有限元方法理论及其应用考试题目及要求2014

南京理工大学

机械工程学院研究生研究型课程考试

题目及要求

课程名称： 有限元方法理论及应用 考试形式：□专题研究报告 □论文 □大作业 □√综合考试 考试题目：“有限元方法理论及应用”理论研讨及上机实验 试题及要求：

一、课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分）

撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。要求论文论及但不限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础；2）有限元法求解的原理和过程，推导计算列式；对基本概念和矩阵符号进行解释和讨论；3）等参单元的概念、原理和应用。

二、分析与计算（40分）

1、图示两个结构和单元相似，单元方位相同的平面应力有限元模型，两模型的单元厚度和材料相同。两个模型右端单元边上受均匀剪切面力。对于下列2种情况，试根据有限元法和力学有关知识来分析论证两个模型求解后对应节点（节点1）的位移值和对应单元的应力值之间的关系：1）两个模型面力的合力相等；2）两个模型面力值相等。（10分）

解：(1)A?11xj21xm1xiyiyjbi??ym0cibi1yj1xjci??1ym1xmbj0cj0cjbjbm0cm?bi1?(2)应变矩阵?B??0?2A?ci?0??cm?bm??

(3)平面应力单元刚度矩阵：[K]e?V[B]T[D][B]

(4)对上图（a）,（b）求解刚度矩阵： 单元编号 (1) (2) (3) (4) i 1 3 3 5 j 2 1 4 3 m 4 4 6 6 对于（a）(b)刚度矩阵相等

0?1???02?Et???1?2?(1)(3)[K]?[K]? 2?1?????1?2

?02? ?0??1??

??1??101????2??22?0??3??1???2??1??1??3???2???1??2?2?20????1??101?????3??1???2??1??1?1??3???2???1??1?200Et??2?2?(2)(4)[K]?[K]?3??0??1??1?2?2??2???1??101??1??1????03???2??2??1??1????1??101??1?????1?2??3????100?2??22?00???00???1?2??13????2??1006?2???1?2??结构总的刚度??2?矩阵的组集： 2??0???1000???1?0000?2???1002???2???100

000002??2???1?2?2?0?0??0??0???1??[K](a)?[K](b)?Et??2???100??16?2????1?4??11??2??0??1?2?2?2??2???16?2???10???10??1??1???1?4??16?2?0??0000?2??1003????0000?2???100??1?00000??1?2?2???1??0000??10??1??1?2?

(5)外部载荷与约束力：

对于第一种情况；（a）[N]T?[0,?10Pt,0,?10Pt,0,0,0,0,R5X,R5Y,R6X,R6Y]

(b) [N]T?[0,?10Pt,0,?10Pt,0,0,0,0,R5X,R5Y,R6X,R6Y]

对于第二钟情况：(a) [N]T?[0,?10Pt,0,?10Pt,0,0,0,0,R5X,R5Y,R6X,R6Y]

(b) [N]T?[0,?5Pt,0,?5Pt,0,0,0,0,R5X,R5Y,R6X,R6Y] （6）位移矩阵：

[a]T?[u1,v1,u2,v2,u3,v3,u4,v4,u5,v5,u6,v6]

有约束条件可知：

u5?0,v5?0,u6?0,v6?0（7）根据最小势能原理：

[K][a]?[N] 进行求解

（8）位移和应力值的关系：

[?]?[D][B][a] [B](b)?2[B](a) 对于第一种情况：

节点1的位移：

[u]TT1,v1(a)?[u1,v1](b)

??1??10?20?2???1??13????1??13???200????1???1???2???2??0??3???? 单元（1）的应力值：

[?](b)?2[?](a) 对于第二种情况：

节点1的位移：

TT [u1,v1](a)?2[u1,v1](b) 单元（1）的应力值： [?](b)?[?](a)

2、证明3节点三角形单元满足协调性条件（相邻单元之间位移连续）。（10

证明：假设任意两个相邻的三角形单元如图所示：

i(0,0),j(xj,yj),m(xm,ym),n(xn,yn) 这里采用x,y的一次多项式作为位移插值函数：

u??1??2x??3yv??4??5x??

6y将广义坐标换为单元节点自由度的二维插值：

u?Niui?Njuj?Nmum v?Nivi?Njvj?Nmvm

其中N1i?2A(a?bix?ciy) 1xiyi A?121xyxjyj1yj1xjjjai?ybi??

1xm1yci??m1xmmyxmm分）

（1）相邻之间单元连续，先说明插值函数连续；

?u??1??2x??3y ?

v????x??y456? 有方程可知道u,v函数在平面内是连续的。

（2）单元1(i-j-m)和单元2（i-j-n）在i-j边界处连续； （a）先证明u函数在单元间连续

u?

1[xjym?xmyj?(yj?ym)x?(xm?xj)y]ui?2A

1[xmyi?xiym?(ym?yi)x?(xi?xm)y]uj?2A1[xiyj?xjyi?(yi?yj)x?(xj?xi)y]um2A 把y?yjxjx，2A?xjym?yjxm代入上面的方程： xx)ui?uj xjxj u?(1? 有上式可以看出在边界处的位移变化与m,n点的坐标值无关，只是与

i,j的坐标值和位移值有关，所以单元1与单元2在i-j边界处u值相等 (b)同理可证得：单元1与单元2在i-j边界处v值相等

(3)结论：由于插值函数连续，单元1与单元2在边界处u,v的值相等，所以三节点三角形单元相邻单元之间位移连续。

4??x??Nixi?i?13、对4节点四边形平面等参元，试验证等参变换?能把?,?平面上的正

4?y?Ny?ii?i?1?方形母单元映射成为x,y平面上4节点任意四边形单元。（10分）

证明：如上图所示，坐标系?o?中2?2的正方形单元1-2-3-4（图b）通过映射关系：

'x?f(?,?)?a??x0y?g(?,?)?b??y0

可以得到坐标系xoy中2a?2b的矩形单元i-j-k-l(图a),并保证四个顶点间的映射关系为： 1—i 2—j 3—k 4—l

更一般地，如果假设坐标系xoy中的坐标x,y与原坐标系?o'?中?,?的映射关系

为：

x?f(?,?)??1??2???3???4??y?g(?,?)??1??2???3???4??'

则可以实现坐标系?o?中的正方形单元1-2-3-4（图b）向坐标系xoy中任意直边四边形

i-j-k-l(图c)的映射。若进一步假定在两个不同坐标系中，四边形顶点的对应关系为：

1—i 2—j 3—k 4—l 同时也可以将上式改写成插值函数形式：

x?f(?,?)?N1(?,?)xi?N2(?,?)xj?N3(?,?)xk?N4(?,?)xly?g(?,?)?N1(?,?)yi?N2(?,?)yj?N3(?,?)yk?N4(?,?)yl'

上式中中的N1,N2,N3,N4 就是坐标系?o?中2?2的正方形单元顶点1，2，3，4上的拉格朗日插值基函数：

(??1)(??1)4(??1)(??1)N2??4

(??1)(??1)N3?4(??1)(??1)N4??4N1?

4??x??Nixi?i?1'所以?o?平面上的正方形母单元经过等参变换?能映射成为xoy平面上4节

4?y?Ny?ii?i?1?点任意四边形单元

4、图示一个一维直杆问题，杆的截面积为A,弹性模量为E。杆受线性变化的轴向线分布力q?cx。试构造一种三次杆单元求解该问题，单元有4个节点，节点间隔均匀，形函数可以由形函数性质直接构造或采用拉格朗日插值多项式。整个杆用1个单元离散化。解出节点位移后，由单元有关方程导出单元上位移和应力的函数表达式，并将有限元解与精确解作比较。（10分）

解：（1）对于三次单元，首先假设三次函数作为插值函数： u?b1?b2x?b3x2?b4x3

（2）等分的四个节点分别为1，2，3，4整理为形函数形式： u?N1u1?N2u2?N3u3?N4u4 采用拉格朗日插值多项式求解形函数： 4(x?u1)(x?u2)(x?u3)(x?u4)N??k i?1(uk?u1)(uk?u2)(uk?u3)(uk?u4)

（3）求出形函数：

1x3x3x(1?)(2?)(1?)2lll9x3x3xN2?()(2?)(1?)2lll9x3x3xN3?()(?1)(1?)2lll1x3x3xN4?()(2?)(1?)2lllN1?(4)求解刚度矩阵：

经过计算得：

[N]?[N1,N2,N3,N4][B]?d[N]dxl0[K]??[B]TAE[B]dx ?371892713????10 402040??5429727? ??189??AE?4054020?K?2

29754189?l?27?? ?2040540??132718937? ????40204010??

（5）求解载荷矩阵：

经过计算得：

[R]??[N]Tcxdx0l?1??60??3???3?40?[R]?cl?3??10??13???120?? (6)用最小势能原理得：

[K][D]?[R]

D]?[u1,u2,u3,u4] 其中 [

由于u1?0可以划去第一个方程解出其余三个方程组得：

?43??324?u2??3??

?u??cl?37??3?AE?162?

??u4???1?

??4??

(7)求解插值函数表达

式：

所以：

精确解为：

（8）单元应力：

经计算得：

精确解为：

??b1???05cl2??

?b?2????b???12AE?3??b??04??c??6AE??u?5cl212AEx?c36AExu?cl2c2AEx?36AEx?x?E?x?E[B][D]c11922151212x?A(?152x?684lx?324l)cx?(?0.783x2?0.314lx?0.354l2A)?c11xA(?2x2?2l2)

???

一 实验题目：

一个200mm×200mm平板，中心有一个直径5mm圆孔，左右两边受面内均匀拉伸载荷1MPa。建立平面应力问题有限元模型，分别采用3节点三角形单元和8节点四边形等参元计算孔边应力集中。

二 实验目的：

通过采用3节点三角形单元和8节点四边形等参元计算孔边应力集中，对

两种单元的求解精度进行比较。经过简单力学分析，可以知道本实验问题属于平面应力问题，基于结构和载荷的对称性，可以只取模型的1/4进行分析。以此来掌握平面问题的有限元分析方法和对称性问题建模的方法。

三 建模概述:

3.1 定义工作文件和工作标题

3.1.1 定义工作文件名

执行Utility Menu-File→Change Jobname→3-1,单击OK按钮。 3.1.2 定义工作标题

执行Utility Menu-File→Change Tile→my work，单击OK按钮。 3.1.3 更改当前工作目录

执行Utility Menu-File→Change the working directory→E/STUDY/ ANSYS/kaoshi。

3.2 定义单元类型、实常数和材料属性

3.2.1 设置计算类型

执行Main Menu→Preferences→select Structural→OK。 3.2.2 选择单元类型

先：Main Menu→Preprocessor→Element Type→Add/Edit/Delete →Add →select Solid→Quad 8node 182→OK。（三节点三角形单元）

后：Main Menu→Preprocessor→Element Type→Add/Edit/Delete →Add →select Solid→Quad 8node 183→OK。（八节点四边形单元） 如图下图所示：

3.2.3 定义实常数

执行Main Menu→Preprocessor→Real Constants→Add/Edit/Delete→ Add→OK→Close。 3.2.4 设置材料属性

执行Main Menu→Preprocessor→Material Props→Material Models→Structural→Linear→Elastic→Isotropic→输入实常数（在EX框中输入210000，在PRXY框中输入0.3）→OK。 3.3 创建几何模型 3.3.1 生成矩形平面

执行Main Menu→Preprocessor→Modeling→Create→Areas→Rectangle→By 2 Corners→输入尺寸→OK。 3.3.2 生成圆形

执行Main Menu→Preprocessor→Modeling→Create→Areas→Circle→ Solid Circle→输入圆点坐标及半径→OK。

3.3.3 布尔运算得到几何模型

执行Main Menu→Preprocessor→Modeling→Operate→Booleans→Subtract→Area→选择矩形面→OK→选择圆形→OK。 如图3-2所示：

图3-2

3.4 生成有限元网格

执行Preprocessor→Meshing→Mesh Tool→Mesh Areas→Tet→Free→Mesh→拾取几何模型→OK。 如图3-3所示的模型。

图3-3 初次划分网格后的单元

由于板中间有孔存在，应力集中严重，所以应该将孔的边缘网格细化，执行

Preprocessor→Meshing→Mesh Tool→Mesh Areas→Refine→选中孔周围的网格（如图3-4）→OK→将划分网格精度定位2→OK。 得到如图3-5所示。

图3-4孔周围要细化的单元

图3-5细化后的单元

3.5 加载并求解 3.5.1 施加约束条件

执行Main Menu→Solution→Define loads→Apply→Structural→Displacement→On Lines，弹出一个拾取框，拾取左边缘线，单击OK按钮，弹出Apply U.ROT on Line对话框，选择“UX”选项，单击OK按钮。

执行Main Menu→Solution→Define loads→Apply→Structural→Displacement→On Lines，弹出一个拾取框，拾取下边缘线，单击OK按钮，弹出Apply U.ROT on Line对话框，选择“UY”选项，单击OK按钮。 3.5.2 施加载荷

执行Main Menu→Solution→Apply→Structural→Pressure→On Lines，弹出一个拾取框，拾取右边缘线，单击OK按钮，弹出对话框，所示输入数据-1，单击OK按钮. 如图3-6所示

图3-6

3.5.3 求解

执行Main Menu→Solution→Solve→Current LS，弹出一个提示框。浏览后执行file-close，单击OK按钮开始求解运算。出现一个【Solution is done】对话框是单击close按钮完成求解运算。

四 计算结果分析与结论：

（1）两种情况变形图。

（2）两种情况X方向应力分量σx应力云图：

(3)分别绘制σx沿Y轴和X轴的应力大小：

（沿Y轴方向的应力大小）

（沿X轴方向的应力大小）

（4） 对结果的分析：

（1）模型σx应力分布：σx应力集中分布于中心圆孔与x、y轴相交的

地方，且与x轴相交处应力为负（应力值最小），与y轴相交处应力为正（应力值最大）；沿圆周向周围，σx有最大值迅速减小至最小值；沿y方向的σx应力随着Y值的增加迅速下降，沿x方向的σx应力随着X的增加先是急速增加后又有所下降最后有缓慢增加。

（2）应力最大值2.95539，最小值-0.0668。误差来源：有限元分析方法是将结构离散化，网格划分得越稀疏，计算出的结果就越 偏离理论值，分的越密集，结果越接近与真实值，三节点三角形与八节点四边形比起来离散的比较稀疏，计算的结果偏离真实值较大。

五 实验体会与总结：

通过本次实验，对理论课所学有限元基本方法有了一个更加直观、深入的

理解。通过对ANSYS软件处理平面孔的应力集中问题，了解了这款软件的基本应用和它对有限元的一些很好的应用。试验中，遇到诸多问题，仔细思考，加之对讲义的理解，确实很有收获。更增加了对有限元的认识，和对其功能之强大有了更深的理解。

一 实验题目：

一个空心球的外半径R1?150mm，内半径R2?120mm。内壁受均匀压力

10MPa。试用有限元法计算该空心球体的应力分布情况。要求分别应用轴对称

二次等参单元建立轴对称模型、应用二次六面体等参单元建立三维模型求解。

二 实验目的：

掌握用轴对称二次等参单元建立轴对称模型，并且通过与二次六面体等参单元建立三维模型进新行比较，熟悉轴对称模型的优点。

三 建模概述:

为了比较，分别采用三维模型和轴对称模型进行分析。考虑到到三维实体

模型的对称性，只对1/8球体划分网格，然后在对称面上施加对称边界条件。 其中：

三维实体模型（1/8空心球体）使用Solid186(二次六面体单元)单元建立实体模型及划分网格。

轴对称模型（1/4圆环）使用Plane183（轴对称类型）单元建立实体模型及划分网格。

两种模型划分网格如下：

然后施加载荷和约束： 三维实体模型

载荷为内表面上压力10Mpa；约束条件为三个对称截面的对称条件

（Un?0,n?截面的法向）

轴对称模型

载荷为内表面（圆弧段）上压力10Kpa；约束条件是两个对称轴的法向位移为0。

四 计算结果分析与结论： 1计算结果：

（1）径向位移

（2）等效应力

2 对结果的分析：

对于两种模型的结果进行比较，径向位移的变化完全一样；等效应力的最

小值分别为：15.7085和15.7231，对称模型与三维模型比较增加了0.93%，等效应力的最大值分别为：30.7298和30.6975，对称模型与三维模型比较减少了1.1%，表明两种模型的结果基本一致，

五 实验体会与总结：

通过本次实验对与二次六面体三维实体模型和轴对称模型有了更深一步的认识，学会了关于对称图形的处理方法，并对轴对称模型有了深一步的理解，轴对称模型与三维模型的解基本一致，但是轴对称模型建模容易，求解迅速，是一种不错的方法。

一 实验题目：

一个矩形平板，长1000mm,宽100mm，厚度10mm。材料的E=200GPa，??0.3，

??7.82?10-6Kg/mm3。板的一侧短边固支，其它三边自由。在相同的较粗网格

（厚度方向1层单元）下，分别用8节点六面体全积分等参元和二次六面体等参元计算其前六阶自由振动频率和振型，计算结果列在表中，对计算结果作对比和分析。

二 实验目的：

学习用有限元分析结构的自振频率和振型并且比较八节点六面体网格和二次六面体网格的区别。

三 建模概述:

1建立模型

分别用Solide185建立八节点六面体模型和Solide186建立二次六面体模型。并进行网格划分。 如下图：

2设置

约束条件

执行Main Menu→Preprocessor→Loads→Define loads→Apply→Structural→Displacement→On Areas

3设置六阶自由振动模型：

四 计算结果分析与结论： 1.计算结果：

（1）两种模型的频率：

八节点六面体单元自由振动频率

二次六面体单元自由振动频率

（2）两种的振型

1 八节点六面体单元

2二次六面体振型

2.计算结果分析：

阶数 1 2 3 4 5 6 八节点六面体模型频率 0.23594 1.4782 2.5698 4.1419 4.9361 8.1280 二次六面体模型频率 0.26015 1.6293 2.5676 4.5620 4.9117 8.9427 由两种模型的自由振动频率和振型可以看出两种模型的结果基本上相同 五 实验体会与总结

通过本次实验，学习了经过有限元对结构自振频率和阵型的进一步理解，

分别用一次单元和二次单元分析，发现结果差别并不是很大，本次实验采用的网格较粗，与真实值可能有些冲突。

2.计算结果分析：

阶数 1 2 3 4 5 6 八节点六面体模型频率 0.23594 1.4782 2.5698 4.1419 4.9361 8.1280 二次六面体模型频率 0.26015 1.6293 2.5676 4.5620 4.9117 8.9427 由两种模型的自由振动频率和振型可以看出两种模型的结果基本上相同 五 实验体会与总结

通过本次实验，学习了经过有限元对结构自振频率和阵型的进一步理解，

分别用一次单元和二次单元分析，发现结果差别并不是很大，本次实验采用的网格较粗，与真实值可能有些冲突。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7h7o.html