2013-2014学年北京市西城区高一下学期期末考试数学试题

北京市西城区2013-2014学年下学期高一年级期末考试数学试卷

（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 不等式x(x?2)?3的解集是（ ） （A）{x?3?x?1}

（B）{x?1?x?3} （D）{xx??1,或x?3}

（C）{xx??3,或x?1}

2. 在等比数列{an}中，若a1a2a3?—8，则a2等于（ ） （A）—

8 3（B）—2

（C）?8 3

（D）?2

3. 总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成。利用下面的随机数表选取4个个体。选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（ ）

7806 6572 0802 6314 2947 1821 9800 3204 9234 4935 3623 4869 6938 7481 （A）02

（B）14

（C）18

（D）29

4. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

（A）1

（B）5

2

2（C）14

2 （D）30

5. 在△ABC中，若sinA?sinB?sinC，则△ABC的形状是（ ）

1

（A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）无法确定

x?5?0的解集为P。若x0?P，则“x0?1”的概率为（ ） x?11112（A） （B） （C） （D）

43237. 设a?0,b?0，则下列不等式中不恒成立的是（ ） ．

6. 已知不等式（A）a?（C）

1≥2 a

（B）a?b≥2（a?b?1） （D）a?b≥2ab

33222a?b≥a?b

8. 已知数列A：a1，a2，…，an（0?a1?a2?…?an,n?3）具有性质P：对任意

i,j(1?i?j?n),aj?ai与aj?ai两数中至少有一个是该数列中的一项。给出下列三个结论：

①数列0，2，4，6具有性质P； ②若数列A具有性质P，则a1?0；

③若数列a1，a2，a3（0?a1?a2?a3）具有性质P，则a1?a3?2a2。 其中，正确结论的个数是 （A）3

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为_______________。

10. 下图是甲，乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况的茎叶图。那么甲、乙两人得分的标准差s

甲

（B）2 （C）1 （D）0

___________s乙（填“<”,“>”或“=”）。

11. 已知{an}是公差为d的等差数列，a1?1。如果a2·a3?a5，那么d的取值范围是______________。

12. 从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{2，4，6}中随机选取一个数为b，则b?a的

2

概率是______________。

13. 若实数a,b满足2?2?1，则a?b的最大值是______________。

ab?x?y?4?0,??t?x?t?14. 设M为不等式组?x?y?4?0,所表示的平面区域，N为不等式组?所表示的

0?y?4?t??y?0?平面区域，其中t?[0,4]。在M内随机取一点A，记点A在N内的概率为P。 （ⅰ）若t?1，则P=______________； （ⅱ）P的最大值是______________。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分）

在等差数列{an}中，a2??1,2a1?a3??1。 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设{an}的前n项和为Sn。若Sk??99,求k。 16. （本小题满分13分） 在△ABC中，A??4，B??3，BC?2。

（Ⅰ）求AC的长； （Ⅱ）求AB的长。 17. （本小题满分14分）

经统计，某校学生上学路程所需要时间全部介于0与50之间（单位：分钟）。现从在校学生中随机抽取100人，按上学所需时间分组如下：第1组(0,10]，第2组(10,20]，第3组(20,30]，第4组(30,40]，第5组(40,50]，得到如图所示的频率分布直方图。

（Ⅰ）根据图中数据求a的值；

（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6人参与交通安全问卷调查，应从这三组中各抽取几人？

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若从这6人中随机抽取2人参加交通安全宣传活动，求第4组至少有1人被抽中的概率。

3

18. （本小题满分13分） 已知函数f(x)?a(x?2)(x?a?1a)，其中a?0。 （Ⅰ）若a?1，求f(x)在区间[0，3]上的最大值和最小值； （Ⅱ）解关于x的不等式f(x)?0。 19. （本小题满分14分）

已知数列{a*n}的前n项和Sn?3n?1，其中n?N。 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}满足b1?1，bn?3bn?1?an(n?2)， （ⅰ）证明：数列?

?bn?

?3n?1?为等差数列； ?

（ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。 20. （本小题满分13分）

在无穷数列{a*n}中，a1?1，对于任意n?N，都有an?N*，an?an?1 。使得an?m成立的n的最大值为bm。

（Ⅰ）设数列{an}为1，3，5，7，…，写出b1,b2,b3的值；

（Ⅱ）若{an}为等比数列，且a2?2，求b1?b2?b3?…?b50的值； （Ⅲ）若{bn}为等差数列，求出所有可能的数列{an}。

4

设m?N*，记 高一数学参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 1. A；2. B；3. D；4. C；5. B；6. B；7. D；8. A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 9. 73.1； 10. >； 11. （0，

1331）；12. ； 13. ?2；14. ， 2582注：14题第一问2分，第二问3分。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分。 15. （本小题满分13分）

（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d。

?a1?d??1,依题意，得?。

3a?2d??1?1解得a1?1，d??2。

【4分】

【6分】

【8分】

所以数列{an}的通项公式为an?a1?(n?1)d??2n?3。

（Ⅱ）解：Sn?n(a1?an)n(?2n?4)???n2?2n。 222 【10分】

令Sn??k2?2k??99，即k?2k?99?0。 解得k?11，或k??9（舍去）。

16. （本小题满分13分） （Ⅰ）解：由正弦定理可得所以AC?

【12分】 【13分】

ACBC?， sinBsinA

【3分】 【6分】

BC?sinB?6

sinA（Ⅱ）解：由余弦定理，得AC?AB?BC?2AB?BC?cosB，

5

222【9分】

化简为AB?2AB?2?0，

2

【11分】 【13分】

解得AB?1?3，或AB?1?3（舍去）。

17. （本小题满分14分）

（Ⅰ）解：因为（0.005+0.01+a+0.03+0.035）?10?1, 所以a?0.02。

【2分】 【3分】

（Ⅱ）解：依题意，第3组的人数为0.3?100?30，第4组的人数为0.2?100?20，第5组的人数0.1?100?10，所以这三组共有60人。

【4分】

【5分】

利用分层抽样的方法从这60人中抽取6人，抽样比为所以在第3组抽取的人数为30?的人数为10?

61?。 601011?3，在第4组抽取的人数为20??2，在第5组抽取1010

【8分】

1?1。 10

（Ⅲ）解：记第3组的3人为A1,A2,A3，第4组的2人为B1,B2,第5组的1人为C1。 从6人中抽取2人的所有情形为：（A1,A2）,（A1,A3）,（A1,B1），（A1,B2），（A1,C1），（A2,A3），（A2,B1），（A2,B2），（A2,C1），（A3,B1），（A3,B2），（A3,C1），（B1,B2），（B1,C1），（B2,C1），共15种可能。

【11分】

其中第4组的2人中，至少有1人被抽中的情形为：（A1,B1），（A1,B2），（A2,B1），（A2,B2），（A3,B1），（A3,B2），（B1,B2），（B1,C1），（B2,C1），共9种可能。

【13分】

【14分】

所以，第4组至少有1人被抽中的概率为P?18. （本小题满分13分）

93?。 1552（Ⅰ）解：a?1时，f(x)?(x?2)x?(x?1)?1.

【1分】 【2分】

所以，函数f(x)在（0，1）上单调递减；在（1，3）上单调递增。

6

所以f(x)在[0，3]上的最小值为f(1)??1。 又f(3)?f(0),

所以f(x)在[0，3]上的最大值为f(3)?3。

【3分】

【4分】

（Ⅱ）解：（1）当a?0时，原不等式同解于(x?2)(x?a?1)?0。 a 【5分】

a?1a?1??0, aaa?1?2, 所以 a因为2?

【6分】 【7分】 【8分】

a?1}。 aa?1)?0。 （2）当a?0时，原不等式同解于(x?2)(x?aa?1a?1?由2?，得： aaa?1①若?1?a?0，则2?，

aa?1此时，f(x)?0的解集为{x2?x?}。

a此时，f(x)?0的解集为{xx?2,或x?②若a??1，原不等式无解。 ③若a??1，则2?

【10分】 【11分】

a?1， aa?1?x?2}。 a

【13分】

此时，f(x)?0的解集为{x综上，当a?0时，不等式的解集为{xx?2,或x?为{x2?x?{xa?1}；当?1?a?0时，不等式的解集a；当a??1时，不等式的解集为a?1}；当a??1时，不等式的解集为?aa?1?x?2}。 a19. （本小题满分14分）

（Ⅰ）解：因为数列{an}的前n项和Sn?3?1， 所以an?Sn?Sn?1?(3?1)?(3nn?1n?1)?2.3n?1(n?2)。

【2分】 【3分】 【4分】

因为n?1时，a1?S1?2，也适合上式， 所以an?2.3n?1(n?N*)。

7

（Ⅱ）（ⅰ）证明：当n?2时，bn?3bn?1?2.3n?1， 将其变形为

bnbn?1bnbn?1??2??2。 ，即n?1n?2n?1n?23333 【6分】

所以，数列?

b1?bn?

?1，公差为2的等差数列。 是首项为0n?1?3?3?

bn?1?2(n?1)?2n?1。 n?13

【8分】

（ⅱ）解：由（ⅰ）得，

所以bn?(2n?1)?3n?1(n?N*)。

【10分】

因为Tn?1?30?3?31?5?32???(2n?1)?3n?1， 所以3Tn?1?31?3?32?5?33???(2n?1)?3n。

【12分】

两式相减得2Tn??1?2(31?32???3n?1)?(2n?1)?3n。 整理得Tn?(n?1)?3n?1(n?N*)。 20. （本小题满分13分）

（Ⅰ）解：b1?1，b2?1，b3?2。

【3分】

【14分】

（Ⅱ）解：因为{an}为等比数列，a1?1，a2?2， 所以an?2n?1，

【4分】

因为使得an?m成立的n的最大值为bm，

所以b1?1，b4?b5?b6?b7?3，b8?b9???b15?4，b16?b17???b31?5，b2?b3?2，

b32?b33???b50?6，

【6分】

【8分】

所以b1?b2?b3???b50?243。

（Ⅲ）解：由题意，得1?a1?a2?a3???an??， 结合条件an?N*，得an?n。

【9分】

又因为使得an?m成立的n的最大值为bm，使得an?m?1成立的n的最大值为bm?1，

8

所以b1?1，bm?bm?1(m?N*)。 设a2?k，则k?2。 假设k?2，即a2?k?2，

则当n?2时，an?2；当n?3时，an?k?1。 所以b2?1，bk?2。 因为{bn}为等差数列， 所以公差d?b2?b1?0， 所以b*n?1，其中n?N。 这与bk?2(k?2)矛盾， 所以a2?2。

又因为a1?a2?a3???an??， 所以b2?2，

由{bn}为等差数列，得b*n?n，其中n?N。 因为使得an?m成立的n的最大值为bm， 所以an?n，

由an?n，得an?n。

9

【10分】

【11分】

【12分】

【13分】

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