《生存模型》习题参考答案（第一章）

《生存模型》习题参考答案

1．1 解：（1）f(t)=-dS(t)=0.05(100-t)-0.5,0?tdt0.05f(36)=0.05(100-36)-0.5==0.00625

8100

f(t)0.05(100-t)-0.5==0.5(100-t)-1,0?t（2）l(t)=0.5S(t)0.1(100-t)l(50)=0.5(100-50)-1=0.01

100

（3）L(t)=l(s)ds=蝌0tt00.5(100-s)-1ds=-0.5ln(1-t100),0?tt<100

100100

L(75)=-0.5ln(1-75100)唬0.693147,0（4）E[T]=（5）

100蝌0100tf(t)dt=1000S(t)dt=?00.1(100-t)0.5dt=200& =66.663E[T]==10002蝌t02f(t)dt=2t)dt=20.51000tS(t)dt0.480000(100-t)1.5dt=3152蝌0.2t(100-1000

80000var[T]=E[T2]-{E[T]}=-151．2 解： （1）S(t)=exp-骣200÷40000&? ==888.88÷??桫3÷45{l(x)dx=exp-蝌0t}{t0禳1镲(a+bx)dx=exp睚-(at+bt2),t?0

镲2镲铪}禳1镲-(at+bt2),t?0 （2）f(t)=l(t)S(t)=(a+bt)exp睚镲2镲铪禳禳d121镲镲2-(at+bt)-(a+bt)exp睚-(at+bt2)=0， （3）令f(t)=bexp睚镲镲dt22镲镲铪铪得：t=骣b-a÷b-a÷吵f(t),t。此时，f??÷?÷?b桫b0，即t=b-a为分布的众数。 b1．3 解：由S(0)=1，得b=1；由S(k)=0，得ak2+1=0，即a=-1。 2kx2-S(y。)即：故S(x)=-2+1。 令y为X的中位数，则S(y)=1ky2y2k-2+1=2，得y=。 又E[X]=kk2蝌S(x)dx=0kk0骣x22?÷dx=k=60，?-2+1÷÷÷?3桫k得k=90。 故y=452。

1．4 解：若l(t)=e-rt,r>0为危险率，则有

骣t骣鼢S(t)=exp珑-l(x)dx=exp-鼢珑桫蝌桫0可见：limS(t)=et-1rt0-tx骣e-edx=exp???桫r-rx1÷÷,r>0 ÷?>0，故危险率l(t)=e-rt,r>0不适合于一个生存分布。

(3-1)21= 1．5 解：var[T]=1231．6 证明：（1）

SY(y)=P(Y>y)=P(min(X1,X2)>y)=P(X1>y,X2>y)=P(X1>y)P(X2>y)=SX1(y)SX2(y)

（2）

FZ(z)=P(Z?z)=P(X1＃z)P(X2P(max(X1,X2)?z)z)=FX1(z)FX2(z)P(X1＃z,X2z)

（3）设：

ì?l1e-l1x1,x130?fX1(x1)=í，fX2(x2)=?0,x<01??ì?l2e-l2x2,x230? í?0,x<02??则：SX1(x1)=e-l1x1（x130），SX2(x2)=e-l2x2（x230）

故 SY(y)=SX1(y)SX2(y)=e-(l1+l2)y（y30），是参数为l1+l2的指数分布。 而 FZ(z)=FX1(z)FX2(z)=(1-e-l1z)(1-e-l2z)（z30）， 其概率密度为：

ì?l1e-l1z+l2e-l2z-(l1+l2)e-(l1+l2)z?fZ(z)=í?0,z<0??1．7 解： SY(2)=e-2(l1+l2)=0.24

,z?0

这不是指数分布的密度函数，Z不服从指数分布。

SZ(2)=1-(1-e-2l1)(1-e-2l2)=e-2l1+e-2l2-e-2(l1+l2)=0.86

故 e-2l1?e-2l20.24，e-2l1+e-2l2=1.1，e-2l1=1.1-0.51=0.3，l1=-ln0.3 221．8 解：（1）S(m)=w-m（0＃mw） ww-mw-m-11|q=S(m)-S(m+1)=-=，为常数函数。 m0www（2）S(m)=e-lm（m30）

-lm-l(m+1)-lm-l|q=S(m)-S(m+1)=e-e=e(1-e)，为减函数。 m0（3）S(m)=1-mòm00.00125tdt=1-0.000625m2（0＃m40）

|q0=S(m)-S(m+1)=0.00125m+0.000625，为增函数。

+?1．9 解：（1） （ⅰ）

E[X]==ò-?xf(x)dx?0蝌0+?rx-1-11x鬃rx2e2dx=r骣骣rr2珑鼢22G珑鼢2G珑桫桫2鼢2r+22x?edxr2-x2

r+2r+2+?-1122=r2鬃y骣rò02珑鼢2G珑鼢珑桫2鼢r+2骣r+2r骣r2鼢2G珑2譍鼢珑珑桫2鼢2桫2-yedy===rrr骣骣rr?22G22G????2÷桫桫2（ⅱ）

E[X2]==ò2+?-?x2f(x)dx?0蝌0+?rx-1-11x鬃rx2e2dx=r骣骣r鼢r222G珑2G鼢珑珑桫桫2鼢2r+42xr+12?edx-x2r+4r+4+?-1122=r2鬃y骣rò02珑鼢2G珑鼢珑桫2鼢r+4骣骣r+4r+2骣r?骣r÷2鼢??2G珑2?G鼢?÷珑?珑?2鼢??桫2鼢桫2桫桫2-y2edy===r+2rrr骣骣rr÷22G22G?÷??桫桫22÷var[X]=E[X2]-{E[X]}=r2+2r-r2=2r （ⅲ）

2E[X-1]==ò+?-?x-1f(x)dx?0蝌0+?rx-1-11x鬃rx2e2dx=r骣骣r鼢r222G珑2G鼢珑珑桫桫2鼢2-1r-12xr-22?edx-x2

rr-2+?-1-1122=r2鬃y骣rò02珑鼢2G珑鼢珑桫2鼢骣r2G珑-珑珑桫2e-ydy=r骣r22G桫21鼢鼢鼢=骣rG-11桫2=r?r鲦r?r-22珑2珑-1鼢G-1鼢珑桫2鼢桫22r-12x1-11（2）当r=2时，f(x)=e2（x>0），即参数为的指数分布，故其危险率

221为。 21．10 证明： 指数分布的生存函数为：S?x??e??x,x?0 则其下截尾分布

t@yxS(y)e-ly-l(y-x)为：S(y|X>x)==-lx=e=e-lt,t?0 可见，其为指数分

S(x)ey?x布。

1．11 解：由S(0)=1，得b=1；由S(k)=0，得ak+1=0，即a=-由2p0=S(2)=-则：f(x)=-1。 k。 8）

21+1=0.75，得k=8。 即：S(x)=-x+1（0＃xk8，l(x)=8）

f(x)1=（0?xS(x)8-xd1S(x)=（0＃xdx88）

2m3=ò53S(x)l(x)dx53ò=òò5353S(x)dx骣1?-x+1÷dx÷?÷?桫81dx8=1 4S(t)=e-0.02(t-5)（t35）1．12 解：对生存时间T，其未上截尾的指数生存分布为：。

该分布在t=15处的上截尾分布为：

0.0t-2(S(t)-S(15)-e-5)-e0.2S(t|T?15)=（5＃t-0.21-S(15)-1e15） 令S@T-5，

e-0.02s-e-0.21-e-0.2则S为该设备的未来寿命，其生存分布为：S(s|T?15)（0＃s10）。

令S(s|T?15)e-0.02s-e-0.21ln(0.5+0.5e-0.2)=，得s=?4.750415559

1-e-0.22-0.021．13 解：令S(x)=0.5，解之得：x=502，即为中位数年龄。

f(x)=0.0002x，0＃xf(y|X>502)=100

100

f(y)0.0002y==0.0004y，502＃y12S(502)&e50=2=100ò100502yf(y|X>502)dy-502

2ò5020.0004ydy-502?15.482203135575412599859272982525l(x)×Sx()le-lxz)==-lx，y＃x-lzS(x)-Sz()e-e1．14 解： l(x|y＃Xz

1．15 （1）证明： 该分布于x=0处的截下尾分布为：

x轾B×Cexp犏-犏S(x)B臌lnC=exp轾犏S(x|X>0)==-Cx-1)，x>0，B>0，C>1 (轾B犏S(0)臌lnCexp??犏臌lnC可见其为Gompertz分布

（2）解： 未截尾时，其危险率为：

dd骣B×Cx÷?÷l(x)=-lnS(x)=--=B?Cx，-??÷dxdx?桫lnC÷Gompertz分布的危险率为：

l(x|X>0)=-dd轾B犏lnS(x|X>0)=--?(Cxdxdx犏臌lnCx<+?，B>0，C>1

1)=B?Cx，x>0，B>0，

C>1 在其定义域的重合部分，其值相同。

1．16 解：

?ke(n?1)y?cen?1?kcy?SY(y)?P(Y?y)?P(lnX?y)?P(X?e)?exp???exp?? ???n?1??lnc?y即上题中出现的分布 称为第一类最小值分布，其于x?0处的下截尾分布即

Gompertz分布。

1．17 证明：若X的生存函数为S(x)，分布函数为F(x)，则： Y?S(X)的生存函数为：

SY(y)?P(Y?y)?P(S(X)?y)?P(X?S?1(y))?F(S?1(y))?1?S(S?1(y)) ?1,y?0???1?y,0?y?1?0,y?1?其中，S?1(y)?sup{x|S(x)?y}〖满足性质“S(x)?y”的数x组成的集合的上确界〗。

Z?F(X)的分布函数为：

FZ(z)?P(Z?z)?P(F(X)?z)?P(X?F?1(z))?F(F?1(z))?0,z?0???z,0?z?1?1,z?1?其中，F?1(z)?sup{x|F(x)?z}〖满足性质“F(x)?z”的数x组成的集合的上确界〗。

可见，Y与Z皆服从[0,1]上的均匀分布。

第二章习题参考答案

2．补1 证明：nfx￡1。

由nLx=Lx+Lx+1+L+Lx+n-1，因Lx之上界为lx，下界为lx+1，故：

lx+lx+1+L+lx+n-1?nLxLx+Lx+1+L+Lx+n-1?lx+1lx+2+L+lx+n

(lx-?nlx+n)+(lx+1-lx+n)+L+(lx+n-1-lx+n)Lxn壮lx+nlx+n)+(lx+2-lx+n)+L+(lx+n-1-lx+n)

=ndx+n-1dx+1+L+1dx+n-1(lx+1-=n-1dx+n-2dx+1+L+1dx+n-1而ndx+n-1dx+1+L+1dx+n-1Ｗnndx

lx+n则nLx-n祝2．1 解：（１）

n?ndx 故：0＃nfx1

S(0)?1S(1)?p0?0.9S(2)?p0p1?0.9?0.8?0.72S(3)?p0p1p2?0.9?0.8?0.6?0.432S(4)?p0p1p2p4?0.9?0.8?0.6?0.3?0.1296S(5)?p0p1p2p4p5?0.9?0.8?0.6?0.3?0?0

（２） x lx 10000 9000 7200 4320 1296 0 dx 1000 1800 2880 3024 1296 - 0 1 2 3 4 5 （３）S(5)?0,S(4)?0,故??5。 （４）验证：

?dx?0??1x?1000?1800?2880?3024?1296?10000

2．2 解：（１）3d0?d0?d1?d2?1000?1800?2880?5680 （２）2q1?2d1d1?d24680l1296???0.52（３）3p1?4??0.144l1l19000l90001 d2d2?d3?d47200???1 l2l27200（４）3q2?32．3 （1）解：

x|q0?P?x?X?x?1??P?X?x??P?X?x?1??S?x??S?x?1??lxlx?1dx??l0l0l0??1x?0

（２）证明： ?x|q0????S?x??S?x?1????S?0??S????1

x?0??12．4 解： （１）

c?3544000由S?35????0.44，可得：c?90，此即该生命表中?的值。

c?3510000090?6030（２） S?60????0.2

90?60150（３）

P?30?X?45|X?10???S?30??S?45?S?10??(90?30)0.5?(90?30)???(90?45)(90?45)?(90?10)(90?10)

13?5?0.8242．5 解：

?x?22??S?x??exp??????dy??0?y?1100?y??x????y?1???exp??2?ln??100?y?0?????

100?x???210000?x?1?2l1?l0?S?1??2450.25，l4?l0?S?4??368.64

31d?l1?l4?2450.25?368.64=2081.61

dl???lx?s?lx?sdsx?s???spx??x?s 2．6 解：（1）spx?????s?s?lx?lxlx?s（2）

?d??d?lx??lx?s??lx?s??lx????lx?s??dx??dx??lx???lx?s??x?s??lx?s???lx??x?p????sx ?x?x?lx?lx2lx2?spx??x?spx??x?s?spx??x??x?s??2．7 解：?2?2．8 解：（１）

l0?10000dlxdxl2x?2?l1?l397408?97160??0.0012749 2l22?97259S?x??lxl0?0.25?64?0.8x?f?x???13

d1?23S?x???64?0.8x?dx15（２）

8080?x?23?E?X???xf?x?dx????64?0.8x??dx00?15???0.25?64?0.8x?dx??080131543?64?0.8x??6064080

（３）

?x2?23??E?X?xfxdx?64?0.8xdx??????0????0?15?8015801343??0.5x?64?0.8x?dx???64?0.8x?dx 0320280280151573????64?0.8x??4114.286322802var?X??E?X?????E?X???4114.286?3600?514.286

2802．9 解：（1）

d?Tx?dx?lx????lx?dddTx?Tx?lxlx???lx??Tx?lxdxdx?dx?e???1

xx22lxlxdTx?lx??d1dx??? （2） ?lnTx??dxTxTxex2．10 解：

Tx??lydy??2500?64?0.8y?dyxx8080132500?1543???64?0.8y?1680x3750043??64?0.8x?16

Yx??Tydy??x8080x3750043?64?0.8y?dy1680x56250073???64?0.8y?44856250073??64?0.8x?448

T70?37500 Y70?T375001125000?7.5 e70?70?l7050007?T?11250002Yvar?S??70??70???7.52?8.03571

l70?l70?7?250022．11 证明： Ly??y?1ylsds,dLy?ly?1?ly??dy dy?dLyx?1x?1??dy?x?1?dy??mydy???dy?????xx?Lx?Ly?y?????x?1???dy????Lx?1??d?lnLdy?lnL?lnL?ln?? y?x?1xx?dyL???x?x?1Lexp??mydy?x?1xLx??Lx?1?Lx?exp???x?1xmydy?13102．12 解：l70?2500??64?0.8?70??5000

80d7?l?85000 0l?700154380??64?0.8x??37500 10L70??70lxdx??2500?701610m70?d7050002?? 375001510L7010??2．13 解： （1）nLx??x?x（2）

??L?nx?n?n???ln0x?s??lds?ds??l

n0x?sys?x???x??x?nxlydy?lx?n?lx??ndx

?x?n?x?nynx?s2．14 解：（1）Tx??lydy??lydy （２）nLx?xx?ldy??lx0ds?Tx?Tx?n

（３）ex:n?nLxTx?Tx?n? （４）lx?n （５）n?lx?n lxlxn（６）nLx?n?lx?n （７）ndx?lx?lx?n （８）

??l?ly2．15 证明： px?1?ex?1??x?1?1?x?2lx?lx?1?2．16 证明：

Lx?n?lx?n dnx???ly??x?1?ex ?lx?

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