2011年高考广东省理科数学试题

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟

注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号

填写在答题卡上。用2B铅笔讲试卷类型（A）填涂在答题卡相应的位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数z满足 1 i z 2，其中i为虚数单位，则z= A．1 i B. 1 i C. 2 2i Ｄ．2 2i 2．已知集合A

x,y ∣x,y为实数，且x

2

y2 1 ，B x,y x,y为实数，且y x ，则A B

的元素个数为

Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3

3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则c (a 2b)

Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．0

4. 设函数f x 和g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．f x g x 是偶函数 Ｂ．f x g x 是奇函数 Ｃ．f x g x 是偶函数 Ｄ．f x g x 是奇函数

0 x

5. 在平面直角坐标系xOy上的区域D

由不等式组 y 2给定。若M(x,y)为D上的动点，点A

x

ON的最大值为 的坐标为，则z OM

A

． B

． C．4 D．3

6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A．

1323 B． C． D． 2534

7. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为

A.

8.设S是整数集Z的非空子集，如果 a,b S,有ab S，则称S关于数的乘法是封闭的. 若T,V是Z的两个不相交的非空子集，T U Z,且 a,b,c T,有abc T; x,y,z V,有xyz V，则下列结论恒成立的是

A. T,V中至少有一个关于乘法是封闭的 B. T,V中至多有一个关于乘法是封闭的 C. T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的

D. T,V中每一个关于乘法都是封闭的

二 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。 (一）必做题（9-13题）

9. 不等式x 1 x 3 0的解集是 .

7

2 4

10. x x 的展开式中，x的系数是

x

a1 1,ak a4 0a

11. 等差数列

n

前9项的和等于前4项的和. 若，则k=____________.

2

f(x) x 3x 1在x=____________处取得极小值。 12. 函数

13. 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm .因儿子的身高

与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.

（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题） 14.

（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为

52 x t

4(t R)，它们的交点坐标为___________. y t

x

(0 ) 和

y sin

15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点p分别作圆的切线和割线交圆于A,B，且PB=7，

C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB, 则AB。

三．解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.（本小题满分12分）

已知函数f(x) 2sin(x (1)求f(

13

6

),x R.

5

)的值； 4

106

,f(3 2 ) ,求cos( )的值. (2)设 , 0, ,f(3a )

2135 2

17. 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5

（1（2）当产品中的微量元素x,y满足

x≥175，且y

≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数 的分布列极其均值（即数学期望）。

18.(本小题满分13分)

如图

5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为

1的棱形， 且∠DAB=60

，PA PD E,F分别是BC,PC的中点. (1) 证明：AD 平面DEF;

(2) 求二面角P-AD-B的余弦值.

19.(本小题满分14分)

设圆C与两圆(x y 4,(x y 4中的一个内切，另一个外切。 （1）求圆C的圆心轨迹L的方程; （2）已知点M(

2

2

2

2

F，且P为L上动点，求MP FP的最大值及此时点P的坐标. 55

设b>0,数列 an 满足a1=b，an （1）求数列 an 的通项公式；

nban 1

(n 2)

an 1 2n 2.

bn 1

（2）证明：对于一切正整数n，an n 1 1.

2

在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:y

12

x实数p，q满足p2 4q 0，x1，x2是方程4.

x2 px q 0的两根，记 (p,q) max x1,x2 。

（1）过点A(p0,

12

p0)(p0 0)作L的切线教y轴于点B. 证明：对线段AB上任一点Q(p，q)有4

(p,q)

p02

;

2

（2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a-4b>0,a≠0. 过M(a，b)作L的两条切线l1,l2，切点分别

121

p1),E (p2,p22)，l1,l2与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：44

p1

PM(a,b) X P (a,b) 12

2;

125（3）设D={ (x,y)|y≤x-1,y≥(x+1)-}.当点(p,q)取遍D时，求 (p,q)的最小值 （记为 min）44

和最大值（记为 max）.

为E(p1,

2011年广东高考理科数学参考答案

一、选择题

二、填空题 ９. [1, )； 14. (1,

10. 84；

15.

11. 10；

12. 2；

13. 185；

；

三、解答题 16．解：(1)f(

5 5

) 2sin( ) 2sin 41264

(2)f(3

2

) 2sin

105 12

， sin ，又 [0,]， cos ， 1313213

63

f(3 2 ) 2sin( ) 2cos ， cos ，

255

又 [0,

2

]， sin

4， 5

16. 65

cos( ) cos cos sin sin

17．解：（1）乙厂生产的产品总数为5 （2）样品中优等品的频率为

14

35； 98

22

，乙厂生产的优等品的数量为35

14； 55

i

C2C32 i

（3） 0,1,2， P( i) (i 0,1,2)， 的分布列为 2

C5

均值E( ) 1

31 2 . 5105

18.解：(1) 取AD的中点G，又PA=PD， PG AD，

由题意知ΔABC是等边三角形， BG AD， 又PG, BG是平面PGB的两条相交直线，

AD 平面PGB， EF//PB,DE//GB， 平面DEF//平面PGB，

A

B

Ｓ

Ｓ

Ｓ

AD 平面DEF

(2) 由（1）知 PGB为二面角P AD B的平面角，

在Rt

PGA中，PG2

1713 ()2 ；在Rt BGA中，BG2 12 ()2 ；

2424

PG2 BG2 PB2在

PGB中，cos PGB .

2PG BG7

19．解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R

，两圆心为F1(

0)、F20)，

由题意得R |CF1| 2 |CF2| 2或R |CF2| 2 |CF1| 2，

||CF1| |CF2|| 4 |F1F2|，

x2y2

可知圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线，设方程为2 2 1，则

abx2

2a 4,a 2,c b c a 1,b 1，所以轨迹L的方程为 y2 1．

4

（２）∵||MP| |FP|| |MF| 2，仅当PM PF( 0)时，取＂＝＂，

2

2

2

由kMF

2知直线lMF

x2

:y 2(x，联立 y2

1并整理得15x2 9

0解得

4

x

(舍去）

- 或x ，此时P(15555

． 55

所以||MP| |FP||最大值等于2

，此时P(20．解（１）法一：

anban 1nan 1 2(n 1)12n 1

，得， nan 1 2(n 1)anban 1bban 1

设

n21

bn，则bn bn 1 (n 2)， anbb

（ⅰ）当b 2时， bn 是以即bn

11

为首项，为公差的等差数列， 22

111

(n 1) n，∴an 2 222

222

(bn 1 )，则bn bn 1 ( 1)， bbb

（ⅱ）当b 2时，设bn 令 ( 1) 知bn

2

b11121，得 ， bn (bn 1 )(n 2)， b2 b2 bb2 b

11121是等比数列， bn (b1 ) ()n 1，又b1 ， 2 b2 b2 bbb

12n112n bnnbn(2 b) bn () ， an ． nnn

2 bb2 b2 bb2 b

法二：（ⅰ）当b 2时， bn 是以即bn

11

为首项，为公差的等差数列， 22

111

(n 1) n，∴an 2 222

2b22b2(b 2)3b33b3(b 2)

（ⅱ）当b 2时，a1 b，a2 ，a2 2， 2 3

b 2b 22b 2b 4b 23

nbn(b 2)

猜想an ，下面用数学归纳法证明：

bn 2n

①当n 1时，猜想显然成立；

kbk(b 2)

②假设当n k时，ak ，则 kk

b 2ak 1

(k 1)b ak(k 1)b kbk(b 2)(k 1)bk 1(b 2) k ， kkk 1k 1

ak 2(n 1)kb(b 2) 2k (b 2)b 2

所以当n k 1时，猜想成立，

nbn(b 2)由①②知， n N*，an ． nn

b 2

2n 1

（２）（ⅰ）当b 2时， an 2 n 1 1，故b 2时，命题成立；

2

（ⅱ）当b

2时，b

2n

22n 2n 1bn，

b2n 1 2 b 22n 1 2n 1bn，

,bn 1 2n 1 bn 1 2n 1 2n 1bn，以上n个式子相加得

b2n b2n 1 2 bn 1 2n 1 bn 1 2n 1 b 22n 1 22n n 2n 1bn， n 2n 1bn(b 2)[(b2n b2n 1 2 b 22n 1 22n) bn 2n](b 2)an n 1n

2(b 2n)2n 1(bn 2n)(b2n b2n 1 2 b 22n 1 22n)(b 2) bn 2n(b 2)

2n 1(bn 2n)(b2n 1 22n 1) bn 1 2n bn 2n 1

2n 1(bn 2n)

(b2n 1 bn 1 2n) (bn 2n 1 22n 1)bn 1 n 1 1．故当b 2时，命题成立；

2n 1(bn 2n)2

综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立． 21．解：（１）kAB y'|x p0 (x)|x p0

直线AB的方程为y

1

21

p0， 2

12111

p0 p0(x p0)，即y p0x p02， 4224

q

11

p0p p02，方程x2 px q 0的判别式 p2 4q (p p0)2， 24

p |p0 p|p0p

或p 0，

222

p0p

| ||p| |0||，又0 |p| |p0|， 22

两根x1,2

p p0 0， |p

|

p0pppppp

| |p| |0| |0|，得 |p 0| ||p| |0|| |0|， (p,q) |0|． 2222222

2

（２）由a 4b 0知点M(a,b)在抛物线L的下方，

①当a 0,b 0时，作图可知，若M(a,b) X，则p1 p2 0，得|p1| |p2|； 若|p1| |p2|，显然有点M(a,b) X； M(a,b) X |p1| |p2|． ②当a 0,b 0时，点M(a,b)在第二象限，

作图可知，若M(a,b) X，则p1 0 p2，且|p1| |p2|； 若|p1| |p2|，显然有点M(a,b) X；

M(a,b) X |p1| |p2|．

根据曲线的对称性可知，当a 0时，M(a,b) X |p1| |p2|， 综上所述，M(a,b) X |p1| |p2|（*）；

由（１）知点M在直线EF上，方程x ax b 0的两根x1,2 同理点M在直线E'F'上，方程x ax b 0的两根x1,2 若 (a,b) |

2

2

p1p

或a 1， 22

p2p或a 2， 22

p1pppp

|，则|1|不比|a 1|、|2|、|a 2|小， 22222

p1p

| M(a,b) X；又由（１）知，M(a,b) X (a,b) |1|； 22

|p1| |p2|，又|p1| |p2| M(a,b) X，

(a,b) |

(a,b) |

p1

| M(a,b) X，综合（*）式，得证． 2

（３）联立y x 1，y

15

(x 1)2 得交点(0, 1),(2,1)，可知0 p 2， 44

12

x0 q

112

过点(p,q)作抛物线L的切线，设切点为(x0,x0)，则 x0，

x0 p24

2

得x0 2px0 4q

0，解得x0 p

，

又q

15

(p 1)2 ，即p2 4q 4 2p，

44

115 x0 p

t， x0 t2 t 2 (t 1)2 ，

222 max |

x055

|max，又x0 ， max ； 224

p |p 2| 2，

q p 1， x0 p

min |

x0

|min 1． 2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7hki.html