2016级数值分析课程设计选题

一、必选题 水塔流量问题 二、自选题目

1、某厂房容积为45m?15m?6m，经测定，空气中含有0.2%的二氧化碳。开动通风设备，以360m3/s的速度输入含有0.05%的二氧化碳的新鲜空气，同时又排出同等数量的室内空气。求30min后室内二氧化碳的百分比。

（1）给出该问题的方程，并求出精确解。

（2）用Euler法、改进Euler法及四阶经典Runge-kutta求出近似解，取步长h?11（步长取30min的h?） 1010（3）比较近似解与精确解的误差，并绘出近似解与精确解的图形。 注：2-6 用到将要学的偏微分方程数值解，可到图书馆借书。） 2、已知椭圆方程第一初值问题：

?d2u??2?2u?sinx,?dx?u(0)?u(1)?0?（1）求出精确解。

0?x?1

（2）建立方程的中心差分格式，取步长h?1。 20（3）用Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代，SOR迭代求解差分方程。 （4）比较近似解与精确解的误差，并绘出近似解与精确解的图形。 3、求抛物方程的初边值问题的解：

?u?2u?,0?x?1,t?0?t?x2u(x,0)?sin?x,0?x?1 u(0,t)?u(1,t)?0,2t?0其精确解为u?e??tsin?x。

（1）建立向前差分格式，计算方案为：1) h?1111,??; 2) h?,?? 101001050计算到时间层t100。比较两种结果的差异，并说明原因。

（2）建立向后差分格式，用列主元消元法求解，计算方案为： h?计算到时间层t100。

1

11,??; 20200

4、求下列波动方程的初边值问题的解：

?2u?2u?,?t2?x20?x?1,t?0?u?cos?x,0?x?1 ?tu(0,t)?u(1,t)?0,t?0u(x,0)?sin?x,（精确解为u?sin?(x?t)?sin?(x?t)）

建立波动方程的显格式，并计算出近似解。计算方案为： （1) h?11,??;计算t?0.5,1.0,1.5,2.0的解。 102011（2) h?,??，计算t?0.5,1.0,1.5,2.0的解。

1010?u?u?2?0,0?x?1,t?0, ?t?x5、利用显和隐的迎风格式计算

u(x,0)?1?sin2?x,0?x?1, u(1,t)?1.

计算方案为：

11,??;计算t?0.5,1.0的解，并画出图形。 105011（2） h?,??，计算t?0.5,1.0的解，并画出图形。

1020（1） h?6、数值计算三体中心构型

三体定型问题

?d2ri?2dtmj?2?r??ari ，(i?1,2,3) ?3ijj?i,j?1rij3????r?rr其中，m1?1，m2?2，m3?3；ijij；ij?ri?rj；

??ri?ri(t)是平面的二维向量值函数，自变量是时间，且二阶可导。

要求：在自己给定初值条件（初始位置和初始速度）前提下，数值模拟方程的解，并用图像展示运动的过程。

7、捕食者-被捕食者模型。非线性微分方程的一个例子是捕食者——被捕食者模型。设x(t)和y(t)分别表示兔子和狐狸在时刻t的数量。捕食者——被捕食者模

2

型表明，x(t)和y(t)满足

x?(t)?Ax(t)?Bx(t)y(t) y?(t)?Cx(t)y(t)?Dy(t)

一个典型的计算机模拟可使用系数A?2，B?0.02，C?0.0002，D?0.8. 如果

（1）x(0)=3000只兔子，y(0)=120只狐狸， （2）x(0)=5000只兔子，y(0)=100只狐狸

在区间[0，5]上用M=50步和h=0.2求解。

（用龙格-库塔方法程序求解微分方程，并画出每个近似解。） 8、微分方程求解的线性打靶法

求解区间[0，4]上的边值问题

x??(t)?2t2?x(t)?x(t)?1 1?t21?t2边值条件为x(0)=1.25和x(4)??0.95

取步长h=0.2和h=0.1，用线性打靶方法求得近似解，并与解析解

11x(t)?1.25?0.4860896526t?2.25t2?2tarctan(t)?ln(1?t2)?t2ln(1?t2)比较。

22在同一坐标系中画出近似解和真实解。

（参见John H. Mathews.《数值方法》.电子工业出版社）

9、矩阵特征值及特征向量数值解算法及比较

MATLAB提供了多种求矩阵特征值的工具，最常用的“eig”函数。“eig”函数采用QR算法，可给出矩阵全部特征值及其特征向量。常用的调用格式为：

[V,E]=eig(A)

这里A是给定的矩阵；E是对角阵，其对角元即为A的特征值；V是由A的全部特征向量组成的矩阵，其第k列即为对应E的第k个对角元的特征向量。

要求：仿造“eig”函数，编写数值方法求解矩阵特征值和特征向量的幂法、QR算法，应用编写的算法对下列具体矩阵求解特征值和特征向量，并与“eig”函数求出的结果作比较。

3

?123??01??01?测试数据：（1）A??234?，（2）A??，（3）， A???????10??00?345?????10??01??20??10?（4）A??，（5），（6），（7） A?A?A??01.01??01??0?1?，?00?????????100?（8）A??010?，

????000.5??

10、有如下方程组

?61??x1??7??861??x??15????2????861??x3??15????????????=???； ????861??xn?2??15???????x861???n?1??15??????86????xn??14?要求：

（1）编写通用的程序，实现不选主元、列主元和完全主元Gauss消去法 （2）用编写的程序求解上面的方程组（n取值从120到130）

（3）对上述方程组还可以采用哪些方法求解？并且编程实现，分析比较各种算法及计算结果。 11、数值积分

给出积分（1）I??x2e?xdx，（2）I???cotxdx，（3）I??0223?43221dx。 2x?1(0)?6要求：（1）用龙贝格求积计算上述积分I的值。要求|Tk(0)时结束，?T|?10?1k输出T表及I的近似值。

（2）用5点高斯求积公式及复化3点高斯求积公式计算上述积分，并输出I的近似值。（3）分析比较各种计算结果。

12、设线性方程组Ax?b，其中系数矩阵A为80阶的Hilbert矩阵，即A的第i4

n11行第j列元素为aij?，向量b的第i个分量为bi??。

i?j?1j?1i?j?1要求：

请使用高斯消去法、列主元高斯消去法、LU分解法、列主元LU分解法、雅可比迭代法、高斯赛德尔迭代法、SOR松弛迭代法，编程求解上述线性方程组，要求小数点后取4位和7位。

对比分析各种算法及计算结果。

13、线性方程组的稳定性。体会用直接方法和迭代方法求解病态线性方程组时，各种方法的收敛性问题。

考虑方程组Hx?b的求解，其中系数矩阵H为Hilbert病态矩阵：

H?(hij)n?n,hij?1,i?j?1i,j?1,2,?,n

要求：

（1）取定右端向量b（自己定，可通过先给定解如各分量均为1，再计算出右端b），选择方程组的阶数为n = 5，分别用LU 分解方法、Jacobi、Gauss-Seidel 和 SOR 迭代方法求解方程组，各自的结果如何？将计算结果与问题的解比较，结论如何？

(2)逐步增大问题的维数（n = 10、20、30?），计算得结果如何？计算结果说明了什么？

14、用Euler法、改进Euler法、三阶Adams外插法、经典的四阶Rung-Kutta法求常微分方程

du?3udt(0?t?1),u(0)?1

的数值解，步长h?0.05。比较几个算法的精度，并与精确解作比较。 15、编制以离散点{xi}imk(x)}为基的最小二乘拟合程序，并用于?0的正交多项式{P对下列数据做三次多项式最小二乘拟合。

xi yi －1.0 －0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 4.552 －4.447 －0.452 0.551 0.048 －0.447 0.549 5

价格pi是该种菜肴成本ci的2倍加上两盘“免费”菜肴成本的一半计算得到的，即pi?0.5ci?1?2ci?0.5ci?1，1?i?n，c0?cn,cn?1?c1。输入菜单上每种菜肴的价格，推算出每种菜肴各自的成本。

测试时，可以先确定一组成本价，反算出每种菜肴的价格，再将价格带入程序解出成本价，并与自己预先设定的数据比较。试提高矩阵规模计算。

n27、给定n阶多项式P，求其在给定区间[a,b]中的根。 (x)?c?cx??cxn01n提示：可以用牛顿方法，但需注意牛顿法的收敛性取决于初值的选取。为了减少误差积累，计算多项式值的时候必须用秦九韶算法减少运算次数，即

nPn(x)?c0?c1x??cnx?c0?x(c1?x(c2?x(??x(cn?1?xcn))))

设计多种可能性的多项式并予以求解，考虑初始值的影响，考虑重根的影响等。其中测试p4(x)?x4?4x3?6x2?4x?1?(x?1)4，在区间[-2，0]上的根

（2）MATLAB中专用于求多项式根的函数“roots”。把你编写的函数与“roots”函数的计算结果作比较。

28、给定一函数f(x)及其导函数f?(x)，要求编程采用牛顿法从给定初值出发，求出在给定区间内的一个根。

测试：（1）求sin(x)在区间[0.5，6.0]中的根，初值3.0

（2）求sin(x)在区间[0.5，6.0]中的根，初值0.5 （3）求sin(x)在区间[0.5，6.0]中的根，初值6.0 （4）求x2?1在区间[-2.0，0.0]中的根，初值为-2.0 （5）求x2?1在区间[0.0，2.0]中的根，初值为2.0 （5）求x2?1在区间[-2.0，0.5]中的根，初值为0.0 （6）求x?sin(x)在区间[-1.0，1.0]中的根，初值1.0

另MATLAB用于求根的函数主要有两个，分别是“fzero”和专求多项式根的“roots”,可把你求得的结果与“fzero”或“roots”求得的结果作比较。

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