怀化学院省级精品课程-高等代数教案：第三章 线性方程组

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 第三章 线性方程组

§1 消元法

一、线性方程组的初等变换

现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2 (1) ????????????as1x1?as2x2???asnxn?bs的方程组，其中x1,x2,?,xn代表n个未知量，s是方程的个数，

aij(i?1,2,?,s;j?1,2,?,n)称为线性方程组的系数，bj(j?1,2,?,s)称为常数项.方程组中未知量的个数n与方程的个数s不一定相等.系数aij的第一个指标i表示它在第i个方程，第二个指标j表示它是xj的系数.

所谓方程组(1)的一个解就是指由n个数k1,k2,?,kn组成的有序数组

(k1,k2,?,kn)，当x1,x2,?,xn分别用k1,k2,?,kn代入后，(1)中每个等式都变成恒等式. 方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.

显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵

???????a11a21?as1a12?a1na22?a2n??as2?asnb1??b2? (2) ???bs??来表示.实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.

例如，解方程组

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 ?2x1?x2?3x3?1,??4x1?2x2?5x3?4, ?2x?x?2x?5.23?1第二个方程组减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成

?2x1?x2?3x3?1,?4x2?x3?2, ??2x2?x3?4.?第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得

?2x1?x2?3x3?1,?2x2?x3?4, ??x3??6.?这样，就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）.

分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：

1. 用一非零数乘某一方程；

2. 把一个方程的倍数加到另一个方程； 3. 互换两个方程的位置.

定义1 变换1，2，3称为线性方程组的初等变换. 二、线性方程组的解的情形

消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组.

下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组.

对于方程组(1)，首先检查x1的系数.如果x1的系数a11,a21,?,as1全为零，那么方程组(1)对x1没有任何限制，x1就可以取任何值，而方程组(1)可以看作

x2,?,xn的方程组来解.如果x1的系数不全为零，那么利用初等变换3，可以设a11?0.利用初等变换2，分别把第一个方程的?于是方程组(1)就变成

ai1倍加到第i个方程(i?2,?,n).a11

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 ?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,??x2???a2?nxn?b2?,a22? (3) ?????????????a?s2x2???asnxn?bs,?其中

??aij?aijai1?a1j,i?2,?,s,j?2,?,n a11这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组

?x2???a2?nxn?b2?,?a22? (4) ??????????a?x???a?x?b?snnn?s22的问题.显然(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出x1的值，这就得出(3)的一个解；(3)的解显然都是(4)的解.这就是说，方程组(3)有解的充要条件为方程组(4)有解，而(3)与(1)是同解的，因之，方程组(1)有解的充要条件为方程组(4)有解.

对(4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为

?c11x1?c12x2???c1rxr???c1nxn?d1,?c22x2???c2rxr???c2nxn?d2,?????????crrxr???crnxn?dr,? (5) ?0?d,r?1??0?0,?????0?0.?其中cii?0,i?1,2,?,r.方程组(5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响(5)的解.而且(1)与(5)是同解的.

现在考虑(5)的解的情况.

如(5)中有方程0?dr?1，而dr?1?0.这时不管x1,x2,?,xn取什么值都不能使它成为等式.故(5)无解，因而(1)无解.

当dr?1是零或(5)中根本没有“0=0”的方程时，分两种情况： 1）r?n.这时阶梯形方程组为

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 ?c11x1?c12x2???c1nxn?d1,?c22x2???c2nxn?d2,? (6) ?????????cnnxn?dn,?其中cii?0,i?1,2,?,n.由最后一个方程开始，xn,xn?1,?,x1的值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组(6)也就是方程组(1)有唯一的解.

例1 解线性方程组

?2x1?x2?3x3?1,??4x1?2x2?5x3?4, ?2x?x?2x?5.23?12）r?n.这时阶梯形方程组为

?c11x1?c12x2???c1rxr?c1,r?1xr?1???c1nxn?d1,?c22x2???c2rxr?c2,r?1xr?1???c2nxn?d2,? ?????????crrxr?cr,r?1xr?1???crnxn?dr,?其中cii?0,i?1,2,?,r.把它改写成

?c11x1?c12x2???c1rxr?d1?c1,r?1xr?1???c1nxn,?c22x2???c2rxr?d2?c2,r?1xr?1???c2nxn,? (7) ?????????crrxr?dr?cr,r?1xr?1???crnxn.?由此可见，任给xr?1,?,xn一组值，就唯一地定出x1,x2,?,xr的值，也就是定出方程组(7)的一个解.一般地，由(7)我们可以把x1,x2,?,xr通过xr?1,?,xn表示出来，这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，而xr?1,?,xn称为一组自由未知量.

例2 解线性方程组

?2x1?x2?3x3?1,??4x1?2x2?5x3?4, ?2x?x?4x??1.23?1从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子，但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成(5)的样子.

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出现的话)去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解.

定理1 在齐次线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?0,?ax?ax???ax?0,?2112222nn ????????????as1x1?as2x2???asnxn?0中，如果s?n，那么它必有非零解.

矩阵

???????a11a21?as1a12?a1na22?a2n??as2?asnb1??b2? (10) ???bs??称为线性方程组(1)的增广矩阵.显然，用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵(10)成阶梯形矩阵.因此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解.

例3 解线性方程组

?2x1?x2?3x3?1,??4x1?2x2?5x3?4, ?2x?x?4x?0.23?1

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 §2 n维向量空间

定义2 所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组

(a1,a2,?,an) (1)

ai称为向量(1)的分量.

用小写希腊字母?,?,?,?来代表向量. 定义3 如果n维向量

??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bn)

的对应分量都相等，即

ai?bi(i?1,2,?,n).

就称这两个向量是相等的，记作???.

n维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的. 定义4 向量

??(a1?b1,a2?b2,?,an?bn)

称为向量

??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bn)

的和，记为

?????

由定义立即推出：

交换律： ???????. (2) 结合律： ??(???)?(???)??. (3) 定义5 分量全为零的向量

(0,0,?,0)

称为零向量，记为0;向量(?a1,?a2,?,?an)称为向量??(a1,a2,?,an)的负向量，记为??.

显然对于所有的?，都有

??0??. (4) ??(??)?0. (5) (2)—(5)是向量加法的四条基本运算规律.

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 定义6 ??????(??)

定义7 设k为数域P中的数，向量

(ka1,ka2,?,kan)

称为向量??(a1,a2,?,an)与数k的数量乘积，记为k?

由定义立即推出：

k(???)?k??k?, (6) (k?l)??k??l?, (7) k(l?)?(kl)?, (8)

1???. (9)

(6)—(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)—(9)或由定义不难推出：

0??0, (10)

(?1)????, (11) k0?0. (12)

如果k?0,??0，那么

k??0. (13)

定义8 以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P上的n维向量空间.

在n?3时，3维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间. 以上已把数域P上全体n维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结构，即数域P上n维向量空间.

向量通常是写成一行：

??(a1,a2,?,an).

有时也可以写成一列：

?a1????a2?????.

????a??n?为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同.

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 §3 线性相关性

一般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外，都含有无穷多个向量，这些向量之间有怎样的关系，对于弄清向量空间的结构至关重要。

一、线性相关与线性无关

两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量?与?成比例就是说有一数

k使

??k?.

定义9 向量?称为向量组?1,?2,?,?s的一个线性组合，如果有数域P中的数k1,k2,?,ks，使

??k1?1?k2?2???ks?s,

其中k1,k2,?,ks叫做这个线性组合的系数.

例如，任一个n维向量??(a1,a2,?,an)都是向量组

??1?(1,0,?,0),???(0,1,?,0),?2 ? （1）

??????????n?(0,0,?,1)的一个线性组合.

向量?1,?2,?,?n称为n维单位向量. 零向量是任意向量组的线性组合.

当向量?是向量组?1,?2,?,?s的一个线性组合时，也说?可以经向量组

?1,?2,?,?s线性表出.

定义10 如果向量组?1,?2,?,?t中每一个向量?i(i?1,2,?,t)都可以经向量组?1,?2,?,?s线性表出，那么向量组?1,?2,?,?t就称为可以经向量组

?1,?2,?,?s线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.

由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组向量组?1,?2,?,?s可以经向量?1,?2,?,?t可以经向量组?1,?2,?,?s线性表出，

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 组?1,?2,?,?p线性表出，那么向量组?1,?2,?,?t可以经向量组线性表出.

向量组之间等价具有以下性质：

1）反身性：每一个向量组都与它自身等价.

2）对称性：如果向量组?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?t等价，那么向量组

?1,?2,?,?t与?1,?2,?,?s等价.

3）传递性：如果向量组?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?t等价，?1,?2,?,?t与

?1,?2,?,?p等价，那么向量组?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?p等价.

例1判断向量?能否由向量组?1,?2,?3线性表出，若能，写出它的一个线性组合．

??(2,?1,3,4)，?1?(1,2,?3,1),?2?(5,?5,12,11),?3?(1,?3,6,3) 解： 设??k1?1?k2?2?k3?3，即有方程组：

?k1?5k2?k3?2?2k?5k?3k??1?123 （1） ??3k?12k?6k?323?1??k1?11k2?3k3?4对方程组（1）的增广矩阵作初等行变换化为最简行阶梯阵

512??1512??15?1?????2?5?3?10?15?5?5?????03A?????31263??02799??00??????11134??06?22??????00所以方程组（1）有解．

1100?2??1??1???0??0??00????05?1002313001??3?1? 3?0??0?21?k?k??1333（1）的一般解为：?，k3为自由求知量． ??k??1k?1,23?33?令k3?1，得（1）的一个特解（1,0，1），从而有???1??3.

例2：向量组?1?(1,0),?2?(0,1)与向量组?1?(1,1),?2?(1,3)等价. 解： 设 ?1?(1,0)?k1?1?k2?2?(k1,k1)?(k2,3k2)?(k1?k2,k1?3k2)

3?k??k?k?131?12??12 ， ??， 故 ?1??1??2.

122?k1?3k2?0?k2??2?

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 设 ?2?(0,1)?k1?1?k2?2,

1?k???k?k?0?12， 故 ?1??1?1?1?2. ??12 ， ??122?k1?3k2?1?k2?2?又 ?1??1??2, ?2??1?3?2, 故这两个向量组等价．

定义11 如果向量组?1,?2,?,?s(s?2)中有一个向量是可以由其余的向量的线性表出，那么向量组?1,?2,?,?s线性相关.

从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组

?1,?2线性相关就表示?1?k?2或者?2?k?1(这两个式子不一定能同时成立).

在P为实数域，并且是三维时，就表示向量?1与?2共线.三个向量?1,?2,?3线性相关的几何意义就是它们共面.

定义11′向量组?1,?2,?,?s(s?1)称为线性相关的，如果有数域P中不全为零的数k1,k2,?,ks，使

k1?1?k2?2???ks?s?0

这两个定义在s?2的时候是一致的.

定义12 一向量组?1,?2,?,?s(s?1)不线性相关，即没有不全为零的数

k1,k2,?,ks，使

k1?1?k2?2???ks?s?0

就称为线性无关；或者说，一向量组?1,?2,?,?s称为线性无关，如果由

k1?1?k2?2???ks?s?0

可以推出

k1?k2???ks?0

由定义有，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.换句话说，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定不能包含两个成比例的向量.

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 定义11′包含了由一个向量组构成的向量组的情形. 单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关.

不难看出，由n维单位向量?1,?2,?,?n组成的向量组是线性无关的. 具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.要判断一个向量组

?i?(ai1,ai2,?,ain)i?1,2,?,s (2)

是否线性相关，根据定义11，就是看方程

x1?1?x2?2???xs?s?0 (3)

有无非零解.(3)式按分量写出来就是

?a11x1?a21x2???as1xs?0,?ax?ax???ax?0,?121222s2s (4) ??????????a1nx1?a2nx2???asnxs?0.因之，向量组?1,?2,?,?s线性无关的充要条件是齐次线性方程组(4)只有零解.

例3 判断P3的向量

?1?(1,?2,3),?2?(2,1,0),?3?(1,?7,9)

是否线性相关。

例4 在向量空间P[x]里，对于任意非负整数n

1,x,x2,?,xn线性无关.

例5 若向量组?1,?2,?3线性无关，则向量组2?1??2,?2?5?3,4?3?3?1也线性无关.

线性相关性的有关性质

1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量；单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量．

2) 两个向量?1,?2线性相关??1,?2成比例．

3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表出．

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关； 一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组都线性无关． （由定义即可得之）

5）如果向量组?1,?2,?,?s线性无关，而向量组?1,?2,?,?s,?线性相关，则（P155习题3） ?可经向量组?1,?2,?,?s线性表出．

6）向量组?i?(ai1,ai2,?,ain),i?1,2,?,s线性无关的充要条件是齐次线性方程组

?a11x1?a21x2???as1xs?0?ax?ax???ax?0121222s2s ? （2） ???????????????a1nx1?a2nx2???asnxs?0只有零解；向量组?i?(ai1,ai2,?,ain),i?1,2,?,s线性相关的充要条件是齐次线性方程组（2）有非零解．

特别地：向量组?i?(ai1,ai2,?,ain),i?1,2,?,n线性无关?行列式aij?0；

向量组?i?(ai1,ai2,?,ain),i?1,2,?,n线性相关?行列式aij?0．

7）若向量组?i?(ai1,ai2,?,ain),i?1,2,?,s线性无关，则向量组

?i?(ai1,ai2,?,ain,ai,n?1),i?1,2,?,s

也线性无关．（向量组?1,?2,?,?s常称为向量组?1,?2,?,?s的延伸组，而） ?1,?2,?,?s称为?1,?2,?,?s的缩短组．

反之，若向量组?1,?2,?,?s线性相关，则向量组?1,?2,?,?s也线性相关．

?a11x1?a21x2???as1xs?0?ax?ax???ax?0121222s2s??因（2）仅有零解，? ???????????? ，也仅有零解． ?ax?ax???ax?02n2sns?1n1??a1n?1x1?a2n?1x2???asn?1xs?0定理2 设?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?s是两个向量组.如果 1）向量组?1,?2,?,?r可以经?1,?2,?,?s线性表出， 2） r?s，

那么向量组?1,?2,?,?r必线性相关.

证：由1)，有 ?i??tji?j?t1i?1?t2i?2???tsi?s,i?1,2,?r

j?1s

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 要证?1,?2,?,?r线性相关，即证有不全为0的数k1,k2,?,kr，使

k1?1?k2?2???kr?r?0．

作线性组合 x1?1?x2 i?2???xtj??xi?i??x?r?r?ii?1i?1j?1rrsj ?x1(t11?1?t21?2???ts1?s)

?x2(t12?1?t22?2???ts2?s)?? ?xr(t1r?1?t2r?2???tsr?s)

?r? ???xitji?j????xitji??j （*）

i?1j?1j?1?i?1??(t11x1?t12x2???t1rxr)?1 ?(t21x1?t22x2???t2rxr)?2??

rss?(ts1x1?ts2x2???tsrxr)?s

若存在不全为0的数x1,x2,?,xr，

?t1x1?tx?21作齐次线性方程组 ????ts1x?1tx1?2??2trxr?01?1tx2?2??2trxr?02??????1 （3）

?tsx2??2?tsrxr?0如果（3）有非零解(k1,k2,?,kr)，由（*）式，则存在不全为0的数k1,k2,?,kr使：

k1?1?k2?2???kr?r?0，

则向量组?1,?2,?,?r线性相关．而在（3）中方程的个数s＜未知量的个数r，所以（3）有非零解．从而?1,?2,?,?r线性相关．

推论1 如果向量组?1,?2,?,?r可以经向量组?1,?2,?,?s线性表出，且

?1,?2,?,?r线性无关，那么r?s.

推论2 任意n?1个n维向量必线性相关.

任意n?1个n维向量?1,?2,?,?n可由单位向量?1,?2,?,?n线性表示，

n?1>n,由定理2，?1,?2,?,?n必线性相关．

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 推论3 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量.

（反之不然．即含向量个数相同的两个线性无关的向量组未必等价．反例：向量组?1?(0,1,0),?2?(0,1,1)与向量组?1?(0,1,0),?2?(1,,10)均为含两个向量的线性无关向量组，但它们不等价．）

定理2的几何意义是清楚的：在三维向量的情形，如果s?2，那么可以由向量?1,?2线性表出的向量当然都在?1,?2所在的平面上，因而这些向量是共面的，也就是说，当r?2时，这些向量线性相关.两个向量组?1,?2与?1,?2等价，就意味着它们在同一平面上.

二、极大线性无关组

定义13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得的部分向量组都线性相关.

一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身.

极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价.

例6 看P3的向量组

?1?(1,0,0),?2?(0,1,0),?3?(1,1,0)

在这里｛?1,?2｝线性无关，而?3??1??2，所以｛?1,?2｝是一个极大线性无关组.另一方面，｛?1,?3｝，｛?2,?3｝也都是向量组｛?1,?2,?3｝的极大线性无关组.

由上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组不是唯一的.但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价，因而，一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的.

定理3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.

定理3表明，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质.因此有

定义14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同.

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 每一向量组都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价.所以，等价的向量组必有相同的秩.

若向量组?1,?2,?,?r可经向量组?1,?2,?,?s线性表出，则

秩{?1,?2,??r}?秩{?1,?2,??s}.

证明： 因的极大无关组?1,?2,?,?r可由?1,?2,?,?s的极大无关组线性表示，由推论1有 秩{?1,?2,??r}?秩{?1,?2,??s}.

含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个线性无关的部分向量都能扩充成一极大线性无关组.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组.规定这样的向量组的秩为零.

现在把上面的概念与方程组的解的关系进行联系，给定一个方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?d1,?ax?ax???ax?d,?2112222nn2??????????as1x1?as2x2???asnxn?ds,各个方程所对应的向量分别是

(A1)(A2)(As)

?1?(a11,a12,?,a1n,d1),?2?(a21,a22,?,a2n,d2),?,?s?(as1,as2,?,asn,ds).

设有另一个方程

b1x1?b2x2???bnxn?d,(B)它对应的向量为??(b1,b2,?,bn,d).则?是?1,?2,?,?s的线性组合，

??l1?1?l2?2???ls?s当且仅当(B)?l1(A1)?l2(A2)???ls(As)，即方程(B)

是方程(A1),(A2),?,(As) 的线性组合.容易验证，方程组(A1),(A2),?,(As)的解一定满足(B).进一步设方程组

?b11x1?b12x2???b1nxn?c1,?bx?bx???bx?c,?2112222nn2??????????br1x1?br2x2???brnxn?cr,(B1)(B2)(Br)

它的方程所对应的向量为?1,?2,?,?r.若?1,?2,?,?r可经?1,?2,?,?s线性表出，则方程组(A1),(A2),?,(As)的解是方程组(B1),(B2),?,(Br)的解.再进一步，当?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?r等价时，两个方程组同解.

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.

2. 线性方程组的解的个数：

1) 当秩(A)=秩(A)=n，方程组(1)有唯一解； 2）当秩(A)=秩(A)=r?n,方程组(1)有无穷多解. 3．齐次线性方程组的解的情形：

?a11x1?a12x2???a1nxn?0,?ax?ax???ax?0,?2112222nn (2) ????????????as1x1?as2x2???asnxn?0总是有解.

1) 当秩(A)=n，方程组(2)只有零解； 2) 当秩(A)=r?n,方程组(2)有非零解. 四、线性方程组的解的结构 1) 齐次线性方程组的基础解系.

2) 当秩(A)=r?n,方程组(2)的任意n?r个线性无关的解向量

?1,?2,?,?n?r，都是它的基础解系，(2)的全部解可表示为

k1?1?k2?2???kn?r?n?r,

其中k1,k2,?,kn?r是任意的数.

3) 当秩(A)=秩(A)=r?n时，如果?0是线性方程组(1)的一个特解，

?1,?2,?,?n?r是(1)的相应导出组(2)的基础解系，那么线性方程组(1)的任一个

解?都可以表成

???0?k1?1?k2?2???kn?r?n?r,

其中k1,k2,?,kn?r是任意数.

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 定义16 在一个s?n矩阵A中任意选定k行和k列，位于这些选定的行和列的交点上的k2个元素按原来的次序所组成的k级行列式，称为A的一个k级子式.

在定义中，当然有k?min(s,n)，这里min(s,n)表示s,n中较小的一个. 定理6 一矩阵的秩是r的充要条件为矩阵中有一个r级子式不为零，同时所有r?1级子式全为零.

证明: “?”:R(A)?r,即A的行向量的极大无关组含r个向量, 则A的任意r?1个行向量必线性相关,则A的任意r?1阶子式的行向量也线性相关,否则若A的某个r?1个行向量线性无关,则它们的延长向量组是A的r?1个线性无关的行向量,矛盾.由定理5的推论2这样的r?1子式全为零.

现证:A至少有一个r阶的非零子式, 因R(A)?r,则A有r个行向量线性无关,不妨设A的前r个行向量线性无关,作一个新的矩阵

?a11?a1n??~?A??????

?a??r1?arn?~~~?a~a11A1r则A的行秩=r,于是A的列秩也为r,故有r个列向量线性无关,不妨设A的前r个列

向量线性无关, 由定理5的推论2,?????0.

ar1?0，且arrA的所有r?1级子式等于0,往证“?”: 设A有一个r级子式不等于R(A)?r.

由行列式按一行展开的公式可知,如果A的所有r?1级子式等于0,则A的所有

r?2级子式等于0,进而A的所有>r级子式等于0.

令R(A)?t,设tt阶的子式等于0,则A的r阶子式全为零,与A至少有一个非零的r阶子式矛盾,故

t?r.

设t>r,由必要性,A有一个t(t?r?1)阶子式不为零, 与A的r?1阶子式全为零矛盾,故t?r.综之t?r,即R(A)?r.

从定理的证明可以看出，这个定理实际上包含两部分，一部分是，矩阵A的秩?r的充要条件为有一个r级子式不为零；另一部分是，矩阵的秩?r的充要条件为的所有r?1级子式全为零.从定理的证明还可以看出，在秩为r的矩阵中，不为零的r级子式所在的行正是它行向量组的一个极大线性无关组，所在的列正是它列向量的一个极大线性无关组.

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 三、矩阵的秩的计算

1.定义法：求A的行（列）向量组的秩；

即求出A的行(列)向量组的任意极大无关组,极大无关组所含向量的个数即为

A的秩.

2.定理法：利用定理6，秩A即A的非０子式的最大阶数； 即求出A的非0子式的最大阶数. 3.初等变换法：化A为行(列)阶梯阵． 命题:初等变换不改变矩阵A的秩.

证明:因三种行初等变换将A的行向量组变成等价的行向量组,而等价向量组有相同的秩,从而初等变换不改变矩阵A的行秩,从而行初等变换不改变矩阵A的秩. 平行的三种列初等变换将A的列向量组变成等价的列向量组,从而初等变换不改变矩阵A的列秩,从而列初等变换不改变矩阵A的秩.

由此命题, 求A的秩可利用初等变换化矩阵为行(列)阶梯阵,则行(列)阶梯阵的非零行(列)数即为A的秩.

??1???因行向量组?1,?2,??s的秩,即A????的行秩,故可用初等变换求矩阵A的

????s?秩,从而

得?1,?2,??s的秩. 因列向量组?1,?2,??t的秩,即A?(?1,?2,?,?t)的列秩,故可用初等变换求矩阵A的秩,从而?1,?2,??t得的秩.

?1??1例2 给矩阵 A??1??1?12342537495117??10? ?13?16???1??1??2??5??7???????????1237?????????10?求列向量组?1???,?2???,?3??? , ?4???,?5???的极大无关组,并

134913???????????1??4??5??11??16???????????且用极大无关组表示其它列向量.

求行向量组?1?(1,1,2,5,7),?2?(1,2,3,7,10),?3?(1,3,4,9,13),?4?(1,4,5,11,16)的极大无关组,并且用极大无关组表示其它行向量.

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 ?1??1解:A??1??1?12342345579117??1??10??0???130???16???01111211152227??1??3??0???30???3???0110021005200因AX?0,BX?0同解,所以A的列向量?1,?,?5~~有相同的线性关系, 因?1,?2线性无关,则?1,?2也线性无关.

~~~~~~~~~因?3??1??2,?4?3?1?2?2,?3?4?1?3?2,

则?3??1??2,?4?3?1?2?2,?3?4?1?3?2 故?1,?2是向量组?1,?,?5的极大无关组.

4??3??B, ?0?0??~~与B的列向量?1,?,?57??1??3??0???00???0???0010011003200?1??1A??1??1?12342345579117??1??10??1?13??1???16???10123012302460??1??0??1?0??1???0???10123000000000??1??0??0?0???1???0????20123000000000??0??C 0??0??~,?,?~有相同的线性关系, 因?~,?~A的行向量?1,?,?4与C的列向量?1412~??2?~?3?~,故而~???~?2?~,?线性无关,则?1,?2也线性无关.而?412312?3???1?2?2,?4??2?1?3?2,于是?1,?2是行向量组?1,?,?4的极大无关组.

上面的讨论说明，为了计算一个矩阵的秩，只要用初等行变换把它变成阶梯形，这个阶梯形矩阵中非零的行的个数就是原来矩阵的秩.

以上的讨论还说明，用初等变换化一个线性方程组成阶梯形，最后留下来的方程的个数与变换的过程无关，因为它就等于增广矩阵的秩.

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 §5 线性方程组有解判别定理

设线性方程组为

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2 (1) ????????????as1x1?as2x2???asnxn?bs引入向量

?a11??a12??a1n??b1??????????a??a??a??b??1??21?,?2??22?,?,?n??2n?,???2?. (2)

?????????????a??a??a??b??s1??s2??sn??s?于是线性方程组(1)可以改写成向量方程

x1?1?x2?2???xn?n??. (3)

显然，线性方程组(1)有解的充要条件为向量?可以表成向量组?1,?2,?,?n的线性组合.用秩的概念，线性方程组(1)有解的条件可以叙述如下：

定理7(线性方程组有解判别定理) 线性方程组(1)有解的充要条件为它的系数矩阵

???A?????a11a21?as1a12?a1n??a22?a2n?? ???as2?asn??a12?a1na22?a2n??as2?asnb1??b2? ???bs??与增广矩阵

???A?????a11a21?as1有相同的秩.

证：若(1)有解，则?可由向量组?1,?2,?,?n线性表出，于是向量组

?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n,?等价，所以R(A)?R(A)．

反过来，若R(A)?R(A)，则秩{?1,?2,?,?n}＝秩{?1,?2,?,?n,?}．设

?i,?i,?,?i为?1,?2,?,?n的一个极大无关组，则?i,?i,?,?i也为

12r12r?1,?2,?,?n,?的一个极大无关组，所以，向量组?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n,?等

价，从而?可由向量组?1,?2,?,?n线性表出，于是方程组(1)有解．

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 应该指出，这个判别条件与以前的消元法是一致的.用消元法解线性方程组(1)的第一步就是用初等行变换把增广矩阵A化成阶梯形.这个阶梯形矩阵在适当调动前列的顺序之后可能有两种情形：

?????????????或者

c110?000?0c12?c1r?000?0?????crr00?0?c1nc2n?crn00?0d1c22?c2r???????d2????dr?? dr?1?0????0??d1??d2????dr?? 0?0????0???????????????c110?000?0c12?c1r?000?0?????crr00?0?c1nc2n?crn00?0c22?c2r?????其中cii?0,i?1,2,?,r,dr?1?0.在前一种情形，原方程组无解，而在后一种情形方程组有解.实际上，把这个阶梯形矩阵最后一列去掉，那就是线性方程组(1)的系数矩阵A经过初等行变换所化成的阶梯形.这就是说，当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解；当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1时，方程组无解.

以上的说明可以认为是判别定理的另一个证明.

根据克拉默法则，也可以给出一般线性方程组的一个解法.

设线性方程组(1)有解，矩阵A与A的秩都等于r，而D是矩阵A的一个不为零的r级子式(当然它也是A的一个不为零的子式)，为了方便起见，不妨设D位于A的左上角.

显然，在这种情况下，A的前r行就是一个极大线性无关组，第r?1,?,s行

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