数值天气预报试卷及习题

南京信息工程大学大气科学专业《数值天气预报》试卷（A）

年级― ――― 班级―― ― 任课教师： 姓名―― ――― 学号 成绩

1、 请写出σ坐标的定义？并给出水平气压梯度力在σ坐标下的形式？（8分） 2、 大气数值模式可以分为哪几类？（8分）

3、 已知地图投影直角坐标系中x和y方向的地图投影放大系数分别为m和n，请写出

??散度??V、标量平流V??A的表达式。（8分）

?2A4、 请写出的差分形式。（8分）

?u?u?c?0?t?x5、 对于一维平流方程：（其中c为常数），时间、空间均采用向前差分格

式，写出对应的差分方程，并讨论其稳定性。（15分） 6、 请详细说明用数值方法求解准地转正压模式的具体计算步骤。（8分）

Ftt7、 请写出方程

?uFx??vF?y?0xxy对应的差分格式。（10分）

??、8、 设一维变量Fi可表示为如下谐波形式：Fi?C?Fcos?kxi???，其中C为一常数，Fk和?分别为谐波的振幅、波数和位相，空间三点平滑算子定义为

~xSFi?Fi??Fi?1?2Fi?Fi?1?2，（1）请导出空间三点平滑响应函数的表达式；（2）试证

明：当S=1/2时，三点平滑可以完全滤除原谐波中波长为L=2?x的波动。（15分） 9、 简述模式初始化的概念模式？简单说明模式初始化有哪些常用的方法？（10分） 10、什么是数值模式物理过程参数化？模式的物理过程参数化包括哪些主要的内容？

（10分）

南京信息工程大学大气科学专业《数值天气预报》试卷（A）

标准答案及评分标准

1、 请写出σ坐标的定义？并给出水平气压梯度力在σ坐标下的形式？（8分） 答：（1）σ坐标的定义：

（2）根据

（4分）

，气压梯度力在σ坐标下的形式：

（2分）

进一步利用状态方程有：

2、 大气数值模式可以分为哪几类？（8分）

（2分）

???准地转正压模式准地转模式??????准地转斜压模式?过滤模式???非地转模式?线性平衡模式 答：大气模式的可以分为：数值天气预报模式????平衡模式???正压原始方程模式?原始方程模式????斜压原始方程模式?3、 已知地图投影直角坐标系中x和y方向的地图投影放大系数分别为m和n，请写出散度

????V、标量平流V??A的表达式。（8分）

?A?A??U???V???????答：??V＝mn??X?n?+?Y?m?? （4分）；V??A＝mU?X+nV?Y （4分）

4、 请写出

?2A2的差分形式。

答： ?2A?2A?A?2?2?x?y，?2AAi?1,j?2Ai,j? Ai?1,j??x2(Δs)2；

?2AAi,j?1?2Ai,j? Ai,j?1?2?y(Δs)2 最终有：(?A)i,j?2Ai,j?1?Ai,j?1?Ai?1,j?Ai?1,j?4Ai,j(Δs)2（8分） ?u?u?c?0?x5、 对于一维平流方程：?t（其中c为常数），时间、空间均采用向前差分格式，

写出对应的差分方程，并讨论其稳定性。（15分）

uin?1?uinuin?1?uin=0；答：（1）差分方程：＋c（5分）

?t?x（2）稳定性讨论：设uin?AneIkxi，将其代入差分方程，可以求得增幅因子G：

G?1????cosk?x?I?sink?x

G2?2??1????1?cosk?x??1?1? ??1????0当0????1时，该格式为稳定的。（10分）

6、 请详细说明用数值方法求解准地转正压模式的具体计算步骤。

0zi答：求解准地转正压模式的具体计算步骤如下：（1）输入初始位势高度场,j；（2）计算放

大系数mi,j和科氏参数fi,j；（3）计算绝对涡度

?zi,j求解预报方程

??i,j；F（5）

（4）计算绝对涡度平流i,j；

?t。（8分）

xy7、 请写出方程

Ftt?uxFx??vF?y?0对应的差分格式。（10分）

Ax??1??A1?A1?i?,j?d?2??i?2,j?1??A1?A1??i?,ji?,j?22?答2?：根据差分???1??Ax?1?A1?A1?Ax??A?A11i?,j?i?,j?d?2?2??i?2,j2??i?2,j1??Axx?t?Ai?1,j1?2Ai,jn??1Ai?1,j?n?11 ??A?A?A4Ft?(Fi,j?Fxi,j)?11i?,ji?,j?d2?t2??21?Axx?2?Aix?2A?A?1,jj1i,jni?1,xx1dxnnA?uin,jA?AiFA?uFx?(ui?)(Fuin,ji?1,ij?1,ji?i?1(,j1,j?,j2?,j)14?x?Ai?1,j?4Axx?Ai?1,j?2dy11Ax?1Ai?1,j?2Ai,j?Ai?1,j?41Axx?2?Ai?1,j?2Ai,j?Ai?1,j?算d子的定

1?Ai?1,j?Ai?1,j? Axx?2dAxx?义：

???n ?uin?1,j)(Fi,nj?Fi?1,j)??vF?y2?t?1最终有差分格式： ?Ai?1,j?Ai?1,j?Axx?x2d11xn?1nnnnnnFtt?(Fi,nj?1?uFF)?(uin?1,j?uin,j)(Fi?＋i,jx1,j?Fi,j)?(ui,j?ui?1,j)(Fi,j?Fi?1,j)

?(vFA)2?yn?ixx,j?1?Ai)?1in,,jj??2 Ai,j?Ai?1,j??(vF21d??4?x?vF?y＋?y?(vF)2?y1ni,j?1?(vF)in,j?1＝0 （10分）

???、k8、 设一维变量Fi可表示为如下谐波形式：Fi?C?Fcos?kxi???，其中C为一常数，F和?分别为谐波的振幅、波数和位相，空间三点平滑算子定义为

~xSFi?Fi??Fi?1?2Fi?Fi?1?2，（1）请导出空间三点平滑响应函数的表达式；（2）试证明：

当S=1/2时，三点平滑可以完全滤除原谐波中波长为L=2?x的波动。（15分） 答：（1）将变量Fi的谐波形式代入空间平滑公式，整理后可得： ~??1?S?1?cosk?x??cos?kx???Fix?C?Fi

R定义为平滑后的谐波振幅与原来谐波振幅之比，不难得到：（8分）

?1?2??xR?,L??cos（2）当S=1/2时，三点平滑的响应函数为：?2?3 ??xLR?S,L?3?1?2Ssin2L （3分）

??x?1?R?,2?x??cos2?022?x?3对于原谐波中波长为L=2?x，?，

因此，此时，三点平滑可以完全滤除原谐波中波长为L=2?x的波动。（4分）

9、 简述模式初始化的概念模式？简单说明模式初始化有哪些常用的方法？（10分）

答：（1）用原始方程模式作预报时，由于观测或分析资料的误差导致风场和气压场的不平衡，初始资料和数值模式之间的不平衡，直接采用未经任何处理的观测值或分析值作为模式的初始场，容易导致高频振荡，产生计算不稳定。因此，需要对模式的初值进行处理，即称为模式的“初始化” （5分）；（2）模式常用的初始化方法包括：静力初始化、动力初始化和变化初始化三种（5分）。 10、什么是数值模式物理过程参数化？模式的物理过程参数化包括哪些主要的内容？（10分） 答：（1）为了提高预报的确率，往往要在数值天气预报模式中引入一些影响大气运动的重要物理过程，而这些过程基本上属于次网格过程，很难用显式的方法在模式中表示出来。通常把上述次网格的物理过程，通过大尺度的物理量来描述它们的统计效应，并作为某些物理量的源或汇包含在大尺度运动方程组中，这种方总统称为“参数化”的方法。（5分）

（2）模式的物理过程参数化的主要内容包括：辐射传输、水汽凝结、边界层的处理（湍流

对热量、动量和水汽的输送等）、地形作用等等（5分）。

南京信息工程大学大气科学专业《数值天气预报》试卷（B）

年级― ――― 班级―― ― 任课教师： 姓名―― ――― 学号 成绩

1、 地图投影放大系数是如何定义的？请列举出并简单说明三种常用的地图投影方式

及其基本特点。（10分） 2、已知地图投影直角坐标系中x和y方向的地图投影放大系数分别为m和n，请导出

?u?v?????0?x?y?pP坐标系下的连续方程在地图投影坐标系中的形式。（10分） 3、 请写出

J(A,B)的差分形式。（8分）

?u?u?u?a?b?0?t?x?y4、 现有如下形式的方程：，时间微商用向前差分格式、空间微商

用中央差格式来构造对应的差分方程。（10分）

??????V???p???f??f?0?t?p5、 根据准地转涡度方程：，导出准地转正压模式的预报

方程。（12分）

6、 五点平滑和九点平滑是如何定义的？并分别写出二者的计算表达式？（15分） 7、 正压原始方程模式在地图投影坐标系中的预报方程组形式如下：

??u?u?u?*?z???m?u?v?fv?mg??x?t?y??x ????v?v?v?*?z???m?u?v?fu?mg???t?y??y ??x???z??z??z?z??u?v????m2?u???v??????x??y????t?xm?ymm??????????

请采用二次守恒的平流格式，写出其对应的差分方程组。（15分）

8、 准地转正压模式、正压原始方程模式的时间步长大致是多少，并说明二者存在差别

的原因？（10分） 9、 简述模式初始化和物理过程参数化的基本概念。 （10分）

南京信息工程大学大气科学专业《数值天气预报》试卷（B）

标准答案及评分标准

映像平面上的距离1、 答： （1）地图放大系数或地图放大因子，又称为映像比例尺：m=地球表面上相应的距离；

（4分）

（2）三种常用的地图投影方式及其基本特点：（a）极射赤面投影，在极地和高纬度地区产生的变形较小，这种投影方式通常用于制作极地天气图和北半球天气底图；（b）兰勃托投影，在中纬度地区产生的变形较小，这种投影方式通常用于制作中纬度地区的天气图，如亚欧天气底图；（c）而麦卡托投影，在低纬或热带地区产生的变形较小，这种投影方式通常用于制作低纬或热带地区的天气底图。（6分）

??U???V???????2、 答： mn??X?n?+?Y?m??+?p=0（10分） 3、 答：4、 答：

???A,B??Jc14d2??Ai?1,j?Ai?1,j??Bi,j?1?Bi,j?1???Ai,j?1?Ai,j?1??Bi?1,j?Bi?1,j??uin?1,j?uin?1,j2?x＋b（8分）

1nuin,?j?ui,j?t＋auin,j?1?uin,j?12?y＝0（10分）

??????V???p???f??f?0?t?p5、 答：（1）将准地转涡度方程：，应用于无辐散层上：→ ??

????V???p???f??0?t

2（2）利用准地转近似的散度方程：f???12????gf（4分）

??1?V?k????Vg?2?→?f；

（4分）

???（3）旋转风V?和相对涡度?可以分别由计算的地转风Vg和地转风涡度g来代替→

2??g??z?????0?V?????g?f??0?t?y?x?x?y?t→，即为预报方程 （4

????z???z??

分） 6、 答：（1）五点平滑的定义：对变量Fi,j同时沿x方向和y方向进行一维三点平滑运算，

然后再取其平均值。其计算表达式为：

S~Fi,xj,y?Fi,j??Fi?1,j?Fi,j?1?Fi?1,j?Fi,j?1?4Fi,j?4（7分）

（2）九点平滑的定义：对变量Fi,j先进行x方向的三点平滑，然后再对其进行y方向的三点平滑；其计算表达式为：（8分）

7、 答：正压原始方程模式采用二次守恒的平流格式所对应的差分方程组为： SS2~x,y?Fi?1,j?1?Fi?1,j?1?Fi?1,j?1?Fi?1,j?1?4Fi,j?Fi,j?Fi,j??1?S??Fi?1,j?Fi,j?1?Fi?1,j?Fi,j?1?4Fi,j??24 ??xy~*?txyx??ut?mi,j?uu?uu?gz?fi,jvi,j?0?xyx??????xy~*?x?tyy?uv?uv?gz?fi,jui,j?0??vt?mi,j?xyy?????xy??zi,j?t?x?z?2y?z??u??uxx?vyy?zt?mi,j?u???????mi,j?m?y??m?x?????8、 答：准地转正压模式的时间步长大致为1小时，而正压原始方程模式的时间步长大致为

10分钟；（5分）

原因：原始方程模式保留了快速移动的重力惯性波，时间积分的时间步长必须取得

很小。（5分）

????0?（15分） ?

9、答：（1）用原始方程模式作预报时，由于观测或分析资料的误差导致风场和气压场的不平衡，初始资料和数值模式之间的不平衡，直接采用未经任何处理的观测值或分析值作为模式的初始场，容易导致高频振荡，产生计算不稳定。因此，需要对模式的初值进行处理，即

称为模式的“初始化”； （5分）

（2）为了提高预报的确率，往往在数值天气预报模式中引入一些影响大气运动的重要物理过程，而这些过程基本上属于次网格过程，很难用显式的方法在模式中表示出来。通常把上述次网格的物理过程，通过大尺度的物理量来描述它们的统计效应，这种方总统称为“参数化”的方法。 （5分）

南京信息工程大学 试卷

— 学年 第 学期 数值天气预报 课程试卷(样卷)

本试卷共 2 页；考试时间 120 分钟；任课教师 沈桐立 陆维松 邵海燕 ；出卷时间 2005 年 12 月

大气科学/应用气象 系 大气科学/大气物理环境 专业 班

学号 姓名 得分

一、填空（共20分，每空1分） 1、数值预报中常用的地图投影有 ； ； 三类，它们都是正形投影。

2、在有限网格区域下差分格式引起的常见误差有 ， ， ， 和群速度误差，通常可以采取 的方法来减小各种误差。

3、根据水平运动方程的形式可将数值天气预报模式分为 和 两大类型。

4、构造正压原始方程模式的物理条件为： ； ； ； 和 。

5、为抑制非线性计算不稳定，常在数值模式中采用 方法； 而为保证线性计算稳定性，在数值模式中需要满足 条件。

6、对于数值天气预报模式，为保证其初始时计算的稳定性，需要对资料进行初 始化处理，常用的初始化方法有 ， ， 三类。

二、名词解释（共20分，每题4分） 1、差分格式的守恒性质 2、资料同化 3、物理过程参数化

4、地图投影放大系数 5、混淆误差

三、问答题（共30分，每题10分）

du?I?u1、请根据振动方程dt写出欧拉后差时间积分格式？并说明该时间积分格式的特点？

2、什么是嵌套边界条件，单向嵌套与双向嵌套有何差异？ 3、给出正压原始方程模式的主要计算框图。 四、推导题（共30分）

1、请写出方程Ft?uFx?vFy?0对应的差分格式。（10分）

?u?u?c?0?x2、对于一维线性平流方程：?t（其中c为常数），时间采用向前差、空

间采用中央差分格式，写出对应的差分方程，并讨论其稳定性。（15分）

txxyy3、已知地图投影直角坐标系中X和Y方向的地图投影放大系数分别为m和n，?请写出水平散度??V在地图投影坐标系中的形式。（5分）

南京信息工程大学试卷标准答案及评分标准

— 学年 第 一 学期 数值天气预报 课程试卷(样卷)

本答案共 3 页；考试时间 120 分钟；任课教师 沈桐立 陆维松 邵海燕 ；出卷时间 年 月

大气科学/应用气象 系 大气科学/大气物理环境 专业 班

学号 姓名 得分

一、填空（共20分，每空1分）

1、极射赤面投影，兰勃脱投影，麦卡托投影

2、计算解问题，频率误差，波数误差，相速度，混淆误差（五个选四），提高网格分辨率（或平滑滤波）

3、过滤模式和原始方程模式（或正压模式和斜压模式） 4、正压，均匀不可压，静力平衡，上界为自由面，无摩擦和绝热 5、平滑和滤波，线性稳定性判据（或G?1） 6、静力初始化，动力初始化，变分初始化 二、名词解释（共20分，每题4分）

1、指改为差分格式后保持原微分方程全球的积分性质的格式。（4分） 2、指把不同性质的观测资料协调地融合在一起。（4分）

3、应用简明的基本概念或经验关系来表示复杂的物理过程的方法。（4分） 4、它是映像平面上的距离与地球表面相应距离的比值（3分），它随纬度而变化（1分）。 5、有限网格系统能分辨的波的最短波长为2?x，对于非线性作用产生的波长小于2?x的波动（2分），网格系统不能正确分辨，而把它错误地表示成某种波长大于2?x的波，从而造成了这种波的误差。（2分） 三、问答题（共30分，每题10分）

du?I?udt1、的欧拉后差时间积分格式为：

?n?1??un?I?un?t?u?n?1n?n?1??u?u?I?u?t（5分）

特点：1、计算很稳定，2、显示格式计算简单，3、不存在计算解，4、计算精度

较低，5、有线性计算稳定性条件的限制，是条件不稳定格式，6、具有选择性衰减功能，可阻尼高频振荡。（只要答中6及其它任一个即得5分，若答中2个不包括6扣一分。） 2、嵌套边界条件是指小模式从大模式取得边界值。（5分）单向嵌套是指仅由大模式向小模式提供边值，小模式对大模式不产生影响；双向嵌套时，小模式还需把内点值反馈给大模式，两模式必须同时运行。（5分） 3

输入初始高度场 计算放大系数和地转参数 计算地转风初值 计算预报要素的变化倾向 用欧拉后差积分一小时 否 用中央差积分11小时 否 是否算完6小时 是 是否算完12小时 是 时间平滑 空间平滑 是否算完24小时 是 否 输出结果 停机 ?1??Ax??A?A11??i?,ji?,j2?2 2??1?上框图答对主要步骤即得分。（10分） ?Ax??A?A11??i?,ji?,jd?22?四、推导题（共30分）

1xxA?Ai?1,j?2Ai,j?Ai?1,j?xy4txyF?uFx??vFy?0对应的差分格式。1?t1、请写出方程（10分） x1A??A1?A1??Ai?1,j?2Ai,j?Ai?1,j?A???i?,jxx2?i?2,j 根据差分算子的定义：2?d2???1??，Ax?1?A1?A1?，Ax?1?AAx??A?A11xi?1,j?Ai?1,j? i?,j?d?i?,ji?,j?2?2??i?2,j2d2??21??Ain??1??Ai?1,j?1,1j?2Ai,?j1tn??3 A?A?A（分）4Ft?(Fi,j?Fi,j)x1?i?1,ji?,j?d2??22?t1??Axx?A?2A?Ai?1,ji,ji?1,j2x1d1xnnnxxnnA??in?AuFx?(ui?1,j?ui,j)(FA?Fi,nu2)(i??1,j(i,ju?1,jFi,ji?1,j?j)i,Aj?1,ij14?Ai?1,j?Ai?1,j?Axx?4d2d1Axx1????n（3分） ?Fi?1,j)??Ai?1,j?2Ai,j?Ai?1,j?d21?Ai?1,j?Ai?1,j?Axx?2dAxx?同理：

vyFy?y1(vin,j?1?vin,j)(Fi,nj?1?Fi,nj)?(vin,j?vin,j?1)(Fi,nj?Fi,nj?1)（3分） 4d??Fi,nj?1?Fi,nj?1?最后得：

?tnnnnnnuin?1,j?uin,jFi?1.j?Fi,j?ui,j?ui?1,jFi.j?Fi?1,j2dnnnnnn?vin,j?1?vin,jFi,.?0 j?1?Fi,j?vi,j?vi,j?1Fi,.j?Fi,j?1??????????????????????（1分）

u?ui?1uin?1?uin2、解：=0；（1）差分方程：＋ci?1（5分）

?t2?xnn（2）稳定性讨论：设uin?AneIkxi （2分），将其代入差分方程，可以求得增

幅因子G：

G?1?I?sink?x 2G?1??2sin2k?x?1

?G?1（6分）

故该差分格式是绝对不稳定的。（2分）

???U???V??????mn?????Xn?Y?m?? （5分） 3、??V＝???南京信息工程大学 试卷

2006 — 2007 学年 第 一 学期 数值天气预报 课程试卷(A卷)

本试卷共 2 页；考试时间 120 分钟；任课教师 沈桐立 邵海燕 ；出卷时间 2006 年 12 月

大气科学/应用气象 学院 大气科学/大气物理环境 专业 班

学号 姓名 得分

一、填空（共20分，每空1分）

1、根据水平运动方程的形式可将数值天气预报模式分为过滤模式和 两大类型，而过滤模式又可分为 和 。

2、正形投影即是这样一种投影，经过投影后地球表面的 的夹角保持不变，且在投影面任意一点在各个方向上长度放大或缩小的倍数相等，投影之后不产生 的误差。

3、当空间步长 ?x 和时间步长?t 很小时， 是否逼近 ，这就是差分格式的相容性问题。

4、有限网格系统能分辨的波的最短波长为 ，若非线性作用产生波长小于此波长的波动，网格系统不能正确地分辨，而把它错误地表示成为 的波，这样产生的误差叫 。

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