2007-2010年线性离散控制系统的分析与设计考试题及答案

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一、(22分)求解下列问题： 1. (3分)简述采样定理。

* 解：当采样频率?s大于信号最高有效频率?h的2倍时，能够从采样信号e(t)中 完满地恢复原信号e(t)。（要点：?s?2?h）。 2．(3分)简述什么是最少拍系统。

解：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数最少，且在采样时刻上无稳态误差的随动系统。

3．(3分)简述线性定常离散系统稳定性的定义及充要条件。

解：若系统在初始扰动的影响下，其输出动态分量随时间推移逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定。稳定的充要条件是：所有特征值均分布在Z平面的单位圆内。

4．（3分）已知X(z)如下，试用终值定理计算x(∞)。 X(z)?z

(z?1)(z2?z?0.5)解： 经过验证(z?1)X(z)满足终值定理使用的条件，因此，

z?2。

z?1z?1z2?z?0.55．(5分)已知采样周期T =1秒，计算G(z) = Z [Gh(s)G0(s) ]。 x(?)?lim(z?1)X(z)?lim1?e?Ts1G(s)?Gh(s)G0(s)?

s(s?1)(s?2)11zz(z?1)(1?e?1)?1]?(1?z)(?)?2解：G(z)?(1?z)Z[?

ss?1z?1z?e?1z?(1?e?1)z?e?1?16．(5分) 已知系统差分方程、初始状态如下：

c(k?2)?6c(k?1)?8c(k)?1(k)，c(0)=c(1)=0。

试用Z变换法计算输出序列c(k)，k ≥ 0。

解：

z2C(z)?6C(z)?8C(z)?R(z)C(z)?z(z?1)(z2?6z?8)1c(k)?{2?3?2k?4k},k?06?zzz??

3(z?1)2(z?2)6(z?4)二、（10分）已知计算机控制系统如图1所示，采用数字比例控制D(z)?K，

其中K>0。设采样周期T=1s，e?1?0.368。 注意，这里的数字控制器D(z)就是上课时的Gc(z)。

Xi?s?+-TD?z?T1?e?Tss1s?1Xo?z?T图1

1．（5分）试求系统的闭环脉冲传递函数

Xo(z)； Xi(z)2．（5分）试判断系统稳定的K值范围。

?1?G0G(z)?(1?z?1)Z???s(s?1)?X(z)解：1.

1?e?1K?1KG0G(z)z?eo???111??1?eX(z)1?KGG(z)?1i0?(1?z)Z??1?K?ss?1z?e?1??zzK(1?e?1)?1?(1?z)(?) ?

z?1z?e?1(z?e?1)?K(1?e?1)?1z?1K(1?e)?1??1?z?ez?e?1?K?Ke?11?e?1?z?e?1?1?12．（5分）特征方程为 z?e?K?Ke?0

?1?1?1?1特征根为z?e?K?Ke 欲使系统稳定，需满足条件 z?e?K?Ke?1

则使系统稳定的K值范围为0?K?2.16

三、(8分)设数字控制系统的框图如下

R(z) + - Gc(z) G(z) C(z)

0.7385z?1(1?1.4815z?1)(1?0.5355z?1)已知G(z)?，T = 0.5秒，设计响应单位?1?1?1(1?z)(1?0.6065z)(1?0.0067z)阶跃输入信号时的最少拍系统(要求给出Gc(z)及C(z)、E(z) )。

解：选取?e(z)?(1?z)(1?bz)、?(z)?az(1?1.4815z)；

?(z)?1??e(z)?a?0.403,b?0.597 （4分）

?1?1?1?1?(z)0.5457(1?0.6065z?1)(1?0.0067z?1)Gc(z)??； ?1?1G(z)?e(z)(1?0.597z)(1?0.05355z)1； C(z)??(z)R(z)?0.403z?1(1?1.4815z?1)?11?z1 （4分） E(z)??e(z)R(z)?(1?z?1)(1?0.597z?1)?11?z2007补考

一、求解下列问题：

1．(3分) 简述离散系统与连续系统的主要区别。

解：连续系统中，所有信号均为时间的连续函数；离散系统含有时间离散信号。

2．(3分) 简述线性定常离散系统的脉冲传递函数的定义。

解：在系统输入端具有采样开关，初始条件为零时，系统输出信号的Z变换与输入信号的Z变换之比。

3．(3分) 简述判断线性定常离散系统稳定性的充要条件。 解：稳定的充要条件是：所有特征值均分布在Z平面的单位圆内。

4．(5分) 设开环离散系统如图所示，试求开环脉冲传递函数G(z)。

252z5z10z2]?Z[]??2解： G(z)?Z[ ?2T?5T?2T?5T?10Ts?2s?5z?ez?ez?(e?e)z?eR(s) 2 s?25C(s) s?55．(5分) 已知系统差分方程、初始状态如下：

c(k?2)?3c(k?1)?2c(k)?0，c(0)=0，c(1)=1。

试用Z变换法计算输出序列c(k)，k ≥ 0。

解：

z2C(z)?3zC(z)?2C(z)?z?C(z)?zzk?1c(k)?z?2zzk?1?z?1z??1kzz2?3z?2k

?(?1)?(?2),k?0z??2二、（10分）已知系统结构如下图所示

r(t) + - Gh(s) G(s) c(t)

Ke?0.5s1?e?Ts采样周期T = 0.25秒，G(s)?，Gh(s)?， r(t)=t。

ss1．（5分）试求系统的闭环脉冲传递函数；

2．（5分）试判断系统稳定的K值范围。

K(1?e?2.5T)z0.393Kz?解： G(z)?2；

z?(1?e?2.5T)z?e?2.5Tz2?1.607z?0.607G(z)闭环脉冲传递函数为： ?(z)?；

1?G(z)闭环特征方程为：

z2?(0.393K?1.607)z?0.607?0；

稳定条件： 得到

D(1) = 0.393 K > 0；(-1)2D(-1) =3.214 - 0.393K > 0；

0 < K < 8.178。

三、(8分)设数字控制系统的框图如下:

R(z) + - Gc(z) G(z) C(z)

0.74z?1(1?0.53z?1)已知G(z)?，T = 0.5秒，设计响应斜坡输入信号

(1?z?1)(1?0.6z?1)r(t) = t时的最少拍系统(要求给出Gc(z)及C(z)、E(z) )。

解：选取?e(z)?(1?z)、?(z)?2z?12?1?z?2；R(z)?z?1/(1?z?1)2

?(z)2(1?0.6z?1)(1-0.5z?1)? Gc(z)?； ?1?1G(z)?e(z)0.74(1?0.53z)(1?z)2z?2(1?0.5z?1)C(z)??(z)R(z)?； ?12(1?z)E(z)??e(z)R(z)?z?1

——————————————2008——————————————

一、

2．(3分) 写出脉冲序列x*(t)及其Z变换X(z)的表达式。 解：

x(t)??x(nT)?(t?nT)*n?0??

X(z)??x(nT)z?nn?03．(3分) 写出离散系统稳态位置误差、速度误差、加速度误差系数表达式。 解：Kp?lim[1?G(z)] (1分)

z?1Kv?lim(z?1)G(z) (1分)

z?1Ka?lim(z?1)2G(z) (1分)

z?14．(3分) 写出输出采样信号的Z变换C(z)。

R(s)??TH(s)G(s)C(s)

解：C(z)?G(z)R(z) (3分)

1?HG(z)7．(5分) 已知x(t)的拉氏变换为X(s)?解：

a, 求x(t)的Z变换。

s(s?a)11X(s)??ss?a (5分) ?aT11zzz(1?e)X(z)?Z[]?Z[]???ss?az?1z?e?aT(z?1)(z?e?aT)8．(5分) 已知差分方程、初始状态及输入，试用Z变换法计算输出序列c (k)。

c(k?2)?5c(k?1)?6c(k)?r(k)；c(0)?c(1)?0；r(k)?1(k),k?0。

解：z2C(z)?5zC(z)?6C(z)?R(z)，R(z)?C(z)?z z?1zzzzz????(z?1)(z2?5z?6)(z?1)(z?2)(z?3)2(z?1)(z?2)2(z?3) (5分)

11c(k)??2k??3kk?022二．（9分）设离散系统的方框图如下图所示，设采样周期T=0.1s，e?1?0.368。

R(s)??T1sK(1?0.1s)C(s)

1．（5分）试求系统的闭环脉冲传递函数； 2．（4分）试判断系统稳定的K值范围。 1.系统的开环传递函数为

???10?K1??1G(z)?Z??KZ?K???s(s?10)???ss?10???s(1?0.1s)???zKz(1?e?10T)?z??K????10T??10Tz?1z?e??(z?1)(z?e) 0.632Kz?2z?1.368z?0.368G(z)0.632Kz?(z)??21?G(z)z?(0.632K?1.368)z?0.3682．闭环系统的特征方程为：D(z)?z2?(0.632K?1.368)z?0.368?0 （1分）

方法一：z?w?1，w域特征方程为： w?10.632Kw2?1.264w?(2.736?0.632K)?0

列出劳斯表：

w2w1w00.632K1.2642.736?0.632K2.736?0.632K

0.632K?0??0?K?4.33 欲使系统稳定K需满足：?2.736?0.632K?0?（3分）

方法二：利用朱利稳定判据判断：

?0.368?1?D(1)?0.632K?0?0?K?4.33??D(?1)?2.736?0.632K?0? （3分） 三．(8分) 设数字控制系统的框图如下

R(z)??E(z)Gc(z)G(z)C(z)

0.761z?1(1?0.046z?1)(1?1.134z?1)已知G(z)?，T = 1秒， 设计r(t)?1(t)时的?1?1?1(1?z)(1?0.135z)(1?0.183z)最少拍系统（要求给出数字控制器Gc(z)及相应的C(z)、E(z) )。 解：解：G(z)含有不稳定的零点，选取闭环脉冲传递函数为

?e(z)?(1?z?1)(1?az?1)；?(z)?bz?1(1?1.134z?1)；R(z)?由?e(z)?1??(z)解得a?0.53，b?0.47

1 （5分） 1?z?1?(z)0.618(1?0.135z?1)(1?0.183z?1)Gc(z)??G(z)?e(z)(1?0.046z?1)(1?0.53z?1)0.47z?1(1?1.134z?1)C(z)??(z)R(z)?1?z?1E(z)??e(z)R(z)?1?0.53z?12010年

一、(25分)求解下列问题：

1．(3分)如图所示，写出f*( t)的数学表达式（ ）

f( t ) f*( t) S

f*(t)?n?????T f(nTo)?(t?nTo)

2．(3分)在使用脉冲传递函数分析系统的动态响应和稳态误差时， 该系统应是（ B ）

A 输入等于零 B 初始状态等于零 C输入和初始状态都等于零 D 输入和初始状态都不等于零

5．(3分)已知x(t)的拉氏变换为X(s) = 2 / [ s (s + 2)]，则x(t)的

Z变换X(z)为（ ）。

解：

1?zz(1?e-2T)z?1。 X(z)?Z??????2T?2T?(z?1)(z?e)?ss?2?z?1z?e6．(5分) 试用Z变换法求解下列差分方程：

c?(t?2T)?6c?(t?T)?8c?(t)?r?(t)，r(t)?1(t)，c?(t)?0(t?0)

解：c(k?2)?6c(k?1)?8c(k)?r(k)，c(0)?c(1)?0；

z2zzzC(z)????；

(z?1)(z?2)(z?4)3(z?1)2(z?2)6(z?4)1c(nT)?(2?3?2n?4n)，n?0。

67. (5分)试求下图所示闭环离散系统的脉冲传递函数?(z)

R(s)-Y(s)-G1(s)G2(s)G3(s)C(s)

解：?(z)?G1(z)

1?G1G2(z)?G1(z)G3(z) 二（10分）设离散系统如图所示，要求: 1(3分)计算系统闭环脉冲传递函数。 2(3分)确定闭环系统稳定的K值范围。

3(4分)设T?1s，r(t)?t时，若要求其稳态误差e(?)≤0.1，该系统能否稳 定工作？

— R(s) E(s) 1?e?Ts sK sC(s)

解：1 （3分）开环脉冲传递函数为 G(z)?Z[KTzKT?1?1； （1分） ](1?z)?K(1?z)?s2(z?1)2z?1 闭环脉冲传递函数为

?(z)?G(z)KT； （2分） ?1?G(z)z?1?KT2 （3分）

特征方程 D(z)?z?1?KT?0?z?1?KT； （1分） 稳定时0?K?2/T。 （2分） 3 （4分）

（2分）

e(?)?T/K1K?10v?1/K?0.?z?1Kv?limz(?1G)z(?)KT, 不满足稳定条件，不能稳定工作。 （2分） 三、离散系统如图所示，其中采样周期T?1s，连续部分传递函数

G(s)?1，试求当r(t)?1(t)时，系统无稳态误差、过渡过程在最

s(s?1)少拍内结束的数字控制器Gc(z)。

解

r(t) T Gc(z) T G(s) c(t) （1）系统的开环脉冲传递函数为

?1??zz?0.632z?1G(z)?Z????z?1?(z?e?T??(1?z?1)(1?0.368z?1)（3分）

s(s?1)????|T?1（2）当r(t)?1(t)时，Z?1(t)??z1。则 ??1z?11?z?1取?e(z)?1?z（满足稳态误差要求）（4分）

?(z)?1??e(z)?z?1（抵消延迟环节）（4分）

（3）数字控制器脉冲传递函数为：

?(z)1?0.368z?1Gc(z)???1.582?0.582z?1（4分）

G(z)?e(z)0.6322011换

一、(25分)求解下列问题：

z21．(5分) 试确定下列函数的终值E(z)?。

(z?0.8)(z?0.1)(1?z?1)z2?0 解：lime(t)?limt??z?1(z?0.8)(z?0.1)2．(5分) 已知x(t)的拉氏变换为X(s)?解：

G(z)?Z[10，求x(t)的Z变换。

(s?2)(s?5)101011]?Z[?]

(s?2)(s?5)3s?2s?510(e?2T?e?5T)zG(z)?。

3z2?(e?2T?e?5T)z?e?10T3．(6分) 已知系统差分方程、初始状态如下：

c(k?3)?6c(k?2)?11c(k?1)?6c(k)?0，c(0)?c(1)?1，c(2)?0。

试用Z变换法计算输出序列c(k)，k ≥ 0。 解：

z3?7z2?17z11z7z5zC(z)????

(z?1)(z?2)(z?3)2(z?1)z?22(z?3)c(nT)?5.5(?1)n?7?(?2)n?2.5?(?3)n

4．(3分)在使用脉冲传递函数分析系统的动态响应和稳态误差时， 该系统应是（ B ）

A 输入等于零 B 初始状态等于零 C输入和初始状态都等于零 D 输入和初始状态都不等于零

6．(3分)写出输出采样信号的Z变换C(z)。

R(s)??TH(s)G(s)C(s)

解：C(z)?G(z)R(z)

1?HG(z)二、（10分）设离散系统如图所示，其中T?1s，试分别讨论当K=2和K=3时 系统的稳定性。（e?1?0.368）

r(t) e(t) e*(t) 1?e?Ts- s Kc(t) s(s?1)解：

G(z)?Z[?K111?1?1](1?z)?K(1?z)Z[??]22s(s?1)sss?1?1?1K(ez?1?2e)(z?1)(z?e?1) （3分）

D(z)?z2?(0.37K?1.37)z?0.26K?0.37?0 （3分）

解得0

故K=2时系统稳定，K=3时系统不稳定。 （2分） 三、(10分) 设数字控制系统的框图如下:

R(z) + - Gc (z) G(z) C(z)

0.74z?1(1?0.53z?1)已知G(z)?，T = 0.5秒，设计响应斜坡输入信号 ?1?1(1?z)(1?0.6z)r(t) = t时的最少拍系统(要求给出Gc(z)及C(z)、E(z) )。

解：选取?e(z)?(1?z)、?(z)?2z?12?1?z?2；

R(z)?z?1/(1?z?1)2 （3分）

?(z)2(1?0.6z?1)(1-0.5z?1)? Gc(z)?；（3分） ?1?1G(z)?e(z)0.74(1?0.53z)(1?z)2z?2(1?0.5z?1)C(z)??(z)R(z)?；（2分） ?12(1?z)E(z)??e(z)R(z)?z?1 （2分）

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