高三数学专题复习--抽象函数题型汇编--2019.7.23
更新时间:2023-05-08 06:46:01 阅读量: 实用文档 文档下载
- 高三数学立体几何专题推荐度:
- 相关推荐
抽象函数常见题型汇编
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下:
一、定义域问题
(一)已知的定义域,求的定义域,
解法:若的定义域为,则中,从中解得的取值范围即为的定义域。
例题1:设函数的定义域为,则
(1)函数的定义域为______;(2)函数的定义域为_______
解析:(1)由已知有,解得,故的定义域为
(2)由已知,得,解得,故的定义域为
(二)已知的定义域,求的定义域。
解法:若的定义域为,则由确定的范围即为的定义域。
例题2:函数的定义域为,则的定义域为_____。解析:由,得,所以,故填
(三)已知的定义域,求的定义域。
解法:先由定义域求定义域,再由定义域求得定义域。例题3:函数定义域是,则的定义域是_______ 解析:先求的定义域,的定义域是,
,即的定义域是
再求的定义域,,
的定义域是
(四)运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域,解法是:先求出各个函数的定义域,再求交集。
例题4:函数的定义域是,求的定义域。
解析:由已知,有,即
函数的定义域由确定
函数的定义域是
【巩固1】已知函数的定义域是[1,2],求f(x)的定义域。
解析:的定义域是[1,2],是指,
所以中的满足
从而函数f(x)的定义域是[1,4]
【巩固2】 已知函数的定义域是,求函数的定义域。 解析:的定义域是,意思是凡被f 作用的对象都在
中,由此可得 所以函数的定义域是
【巩固3】 f x ()定义域为(0),1,则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12
定义域是__。 解析:因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ,所以010111<+<<-?
??-<<-<<+???x a x a a x a a x a (1)当-
≤≤120a 时,则x a a ∈-+(),1; (2)当012
<≤a 时,则x a a ∈-(),1
二、 解析式问题 1. 换元法:即用中间变量表示原自变量x 的代数式,从而求出()f x ,这也是证某些公式或等式常用的方法,此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例题5: 已知 (
)211
x f x x =++,求()f x . 解析:设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=-
2. 凑合法:在已知(())()f g x h x =的条件下,把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式,再利用代换即可求()f x .此解法简洁,还能进一步复习代换法。
例题6: 已知33
11()f x x x
x +=+,求()f x 解析:∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++- 又∵11||||1||x x x x +=+≥,∴23()(3)3f x x x x x =-=-,(|x |≥1)
3. 待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的未知系数。
例题7: 已知()f x 二次实函数,且2
(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解析:设()f x =2ax bx c ++,则
22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+
=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=??=?===??=?∴213()22
f x x x =
++
4. 利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.
例题8: 已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解析:∵()f x 为奇函数,∴()f x 的定义域关于原点对称,故先求x <0时的表达式。 ∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,
∵()f x 为奇函数,∴lg(1)()()x f x f x -=-=-
∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0
x x f x x x +≥?=?
--
例题9: ()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,且有()f x +1()1
g x x =-, 求()f x ,()g x . 解析:∵()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,
不妨用-x 代换()f x +()g x =
11
x - ………①中的x , ∴1()()1
f x
g x x -+-=--即()f x -1()1g x x =-+……② 显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1x g x x =-
5. 赋值法:给自变量取特殊值,从而发现规律,求出()f x 的表达式 例题10: 设()f x 的定义域为自然数集,且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x
解析:∵()f x 的定义域为N ,取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加,有()f n =1+2+3+……+n =
(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N =+∈
【巩固4】 设函数f x ()存在反函数,g x f x h x ()()()=-1,与g x ()的图象关于直线x y +=0对称,则函数h x ()=
A. -f x ()
B. --f x ()
C. --f x 1()
D. ---f x 1() 解析:要求y h x =()的解析式,
实质上就是求y h x =()图象上任一点P x y ()00,的横、纵坐标之间的关系。 点P x y ()00,关于直线y x =-的对称点()--y x 00,适合y f x =-1(), 即-=-x g y 00()。又g x f x ()()=-1,
∴-=-?-=-?=---x f
y y f x y f x 0100000()()(),即h x f x ()()=--,选B 。
【巩固5】设对满足的所有实数x,函数满足
,求f(x)的解析式。
解析:在中以代换其中x,得:
再在(1)中以代换x,得
化简得:
评析:如果把x和分别看作两个变量,怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下,给某些变量适当赋值,使之在关系中“消失”,进而保留一个变量,是实现这种转化的重要策略。
三、求值问题
这类抽象函数一般给出定义域,某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”,即在其定义域内令变量取某特殊值而获解,关键是抽象问题具体化。或紧扣已知条件进行迭代变换,经有限次迭代可直接求出结果,或者在迭代过程中发现函数具有周期性,利用周期性使问题巧妙获解。
例题11:已知定义域为的函数f(x),同时满足下列条件:①;
②,求f(3),f(9)的值。
解析:取,得
因为,所以
又取,得
例题12: 定义在R 上的函数f x ()满足:f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=,求f ()2000的值。
解析:由f x f x ()()220-+-=,以t x =-2代入,有f t f t ()()-=, ∴f x ()为奇函数且有f ()00=,又由
f x f x ()[()]+=--44()()(8)(4)()f x f x f x f x f x =-=-∴+=-+=, f x ()是周期为8的周期函数, ∴==f f ()()200000
【巩固6】 已知f x ()的定义域为R +,且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ,y 都成立,若f ()84=,则f (2)=_______。
解析:在条件f x y f x f y ()()()+=+中,令x y ==4,得
f f f f ()()()()844244=+==,∴=f ()42
又令x y ==2,得f f f (4)(2)(2)=+=2,∴=f (2)1
【巩固7】 已知f x ()是定义在R 上的函数,且满足:f x f x f x ()[()]()+-=+211,
f ()11997=,求f (2001)的值。
解析:紧扣已知条件,并多次使用,发现f x ()是周期函数,显然f x ()≠1,于是
f x f x f x ()()()+=+-211,f x f x f x f x f x f x f x f x ()()()()()()()()+=++-+=+
+
--+-=-412121111111 所以f x f x f x ()()
()+=-+=814,故f x ()是以8为周期的周期函数, 从而f f f (2001)()()=?+==8250111997
四、 值域问题
例题13: 设函数f(x)定义于实数集上,对于任意实数x 、y ,
总
成立,且存在,使得,求函数的值域。
解析:令,得
,即有
或。
若
,则
,对任意
均成立,这与存在实数
,使得
成立矛盾,故,必有
。
由于
对任意
均成立,因此,对任意,有
下面来证明,对任意
设存在
,使得
,则
这与上面已证的矛盾,因此,对任意
所以
评析:在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适当的赋值,这是一般向特殊转化的必要手段。
【巩固8】 已知函数f x ()对任意实数x y ,有f x y f x f y ()()()+=+,且当x >0时
f x f ()()>-=-012,,求f x ()在[]-21,上的值域。
解析:设x x 12<,且x x R 12,∈,则x x 210->,
由条件当x >0时,f x ()>0 ,∴->f x x ()210
又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111,∴f x ()为增函数, 令y x =-,则f f x f x ()()()0=+-
又令x y ==0 ,得f ()00= ,∴-=-f x f x ()(),故f x ()为奇函数,
∴=-=f f ()()112,f f ()()-=-=-2214
∴-f x ()[]在,21上的值域为[]-42,
五、
求参数范围或解不等式
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中,关键是利用函数的奇偶性和它在定义域
内的增减性,去掉“f ”符号,转化为代数不等式组求解,但要特别注意函数定义域的作用。
例题14: 已知f x ()是定义在(-11,)上的偶函数,且在(0,1)上为增函数,满足f a f a ()()---<2402,试确定a 的取值范围。
解析: f x ()是偶函数,且在(0,1)上是增函数,∴f x ()在()-10,上是减函数, 由-<-<-<-??121141
2a a 得35<
,不等式不成立。
(2)当32<
2222120(2)(4)(4)140224a f a f a f a a a a a -<-?-<-=-?-<-?->-?
(3)当25<
f a f a ()()-<-24
2
222021(4)041224a f a a a a a <-?=-?<-<?-<-?综上所述,所求a 的取值范围是()()3225,, 。
例题15: f x ()是定义在(]-∞,1上的减函数,若f m x f m x (sin )(cos )221-≤++对x R ∈恒成立,求实数m 的取值范围。
解析:: m x m x m x m x 22223131-≤++≤-≥++????
?sin cos sin cos
对x R ∈恒成立?-≤-≥++?????m x m x m x
22231sin sin cos 对x R ∈恒成立?m x m m x x x 2222311254-≤--≥+=--+????
?sin sin cos (sin ) 对x R ∈恒成立,
223115214m m m m ?-≤?∴≤≤?--≥??,
【巩固9】 已知函数f x ()是定义在(]-∞,1上的减函数,且对一切实数x ,不等式f k x f k x (sin )(sin )-≥-22恒成立,求k 的值。
解析:由单调性,脱去函数记号,得k x k x k x k x k k x 222222*********-≤-≤-????
??≤+-+≥-?????sin sin sin sin ()(sin )(2)
由题意知(1)(2)两式对一切x R ∈恒成
立,则有k x k k x k 2222111412941≤+=-+≥-=?????????
??=-(sin )(sin )min max
【巩固10】 已知函数f x ()对任意x y R ,∈有f x f y f x y ()()()+=++2,当x >0时,f x ()>2,f ()35=,求不等式f a a ()2223--<的解集。 解析:设x x R 12、∈且x x 12<,则x x 210->,
∴->f x x ()212,即f x x ()2120-->
2211211121()[()]()()2()()()f x f x x x f x x f x f x f x f x ∴=-+=-+->∴>, 故f x ()为增函数,
又f f f f f ()()()()()3212123145=+=+-=-=,
22(1)3(22)3(1)22113f f a a f a a a ∴=∴--<=--<∴-<<,,,即 因此不等式f a a ()2223--<的解集为{}a a |-<<13。
六、 单调性问题
例题16: 设f(x)定义于实数集上,当
时,,且对于任意实数x 、y ,
有,求证:
在R 上为增函数。
证明:在中取
,得
若,令,则,与
矛盾
所以,即有
当时,;当时,
而,所以
又当时,
,所以对任意
,恒有
设,则
∴
,∴
在R 上为增函数
例题17:
已知偶函数f x ()在(0),+∞上是减函数,问f x ()在()-∞,0上是增函是
减函数,并证明你的结论。
证明:如图所示,易知f x ()在()-∞,0上是增函数,证明如下:
任取x x x x 121200<->->
因为f x ()在(0),+∞上是减函数,所以f x f x ()()-<-12。 又f x ()是偶函数,所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122,, 从而f x f x ()()12<,故f x ()在()-∞,0上是增函数。
【巩固11】 如果奇函数f x ()在区间[]37,上是增函数且有最小值为5,那么f x ()在区间
[]--73,上是
A. 增函数且最小值为-5
B. 增函数且最大值为-5
C. 减函数且最小值为-5
D. 减函数且最大值为-5
解析:画出满足题意的示意图1,易知选B 。
七、 奇偶性问题
例题18: 已知函数对任意不等于零的实数都有
,试判断函数f(x)的奇偶性。 解析:取得:,所以 又取得:,所以 再取则,即 因为为非零函数,所以
为偶函数。
【巩固12】 若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称,求证:函数y f x =()是偶函数。
证明:设y f x =()图象上任意一点为P (x y 00,)
y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称,
∴P x y ()00,关于原点的对称点()--x y 00,在y f x =-()的图象上,
0000()()y f x y f x ∴-=--∴=-,
又y f x 00=(),∴-=f x f x ()()00
即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=,所以y f x =()是偶函数。
八、 周期性问题
几种特殊的抽象函数:具有周期性的抽象函数:
函数满足对定义域内任一实数(其中为常数),
1. ,则是以为周期的周期函数;
2. ,则是以为周期的周期函数;
3. ,则是以为周期的周期函数;
4. ,则是以为周期的周期函数;
5. ,则是以为周期的周期函数.
6. ,则是以为周期的周期函数.
7. ,则是以为周期的周期函数.
8. 函数满足(),若为奇函数,则其周期为,若为偶函数,则其周期为.
9.函数的图象关于直线和都对称,则函数是以
为周期的周期函数;
10.函数的图象关于两点、都对称,则函数是以为周期的周期函数;
11.函数的图象关于和直线都对称,则函数是以为周期的周期函数;
()y f x =x a ()()f x f x a =+()y f x =T a =()()f x a f x +=-()x f 2T a =()()
1f x a f x +=±()x f 2T a =()()f x a f x a +=-()x f 2T a =1()()1()
f x f x a f x -+=+()x f 2T a =1()()1()f x f x a f x -+=-
+()x f 4T a =1()()1()
f x f x a f x ++=-()x f 4T a =()y f x =()()f a x f a x +=-0a >()f x 4T a =()f x 2T a =()y f x =()x R ∈x a =x b =()a b <()f x ()2b a -()y f x =()x R ∈()0,A a y ()0,B b y ()a b <()f x ()2b a -()y f x =()x R ∈()0,A a y x b =()a b <()f x ()4b a -
例题19: 设f x ()定义在R 上且对任意的x 有f x f x f x ()()()=+-+12,求证:f x ()是周期函数,并找出它的一个周期。
解析:这同样是没有给出函数表达式的抽象函数,其一般解法是根据所给关系式进行递推,若能得出f x T f x ()()+=(T 为非零常数)则f x ()为周期函数,且周期为T 。 证明: f x f x f x ()()()()=+-+121
∴+=+-+f x f x f x ()()()()1232
()()12+得f x f x ()()()=-+33
由(3)得f x f x ()()
()+=-+364 由(3)和(4)得f x f x ()()=+6。
上式对任意x R ∈都成立,因此f x ()是周期函数,且周期为6。
例题20: 设函数f x ()的定义域为R ,且对任意的x ,y 有
f x y f x y f x f y ()()()()++-=?2,并存在正实数c ,使f c ()2
0=。试问f x ()是否为周期函数?若是,求出它的一个周期;若不是,请说明理由。
解析:仔细观察分析条件,联想三角公式,就会发现:y x =cos 满足题设条件,且cos π20=,
猜测f x ()是以2c 为周期的周期函数。 f x c c f x c c f x c f c f x c f x f x c f x c f x [()][()]()()()()()()()
++++-=+=∴+=-∴+=-+=2222222
02
故f x ()是周期函数,2c 是它的一个周期。
【巩固13】 设f x ()是定义在R 上的偶函数,其图象关于直线x =1对称。对任意
x x 12012
,,∈[]都有f x x f x f x ()()()1212+=?。证明f (x )是周期函数。 证明:依题设y f x =()关于直线x =1对称,故f x f x x R ()()=-∈2,
又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈,
∴-=-∈f x f x x R ()()2,,将上式中-x 以x 代换,得f x f x x R ()()=+∈2,
这表明f x ()是R 上的周期函数,且2是它的一个周期
f x ()是偶函数的实质是f x ()的图象关于直线x =0对称
又f x ()的图象关于x =1对称,可得f x ()是周期函数,且2是它的一个周期
由此进行一般化推广,我们得到
思考一:设f x ()是定义在R 上的偶函数,其图象关于直线x a a =≠()0对称,证明f x ()是周期函数,且2a 是它的一个周期。
证明: f x ()关于直线x a =对称.∴=-∈f x f a x x R ()()2,
又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈,,∴-=-∈f x f a x x R ()()2,
将上式中-x 以x 代换,得f x f a x x R ()()=+∈2,
∴f x ()是R 上的周期函数,且2a 是它的一个周期
思考二:设f x ()是定义在R 上的函数,其图象关于直线x a =和x b a b =≠()对称。证明f x ()是周期函数,且2()b a -是它的一个周期。
证明: f x ()关于直线x a x b ==和对称
()(2)()(2)(2)(2)f x f a x x R f x f b x x R f a x f b x x R ∴=-∈=-∈∴-=-∈,,,,,
将上式的-x 以x 代换得f a x f b x x R ()()22+=+∈,
∴+-=-+=-+=∈f x b a f x a b f x a a f x x R [()][()][()]()22222,
∴f x ()是R 上的周期函数,且2()b a -是它的一个周期
若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”,f x ()还是不是周期函数?我们得到 思考三:设f x ()是定义在R 上的奇函数,其图象关于直线x =1对称。证明f x ()是周期函数,且4是它的一个周期。,
证明: f x ()关于x =1对称,∴=-∈f x f x x R ()()2,
又由f x ()是奇函数知()()(2)()f x f x x R f x f x x R -=-∈∴-=--∈,,, 将上式的-x 以x 代换,得(2)()f x f x x R +=-∈,
(4)[2(2)](2)[()]()f x f x f x f x f x x R ∴+=++=-+=--=∈,
∴f x ()是R 上的周期函数,且4是它的一个周期
f x ()是奇函数的实质是f x ()的图象关于原点(0,0)中心对称,又f x ()的图象关于直线x =1对称,可得f x ()是周期函数,且4是它的一个周期。由此进行一般化推广,我们得到
思考四:设f x ()是定义在R 上的函数,其图象关于点M a (),0中心对称,且其图象关于直线x b b a =≠()对称。证明f x ()是周期函数,且4()b a -是它的一个周期。 证明: f x ()关于点M a (),0对称,∴-=-∈f a x f x x R ()()2,
f x ()关于直线x b =对称,
()(2)(2)(2)f x f b x x R f b x f a x x R ∴=-∈∴-=--∈,,,
将上式中的-x 以x 代换,得
(2)(2)[4()][2(24)][2(24)][2(2)][2(2)]()f b x f a x x R
f x b a f b x b a f a x b a f b x a f a x a f x x R
+=-+∈∴+-=++-=-++-=-+-=+-=∈,,
∴f x ()是R 上的周期函数,且4()b a -是它的一个周期
由上我们发现,定义在R 上的函数f x (),其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴,则f x ()是R 上的周期函数。进一步我们想到,定义在R 上的函数f x (),其图象如果有两个对称中心,那么f x ()是否为周期函数呢?经过探索,我们得到
思考五:设f x ()是定义在R 上的函数,其图象关于点M a (),0和N b a b ()(),0≠对称。证明f x ()是周期函数,且2()b a -是它的一个周期。
证明: f x ()关于M a N b ()(),,,00对称
∴-=-∈-=-∈∴-=-∈f a x f x x R
f b x f x x R
f a x f b x x R
()()()()()()2222,,,
将上式中的-x 以x 代换,得 (2)(2)[2()][2(2)][2(2)]()f a x f b x x R f x b a f b x a f a x a f x x R
+=+∈∴+-=+-=+-=∈,, ∴f x ()是周期函数,且2()b a -是它的一个周期
九、 对称性问题
(1)对称性的概念及常见函数的对称性
1、对称性的概念
①轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值)
①常函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数;
⑨正弦型函数sin()y A x ω?=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数;
⒀三次函数:显然三次函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点,而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。
⒁绝对值函数:这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数,它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方,是否仍然具备对称性,这
也没有一定的结论,例如|ln |y x =就没有对称性,而|sin |y x =却仍然是轴对称。 ⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d
+=≠≠+的图像是双曲线,其两渐近线分别直线d x c =- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定),对称中心是点(,)d a c c
-。
(2)抽像函数的对称性
1、函数)(x f y =图像本身的对称性(自对称问题)
(1)轴对称
①)(x f y =的图像关于直线a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ?)2()(x a f x f -= ?)2()(x a f x f +=-
②)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =的图像关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称. 特别地,函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是()()f x f x =-.
(2)中心对称
①)(x f y =的图像关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ ?b x a f x f 2)2()(=-+
?b x a f x f 2)2()(=++-。
②c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图像关于点),2
(c b a +对称. 特别地,函数)(x f y =的图像关于原点(0,0)对称的充要条件是()()0f x f x +-=.
(3)对称性与周期性之间的联系
①若函数()f x 既关于直线x a =对称,又关于直线x b =对称()a b ≠,则函数()f x 关于无数条直线对称,相邻对称轴的距离为b a -;且函数()f x 为周期函数,周期2T b a =-;
特别地:若)(x f y =是偶函数,图像又关于直线x a =对称,则()f x 是周期为2a 的周
期函数;
②若函数()f x 既关于点(,0)a 对称,又关于点(,0)b 对称()a b ≠,则函数()f x 关于无数个点对称,相邻对称中心的距离为b a -;且函数()f x 为周期函数,周期2T b a =-; ③若函数()f x 既关于直线x a =对称,又关于点(,0)b 对称()a b ≠,则函数()f x 关于无数个点和直线对称,相邻对称轴和中心的距离为b a -,相邻对称轴或中心的距离为2b a -;且函数()f x 为周期函数,周期4T b a =-。
特别地:若)(x f y =是奇函数,图像又关于直线x a =对称,则()f x 是周期为a 4的周期函数。
2、两个函数图像的对称性(互对称问题)
(1)函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图像关于直线0=x 对称。
(2)函数)(x f y =与)2(x a f y -=图像关于直线a x =对称
(3)函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图像关于直线a x -=对称
(4)函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图像关于直线0)()(=--+x b x a 对称即直线2
a b x -=对称(5)函数)(x f y =与)(x f y -=图像关于x 轴对称。 (6)函数)(x f y =与)(x f y -=图像关于y 轴对称。
(7)函数)(x f y =与()a x f a y -=-图像关于直线x y a +=成轴对称。
(8)函数)(x f y =与()x a f y a -=+图像关于直线x y a -=成轴对称。
(9)函数()y f x =与()1y f x -=的图像关于直线y x =对称。
(10)函数()y f x =与()1y f x -=--的图像关于直线y x =-对称。
(11)函数()y f x =有反函数,则()y f a x =+和()1y f a x -=+的图像关于直线
y x a =+对称。
(12)函数)(x f y =与)2(2x a f b y --=的图像关于点),(b a 成中心对称。特别地,函
数)(x f y =与)(x f y --=图像关于原点对称。
例题21: 函数满足,求
值。 解析:已知式即在对称关系式中取,所以函数的图象关于点(0,2002)对称。根据原函数与其反函数的关系,知函数
的图象关于点(2002,0)对称。 所以
将上式中的x 用代换,得
评析:这是同一个函数图象关于点成中心对称问题,在解题中使用了下述命题:设a 、b 均为常数,函数对一切实数x 都满足,则函数
的图象关于点(a ,b )成中心对称图形。
十、 综合问题
1) 比较函数值大小
利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内,然后利用其单调性使问题获解。
例题22: 已知函数f x ()是定义域为R 的偶函数,x <0时,f x ()是增函数,若x 10<,x 20>,且||||x x 12<,则f x f x ()()--12,的大小关系是_______。
解析: x x 1200<>,且||||x x 12<,∴<--<<001221x x x x
又x <0时,f x ()是增函数,∴- f x ()是偶函数,∴-=f x f x ()()11,故f x f x ()()->-12 2) 讨论方程根的问题 例题23: 已知函数f x ()对一切实数x 都满足f x f x ()()11+=-,并且f x ()=0有三个实根,则这三个实根之和是_______。 分析:由f x f x ()()11+=-知直线x =1是函数f x ()图象的对称轴。又f x ()=0有三个实根,由对称性知x 11=必是方程的一个根,其余两根x x 23,关于直线x =1对称,所以x x 23212+=?=,故x x x 1233++=。 3) 研究函数的图象 这类问题只要利用函数图象变换的有关结论,就可获解。 例题24: 若函数y f x =+()2是偶函数,则y f x =()的图象关于直线_______对称 解析:y f x =()的图象右移个单位 左移个单位22y f x =+()2的图象,而y f x =+()2是偶函数,对称轴是x =0,故y f x =()的对称轴是x =2。 例题25: 若函数f x ()的图象过点(0,1),则f x ()+4的反函数图象必过定点__ 解析:f x ()的图象过点(0,1),从而f x ()+4的图象过点()-41,,由原函数与其反函数图象间的关系易知,f x ()+4的反函数的图象必过定点()14,-。 【巩固14】 定义在R 上的函数f(x)满足:对任意实数m ,n ,总有 ,且当x >0时,0 (1)判断f (x )的单调性;(2)设 , ,若 ,试确定a 的取值范围。 解析:(1)在中,令 ,得,因 为,所以。在中,令 因为当时, ,所以当时 而 ,所以 又当x =0时,,所以,综上可知,对于任意,均有。 设,则 所以 ,∴在R 上为减函数。 (2)由于函数y =f (x )在R 上为减函数,所以 即有,又,由单调性,有 由 ,所以直线 与圆面 无公共点。
正在阅读:
高三数学专题复习--抽象函数题型汇编--2019.7.2305-08
3T水处理设备操作说明书04-22
阳台上有盆橘树作文400字07-11
流域综合治理工程第一期源头治理工程投资建设项目可行性研究报告-广州中撰咨询09-06
河南“十三五”重点-加油站、充电桩项目可行性研究报告09-15
2016年日历记事本(一月一张)07-26
新概念第一册Lesson 1完全整理版12-06
新人教版五年级数学下册教案及教学反思07-01
机票预订系统需求分析09-11
- 教学能力大赛决赛获奖-教学实施报告-(完整图文版)
- 互联网+数据中心行业分析报告
- 2017上海杨浦区高三一模数学试题及答案
- 招商部差旅接待管理制度(4-25)
- 学生游玩安全注意事项
- 学生信息管理系统(文档模板供参考)
- 叉车门架有限元分析及系统设计
- 2014帮助残疾人志愿者服务情况记录
- 叶绿体中色素的提取和分离实验
- 中国食物成分表2020年最新权威完整改进版
- 推动国土资源领域生态文明建设
- 给水管道冲洗和消毒记录
- 计算机软件专业自我评价
- 高中数学必修1-5知识点归纳
- 2018-2022年中国第五代移动通信技术(5G)产业深度分析及发展前景研究报告发展趋势(目录)
- 生产车间巡查制度
- 2018版中国光热发电行业深度研究报告目录
- (通用)2019年中考数学总复习 第一章 第四节 数的开方与二次根式课件
- 2017_2018学年高中语文第二单元第4课说数课件粤教版
- 上市新药Lumateperone(卢美哌隆)合成检索总结报告
- 题型
- 抽象
- 汇编
- 函数
- 高三
- 复习
- 数学
- 专题
- 2019.7
- 23
- 2015-2020年中国光伏发电产业市场发展总结及前景预测报告
- 省安监管危化46号
- 四川省各县行政代码
- 福建省东山县高二政治上学期第一次月考试题新人教版
- 2014呼吸内科试题及答案
- 2017年中国农业大学水利与土木工程学院853城市规划原理考研冲刺密押题
- 2018年湖北师范学院城市与环境学院333教育综合之教育概论考研冲刺狂背五套题
- 高考数学二轮复习专题13三角函数的图像和性质1学案
- 招标师《招标采购专业实务》重点笔记(高效,必过版)
- 云朵儿快乐舞步健身操第三套动作名称歌曲歌词
- 2019年度行政执法人员资格考试
- 幼儿园教育教学2020工作总结文档4篇
- 吉林省2015年第一季新大纲会计从业资格无纸化考试《会计基础》模拟冲刺卷,答案及解析(5)
- 青岛版小学科学五年级上册《纸》教学设计
- 写给未来的你余光中
- 高中数学必修4教案完整版新课标人教A版
- 2017_2018学年七年级语文上学期期末教学质量检测试题新人教版
- 2014职称英语英语课件考试备考资料
- 2018-2019年初中历史鲁教版《九年级下》《第三单元 第二次世界大战,》《第8课 世界反法西斯战
- 2011-2012学年第二学期少先队工作计划