?bcos??b cos??icos?b?1?cos?

由归一化条件，得

????2n12

?a?22?1??1?1?(a,b)??a?b?b?22??

?**22 2cos??icos?22a?1a ?a?11?cos?1?cos?

1?co?sco?s?ico?s

取 a? ，得 b? 22(1?co?s) ?1?cos????

1??1 (Sn)???cos??icos??2?? 2(1?cos?)??

?1?cos??1?cos??icos??0?1?cos???????1 (Sn)????22?2(1?cos?)?1?0??1? ?1(Sn)???cos??icos? 21?cos?cos??icos??????2(1?cos?)11 ??22(1?cos?)22

??的可能值为 ? ?可见， S z22

1?cos? cos2??cos2?1?cos? 相应的几率为 ? 22(1?cos?)2

?1?cos??1?cos??Sz???cos?

22222

?同理可求得对应于Sn??的本征函数为

2 ??1?cos???

2???(S)?1n?2 ?cos??icos????? 2(1?cos?)??

??的可能值为 ? ? 在此态中， Sz22

1?cos?1?cos? 相应的几率为 22

?Sz??cos?

2 ?1?R21(r)Y11(?,?)?? ? 7.5设氢的状态是 ???23 ???R(r)Y(?,?)??2110 ?2?

?的平均值；?和自旋角动量z分量S ①求轨道角动量z分量L zz

?e?? ??e?L?S ②求总磁矩 M?? 2????????的 z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。解：ψ可改写成

②

?1??0?13??R21(r)Y11(?,?)??0???2R21(r)Y10(?,?)??1?? 2????

13 ?R21(r)Y11(?,?)?1(Sz)?R21(r)Y10(?,?)?1(Sz)?22 22?的可能值为 ? 0 从 ψ的表达式中可看出Lz 13相应的几率为 44 ??Lz?

?的可能值为 ? ?? Sz22

132 相应的几率Ci为 44

?1?3? 2Sz?CiSzi?????? 24244

eee?e?Lz?Sz?????(?) Mz??2??2?4?4

e?1

???MB 2?44

?7.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？

?j，则体系可能的状态为 1i1i2i3 2j1j2j3 1??[?i(q1)?i(q2)?j(q3)??i(q1)?i(q3)?j 33

??i(q2)?i(q3)?j(q1)]

?[j(q1)j(q2)i(q3)?j(q1)j(q3)i(q2) 43

解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为?i，???(q)?(q)?(q)???(q)?(q)?(q)(q2)?????????j(q2)?j(q3)?i(q1)](1)(2)(3)7.7 证明?S和?A组成的正交归一系。 ,?S,?S

(1)?(1)解： ? S?S?[?1/2(S1z)?1/2(S2z)]?[?1/2(S1z)?1/2(S2z)]

??1?/2(S2z)?1?/2(S1z)?1/2(S1z)?1/2(S2z)??1?/2(S2z)?1/2(S2z ) = 1 (1)?(2)?S?S?[?1/2(S1z)?1/2(S2z)]?[??1/2(S1z)??1/2(S2z)](1)?(3)?S?S??1?/2(S2z)?1?/2(S1z)??1/2(S1z)??1/2(S2 z) = 0

1?[?1/2(S1z)?1/2(S2z)]??2?[?1/2(S1z)??1/2(S2z)???1/2(S1z)?1/2(S2z)]2 ??1?/2(S2z)?1?/2(S1z)??1/2(S1z)?1/2(S2z)]1?[?1?/2(S2z)??1/2(S2z)?0 ] = 0 21

?1[?1?/2(S2z)?1?/2(S1z)?1/2(S1z)??1/2(S2z)?同理可证其它的正交归一关系。

(3)?(3) ?S?S?[?1/2(S1z)??1/2(S2z)???1/2(S1z)?1/2(S2z)]??2

?[?1/2(S1z)??1/2(S2z)???1/2(S1z)?1/2(S2z)] 1?[?1/2(S1z)??1/2(S2z)]?[?1/2(S1z)??1/2(S2z)] 2 1?[?1/2(S1z)??1/2(S2z)]?[?1/2(S2z)??1/2(S1z)] 2 1?[?1/2(S2z)??1/2(S1z)]?[?1/2(S1z)??1/2(S1z)] 2 1?[?1/2(S2z)??1/2(S1z)]?[?1/2(S2z)??1/2(S1z)] 2 11??0?0??1 221

7.8 设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是U(r)???2r2。 2

如果电子之间的库仑能和U(r)相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程

?2???(r)?U(r)?(r)?E?(r)2??2?2?2?21?(2?2?2)?(r)???2r2?(r)?E?(r)2??x?y?z2?2?2?2?21? (2?2?2)?(r)???2r2?(r)?E?(r)2 ??x?y?z2

考虑到 r2?x2?y2?z2，令 ?(r)?X(x)Y(y)Z(z)2

? ?2?2?21?(2?2?2)XYZ???2(x2?y2?z2)XYZ?EXYZ2?2?y?z ?x ?21?2X1?21?2Y122(? ???x)?(????2y2)222?X?x22?Y?x2

?21?2Z122?(????z)?E 22?Z?x2 ?21?2X122?(????x)?Ex2 2?X?x2 22?1?Y122 (????y)?Ey22?Y?x2

xy ?21?2Z122???z)?Ez (?2?Z?x22

1??2x2 ?Xn(x)?Nne2Hn(?x) 1??2y2 Ym(y)?Nme2Hm(?y)

1??2z2

Z?(z)?N?e2H?(?z)

1??2r2

?nm?(r)?NnNmN?e2Hn(?x)Hm(?y)H?(?z) 122??r 2? nm?(r)?NnNmN?eHn(?x)Hm(?y)H?(?z)