高中数学 1.6《三角函数模型的简单应用》教学设计 新人教A版必修

1.6《三角函数模型的简单应用》教学设计

【教学目标】

1．通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；

2．体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；

3．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

【导入新课】

复习引入：

简单介绍大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等，说明这些现象都蕴含着三角函数知识.

新授课阶段

例1 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数

b x A y ++=)sin(?ω．

（1）求这一天6～14时的最大温差；

（2）写出这段曲线的函数解析式．

解：（1）由图可知：这段时间的最大温差是20C ；

（2）从图可以看出：从6～14是b x A y ++=)sin(?ω的半个周期的图象， ∴1468.2T =-=∴16.T =

∵ωπ

2=T ，∴.8π

ω= 又∵301010,2301020.2

A b -?==???+?==?? ∴10,20.A b =??=? ∴10sin()20.8

y x πφ=++ 将点)10,6(代入得：1)43sin(

-=+?π， ∴Z k k ∈+=+,2

3243ππ?π， ∴Z k k ∈+=,432ππ?，取4

3π?=， ∴)146(,20)4

38sin(10≤≤++=x x y ππ. 例2 画出函数x y sin =的图象并观察其周期．

分析与简解：如何画图？

法1：去绝对值，化为分段函数（体现转化与化归！）；

法2：图象变换——对称变换，可类比x y =的作法． 从图中可以看出，函数x y sin =是以π为周期的波浪形曲线．

例3 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，?为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是δ?θ--= 90．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．

如果在北京地区(纬度数约为北纬 40)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？

分析与简解：

与学生一起学习并理解教材解法（地理课中已学习过），指出该实际问题用到了

三角函数的有关知识．

例4 如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数

()sin y A x b ω?=++．

（１） 求这一天的最大温差；

（２） 写出这段曲线的函数解析式．

答案：解：（１）由图可知，这段时间的最大温差是20℃．

（２）从图中可以看出，从6~14时的图象是函数()sin y A x b ω?=++的半个周期的图象，所以

()13010102

A =

-=， 1(3010)202

b =+=， ∵121462ω

=-π， ∴8ω=π． 将6x =，10y =代入上式，解得34?=

π． 综上，所求解析式为310sin 2084y x ??=++

???ππ，[]6,14x ∈． 例5 若2cos 2sin y x p x q =++有最大值9和最小值6，求实数,p q 的值.

解：令sin ,[1,1]x t t =∈-，2

1sin 2sin y x p x q =-++， 2222(sin )1()1y x p p q t p p q =--+++=--+++，

22()1y t p p q =--+++，对称轴为t p =.

当1p <-时，[1,1]-是函数y 的递减区间，max 1|29t y y p q =-==-+=，

min 1|26t y y p q ===+=，得315,42

p q =-=，与1p <-矛盾； 当1p >时，[1,1]-是函数y 的递增区间，max 1|29t y y p q ===+=，

min 1|26t y y p q =-==-+=，得315,42

p q ==，与1p >矛盾； 当11p -≤≤时，2max |19t p y y p q ===++=，再当0p ≥，

min 1|26t y y p q =-==-+=，得1,4p q =-=+；

当0p <，min 1|26t y y p q ===+=，得1,4p q ==+

1),4p q ∴=±=+

课堂小结

1.精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质.

2.分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题.

作业

课本第73页习题A 组第1、2、3、4题

拓展提升

一、选择题

1．函数sin(2)(0)y x ??π=+≤≤是R 上的偶函数，则?的值是（ ）

A ．0

B ．4π C.2

π D.π 2．将函数sin()3

y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3

π个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） A ．1sin 2y x = B ．1sin()22

y x π=- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6y x π=-

3．若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是（ ）

A ．35(,)(,

)244ππππ B.5(,)(,)424

ππππ C.353(,)(,)2442ππππ D.33(,)(,)244ππππ 4．若,24π

απ

<<则（ ）

A ．αααtan cos sin >>

B ．αααsin tan cos >>

C ．αααcos tan sin >>

D ．αααcos sin tan >>

5．函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（ ） A ． 52π B ．2

5π C ．π2 D ．π5 6．在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+

=x y 、)322cos(π+=x y 中，最小正周期为π的函数的个数为（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

二、填空题

7．关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题： ①对任意α，()f x 都是非奇非偶函数；②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α，()f x 都不是奇函数.其中一个假命题的序号是 ，因为当α= 时，该命题的结论不成立.

8．函数x

x y cos 2cos 2-+=的最大值为________. 9．若函数)3tan(2)(π+

=kx x f 的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______.

10．满足2

3sin =x 的x 的集合为_________________________________. 11．若)10(sin 2)(<<=??x x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则

?=________.

三、解答题

12．画出函数[]π2,0,sin 1∈-=x x y 的图象.

13．比较大小（1）00150sin ,110sin ；（2）0

0200tan ,220tan . 14．（1）求函数1sin 1log 2-=x

y 的定义域. （2）设()sin(cos ),(0)f x x x π=≤≤，求()f x 的最大值与最小值. 参考答案

一、选择题

1.C 当2π?=时，sin(2)cos 22y x x π=+=，而cos 2y x =是偶函数

2.C 111sin()sin()sin[()]sin()32323326

y x y x y x y x πππππ=-→=-→=+-→=- 3.B

5sin cos 0544(,)(,)tan 054240,24

ππαααπππαπαππ

απα?<????∈??>??<<<<<αααcos sin tan >>

5.D 252

5T ππ==

6. C 由x y sin =的图象知，它是非周期函数

二、填空题

7.① 0 此时()cos f x x =为偶函数

8.3 22221(2cos )2cos ,cos 11,3113

y y y x x x y y y ---=+=?-≤≤≤≤++ 9.2,3或 ,12,,2,32T k k N k k k π

π

π

π=<<<<∈?=而或 10.|2,2,33x x k k k Z ππππ??=+

+∈????或 11.34 [0,],0,0,3333

x x x ππωππω∈≤≤≤≤<

max 3()2sin

,332344

f x ωπωπωππω===== 三、解答题 12.解：将函数[]sin ,0,2y x x π=∈的图象关于x 轴对称，得函数

[]sin ,0,2y x x π=-∈的图象，再将函数[]sin ,0,2y x x π=-∈的图象向上平移一个单位即可.

13.解：（1）

00000000sin110sin 70,sin150sin 30,sin 70sin 30,sin110sin150==>∴>而

（2）

00000000tan 220tan 40,tan 200tan 20,tan 40tan 20,tan 220tan 200==>∴>而

14.解：（1）221111log 10,log 1,2,0sin sin sin sin 2

x x x x -≥≥≥<≤ 22,6k x k πππ<≤+或522,6k x k k Z ππππ+≤<+∈

5(2,2][2,2),()66

k k k k k Z π

πππππ++∈为所求. （2）0,1cos 1x x π≤≤-≤≤当时，而[11]-，是()sin f t t =的递增区间 当cos 1x =-时，min ()sin(1)sin1f x =-=-；

当cos 1x =时，max ()sin1f x =.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7ghl.html