15 巴拿赫不动点定理

第一章 度量空间

1.5 Banach不动点定理及应用

巴拿赫不动点定理(Banach Fixed Point Theorem)，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，它是用泛函分析方法统一处理许多关于解的存在性和唯一性问题(如微分方程、代数方程组、积分方程等)的一个重要定理．许多方程求解问题往往可以转化为求某映射的不动点，而压缩映射原理描述了映射不动点的存在性和唯一性的充分条件，并提供了一个迭代程序，按此程序逐次逼近可求不动点的近似值和误差，这是代数方程，微分方程，积分方程，泛函方程以及计算数学中的一个很重要的方法．

1.5.1 Banach不动点定理及推论

定义 1.5.1 不动点(Fixed points)

设X是一个非空集合，A:X?X为映射，如果存在x??X满足A(x?)?x?，则称x?为映射A的不动点．

例如(1)从R到R上的映射f:x?x2有两个不动点，即x?0和x?1．(2)从R2到R2上的映射f:(x,y)?(y,x)有无穷多个不动点，即直线y?x上的所有点均是不动点．

设f是空间X到自身的映射，方程f(x)?0的求解可转化为求映射

T:x??f(x)?x

的不动点，其中常数??0(显然当Tx??x?时，即?f(x?)?x??x?，可得f(x?)?0)．关于不动点的定理，最简单而又最广泛应用的是著名的压缩映射原理．

定义 1.5.2 压缩映射(Contraction mapping)

设X是一个度量空间，A:X?X为映射，如果存在常数??(0,1)，对于任何x,y?X，有

d(Ax,Ay)??d(x,y)

则称A为X上的压缩映射．称常数?为压缩系数．

显然压缩映射是连续映射．下面的压缩映射原理是由Banach于1922年给出的，也称为Banach不动点定理．

定理 1.5.1 Banach不动点定理(压缩映射原理Contraction mapping principle)

设X是完备的度量空间，A:X?X是压缩映射，则A在X中具有唯一的不动点，即存在唯一的x?，使得x??A(x?)．

证明 任取x0?X，构造点列{xn}：

x1?A(x0)，x2?A(x1)，x3?A(x2)，x4?A(x3)，…，xn?A(xn?1)，…．

下面证明 (1)证{xn}为基本列；(2)证xn?x?，x??A(x?)；(3)证x?的唯一性．

(1)证{xn}为基本列．

因为A是压缩映射，所以不妨设d(Ax,Ay)??d(x,y)，其中??(0,1)，记d(x1,x0)?c0，于是有

1

1.5 Banach不动点定理及应用

d(x2,x1)?d(Ax1,Ax0)??d(x1,x0)??c0；

d(x3,x2)?d(Ax2,Ax1)??d(x2,x1)??2c0； d(x4,x3)?d(Ax3,Ax2)??d(x3,x2)??3c0；

…… ……

d(xn,xn?1)?d(Axn?1,Axn?2)??d(xn?1,xn?2)??n?1c0．

因此对于正整数k有

d(xn,xn?k)?d(xn,xn?1)?d(xn?1,xn?2)???d(xn?k?1,xn?k)

?(?n??n?1????n?k?1)c0

?n(1??k)?n?c0?c0?0 (n??)

1??1??故{xn}为基本列．

(2)证xn?x?，x??A(x?)．

因为X是完备的度量空间，所以基本列{xn}收敛，不妨设xn?x?(n??)；又知压缩映射是连续映射以及xn?A(xn?1)，于是

x??limxn?limA(xn?1)?A(limxn?1)?Ax?．

n??n??n??(3)证x?的唯一性．

若存在x??X且x??A(x?)，那么

111d(x1?,x?)?d(Ax1?,Ax?)??d(x1?,x?)

于是(1??)d(x?,x?)?0，从而d(x?,x?)?0，即x??x?．□

111注1 Banach不动点定理给出了在完备度量空间X中求解不动点的迭代法，即?x1?X，由xn?1?Axn(n?1,2,?)获得不动点xn?x?．

第n次迭代后的近似解xn与不动点x?的误差估计：根据上述定理证明的第二部分知

?nd(xn,xn?k)?c0，于是令k??有

1???n?n?nd(xn,x)?c0?d(x1,x0)?d(Ax0,x0)．

1??1??1????n即d(xn,x)?d(Ax0,x0)．

1???注2 Banach不动点定理中的两个条件压缩性和空间的完备性都是十分重要的．例如当

d(Ax,Ay)?d(x,y)时，未必存在不动点．

设A:R?R，A(x)?x?d(Ax,Ay)?Ax?Ay

?2?arctanx，那么?x,y?R，有

?(x??2?arctanx)?(y??2?arctany)

?x?y?(arctanx?arctany)

2

第一章 度量空间

x?y?x?y?()(由Lagrange中值定理知存在??(x,y)或??(y,x))

1??2?2?(x?y)

1??2?x?y?d(x,y)．

但是，当Ax?x时，方程arctanx??2无解，因此映射A在R中没有不动点．

Lagrange中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]连续，在开区间(a,b)内可导，那么在

(a,b)内至少存在一点?(a???b)，使得f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)．

推论 1.5.1 设X是完备的度量空间，映射A:X?X是闭球B(x0,r)上的压缩映射，并且

d(Ax0,x0)?(1??)r，其中??(0,1)是压缩系数，那么A在B(x0,r)中具有唯一的不动点．

证明 显然B(x0,r)是完备度量空间X的闭子集，所以B(x0,r)是完备的子空间．?x?B(x0,r)，有d(x,x0)?r，于是

d(Ax,x0)?d(Ax,Ax0)?d(Ax0,x0)??d(x,x0)?(1??)r??r?(1??)r?r

即Ax?B(x0,r)．可见A是完备度量空间B(x0,r)到B(x0,r)上的压缩映射，因此A在B(x0,r)中具有唯一的不动点．□

n?????设映射A:X?X，记A?AA?A，那么映射An:X?X．

n推论 1.5.2 设X是完备的度量空间，映射A:X?X，如果存在常数??(0,1)和正整数n，使得?x,y?X有

d(Anx,Any)??d(x,y)

那么A在X中存在唯一的不动点．

证明 显然An是压缩映射，所以An在X中存在唯一的不动点x?，即x??Anx?．于是

An(Ax?)?An?1x??A(Anx?)?Ax?

可得Ax?也是An的不动点，由不动点的唯一性知：Ax??x?．同时易得A2x??x?，A3x??x?，…，

Anx??x?

下面证明x?的唯一性．设存在x??X且x??A(x?)，得A2x??x?，A3x??x?，…，Anx??x?，

111111111那么

d(x?,x1?)?d(Ax?,Ax1?)???d(Anx?,Anx1?)??d(x1?,x?)

于是(1??)d(x?,x?)?0，从而d(x?,x?)?0，即x??x?．□

111 3

1.5 Banach不动点定理及应用

1.5.2 Banach不动点定理的应用

◇ 求方程的近似解

定理 1.5.2 设f:R?R是可微函数，且f'(x)???1，则方程

f(x)?x

具有唯一解．

证明 根据Lagrange中值定理知存在??(x,y)，使得

f(x)?f(y)?f'(?)(x?y)??x?y，

因此f是完备度量空间R上的压缩映射，于是由压缩映射原理知，f(x)?x具有唯一解．

例 1.5.1 求方程x5?x?1?0的根．

解 显然函数g(x)?x5?x?1的导函数为g'(x)?5x4?1?0，即g单调递增，且115g()???0，g(1)?1，所以原方程只有一个根而且在(0.5,1)内．原方程可写为 2321?x5?x

由于1?x5不是一个压缩映射，即(1?x5)'?5x4在(0.5,1)内并不小于1．将上式改造为?(1?x5)??x，即为

(1??)x??(1?x5)?x，

于是当x?(0.5,1)及??(0,1)时有

[(1??)x??(1?x5)]'?1???5?x4?1??．

令??

131，f(x)?x?(1?x5)，那么在(0.5,1)上f(x)满足 444f'(x)?3?1 4于是得f(x)是(0.5,1)上的压缩映射，取x0?0.75，由迭代xn?1?f(xn)可得

x1?0.7521，x2?0.7533，x3?0.7540，x4?0.7544， x5?0.7546，x6?0.7547，x7?0.7548，x8?0.7548，…．

若取x8作为不动点x?的近似解，其误差为

0.75nx8?x?0.7521?0.75?0.0008．□

1?0.75?◇ 解线性代数方程组

4

第一章 度量空间

?a11?a1n??x1??b1???????n??，x?????R，b?????Rn，定理 1.5.3 设A???若对每个1?i?n，矩阵A

?a?a??x??b?nn??n1?n??n?满足?aij?1，即??max?aij?1，则线性方程组Ax?b?x具有唯一解x?．

j?11?i?nj?1nn证明 在Rn上定义距离d(x,y)?max{xi?yi}，其中x?(x1,x2,?,xn)T?Rn，

1?i?ny?(y1,y2,?,yn)T?Rn，易验证(Rn,d)是完备的度量空间．令映射T:(Rn,d)?(Rn,d)为

Tx?Ax?b．

记Tx?u?(u1,u2,?,un)T，Ty?v?(v1,v2,?,vn)T，于是

?n??n???a1ixj?b1???a1iyj?b1??u1??j?1?v1??j?1??????????． ，v?????u??????????u??n?v??n?n??ax?b??n??ay?b?nijn?nijn??????j?1??j?1?因此

d(Tx,Ty)?max{ui?vi}

1?i?nn?max{?aij(xj?yj)}

1?i?nj?1?max{?aij}?max{xj?yj}

1?i?nj?11?i?nn??d(x,y)

由??max?aij?1可知T是压缩映射，从而存在唯一的不动点x?，即线性方程组

1?i?nj?1nAx?b?x具有唯一解x?，且可根据迭代xn?1?Axn?b求得方程的近似解．□

◇ 证明隐函数存在定理

定理 1.5.4 设二元函数F(x,y)在区域{(x,y)a?x?b,???y???}上连续，关于y的偏导数存在，且满足条件0?m?Fy'(x,y)?M，其中m，M是正常数，则存在连续函数y?f(x)，

x?[a,b]满足：?x?[a,b]，F(x,f(x))?0．

证明 在完备度量空间C[a,b]中定义映射T：

??(x)?C[a,b]，(T?)(x)??(x)?1F(x,?(x))． M由于F(x,y)是连续函数，所以T??C[a,b]，即T:C[a,b]?C[a,b]．下面证T是压缩映射．

设?,??C[a,b]，根据微分中值定理得，存在??(0,1)，使得

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7hf7.html