薛城四中褚召祥圆和圆的位置关系复习

课 题 时 间 圆和圆的位置关系 2013年5月7日 课 型 节 次 复习课 第1、2节 课 时 授 课 人 1 褚召祥 教学 目标 知识目标： （1）掌握圆和圆的五种不同的位置关系，根据两圆不同的位置关系，写出两个圆半径的和或差与圆心距的大小关系，会判断两圆的位置关系。 （2）掌握两圆相切、两圆相交的性质，能够利用有关性质熟练解题。 能力目标： （1）让学生感受数学与生活的紧密联系，能用数学知识来分析处理基本数学问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。 （2）能够用数形结合的思想来思考和解决数学问题，培养学生的抽象、概括和归纳能力。 熟练掌握圆与圆的五种位置关系的概念及各种位置关系中圆心距与半径的关系，两圆重点 相切的性质。. 难点 准确运用知识解决有关数学问题 本节课主要采用知识回顾-----题组练习-----例题讲解-----归纳总结-----课教法、学法指导 堂检测----布置作业的课堂教学模式.即以问题串的方式帮助学生总结本专题的知识点，通过小题组练习来巩固主要内容，达到巩固基础、提升能力的目的.同时，在师生互动的学习过程中，让学生体验成功的喜悦. 教学 掌握圆与圆的五种位置关系的概念及两圆的圆心距、半径的大小与两圆的位置关系.

关键： 课前 准备 教师：圆规、三角板、答题纸. 学生：圆规、教材、答题纸. 教学过程

一、明确考试要求

师：同学们，圆和圆的位置关系是初中数学的重要内容，在中考中经常和平行四边形、三角形、函数等内容相联系，今天这节课我们就来复习考点三：圆和圆的位置关系（板书课题）.首先请同学们了解一下中考对这部分内容的要求：(可以让学生齐读一下此部分的中考要求)

1. 探索并了解圆和圆的位置关系.

2. 探索并掌握两圆的圆心距d与两圆的半径R，r之间的关系.

设计意图：让学生明白圆和圆的位置关系的重要性，以及中考对这一部分的要求，使学生做到心中有数，有的放矢，在这里起到一个总领作用.

二、回顾基础知识

师：下面请同学们用五分钟的时间完成以下问题.

（注：教案中出现的知识点及后面题组中的题目都以答题纸的形式出现） 1.请说出圆与圆的五种位置关系： 2.圆与圆的位置关系的性质和判定：

设两个圆的半径为R和r(R>r),圆心距为d,则：

1、两圆内切 . 两圆相切 2、两圆外切 . 3、两圆相交

.

4、两圆外离

两圆相离 . 5、两圆内含

.

3.如果两圆相切，连心线 ；如果两圆相交，连心线 . 设计意图：第1个题目考查圆和圆的五种位置关系，第2个题目考查的是两圆的圆心距d与两圆的半径R，r之间的关系，第3小题是让学生掌握两圆相切相交时连心线的重要性质，让学生在解决这些问题的过程中，回顾本考点的基础知识.通过小组合作及时纠错、讲解、补充，让学生加深对本考点知识的理解，体会小组合作的必要性.在学生充分思考、交流及查找相应课本的基础上，让学生在课前梳理本章的知识框架，为后面的题组训练打好基础，以帮助学生更好的掌握本部分知识.

三、组织题组训练

考点一．圆与圆的位置关系

1.如图，是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是（ ）

A．内含 B．相交 C．相切 D．外离

分析：从图形可以看出，图中两轮所在圆的位置关系是外离，故，选择D.

点评：以北京奥运会自行车比赛项目标志为载体，设计题目，内容新颖，寓教于乐，能够使同学们在玩中学，学中玩，从而增长知识，

2.右图是一个“众志成城，奉献爱心”的图标，图标中两圆的位置关系是（ ）

A．外离 B．相交 C．外切 D．内切

分析：由图可以发现，图标中两圆的位置关系是外切，故选择C. 点评：以社会热点问题为载体，考查了同学们关注社会，关注生活的能力。 3.两圆相切是指这两个圆__________或__________两种.

分析：圆的相切包括外切和内切两种.

点评:此题是为了加强学生对相切的认识,增加学生对数学严密性的理解.

设计意图：让学生在直观感知上认识圆与圆的五种位置关系，同时让学生明白生活中处处有数学，数学的美体现在生活的方方面面.

考点二．两圆的圆心距d与两圆的半径R，r之间的关系.

1．两圆半径分别为3和4，圆心距为7，则这两个圆( )

Ａ．外切 Ｂ．相交 Ｃ．相离 Ｄ．内切

分析：利用圆心距与两圆半径的关系：r+R=d，可知这两个圆外切，故，选择A. 2．⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2＝3，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ ） A.内含 B. 内切 C.相交 D.外切

分析：设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2，圆心距为d，因为d=r1－r2=5－2=3，所以，⊙O1和⊙O2的位置关系是内切，故选择B.

3．已知两圆的半径分别为3和4，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是( ) A、内切 B、相交 C、外切 D、外离

分析：设两圆的半径分别为r1和r2，圆心距为d，因为d=8，r1=3，r2=4，d＞r1+r2，所以，这两个圆的位置关系是外离，故选择D.

点评：由以上几例可以知道：熟练掌握圆与圆位置关系的判定方法是解答问题的关键. 设计意图：让学生体会通过两圆的圆心距d与两圆的半径R，r之间的关系来求出两圆的位置关系过程，加强学生对这一部分知识的理解.

考点三．以开放性问题为载体设计题目

1．相交两圆的半径分别为6cm和8cm，请你写出一个符合条件的圆心距为 cm. 答案不唯一.

分析：本题主要考查同学们逆向思维的能力，依据题意，我们知道这两圆的位置关系是相交的，并且给出了半径分别是6cm和8cm，而相交两圆的半径与圆心距的关系是：r1－r2＜d＜r1+r2，因此，只要填一个大于2且小于14的实数均可.

解：答案不唯一，如，10等.

2.两圆半径分别为R和R(R＞R)，圆心距为d，且满足R2+d2-R2=2Rd，这两个圆的位置关系是（ ）

（例2题）

A．外切 B．相交 C．内切 D．外切或内切

分析：把关系式R2+d2-R2=2Rd，整理为(R-d+R)(R-d-R)=0，有R-d+R=0或R-d-R=0；所以有d=R+R或d=R-R．

故两圆的位置关系是外切或内切．应选(D)

3.两圆的半径长分别为R、（R＞r）r，圆心距为d，若关于x的一元二次方程式x-2rx+(R-d)=0有两个相等的实根，则两圆的位置关系是( )

A、内切 B、外切 C、相交 D、相切 错解：∵方程有两个相等的实数根

22

∴⊿=4r-4（R-d）=0，可化为 22

r=（R-d） 则r=R-d，即

d=R-r ∴两圆内切，因此，选择A

22

评析：由r=（R-d）应得r=±（R-d） 即d=R-r或d=R+r，因此，两圆相切 正确答案应选D

2

4.已知⊙O1、⊙O2的半径R、r是方程x-8x+6=0的两个根，圆心距d为2 10 ，则这两圆的位置关系为

错解：由根与系数的关系可得 R+r =8 ∵d＜R+r ∴两圆相交

评析：上面的解法只考虑了d与R+r的关系没有注意d与|R-r|的大小关系. 正解：由根与系数的关系可得 R+r=8＞d Rr=6

2 22

∴|R-r|=（R-r）=（R-r）-4Rr = 8-4×6 =2 10 =d ∴两圆内切. 小结一下：总之在研究两圆位置关系时，两圆半径的差与两圆半径之和这两个数据起着非常重要的作用．为了形像化地记忆，现推荐一种方法．

2

2

可叫做两圆位置关系的数轴记法．只要知道圆心距、两圆半径差、两圆半径和这三个

数据就可在上面迅速查出两圆的位置关系．

处理方式：本组题目由学生独立完成，教师注意巡视，个别辅导，最后由一到两个成绩比较优异的学生汇报答案.对于每个问题教师注意点拨总结方法，让学生学生学习的方法这才是最好的教学方法.

设计意图：通过以上三组问题的复习，让学生加深巩固了圆和圆的位置关系及两圆的圆心距d与两圆的半径R，r之间的关系.同时也注意运用方程和数形结合的数学思想方法，把代数与几何有机地结合在一起，体会数学的有趣性和美感.

四、典型例题分析

例1、已知：两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过点O2，求∠O1AB的度数.

A

O1 O B

解：连接O1O2和O2A ∵⊙O1经过O2 ∴O1O2=O1A=O2A ∴∠O1AO2=60° ∵O1A=O1B，O2A=O2B

?O1O2?ABOA?OB

O2 1∴∠O1AB=2∠O1AO2=30°

简评:在解决有关相交两圆的问题时，常常添加以下几种辅助线：连心线、公共弦、连结交点与圆心.从而可以把两圆半径、公共弦长的一半、圆心距集中到同一个三角形中，利用三角形的有关知识加以解决.

例2 如图，⊙ O1和⊙ O2与相交于A,B,点O1在⊙ O2上,AC是⊙ O1的直径，CB的延长线与⊙ O2相交于D连接AD. 求证：（1）AD是⊙ O2的直径；

（2）AD=CD.

分析：（1）由于AC是⊙ O1的直径；连接AB,则AB⊥BC.

（2）要证明AD=CD,只需证明∠DAC=∠C. 证明（1）连接AB. ∵AC是⊙ O1的直径， ∴∠ABC=90°, ∴∠ABD=90°, ∴AD是⊙ O2的直径. (2)由(1)得, O2为AD的中点

A O1 C O2

D B

又∵O1为AC的中点 ∴O1 O2∥CD ∴∠A O1 O2=∠C 又∵ O2 A= O1 O2 ∴∠DAC=∠A O1 O2 ∴∠DAC=∠C AD=CD.

简评:解决两圆相交的问题时,常作两圆的连心线或公共弦.

例3 如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管，两两相切堆放在一起，则其最高点到地面的距离是 ．

分析：要求最高点到地面的距离。就要求出点O2到连心线O1、O3的距离． 解：如图所示添加辅助线，由题意知⊙O1，⊙O3与地面相切，设切点为A、B，则四边形O1ABO3为矩形． ∴O1O3距地面0.5米．

∵⊙O1，⊙O2，⊙O3两两相切，∴△O1O2O3为等边三角形．

O2 O1 O3 H A B 点评：计算时，要注意找齐题目中所有的“相切”(包括直线和圆的相切)．挖掘隐含的数量关系，灵活运用解直角三角形的知识．

设计意图：圆和圆的位置关系在实际生活中的应用非常广泛，通过这三个例题，使学生感

受圆和圆的位置关系在解决问题时的应用价值，体会几何问题解决问题方法的多样性，并能选出简洁明了的证明方法，同时培养学生独立思考，合作交流的意识和有条理的表达能力.

五、课堂归纳总结

师：通过本节课的学习，你都复习了哪些数学知识，运用了哪些数学思想方法？你还有什么疑难问题吗？请你先想一想，再小组间说一说.(学生先独立思考，小组交流然后由学生口答，教师同时播放幻灯片师生共同完成归纳小结) 友情提示

1．求“圆心距”时要注意两圆心位于公共弦 和 两种情况，不要漏解！ ．．．．2．解决相切圆问题时要连结 ，并将两圆问题“转化”为 问题． 设计意图：鼓励学生结合本节课的学习内容，谈自己对本节课的感受.学生把自己这一节课的学习所得进行交流，互相补充，把自己存在的问题交由大家一起讨论，共同解决问题.

六、课堂目标检测 A组必做

1．抢答判断

（1）．如果这两个圆只有一个公共点，那么这两个圆外切.（ ） （2）．两圆相交时，公共弦垂直平分圆心距.（ ）

（3）．两个圆的圆心距小于两圆半径之和时这两个圆相交.（ ） 2、填空，独立计算

12d?0没有实数根，其中R、r4分别为⊙O1、⊙O2的半径，d为圆心距，则⊙O1、⊙O2二者之的关系为 ． （R?r）x?（1）.已知关于x的一元二次方程x?2⑵．两圆的半径是方程x-3x+2=0的两根，圆心距为2，这两圆的位置关系是 ．

⑶．若两圆相切，其中一圆的半径为2，圆心距为5，则另一圆的半径为 ． ⑷．两圆的半径分别是3和2，当它们既不相交也不相切时，则它们的圆心距d为 ．

设计意图：Ａ组题目为必做题，要求学生在8～10分钟内完成.规定时间和内容，一方面可以了解学生对本节课所复习内容的掌握情况，同时也可以培养学生快速准确解答问题的能力. B组选做

1．⊙O1和⊙O2 相交于A，B两点，且⊙O1经过点O2 ，若∠AO1B=60°，那么∠AO2B的度数是 ．

2．⊙O1和⊙O2 外切，半径分别是1,3，半径是5且与⊙O1和⊙O2 都相切的圆共可以作出 个．

3．两圆半径分别为4和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则d的取值范围为

2

．

4．一块铁板，上面有A，B，C三个点，经测量，AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，以各顶点为圆心的三个圆两两外切．求各圆的半径．

设计意图：Ｂ组问题为学有余力的同学设计，努力使每个学生在课堂上都有所发展，也充分利用课堂时间提高了优秀生解决问题的能力，这一问题也可以放到课下作为其他学生的课后作业.

七、分层布置作业、 基础题：

1．⊙O1和⊙O2的半径分别为3 cm和4cm，若两圆外切，则d＝_____；若两圆内切；则d＝__ __．

2．如果两个圆相切，那么切点和两圆的圆心_____．

3．半径为5 cm的⊙O外一点P，则以点P为圆心且与⊙O相切的⊙P能画_______个． 提高题：

4．两圆半径之比为3：5，当两圆内切时，圆心距为4 cm，则两圆外切时圆心距的长为_ ____．

5．两圆内切时圆心距是2，这两圆外切时圆心距是5，两圆的半径分别是______. 6．两圆的半径分别为10 cm和R、圆心距为13 cm，若这两个圆相切，则R的值是多少? 7.若两圆直径分别是8+t和8－t，圆心距为16，则两圆的位置关系为___________. 设计意图：提高题目问题为学有余力的同学设计，努力使每个学生在课堂上都有所发展，也充分利用课堂时间提高了优秀生解决问题的能力，这一问题也可以放到课下作为其他学生的课后作业. 板书设计

全等三角形 知识网络 例1： 例2： 例3： （师生共同完成） （学生完成） （学生完成） （学生完成） 教学反思：

1.通过课堂展示讲解的过程，为学生提供展示自己的机会，充分体现“以学生为主体，注重学生的自主探究与合作交流”的新课程理念，更利于教师在此过程中发现学生的闪光点以及思维的误区，以便指导今后的教学.

2.问题设计体现了“精”、“典”，学生学会了一题多解，树立了优化意识，使整个教学过程更具连贯性.这样不仅大大激发了学生的学习兴趣，充分发挥了学生的主体作用，通过引导点拨促使学生将知识不断完善，逐步趋于系统化，还让复习课别具一格、更精彩. 3.小组讨论环节要注意讨论的有效性，同时教师要注意小组讨论时学生的参与度，注意在讨论过程中帮助学有困难的学生树立自信心.

我觉得本人在本节课中还存在许多不足之处，主要在以下几方面：

1、在学生分组活动中，个别学生不能参与进来，今后教学应该多加关注学困生. 2、教学语言应该注意更加规范，同时注意学生普通话的培训，让学生在下一步的学习中能脱离方言.

3、在学生回答问题时，不应该只关注回答结果，也应该关注学生所表现出来的态度，用恰当的语言给予肯定和鼓励，使不同层次的学生获得不同的成功体验，从而增强自信心，激发学生的学习兴趣.

总之，下一步要发扬优点，克服缺点，多多借鉴区市优质课，争取节节课上出完美，上出精彩.

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