数学与应用数学本科高等代数大纲

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JINING UNIVERSITY

课程教学大纲

课程名称:高等代数 课程代码:06102

适用专业:数学与应用数学

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《高等代数》课程（06102）教学大纲

一、课程基本信息 课程中文名称：高等代数 课程代码：06102

学分与学时：11学分；180学时 课程性质：专业必修课

授课对象：数学与应用数学专业（本科） 二、课程教学目标和任务

《高等代数》是济宁学院数学系数学与应用数学专业的一门重要的基础课，其主要目标是使学生获得数学的基本思想方法、解题技巧以及提高数学应用能力，培养学生的高度抽象思维能力、严谨的逻辑推理能力以及灵活的创造性能力。它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析等）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本技能）及培养学生创造性能力有着极大地推动作用。

本课程主要包括多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵理论、二次型、线性空间、线性变换、?-矩阵、欧氏空间等方面的系统知识。

三、学时安排

课程与学时分配表

章 节 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章

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内 容 多项式 行列式 线性方程组 矩阵 二次型 线性空间 线性变换 学 时 24 18 18 16 12 18 20 18 18 8 ?—矩阵 欧几里得空间 双线性函数和辛空间 仅供个人参考

四、课程教学内容与基本要求

第一章 多项式

教学目的：掌握数域的定义,并会判断一个代数系统是否是数域；正确理解数域P上一元多项式的定义,多项式相乘,次数,一元多项式环等概念；掌握多项式的运算及运算律； 正确理解整除的定义,熟练掌握带余除法及整除的性质；正确理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质；能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式；正确理解和掌握不可约多项式的定义及性质。深刻理解并掌握因式分解及唯一性定理，掌握标准分解式；正确理解和掌握k重因式的定义；掌握多项式函数的概念,余数定理,多项式的根及性质，正确理解多项式与多项式函数的关系；理解代数基本定理，熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解式；深刻理解有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系，掌握本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法； 理解多元多项式、对称多项式的定义，掌握对称多项式基本定理。

基本要求：通过本章学习，使学生掌握带余除法定理、因式分解定理、复系数与实系数的因式分解及有理系数多项式的有关结论。

重点和难点：以因式分解及唯一性定理和有理系数多项式为重点。以不可约多项式和有理系数多项式为难点。

教学方法：讲授法，讨论法。 主要内容： １.１ 数域

数域的定义及其简单性质；判断一个非空数集是否为数域的方法。 １.２ 一元多项式

数域P上一元多项式的定义,及其多项式相等、首项、首项系数、次数的定义；多项式的运算及运算律；一元多项式环的定义。 １.３ 整除的概念

带余除法及其证明；整除的定义及其性质；多项式的组合。 １.４ 最大公因式

两个(或若干个)多项式的最大公因式和两个(或若干个)多项式互素的概念及性质；用辗转相除法求两个多项式的最大公因式的格式与步骤。 １.５ 因式分解定理

不可约多项式的定义及性质；因式分解及唯一性定理的证明；标准分解式的定义。 １.６ 重因式

重因式的定义及其性质；微商（导数）的定义。 １.７ 多项式函数

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多项式函数的概念；余数定理；多项式的根（重根）的定义及性质；多项式与多项式函数的关系。

１.８ 复系数与实系数多项式的因式分解

代数基本定理；复（实）系数多项式分解定理及标准分解式。 １.９ 有理系数多项式

有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系，本原多项式的定义；高斯引理；整系数多项式的性质及其有理根的求法；Eisenstein判别法。 １.10 多元多项式

多元多项式及其次数的定义；字典排列法；多元多项式的首项的定义及其性质；多元多项式的齐次成分。 １.11 对称多项式

对称多项式的定义；初等对称多项式；对称多项式基本定理。

第二章 行列式

教学目的：理解并掌握排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义，掌握排列的奇偶性与对换的关系。深刻理解和掌握n级行列式的定义,能用定义计算一些特殊行列式。熟练掌握行列式的基本性质；正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质计算一些简单行列式；正确理解元素的余子式、代数余子式等概念，熟练掌握行列式按一行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计算行列式的技巧；熟练掌握克莱姆(Cramer)法则。正确理解和掌握行列式的一个k级子式的余子式等概念、熟练掌握拉普拉斯(Laplace)定理.理解行列式的乘法规则。

基本要求：通过本章学习，使学生熟练掌握计算行列式的各种方法，并会运用 Gramer 法则求线性方程组的解。

重点和难点：重点是 n 阶行列式的定义和性质，行列式的一些计算技巧；关于 Gramer 法则的应用。 难点是Laplace 定理，行列式乘法规则的证明以及应用。

教学方法：讲授法；讨论法。 主要内容： ２.1 引言

线性方程组；二级和三级行列式的定义。 ２.２ 排列

排列、逆序、逆序数、奇偶排列、对换的定义及其性质；排列的奇偶性与对换的关系。 ２.３ n级行列式

n级行列式的定义；一些特殊行列式的计算方法；行列式的性质1。 ２.４ n级行列式的性质

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行列式的性质2—7；行列式的简单计算；反对称行列式的性质。 ２.５ 行列式的计算

矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换的定义；阶梯形矩阵；利用行列式性质计算一些简单行列式。

２.６ 行列式按一行（列）展开

行列式的元素的余子式、代数余子式；行列式按一行（列）展开的公式；范德梦德行列式；“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计算行列式的计算方法和技巧。 ２.７ 克拉默法则

克拉默法则及其应用；齐次线性方程组；齐次线性方程组的零解、非零解及其性质。 ２.8 拉普拉斯定理与行列式的乘法规则

行列式的一个k级子式及其（代数）余子式；拉普拉斯(Laplace)定理；行列式的乘法定理。

第三章 线性方程组

教学目的： 正确理解和掌握一般线性方程组,方程组的解,增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求线性方程组的一般解。理解和掌握n维向量及两个n维向量相等的定义。熟练掌握向量的运算，深刻理解n维向量空间的概念；正确理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌握两个向量组等价 的定义及等价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的定义，会求向量组的极大无关组。深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩、秩的定义。掌握矩阵的秩与其子式的关系；熟练掌握线性方程组的有解判别定理。理解和掌握线性方程组的公式解。正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系,解空间的维数与概念。熟练掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有解的全部解；了解结式和判别式以及简单二元高次方程组的解法。

基本要求：熟练掌握一般线性方程组解的判别；会以矩阵为工具求解方程组。深刻领会向量组的线性关系。

重点和难点：以向量的线性相关性概念及线性方程组有解判定定理为重点。 以线性相关性理论和线性方程组解的理论为难点。

教学方法：讲授法。 主要内容： 3.1 消元法

一般线性方程组及其系数、常数项、解；线性方程组的初等变换；同解方程组；阶梯形方程组的特征及作用；线性方程组的一般解；线性方程组的增广矩阵；如何用消元法求线性方程组的一般解。 3.2 n维向量空间

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n维向量及两个n维向量相等的定义；向量的运算及其规则；n维向量空间的定义。 3.3 线性相关性

线性组合、线性表出、线性相关、线性无关的定义及性质；向量组等价的定义及性质；向量组的极大无关组、秩的定义及其性质；求向量组的极大无关组的方法；向量组的线性相关性与线性方程组的解的关系。 3.4 矩阵的秩

矩阵的行秩、列秩、秩的定义及其性质；矩阵的秩与其子式的关系；求矩阵的秩的方法；矩阵的秩、行列式、线性方程组之间的关系。 3.5 线性方程组有解判别定理

线性方程组的有解判别定理；线性方程组的公式解。 3.6 线性方程组解的结构

齐次线性方程组的解与一般线性方程组的解的性质及关系；齐次线性方程组的基础解系的定义及其求法；线性方程组的解的结构；一般线性方程组的全部解的求法。 3.7二元高次方程组

结式的定义及其方法；解二元高次方程组的一般方法。

第四章 矩阵

教学目的：了解矩阵概念产生的背景，掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其运算规律；掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系；正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系，熟练掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵。理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的逆。

基本要求：熟练掌握矩阵的基本运算和初等变换的应用。

重点和难点：重点掌握矩阵的乘法规则及可逆矩阵求逆的方法。难点为初等变换与矩阵乘法的联系；分块矩阵的运算。

教学方法：讲授法，讨论法。 主要内容：

４.１ 矩阵的概念的一些背景

矩阵概念产生的背景；矩阵的符号表示。 ４.２ 矩阵的运算

矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其运算规律；单位矩阵；数量矩阵。 ４.３ 矩阵乘积的行列式与秩

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矩阵乘积的行列式定理；矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系；矩阵的退化和非退化。 ４.４ 矩阵的逆

可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念；方阵可逆的充要条件；关于逆矩阵的一些性质；用公式法求一个矩阵的逆矩阵。 ４. ５ 矩阵的分块

分块矩阵的含义及其重要性；分块矩阵的加法、乘法的运算及性质；有关分块矩阵的行列式与它的逆的一些结论。 ４.６ 初等矩阵

初等矩阵的定义及其性质；初等矩阵与初等变换之间的关系；矩阵的等价和矩阵的标准形；矩阵可逆的充要条件；用初等变换法求一个方阵的逆矩阵。 ４.７ 分块矩阵的初等变换及应用举例

分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系及其应用。

第五章 二次型

教学目的：正确理解二次型和非退化线性替换的概念；掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系；掌握矩阵的合同概念及性质。理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准型的方法（配方法、初等变换法）。正确理解复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性；掌握惯性定理。正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念；熟练掌握正定二次型及半正定二次型的等价条件。

基本要求：掌握用非退化线性替换化二次型为标准形的方法；会判断二次型的正定性。 重点和难点：重点是正定二次型的判定；难点是标准形的化简以及应用矩阵验证。 教学方法：讲授法，讨论法。 主要内容：

５.１ 二次型及其矩阵表示

二次型、非退化线性替换的概念；二次型的矩阵表示；二次型与对称矩阵的一一对应关系；矩阵的合同概念及性质。 ５.２ 标准形

二次型的标准形；化二次型为标准行的方法（配方法、初等变换法）；对称矩阵合同于对角矩阵。 ５.３ 唯一性

规范形；复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性；惯性定理；正惯性指数、负惯性指数、符号差。 ５.４ 正定二次型

正定、半正定、负定、半负定、不定二次型及正定、半正定矩阵等概念；矩阵的顺序主

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子式；正定二次型及半正定二次型的等价条件。

第六章 线性空间

教学目的：掌握映射、单射、满射（映上的）、一一映射、逆映射等概念。正确理解和掌握线性空间的定义及性质；会判断一个代数系统是否是线性空间。理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念；正确理解和掌握n维线性空间的基与维数的概念及性质。正确理解和掌握基变换与坐标变换的关系。正确理解线性子空间的定义及判别定理；掌握向量组生成子空间的定义及等价条件。掌握子空间的交与和的定义及性质；熟练掌握维数公式。深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。理解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。

基本要求：深刻领会线性空间的概念，充分理解维数，基，坐标的关系，掌握子空间的和，直和以及线性空间同构的概念。

重点和难点：以线性空间的概念；维数和基的求解为重点。难点为对同构和直和的理解以及判断。

教学方法：讲授法。 主要内容： 6.1集合 映射

集合、子集、交集、映射、变换、恒等映射、单射、满射（映上的）、双射、逆映射等概念。

6.2线性空间的定义与简单性质

线性空间的定义及性质；判断一个代数系统是否为线性空间的方法。 6.3 维数，基与坐标

线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念；n维线性空间的基与维数的概念及性质；一些线性空间的基与维数。 6.4 基变换与坐标变换

基变换与坐标变换的关系；过渡矩阵的定义及其性质。 6.5 线性子空间

线性子空间的定义及判别定理；向量组生成子空间的定义及其性质；基的扩充定理。 6.6子空间的交与和

子空间的交与和的定义及性质；维数公式。 6.7子空间的直和

子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。 6.8线性空间的同构

线性空间同构的定义及其性质；两个有限维空间同构的充要条件。

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第七章 线性变换

教学目的：理解和掌握线性变换的定义及性质。掌握线性变换的运算及运算规律，理解线性变换的多项式。深刻理解和掌握线性变换与矩阵的联系；掌握矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质。理解和掌握矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质；会求一个矩阵的特征值和特征向量；掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密尔顿-凯莱定理。掌握n 维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角形的充要条件。掌握线性变换的值域、核、秩、零度等概念；深刻理解和掌握线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系。掌握不变子空间的定义；会判定一个子空间是否是A-子空间；深刻理解不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系；掌握将空间V按特征值分解成不变子空间的直和表达式。掌握标准形的定义。正确理解最小多项式的概念；掌握一个矩阵相似于一个对角阵与它的最小多项式的关系。

基本要求：熟练掌握线性变换的概念和运算；线性变换和矩阵的特征值和特征向量；不变子空间的判断，掌握若当标准形和最小多项式。

重点和难点：以线性变换在不同基下矩阵的关系，矩阵的对角化及不变子空间为重点。 线性变换在不同基下对应不同的矩阵，线性变换的值域与核，线性空间按特征值分解成不变子空间的直和为本章难点。

教学方法：讲授法。 主要内容： ７.１ 线性变换的定义

线性变换的定义及性质；恒等变换、零变换、数乘变换。 ７.２ 线性变换的运算

线性变换的运算及运算规律；逆变换及其性质；线性变换的多项式。 ７.３ 线性变换的矩阵

线性变换的矩阵以及它与线性变换的关系；矩阵相似的概念及其性质；同一线性变换在不同基下的矩阵之间的关系。 ７.４ 特征值与特征向量

矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质；求一个矩阵的特征值和特征向量的方法；矩阵的迹；相似矩阵与它们的特征多项式的关系；哈密尔顿-凯莱定理。 ７.５ 对角矩阵

n 维线性空间的一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角形的充要条件。 ７.６ 线性变换的值域与核

线性变换的值域、核、秩、零度等概念；线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系；线性变换的秩和零度间的关系。 ７.７ 不变子空间

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不变子空间的定义及其性质；不变子空间与线性变换的矩阵化简之间的关系；将空间按特征值分解成不变子空间的直和表达式。 ７.８ 若当标准形介绍

若尔当块和若尔当形矩阵；复数矩阵相似于若尔当形矩阵。 ７.９ 最小多项式

最小多项式的概念及其性质；掌握一个矩阵相似于一个对角阵与它的最小多项式的关系。

第八章：?—矩阵

教学目的：理解和掌握?—矩阵的定义及可逆的条件。掌握?—矩阵的标准形并会用初等变换化为标准形。深刻理解行列式因子和不变因子及其作用。理解和掌握矩阵的相似和不变因子的关系。掌握?—矩阵的初等因子以及它和行列式因子、不变因子的关系。掌握复矩阵可对角化的条件，初等因子和若当标准形的关系。理解伴侣阵的概念，会求复矩阵的有理标准形。

基本要求：掌握 λ 一矩阵的标准形的唯一性和矩阵相似的条件，理解行列式因子，不变因子，初等因子的关系；掌握将复矩阵化为若当形的方法。

重点和难点：化 λ 一矩阵成标准形及求不变因子、初等因子。Jordan 标准形的理论推导为难点。

教学方法：讲授法，讨论法。 主要内容： 8. 1 λ 一矩阵

?—矩阵及其秩、逆的定义；?—矩阵可逆的充要条件。

8. 2 λ 一矩阵在初等变换下的标准形

?—矩阵的初等变换；λ 一矩阵的等价；λ 一矩阵的标准形；用初等变换化λ 一矩阵为标准形的步骤。 8. 3 不变因子

λ 一矩阵的行列式因子和不变因子；λ 一矩阵的标准形的唯一性；?—矩阵等价的充要条件；?—矩阵可逆的又一充要条件。 8. 4 矩阵相似的条件

两个矩阵相似的充要条件。 8. 5 初等因子

矩阵的初等因子的定义及其求法；两个复数矩阵相似与初等因子的关系。 8. 6 若当标准形的理论推导

求若当标准形的方法；复数矩阵相似的充要条件。 8. 7 矩阵的有理标准形

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伴侣阵和有理标准形矩阵的概念；求复矩阵的有理标准形的方法。

第九章 欧几里得空间

教学目的：深刻理解欧氏空间的定义及性质；掌握向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质，使学生掌握各种概念之间的联系和区别。正确理解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化过程，并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。深刻理解两个欧氏空间同构的定义。掌握两个欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系。正确理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系，让学生掌握正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。正确理解和掌握两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系，及欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。深刻理解并掌握任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，并掌握求正交阵的方法。能用正交变换化实二次型为标准形。

基本要求：掌握欧氏空间的概念和度量性质，标准正交基，正交变换和对称变换，实对称矩阵的对角化。

重点和难点：以内积、标准正交基及利用正交变换化实对称矩阵为对角形作为重点。 标准正交基的求法与用正交变换化实对称矩阵为对角形为难点。

教学方法：讲授法。 主要内容： ９.１ 定义与基本性质

欧氏空间的定义及性质；向量的长度；柯西—布涅柯夫斯基不等式；两个向量的夹角、正交；度量矩阵的定义及其性质。 ９.２ 标准正交基

正交向量组、正交基、标准正交基的概念；施密特正交化过程；正交矩阵及其性质。 ９.３ 同构

两个欧氏空间同构的定义及其意义；两个欧氏空间同构与空间维数之间的关系。 ９.４ 正交变换

正交变换的概念及其性质；正交变换与向量的长度、标准正交基、正交矩阵间的关系。 ９.５ 子空间

子空间正交的概念；正交与直和的关系；正交补及其性质。 ９.６ 对称矩阵的标准形

实对称矩阵的特征值的性质；对称变换及其性质；实对称矩阵与对称变换的关系；任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵；求正交阵的方法；用正交变换化实二次型为标准形。

９.７ 向量到子空间的距离，最小二乘法

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两个向量的距离；最小二乘法。 ９.８ 酉空间介绍

酉空间及其性质；酉矩阵；酉变换；埃尔米特矩阵和二次型。

第十章 双线性函数和辛空间

教学目的：理解线性函数的概念和基本性质，了解线性函数和线性变换之间的联系和区别。正确理解对偶空间和对偶基的概念。熟练掌握双线性函数的概念，了解双线性函数的度量矩阵。了解辛正交基，辛变换，辛同构等概念。

基本要求：理解线性函数的概念和基本性质，了解线性函数和线性变换之间的联系和区别。正确理解对偶空间和对偶基的概念。熟练掌握双线性函数的概念。

重点和难点：以对偶空间、双线性函数及度量矩阵为重点。难点为对非退化双线性函数及对偶空间的理解。

教学方法：讲授法，讨论法。 主要内容： 10.1线性函数

线性函数的概念和基本性质。 10.2对偶空间

对偶空间和对偶基的概念及其性质。 10.3双线性函数

双线性函数、对称双线性函数、反对称双线性函数、双线性函数的度量矩阵等概念。 10.4辛空间。

辛正交基、辛变换、辛同构、辛正交补空间、辛子空间等概念。

五、课程教学方式与考核方式

教学方式：以课堂讲授为主，辅以习题课，讨论课以及课后习题、作业。 考核方式：闭卷考试。 六、参考教材及教学参考资料 参考教材：

北大数学系代数与几何教研室编，《高等代数》第三版，高等教育出版社。， 参考资料：

［1］丘维声主编，《高等代数》（上、下）， 高等教育出版社，1996； ［2］蓝以中编著，《高等代数简明教程》（上、下），北京大学出版社，2002； ［3］王品超，《高等代数新方法》，中国矿业大学出版社，2003； ［4］王萼芳 石生明，《高等代数》第三版，高等教育出版社，2003。

不得用于商业用途

仅供个人参考

仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

For personal use only in study and research; not for commercial use.

Nur für den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden. Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.

только для людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.

以下无正文

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