小学奥数经典专题点拨：速算公式

小学奥数经典专题例题讲解

速算公式

【首同末合十的两位数相乘公式】若两个两位数的十位数字都是a，个位上的数分别为b和c，且b+c=10，则这样的两个数便是“首同末合十”的两个两位数，它们的积为

（10a+b）（10a+c）=（10a）2+10ab+10ac+bc

=102a2+10a（b+c）+bc

=100a2+100a+bc

＝a（a+1）×100+bc。

根据这一公式，两个“首同末合十”的两位数相乘，可以先把首位数乘以比它大1的数的积的100倍，然后在所得的结果后面，添上两个末位数的积。

例如，72×78=（7×8）×100+2×8

=5616

45×45=（4×5）×100+5×5

=2025

首同末合十的计算公式，也可以推广到两个三位数、两个四位数相乘的速算中去。例如

256×254

可取a=25，b=6，c=4，再运用公式计算，得

256×254=[25×（25+1）]×100+6×4

=[25×26]×100+24

=65024

又如，155×155=（15×16）×100+5×5

=24025

【末同首合十的两位数相乘公式】若两个两位数十位上的数字分别是a和b，且a+b=10，个位上的数字都是c，则这样的两个数便是“末同首合十”的两个两位数，它们的积为

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（10a+c）（10b+c）=102ab+10ac+10bc+c2

＝100ab+10c（a+b）+c2

=100ab+100c+c2

=（ab+c）×100+c2。

根据这一公式，两个“末同首合十”的两位数相乘，可以先把两个首位数字的乘积加上一个末位数，再乘100然后再在所得的结果后面，添上末位数自乘的积（末位数的平方）。

例如，34×74=（3×7+4）×100+42

=25×100+16

=2516

【两个末位是1的两位数相乘公式】设两个末位都是1的两位数，十位上的数字分别是a和b，则它们的积是

（10a+1）（10b+1）＝100ab+10a+10b+12

＝10a×10b+（a+b）×10+1

由这一公式可知，两个末位是1的两位数相乘，可以先把两个首位数值相乘，然后在所得的结果后面添上两个首位数的和（和满十时要进位）的10倍，最后在后面添上1。

例如，51×71=50×70+（5+7）×10+1

=3500+12091

=3621。

这样的题目，口算的方法可以是：

【两个首位是1的两位数相乘公式】设两个首位为1的两位数，个位上的数字分别是a和b，则它们的积是：

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（10+a）（10+b）＝100+10a+10b+ab

=（10+a+b）×10+ab。

由这一公式可知，两个首位是1的两位数相乘，可以把一个数加上另一个数的末位数，所得的结果乘以10以后，再加上两个末位数的乘积。 例如，17×16=（17+6）×10+7×6

=230+42

=272。

【接近100的两个数相乘公式】接近100的两个数相乘，可以分三种情况来寻找它的速算方法。

（1）两个超过100的数相乘。

设两个超过100的数分别为a和b，它们与100的差分别为h和k，则a=100+h，b=100+k。它们的积是

a·b＝（100+h）（100+k）

=（100+h）×100+100k-hk

=（100+h+k）×100+hk

=（a+k）×100+hk。

由这一公式可知，两个超过100的数相乘，可以先把一个数加上另一个数与100的差，然后将所得的结果乘以100以后，再加上两个因数分别与100的差（补充数）的乘积。

例如，108×112=（108+12）×100+8×12

=12000+96

=12096。

快速口算的思考方法可以是：

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又如，103×102=（103+2）×100+3×2

=10500+6

=10506

快速口算的思考方法可以是

（2）两个不足100的数相乘。

设两个不足100的数一个为a=100-h，另一个为b=100-k，则它们的积是

a· b=（100－h）（100－k）

=（100-h）×100-100k+hk

=（100-h-k）×100+hk

=（a-k）×100+hk。

由这个公式可知，两个不足100的两位数相乘，可以先从一个因数中减去另一个因数与100的差，然后将所得结果乘以100以后，再加上两个因数分别与100的差（两个补充数）的乘积。

例如，89×97=（89-3）×100+11×3

=8600+33

=8633

快速口算的思考方法可以是

又如，89×88=（89-12）×100+11×12

=7700+132

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=7832。

快速口算的思考方法可以是

（3）一个超过100，一个不足100的两个数相乘。

设一个因数a比100大h，即a=100+h；另一个因数b比100小k，即b=100-k，则它们的积是

a·b=（100+h）（100-k）

=（100+h）×100-100k+hk

=（100+h-k）×100+hk

＝（a-k）×100-hk。

由这个公式可知，一个超过100、一个不足100的两个数相乘，可以先从大于100的因数中，减去另一个因数与100的差，然后将所得的结果乘上100以后，再减去两个因数分别与100之差（两个补充数）的乘积。 例如，104×97=（104-3）×100-4×3

=10100-12

=10088

快速口算思考方法可以是

【平方差公式】两个数的和，乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差。平方差公式用字母表达就是：

（a+b）（a-b）=a2-b2

运用平方差公式计算，可以使一些题目的计算变得比较简便、快速。例如

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362-262=（36+26）×（36-26）

=62×10=620

672-522=（67+52）×（67-52）

=119×15

=1190+595=1785

872-762=（87+76）×（87-76）

=163×11

=1630+163

=1793

这个公式反过来，也可以运用于两数相乘的速算。但其前提是：两个因数必须能化成同样的两个数的和与差。例如

17×23=（20-3）×（20+3）

=（20+3）×（20-3）

=202-32

=400-9

=391

94×86=（90+4）×（90-4）

=902-42

=8100-16

=8084

以上两例的特点是：首位相差1，末位数字之和是10。这样两个数相乘，可用较大数的十位数值与它的个位数字的和，去乘以它们的差，然后运用平方差公式进行速算。

【十位数相同的两位数相乘公式】十位数相同的两个两位数相乘，可先将一个乘数的个位数字加到另一个乘数上，再乘十位数值，然后加上两个个位数字的积。即

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（10a+b）（10a+c）=（10a+b+c）×10a+bc

例如，43×46=（43+6）×40+3×6

=1978

84×87=（84+7）×80+4×7

=7308

【一因数两数字和是10，另一因数为11的倍数的两数乘法公式】一个因数的两个数字为a和b，且a+b=10，另一个因数为11的倍数，这样的两个两位数相乘，可先将前一个乘数的十位数字加1，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以100，然后加上两个个位数之积。即

（10a+b）（10c+c）=（a+1）c×100+bc。

例如，73×44＝（7+1）×4×100+3×4

=3212。

【个位数相同的两位数相乘公式】个位数相同的两个两位数相乘，可先将两个十位数字相乘，再乘以100，再加上一个因数与另一个因数十位数值的和，然后乘以另一因数的个位数。即

（10a+c）（10b+c）=100ab+（10a+c+10b）c。

例如，42×32=4×3×100+（42+30）×2=1344。

【几十几与十几相乘公式】几十几与十几相乘，可将几十几的十位数值乘以十几的个位数数字，再加上几十几的10倍，然后加上两个个位数字之积。即

（10a+b）（10+c）=10a×c+（10a+b）×10+bc。

例如，65×17=60×7+650+5×7

=1105。

【末两位为25的三位数自乘公式】末两位为25的三位数自乘时，可以用首位数字的10倍与5的和，去乘以首位数字的1000倍，然后加上625。即

（100a+25）2=（10a+5）×1000a+625。

例如，7252=（70+5）×7000+625

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=525625

如果直接写答案，可以是

7252=525 625

↑ ↑

75×7 252

又如，3252=105 625

↑ ↑

35×3 252

【末两位为75的三位数自乘公式】 末两位为75的三位数自乘时，可用首位数字的10倍与5的和，去乘以首位数字与1的和的积的1000倍，再加上625。即

（100a+75）2=（10a+5）×（a+1）×1000+625。

例如，8752=（80+5）×（8+1）×1000+625

=765625

如果直接写答案，可以是

8752=765 625

↑

85×9

又如，3752=140 625

↑

35×4

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