天津市河西区2016届中考数学模拟试卷含答案解析

2016年天津市河西区中考数学模拟试卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案填在下面的表格里．） 1．3tan30°的值等于（ ） A．1

B．

C．

D．2

2．在下列APP图标的设计图案中，可以看做中心对称图形的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．已知反比例函数y=的图象经过点（2，6），那么k的值为（ ） A．12

B．3

C．﹣3 D．﹣12

4．如图中的几何体是由一个正方体切去一个小正方体后形成的，它的俯视图是（ ）

A． B． C． D．

5．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，图中的全等三角形的对数（

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 6．下列说法中正确的有（ ） ①位似图形都相似； ②两个等腰三角形一定相似；

③两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81；

④若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2cm，那么这两个三角形一定相似．第1页（共29页）

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

8．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为（ ）米．

A．7tanα B． C．7sinα D．7cosα

9．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）

A．（3，3） B．（4，3） C．（3，1） D．（4，1）

10．阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE（如图所示），已知亮区到窗口下的墙角的距离EC=8.7米，窗口高AB=1.8米，则窗口底边离地面的高BC为（ ）

A．4米 B．3.8米 C．3.6米 D．3.4米

11．B，C是⊙O上的三个点， 已知A，四边形OABC是平行四边形，那么下列结论中错误的是（ ）

第2页（共29页）

A．∠AOC=120°

B．四边形OABC一定是菱形 C．若连接AC，则AC=

OA

D．若连接AC、BO，则AC与BO互相垂直平分

12．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）

A．﹣1＜x＜5

B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）得分 13．计算cos245°+tan60°cos30°的值为 ．

14．甲乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20m/s和25m/s．现甲车在乙车前500m处，设xs（0≤x≤100）后两车相距ym．那么y关于x的数解析式为 ．（写出自变量取值范围）

15．甲盒装有3个乒乓球，分别标号为1，2，3；乙盒装有2个乒乓球，分别标号为1，2．现分别从每个盒中随机地取出1个球，则取出的两球标号之和为4的概率是 ．

16．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边上，AC与DM，DN分别交于点E、F，把△DEF绕点D旋转到一定位置，使得DE=DF，则∠BDN的度数是 ．

17．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是 ．

第3页（共29页）

18．现有10个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图1中用实线画出分割线，并在图2的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．

三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．如图，在△ABC中，∠B=∠C=67.5°． （Ⅰ）求sinA的值； （Ⅱ）求tanC的值．

20．已知反比例函数y=（k为常数，k≠1）．

（Ⅰ）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值； （Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；

（Ⅲ）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小．

第4页（共29页）

21．已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H． （1）求证：AC⊥BH；

（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．

上取一点E使∠EBC=∠DEC，

22．如图，某建筑物BC顶部有釕一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小红在D处观测旗EC=21m，杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°已知点D到地面的距离DE为1.56m，tan47°≈1.07，tan42°≈0.90． 求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位）．参考数据：

23．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．

要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀多少个队参赛？ 解题方案：

设比赛组织者应邀请x个队参赛， （1）用含x的代数式表示：

那么每个队要与其他 个队各赛一场，又由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲对的比赛是同一场比赛，所以全部的比赛一共有 场； （2）根据题意，列出相应方程； （3）解这个方程，得； （4）检验： ；

第5页（共29页）

A．7tanα B． C．7sinα D．7cosα

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函数即可求出BC的高度．

【解答】解：∵BC⊥AC，AC=7米，∠BAC=α， ∴

=tanα，

∴BC=AC?tanα=7tanα（米）． 故选A．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．

9．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）

A．（3，3） B．（4，3） C．（3，1） D．（4，1） 【考点】位似变换；坐标与图形性质． 【专题】几何图形问题．

【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．

【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD， ∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，

第11页（共29页）

∴端点C的坐标为：（3，3）． 故选：A．

【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．

10．阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE（如图所示），已知亮区到窗口下的墙角的距离EC=8.7米，窗口高AB=1.8米，则窗口底边离地面的高BC为（

A．4米 B．3.8米 C．3.6米 D．3.4米

【考点】相似三角形的应用．

【分析】作辅助线，连接AE和BD，根据题意知：

=

，可将窗口底边离地面的高BC求出．

【解答】解：连接AE、BD， ∵光是沿直线传播的， ∴AE∥BD， ∴△BCD∽△ACE， ∴=

即

=

解得：BC=4． 故选A．

第12页（共29页）

）

【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可．

11．B，C是⊙O上的三个点， 已知A，四边形OABC是平行四边形，那么下列结论中错误的是（ ）

A．∠AOC=120°

B．四边形OABC一定是菱形 C．若连接AC，则AC=

OA

D．若连接AC、BO，则AC与BO互相垂直平分 【考点】圆周角定理；平行四边形的性质；菱形的判定．

【分析】连接OB，AC，根据已知条件得到四边形OABC一定是菱形，根据菱形的性质得到AC与BO互相垂直平分，根据等边三角形的性质得到∠BCO=60°，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：连接OB，AC， ∵四边形OABC是平行四边形， ∵OA=OC，

∴四边形OABC一定是菱形， ∴则AC与BO互相垂直平分， ∵OB=OC，

∴△BCO是等边三角形， ∴∠BCO=60°， ∴∠AOC=120°， ∵∠OAC=30°， ∴AC=∴AC=故选C．

OA， OA．

第13页（共29页）

【点评】本题考查了圆周角定理，菱形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

12．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）

A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5

【考点】二次函数与不等式（组）． 【专题】压轴题．

【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＜0的解集．

【解答】解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）． 利用图象可知：

ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集， ∴x＜﹣1或x＞5． 故选：D．

【点评】此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）得分 13．计算cos245°+tan60°cos30°的值为 2 ． 【考点】特殊角的三角函数值．

第14页（共29页）

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案． 【解答】解：cos245°+tan60°cos30° =（=+ =2．

故答案为：2．

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．

14．甲乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20m/s和25m/s．现甲车在乙车前500m处，设xs（0≤x≤100） 后两车相距ym．那么y关于x的数解析式为 y=﹣5x+500（0≤x≤100） ．（写出自变量取值范围）【考点】根据实际问题列一次函数关系式．

【分析】根据题意利用两车相距的距离﹣速度差×行驶时间=两车距离，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：y=500﹣（25﹣20）x=﹣5x+500，（0≤x≤100）． 故答案为：y=﹣5x+500（0≤x≤100）．

【点评】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，正确理解题意是解题关键．

15．甲盒装有3个乒乓球，分别标号为1，2，3；乙盒装有2个乒乓球，分别标号为1，2．现分别从每个盒中随机地取出1个球，则取出的两球标号之和为4的概率是 【考点】列表法与树状图法．

【分析】首先根据题意作出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出的两球标号之和为4的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：画树状图得：

．

）2+

×

∵共有6种等可能的结果，取出的两球标号之和为4的有2种情况， ∴取出的两球标号之和为4的概率是： =．

第15页（共29页）

故答案为：．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．

16．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边上，AC与DM，DN分别交于点E、F，把△DEF绕点D旋转到一定位置，使得DE=DF，则∠BDN的度数是 120° ．

【考点】旋转的性质．

【分析】根据等腰三角形的性质和特殊直角三角形的角度求得∠DFC，进一步利用三角形外角的性质即可得到结果．

【解答】解：如图，∵DE=DF，∠EDF=30°， ∴∠DFC=（180°﹣∠EDF）=75°， ∵∠C=45°，

∴∠BDN=∠DFC+∠C=75°+45°=120°． 故答案为：120°．

【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握三角形的内角和与外角的性质是解题的关键．

17．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是 （，3）、（﹣，4） ．

第16页（共29页）

【考点】矩形的性质；坐标与图形性质．

【分析】首先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H， ∵四边形AOBC是矩形， ∴AC∥OB，AC=OB， ∴∠CAF=∠BOE=∠CHO， 在△ACF和△OBE中，

，

∴△CAF≌△BOE（AAS）， ∴BE=CF=4﹣1=3，

∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°， ∴∠AOD=∠OBE， ∵∠ADO=∠OEB=90°， ∴△AOD∽△OBE， ∴即

=

，

=，

∴OE=， 即点B（，3）， ∴AF=OE=，

第17页（共29页）

∴点C的横坐标为：﹣（2﹣）=﹣， ∴点C（﹣，4）．

故答案是：（，3）、（﹣，4）．

【点评】此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

18．现有10个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图1中用实线画出分割线，并在图2的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．

【考点】作图—应用与设计作图．

【分析】因为拼接前图形的面积为10，所以拼接后图形的面积也为10，即所求正方形的边长为利用勾股定理即可把原图分割成四个斜边为【解答】解：如图所示：

的直角三角形和一个正方形，进行拼接即可．

，

第18页（共29页）

【点评】此题主要考查了应用作图设计，本题需仔细分析题意，结合图形，利用拼接前后图形的面积相等即可解决问题．

三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．如图，在△ABC中，∠B=∠C=67.5°． （Ⅰ）求sinA的值； （Ⅱ）求tanC的值．

【考点】解直角三角形． 【专题】探究型．

【分析】（1）要求sinA的值，根据三角形内角和可求得∠A的度数，从而可以求得sinA的值； （2）要求tanC的值，只要作辅助线BD⊥AC于点D，然后通过变形，即可求得tanC的值． 【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠B=∠C=67.5°， ∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°， ∴sinA=sin45°=即sinA=

；

，

（2）作BD⊥AC于点D，如下图所示，

第19页（共29页）

∵由（1）可知∠A=45°，设BD=a， ∴AD=a，AB=∵AB=AC， ∴AC=

，

，

=

．

，

，

∴CD=AC﹣AD=∴即tanC=

【点评】本题考查解直角三角形、三角形的内角和、求角的三角函数值，解题的关键是明确题意，找出对应量，求出相应的三角函数值．

20．已知反比例函数y=

（k为常数，k≠1）．

（Ⅰ）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值； （Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；

（Ⅲ）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】探究型．

【分析】（1）设点P的坐标为（m，2），由点P在正比例函数y=x的图象上可求出m的值，进而得出P点坐标，再根据点P在反比例函数y=（2）由于在反比例函数y=值范围即可； （3）反比例函数y=

图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，y随x的增大而

的图象上，所以2=

，解得k=5；

图象的每一支上，y随x的增大而减小，故k﹣1＞0，求出k的取

增大，所以A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2，故可知x1＞x2．【解答】解：（Ⅰ）由题意，设点P的坐标为（m，2）

第20页（共29页）

∵点P在正比例函数y=x的图象上， ∴2=m，即m=2．

∴点P的坐标为（2，2）． ∵点P在反比例函数y=∴2=

（Ⅱ）∵在反比例函数y=∴k﹣1＞0，解得k＞1．

（Ⅲ）∵反比例函数y=

图象的一支位于第二象限，

图象的每一支上，y随x的增大而减小，

，解得k=5．

的图象上，

∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大．

∵点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2， ∴x1＞x2．

【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．

21．已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H． （1）求证：AC⊥BH；

（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．

上取一点E使∠EBC=∠DEC，

【考点】圆周角定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 【专题】几何综合题；压轴题．

【分析】（1）连接AD，由圆周角定理即可得出∠DAC=∠DEC，∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质即可得出结论；

第21页（共29页）

（2）由∠BDA=180°﹣∠ADC=90°，∠ABC=45°可求出∠BAD=45°，利用勾股定理即可得出DC的长，进而求出BC的长，由已知的一对角线段和公共角，根据两对对应角相等的两三角形相似可得三角形BCE与三角形EDC相似，由相似得比例即可求出CE的长． 【解答】（1）证明：连接AD， ∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC， ∴∠DAC=∠EBC， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠DCA+∠DAC=90°， ∴∠EBC+∠DCA=90°，

∴∠BGC=180°﹣（∠EBC+∠DCA）=180°﹣90°=90°， ∴AC⊥BH；

（2）解：∵∠BDA=180°﹣∠ADC=90°，∠ABC=45°， ∴∠BAD=45°， ∴BD=AD， ∵BD=8，∴AD=8，

在直角三角形ADC中，AD=8，AC=10， 根据勾股定理得：DC=6，则BC=BD+DC=14， ∵∠EBC=∠DEC，∠BCE=∠ECD， ∴△BCE∽△ECD， ∴∴CE=

，即CE2=BC?CD=14×6=84， =2

．

【点评】本题考查的是圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．

第22页（共29页）

22．如图，某建筑物BC顶部有釕一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小红在D处观测旗EC=21m，杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°已知点D到地面的距离DE为1.56m，tan47°≈1.07，tan42°≈0.90． 求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位）．参考数据：

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】根据题意分别在两个直角三角形中求得AF和BF的长后求差即可得到旗杆的高度，进而求得BC的高度．

【解答】解：根据题意得DE=1.56，EC=21，∠ACE=90°，∠DEC=90°． 过点D作DF⊥AC于点F．

则∠DFC=90°∠ADF=47°，∠BDF=42°． ∵四边形DECF是矩形． ∴DF=EC=21，FC=DE=1.56， 在直角△DFA中，tan∠ADF=

，

∴AF=DF?tan47°≈21×1.07=22.47（m）． 在直角△DFB中，tan∠BDF=

，

∴BF=DF?tan42°≈21×0.90=18.90（m）， 则AB=AF﹣BF=22.47﹣18.90=3.57≈3.6（m）． BC=BF+FC=18.90+1.56=20.46≈20.5（m）．

答：旗杆AB的高度约是3.6m，建筑物BC的高度约是20.5米．

第23页（共29页）

【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解．

23．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．

要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀多少个队参赛？ 解题方案：

设比赛组织者应邀请x个队参赛， （1）用含x的代数式表示：

那么每个队要与其他 （x﹣1） 个队各赛一场，又由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲对的比赛是同一场比赛，所以全部的比赛一共有 28 场； （2）根据题意，列出相应方程；

x（x﹣1）=28

（3）解这个方程，得； x1=8，x2=﹣7 （4）检验： x2=﹣7（舍去） ；

（5）答： 比赛组织者应邀请8队参赛 ． 【考点】一元二次方程的应用．

【分析】可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有x（x﹣1）场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果． 【解答】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛， （1）用含x的代数式表示：

那么每个队要与其他（x﹣1）个队各赛一场，又由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲对的比赛是同一场比赛，所以全部的比赛一共有28场；

第24页（共29页）

（2）根据题意，列出相应方程： x（x﹣1）=28， （3）解这个方程，得：x1=8，x2=﹣7， （4）检验：x2=﹣7（舍去）；

（5）答：比赛组织者应邀请8队参赛．

故答案为：（x﹣1）；28； x（x﹣1）=28；x1=8，x2=﹣7；x2=﹣7（舍去）；比赛组织者应邀请8队参赛．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．

24．数学活动课上，老师提出这样一个问题：如果AB=BC，∠ABC=60°，∠APC=30°，连接PB，那么PA、PB、PC之间会有怎样的等量关系呢？经过思考后，部分同学进行了如下的交流： 小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P在BA延长线上（如图1），得到了一个猜想：PA2+PC2=PB2．小东：我假设点P在∠ABC的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△PAB后得到△P′CB，并且可推出△PBP′，△PCP′分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法． 这时老师对同学们说，请大家完成以下问题： （1）如图2，点P在∠ABC的内部， ①PA=4，PC=

，PB= 2 ．

②用等式表示PA、PB、PC之间的数量关系，并证明．

（2）对于点P的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明．

【考点】几何变换综合题．

【分析】（1）根据结论代入即可填写；

（2）根据△ABP≌△CBP′得出PA=P′C，∠A=∠BCP′，即可得出PA、PB、PC之间的数量关系； （3）当点P在CB的延长线上时，得出PA2+PB2=PC2．

第25页（共29页）

【解答】解：（1）①PB=故答案为：

；

=．

②PA2+PC2=PB2，

证明：作∠PBP′=∠ABC=60°，且使BP′=BP，连接P′C、P′P，如图1：

∴∠1=∠2， ∵AB=CB，

在△ABP与△CBP′中，

，

∴△ABP≌△CBP′， ∴PA=P′C，∠A=∠BCP′， 在四边形ABCP中， ∵∠ABC=60°，∠APC=30°， ∴∠A+∠BCP=270°， ∴∠BCP′+∠BCP=270°，

∴∠PCP′=360°﹣（∠BCP′+∠BCP）=90°， ∵△PBP′是等边三角形， ∴PP′=PB，

在Rt△PCP′中，P'C2+PC2=P'P2， ∴PA2+PC2=PB2；

（2）点P在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例： 如图2，当点P在CB的延长线上时，

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结论为PA2+PB2=PC2．

【点评】本题考查了几何变换问题，本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及三角形全等的性质．

25．如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）． （1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题．

【分析】（1）由抛物线过A、B、C三点可求出抛物线表达式；

（2）假设存在，设出P点，解出直线CD的解析式，根据点P到CD的距离等于PO可解出P点坐标；

（3）应分两种情况：抛物线向上或下平移，设出解析式，代入点求出平移的单位长度． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4）． 把C（0，8）代入，得a=﹣1． ∴y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣1）2+9， 顶点D（1，9）；

（2）假设满足条件的点P存在．依题意设P（2，t）．

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由C（0，8），D（1，9）求得直线CD的解析式为y=x+8， 它与x轴的夹角为45°．

设OB的中垂线交CD于H，则H（2，10）． 则PH=|10﹣t|，点P到CD的距离为又∴

． ．

． ）．

．

平方并整理得：t2+20t﹣92=0，解之得t=﹣10±8∴存在满足条件的点P，P的坐标为（2，﹣10±8

（3）由上求得E（﹣8，0），F（4，12）．

①若抛物线向上平移，可设解析式为y=﹣x2+2x+8+m（m＞0）． 当x=﹣8时，y=﹣72+m． 当x=4时，y=m． ∴﹣72+m≤0或m≤12． ∴0＜m≤72．

②若抛物线向下平移，可设解析式为y=﹣x2+2x+8﹣m（m＞0）． 由

有﹣x2+x﹣m=0． ∴△=1﹣4m≥0， ∴m≤．

∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长．

，

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【点评】此题考查待定系数求抛物线解析式，第二问考查垂直平分线性质，利用距离相等解题，最后一问考抛物线的平移，要注意已知条件和技巧．

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