2018年武汉轻工大学动物科学与营养工程学院314数学(农)之工程数

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2018年武汉轻工大学动物科学与营养工程学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化

五套模拟题（一） ......................................................................................................................... 2 2018年武汉轻工大学动物科学与营养工程学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化

五套模拟题（二） ....................................................................................................................... 13 2018年武汉轻工大学动物科学与营养工程学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化

五套模拟题（三） ....................................................................................................................... 22 2018年武汉轻工大学动物科学与营养工程学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化

五套模拟题（四） ....................................................................................................................... 29 2018年武汉轻工大学动物科学与营养工程学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化

五套模拟题（五） (36)

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考研强化五套模拟题（一）

说明：根据本校该考试科目历年考研命题规律，结合出题侧重点和难度，精心整理编写。考研强化检测使用。共五套强化模拟题，均含有详细答案解析，考研强化复习必备精品资料。

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一、解答题

1．

设为三维单位列向量，并且

记证明：

（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解；

（Ⅱ）A

相似于矩阵

【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且则

故Ax=0有非零解.

（Ⅱ）由（Ⅰ

）知

故A

有零特征值

的非零解即为对应的特征向量.

又

且

故为A 的特征值

，

为对应的特征向量. 另外，由

可知为两个正交的非零向量，从而线性无关.

故为A 的3个线性无关的特征向量，

为4的2重特征值

，为4的单重特征值.

记

则即A

相似于矩阵

2．

已知三元二次型

其矩阵A 各行元素之和均为0,且满足

其中

（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换；

（Ⅱ）若A+kE :五正定，求k 的取值.

【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,

即，由此可知是A 的特征

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第 3 页，共 42 页 值

，

是的特征向量.

由

可知-1是A 的特征值

，是1的线性无关的特征向量.

因为不正交，将其正交化有

再单位化，可得

那么令

则有

（Ⅱ）因为A 的特征值为-1,-1,0,所以A+kE 的特征值为k-l ,k-1，k ,由A+kE 正定知其特征值都大于0,

得

3． 设三阶方阵A 、B

满足

其中E 为三阶单位矩阵.

若求行列

式的值. 【答案】

由矩阵

知则

.可逆.

又

故

即

所以

即

而

故

4． 已知A

是矩阵，齐次方程组

的基础解系是

又知齐次方程组Bx=0

的基础解系是

（Ⅰ）求矩阵A ;

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（Ⅱ

）如果齐次线性方程组

与有非零公共解，求a 的值并求公共解.

【答案】（1

）记

由

知

贝腕阵

的列向量（即矩阵

A

的行向量）是齐次线性方程组

的解.

对

作初等行变换，有

得到

的基础解系为

所以矩阵

（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0

的非零公共解为则既可由线性表出，也可

由

线性表出，

故可设

于是

对

作初等行变换，有

不全为

当a=0时，

解出

因此，Ax=0与Bx=0

的公共解为其中t 为任意常数.

二、计算题

5． （1

）设

求

（2

）设

求

【答案】因A 是对称阵，故正交相似于对角阵

⑴由

求得A

的特征值为

对应

解方程（A-E ）x=0，由

得单位特征向量

对应

解方程（A-5E ）x=0，由

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7gwq.html