基于蚁群算法的旅行商问题解决方案

基于蚁群算法的旅行商问题解决方案

一 引言

旅行商问题（TSP, Traveling Salesman Problem）是在1859年由威廉·汉密尔顿爵士首次提出的，它是物流领域中的典型问题，这个问题的求解具有十分重要的理论和现实意义。所谓TSP问题是指：有N个城市，要求旅行商到达每个城市各一次，且仅一次，并回到起点，且要求旅行路线最短。这是一个典型的优化问题，对一个具有中等顶点规模的图来说，精确求解也是很复杂的，计算量随着城市个数的增加而呈指数级增长，即属于所谓的 NP问题。TSP在工程领域有着广泛的应用 ，并常作为比较算法性能的标志。如网络通讯、货物运输、电气布线、管道铺设、加工调度、专家系统、柔性制造系统等方面，都是TSP广泛应用的领域。求解算法包括贪婪法（GM）、极小代数法（MA）、模拟退火法（SA）和遗传算法（GA）等。而应用蚁群算法求解旅行商问题是近年来研究的新方向，由于其并行性与分布性，特别适用于大规模启发式搜索，实验结果证明了其可行性和有效性。

二 蚁群系统基本原理

在蚂蚁群找到食物时，它们总能找到一条从食物到巢穴之间的最优路径。这是因为蚂蚁在寻找路径时会在路径上释放出一种特殊的信息素（phero-mone）。当它们碰到一个还没有走过的路口时，就随机地挑选一条路径前行。与此同时释放出与路径长度有关的信息素。路径越长，释放的激素浓度越低。当后来的蚂蚁再次碰到这个路口的时候，选择激素浓度较高路径概率就会相对较大。这样形成了一个正反馈。最优路径上的激素浓度越来越大，而其它的路径上激素浓度却会随着时间的流逝而消减。最终整个蚁群会找出最优路径。在整个寻径过程中，虽然单个蚂蚁的选择能力有限，但是通过激素的作用，整个蚁群之间交换着路径信息，最终找出最优路径。

三 基于蚁群算法的旅行商问题求解方案

TSP问题描述如下：

设有n个城市C=（1，2,...,n），任意两个城市i，j之间的距离为dij ，求一条经过每个城市的路径π=（π（1），π（2），...，π（n）），使得距离最小。

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主要符号说明

C n个城市的坐标，n×2的矩阵 NC_max 最大迭代次数 m 蚂蚁个数

Alpha 表征信息素重要程度的参数 Beta 表征启发式因子重要程度的参数 Rho 信息素蒸发系数 Q 信息素增加强度系数 R_best 各代最佳路线 L_best 各代最佳路线的长度

求解TSP问题的蚂蚁算法中，每只蚂蚁是一个独立的用于构造路线的过程，若干蚂蚁过程之间通过自适应的信息素值来交换信息，合作求解，并不断优化。这里的信息素值分布式存储在图中，与各弧相关联。蚂蚁算法求解TSP问题的过程如下：

（1）首先初始化，设迭代的次数为NC。初始化NC=0 （2）将m个蚂蚁置于n个顶点上

（3）m只蚂蚁按概率函数选择下一座城市，完成各自的周游

每个蚂蚁按照状态变化规则逐步地构造一个解，即生成一条回路。蚂蚁的任务是访问所有的城市后返回到起点，生成一条回路。设蚂蚁k当前所在的顶点为i，那么，蚂蚁k由点i向点j移动要遵循规则而不断迁移，按不同概率来选择下一点。

（4）记录本次迭代最佳路线 （5）全局更新信息素值

应用全局信息素更新规则来改变信息素值。当所有m个蚂蚁生成了m个解，其中有一条最短路径是本代最优解，将属于这条路线上的所有弧相关联的信息素值进行更新。

全局信息素更新的目的是在最短路线上注入额外的信息素，即只有属于最短路线的弧上的信息素才能得到加强，这是一个正反馈的过程，也是一个强化学习的过程。在图中各弧上，伴随着信息素的挥发，全局最短路线上各弧的信息素值

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得到增加。

（6）终止

若终止条件满足，则结束；否则NC=NC+1，转入步骤（2）进行下一代进化。终止条件可指定进化的代数，也可限定运行时间，或设定最短路长的下限。

（7）输出结果

四 数据实验及结果

通过计算机仿真，得出旅行商问题优化结果和平均距离和最短距离，如图所示：

四 分析与总结

本文设计了一种基于MATLAB实现的蚁群算法，用以求解组合优化难题中的典型代表旅行商问题。对30个城市旅行商问题进行了测试，所得结果能达到优化作用，解决了这个问题。

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经过对旅行商问题的深入理解，得到了能解决问题的基本数学模型，然后设计算法的基本思想，技术路线，最后编码。在多次调试，修改后，本算法成功运行，并实现了最初的设定目标。另外，MATLAB具有丰富的绘图函数，对于绘图十分方便，这是选择MATLAB解决TSP问题的算法编写、调试的原因。

蚁群算法解决旅行商问题MATLAB程序

x=[41 37 54 25 7 2 68 71 54 83 64 18 22 83 91 25 24 58 71 74 87 18 13 82 62 58 45 41 44 4]';

y=[94 84 67 62 64 99 58 44 62 69 60 54 60 46 38 38 42 69 71 78 76 40 40 7 32 35 21 26 35 50]'; C=[x y]; NC_max=50; m=30;

Alpha=1.5; Beta=2; Rho=0.1; Q=10^6;

%%-------------------------------------------------------------------------

%% 主要符号说明

%% C n个城市的坐标，n×2的矩阵 %% NC_max 最大迭代次数 %% m 蚂蚁个数

%% Alpha 表征信息素重要程度的参数 %% Beta 表征启发式因子重要程度的参数 %% Rho 信息素蒸发系数 %% Q 信息素增加强度系数 %% R_best 各代最佳路线

%% L_best 各代最佳路线的长度

%%=========================================================================

%%第一步：变量初始化

n=size(C,1);%n表示问题的规模（城市个数） D=zeros(n,n);%D表示完全图的赋权邻接矩阵 for i=1:n

for j=1:n if i~=j

D(i,j)=((C(i,1)-C(j,1))^2+(C(i,2)-C(j,2))^2)^0.5; else

D(i,j)=eps; %i=j时不计算，应该为0，但后面的启发因子要取倒数，用eps（浮点相对精度）表示 end

D(j,i)=D(i,j); %对称矩阵

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end end

Eta=1./D; %Eta为启发因子，这里设为距离的倒数 Tau=ones(n,n); %Tau为信息素矩阵

Tabu=zeros(m,n); %存储并记录路径的生成

NC=1; %迭代计数器，记录迭代次数 R_best=zeros(NC_max,n); %各代最佳路线

L_best=inf.*ones(NC_max,1); %各代最佳路线的长度 L_ave=zeros(NC_max,1); %各代路线的平均长度

while NC<=NC_max %停止条件之一：达到最大迭代次数，停止 %%第二步：将m只蚂蚁放到n个城市上 Randpos=[]; %随即存取 for i=1:(ceil(m/n))

Randpos=[Randpos,randperm(n)]; end

Tabu(:,1)=(Randpos(1,1:m))';

%%第三步：m只蚂蚁按概率函数选择下一座城市，完成各自的周游 for j=2:n %所在城市不计算 for i=1:m

visited=Tabu(i,1:(j-1)); %记录已访问的城市，避免重复访问 J=zeros(1,(n-j+1)); %待访问的城市

P=J; %待访问城市的选择概率分布 Jc=1; for k=1:n

if length(find(visited==k))==0 %开始时置0 J(Jc)=k;

Jc=Jc+1; %访问的城市个数自加1 end end

%下面计算待选城市的概率分布 for k=1:length(J)

P(k)=(Tau(visited(end),J(k))^Alpha)*(Eta(visited(end),J(k))^Beta);

end

P=P/(sum(P));

%按概率原则选取下一个城市

Pcum=cumsum(P); %cumsum，元素累加即求和

Select=find(Pcum>=rand); %若计算的概率大于原来的就选择这条路线 to_visit=J(Select(1)); Tabu(i,j)=to_visit; end end

if NC>=2

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Tabu(1,:)=R_best(NC-1,:); end

%%第四步：记录本次迭代最佳路线

L=zeros(m,1); %开始距离为0，m*1的列向量 for i=1:m

R=Tabu(i,:); for j=1:(n-1)

L(i)=L(i)+D(R(j),R(j+1)); %原距离加上第j个城市到第j+1个城市的距离 end

L(i)=L(i)+D(R(1),R(n)); %一轮下来后走过的距离 end

L_best(NC)=min(L); %最佳距离取最小 pos=find(L==L_best(NC));

R_best(NC,:)=Tabu(pos(1),:); %此轮迭代后的最佳路线 L_ave(NC)=mean(L); %此轮迭代后的平均距离 NC=NC+1; %迭代继续 %%第五步：更新信息素

Delta_Tau=zeros(n,n); %开始时信息素为n*n的0矩阵 for i=1:m

for j=1:(n-1)

Delta_Tau(Tabu(i,j),Tabu(i,j+1))=Delta_Tau(Tabu(i,j),Tabu(i,j+1))+Q/L(i);

%此次循环在路径（i，j）上的信息素增量 end

Delta_Tau(Tabu(i,n),Tabu(i,1))=Delta_Tau(Tabu(i,n),Tabu(i,1))+Q/L(i);

%此次循环在整个路径上的信息素增量 end

Tau=(1-Rho).*Tau+Delta_Tau; %考虑信息素挥发，更新后的信息素 %%第六步：禁忌表清零

Tabu=zeros(m,n); %%直到最大迭代次数 end

%%第七步：输出结果

Pos=find(L_best==min(L_best)); %找到最佳路径（非0为真） Shortest_Route=R_best(Pos(1),:) %最大迭代次数后最佳路径 Shortest_Length=L_best(Pos(1)) %最大迭代次数后最短距离 subplot(1,2,1); %绘制第一个子图形 DrawRoute(C,Shortest_Route); %画路线图的子函数 subplot(1,2,2); %绘制第二个子图形 plot(L_best);

hold on %保持图形 plot(L_ave,'r');

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title('平均距离和最短距离') %标题 function DrawRoute(C,R)

%%=========================================================================

%% DrawRoute.m

%% 画路线图的子函数

%%-------------------------------------------------------------------------

%% C Coordinate 节点坐标，由一个N×2的矩阵存储 %% R Route 路线

%%========================================================================= N=length(R);

scatter(C(:,1),C(:,2)); hold on

plot([C(R(1),1),C(R(N),1)],[C(R(1),2),C(R(N),2)],'g'); hold on for ii=2:N

plot([C(R(ii-1),1),C(R(ii),1)],[C(R(ii-1),2),C(R(ii),2)],'g'); hold on end

title('旅行商问题优化结果 ')

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7gkt.html