2016年2016年贵州省贵阳一中高三数学第三轮冲刺（理科）

2016年2016年贵州省贵阳一中高三数学第三轮冲刺

数学理科

本卷共48题，三种题型：选择题、填空题和解答题。选择题30小题，填空题4小题，解答题14小题。

},B?{x|x 1.已知集合A?{x|log2x?1【答案】B 【解析】A?2?x?6?0},则(eRA)?B等于（ ）

A.{x|?2?x?1} B.{x|?2?x?2} C.{x|2?x?3} D.{x|x?2}

?x|x?2?,B??x|?2?x?3?,得eRA??x|x?2?，

4?bi?b?R?的实部为?1，则复数z?b在复平面上对应的点位于1?i(eRA)?B??x|?2?x?2?.

2. 已知复数z?（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C

(4?bi)(1?i)4?b4?b4+bi4?b??i，＝则由得b?6，??1，(1?i)(1?i)221-i2所以z??1?5i，所以z?b??7?5i，其在复平面上对应点为(?7,?5)，位于第三象限.

【解析】试题分析：z=3.若复数z满足z?1?i??1?i?i,则z的实部为（ ）

A.

2?12?1 B.2?1 C.1 D. 22【答案】A 【解析】由z?1?i??1?i?i=

2?i ,得z?2?12?12?i(2?i)(1?i)?i,=?221?i(1?i)(1?i)所以z的实部为2?1,故选A． 2?(0,)4.下列函数中，既是奇函数又在区间2上是减函数的是（ ）

A．y?x B. y??sinx C．y?2x?1 D．y?cosx

【答案】B

3【解析】选项C、D不是奇函数，y?x 在R上都是增函数，只有选项B符合.

3 5.若A?a,b?,B?c,d?是f?x??lnx图象上不同两点,则下列各点一定在f?x?图象上的

是( )

A.

?a?c,b?d? B.?a?c，bd? C.?ac,b?d? D.?ac,bd?

?a,b?,B?c,d?在f?x??lnx图象上,所以b?lna ,d?lnc,所以

【答案】C 【解析】因为Ab?d?lna?lnc?lnac,因此?ac,b?d?在f?x??lnx图象上,故选C．

y2?1的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（ ） 6.双曲线C:x?32A.

3231 B. C. D.

2232【答案】A

1【解析】?a?1,c?2,?C顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为.

27.在区间??1,1?内随机取两个实数x，y，则满足y?x2715 B. C. D. 9966【答案】D

A.

【解析】由题意知?2?1的概率是（ ）

??1?x?12表示的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足y?x?1??1?y?11?1的区域即为图中阴影部分，面积为2?1??x?1?x?dx?2?(x?1323)|1?1?10，所以所求3105概率为P?3?，故选D．

46

8.执行如图所示的程序框图，输出的结果S的值是（ ）

A．2 B．－【答案】A

11 C．－3 D．23

由程序框图知：s?2,i?1；s?1?21?31??3,i?2；s???,i?3; 1?21?3211?(?)2?1,i?4; s?11?(?)3213?2,i?5……，可知S出现周期为4， s?11?)3当 i?2017?4?504?1时，结束循环输出S，即输出的 s?2.

1?9.一个算法的程序框图如右图所示，若输入的x值为2016，则输出的i值为 ( )

A.3

B.4 C.5

D.6

【答案】A

【解析】：运转程序，a?2016,i?1;11b?,i?2,a?;?2015?2015

20152015b?,i?3,a?;20162016b?2016,结束，输出i?3.i10.若向量a,b满足|a|?|b|?2，a与b的夹角为60?，a在a+b上的投影等于 ( )

A.2 B.2 C.3 【答案】：C

D.4＋23

a?(a?b)a2?a?ba+b【解析】：a在上的投影为??2|a?b|(a?b)4?2a?2a?b?b22?623?3.

?2x?y?5≤0y?111.不等式组?的解集记为D，z?，有下面四个命题： ?3x?y≥0x?1?x?2y≤0?p1：?(x,y)?D，z≥1 p2：?(x,y)?D，z≥1 p3：?(x,y)?D，z≤2 p4：?(x,y)?D，z?0

其中的真命题是 ( ) A．p1，p2 B．p1，p3 C．p1，p4 【答案】D

D．p2，p3

【解析】可行域如图所示，A(1，3),B(2，1)，所以确，故答案为D.

所以

，故p2，p3 正

12.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的

几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是（ ）

【答案】B

【解析】由直观图可知俯视图应为正方形,排除A,C,又上半部分相邻两曲面的交线看得见,在俯视图中应为实线,故选B.

13．一个几何体的三视图如图2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是（ ）

23cm3 322 B.cm3

3 A. C.

47cm3 63 D.7cm 【答案】A

【解析】该几何体是棱长为2的正方体ABCD?A1BC11D1截去一个三棱锥C1?B1EF后所得的多面体，其体积为V?2?2?2??1123?1?1?2?.323

14.若数列{an}满足

1an－1－

1，则称数列{an}为调和数列．已知=d（n?N*,d为常数）

an数列{

1}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5?x16等于（ ） xnA．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【解析】∵数列??1?11为调和数列，∴-＝xn?1?xn＝d，∴?xn?是等差数列. ?11?xn?xn?1xn20(x1?x20)， ∴x1?x20?20.

2 又∵x1?x2???x20?200=

又?x1?x20?x5?x16,?x5?x16?20.

15.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第

22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A．

181616 B. C. D. 215312930?29d?390,2【答案】D

【解析】设从第2天起每天比前一天多织d尺布m , 则由题意知30?5?解得d?16. 2916.在某次联考测试中，学生数学成绩X?N?100,?2????0?，若

P(80?X?120)?0.8,则P(0?X?80)等于（ ）

A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2 【答案】B

【解析】由题意知P(80???120)?0.8，则由正态分布图象的对称性可知，

1P(0?X?80)?0.5??P(80?X?120)?0.1，故选B．

217．由1,2,3,0组成没有重复数字的三位数，其中0不在个位上，则这些三位数的和为（ ）

A.2544 B.1332 C.2532 D.1320 【答案】A

【解析】分两种情况：（1）所有不含0的三位数的和为

?1?2?3??A22??100?10?1??1332，

(2)含0且0只能在十位上的三位数的和为?1?2?3??A2??100?1??1212，那么可得符

1合条件的这些三位数之和为1332?1212?2544.

2xππ?ax?cos2x,若f()=2,则f(?)等于（ ） 18.已知f?x??x332?1A.?2 B.?1 C.0 D. 1

【答案】A

2x?ax?cos2x,所以【解析】因为f?x??x2?12x2?x2x1f?x??f??x??x??x?2cos2x ?x??2cos2x?1?2cos2x,所x2?12?12?11?2以f()+f(?)=1+2cosπ3π32π=0, 3 所以f(?)??f()??2.

π3π319.函数f(x)?Asin?2x???(???2)部分图象如图所示，对不同的x1,x2??a,b?，若

f?x1??f?x2?，有f?x1?x2??3，则（ ）

5?125?C．f?x?在(?12A．f?x?在(?【答案】C

?5?)上是减函数 B．f?x?在(,)上是减函数 1236??5?,)上是增函数 D．f?x?在(,)上是增函数 1236,?【解析】由图可知A?2，又由f?x1??f?x2?，知函数的图象关于直线x?a?bx1?x2?22对称，所以a?b?x1?x2．由五点法作图，得2a???0，2b????，所以a?b?则f(a?b)＝2sin(??2???)?2sin??f?x1?x2??3，即sni??所以f(x)?2sin(2x??2??，

?3，所以??，

32?37)，在(?5?????5??,)上，2x??(?,)，,)所以f?x?在(?12123221212上是增函数，故选C．

20．若?1?x??1?2x??a0?a1x?a2x2?????a8x8，则a1?a2?????a7的值是（ ）

A.?2 B.?3 C．125 D.?131

【答案】C

【解析】令x?0，得a0?1；令x?1，得?2?a0?a1?a2???a8，即

7??128，所以a1?a2???a7??3?a8?125，a1?a2???a8??3．又a8?(?2)7C7故选C．

x2y2a221.设点A、右焦点,直线x?F?c,0?分别是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右顶点、

abc交该双曲线的一条渐近线于点P．若?PAF是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ） A.3 B.3 C.2 D.2 【答案】D

【解析】显然PF?PA,PF?AF,所以由?PAF是等腰三角形得PA?AF.易知

a2aba2abA(a，0),P(，) ,所以(?a)2?()2?(c?a)2,

ccccaa?()2(a?c)2?()2(c2?a2)?(c?a)2cc11e?1?2?2??1. eee?1解得 e?2.故选D.

aac?a?()2?()2??1ccc?a22.过抛物线y2＝4x焦点F的直线交其于A,B两点，O为坐标原点．若AF?3，则

?AOB的面积为（ ）

A.

232 B.2 C. D.22 22【答案】C

【解析】设直线AB的倾斜角为?(0????)及

BF?m，∵AF?3，

221，则sin??． 33∴点A到准线 l:x??1的距离为 3，∴2?3cos??3,即cos?? ∵m?2?mcos(???)，∴m?23?.1?cos?2

∴?AOB的面积为 S?1132232. ?OF?AB?sin???1?(3?)??2223223.已知圆C1:x2?2cx?y2?0，圆C2:x2?2cx?y2?0，椭圆

x2y2C:2?2?1(a?b?0)的焦距为2c，若圆C1,C2都在椭圆C内，则椭圆C离心率的范

ab围是（ ）

A．[,1) B．(0，] C．[【答案】B

【解析】由题意，得圆C1,C2的圆心分别为(?c,0)和(c,0)，半径均为c，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆C1,C2都在椭圆内，则需满足不等式2c?a，

121222,1) D．(0，]

22所以离心率0?e?

c1?，故选B．a2

????????????????????????????????24.已知向量AB、AC、AD满足AC?AB?AD,AB?2,AD?1,E、F分别是线????????????????5段BC、CD的中点．若DE?BF??,则向量AB与向量AD的夹角为（ ）

4π2ππ5πA． B． C． D．

3366【答案】A 【解析】

????????1????????1????????5????????1????21????25DE?BF?(CB?CD)(CD?CB)?CB?CD?CD?CB??.

224224????????π????????1????????????????CD??,所以?CB，CD??,从而由CD?AB?2,BC?AD?1,可得cos?CB，23????????π?AB，AD??.故选A.

3?x?3,x?025.已知函数f?x???满足条件：对于?x1?R，?唯一的x2?R，使得

?ax?b,x?0f?x1??f?x2?.当f?2a??f?3b?成立时，则实数a?b?( )

A.

6666 B.? C.+3 D.?+3 2222【答案】D

【解析】由题设条件对于?x1?R，存在唯一的x2?R，使得f?x1??f?x2?知f?x?在

???,0?和?0,???上单调，得b?3，且a?0.由f?2a??f?3b?有2a2?3?之得a??9?3，解

66，故a?b???3，选D. 222x的图象大致为（ ） lnx26.函数y?

【答案】D

【解析】当0?x?1时，lnx?0，所以y?0，排除B、C；当x?1时，由于函数y?2x比

y?lnx随x的增长速度快，所以随x的增大，y?D．

2x的变化也逐渐增大，排除A，故选lnx?27.已知定义在(0,)上的函数f(x),f?(x)为其导数,且f(x)?f?(x)tanx恒成立，则

2（ ） A.3f()??42f() B.2f()?f()

364???C.3f()?f() D.f?1??2f()?sin1

???636【答案】C

【解析】因为x?(0,?2)，所以sinx?0,cosx?0，则由f(x)?f?(x)tanx得

f(x)?f?(x)sinxsinx，即cosxf(x)?sinxf?(x)?0．令F(x)=，则cosxf(x)F?(x)=(sinxcosf(x)?sinxf?(x)?)???0F(x)(0,)上递减，所以，所以在22f(x)[f(x)]F()?F()，即

63??sin?6?3，即3f(?)?f(?)，故选C．

??63f()f()63sin?28.若过点P?a,a?与曲线f?x??xlnx相切的直线有两条,则实数a的取值范围是( )

A.???,e? B.?e,??? C.?0,? D.?1,??? 【答案】B

【解析】设切点为Q?t,tlnt?,则切线斜率k?f??t?=1?lnt,所以切线方程为

?1??e?y?tlnt??1?lnt??x?t?,把P?a,a?代入得a?tlnt??1?lnt??a?t?,整理得alnt?t,

显然a?0,所以

1lntlnt1?,设g?t??,则问题转化为直线y?与函数g?t?图象有两atta

1?lnt ,可得g?t?在?0,e?递增,?e,???递减,在x?e处取得极t2111大值,结合g?t?图象,可得0???a?e ,故选B.

eae????????????????AC?1,3BD??3,1,,则AB?CD的29.已知四边形ABCD的对角线相交于一点,

个不同交点,由g??t??????最小值是（ ）

A.2 B.4 C.?2 D.?4

【答案】C

??x?x1??3,【解析】取A(0,0),则C(1,3)；设B(x1,y1),D(x2,y2),则?2

??y2?y1?1.????????所以AB??x1,y1??x2?3,y2?1 ,CD?x2?1,y2?3,

???? 求得AB?CD?(x2?????????3?123?12)?(y2?)?2??2, 22??3?1?,?x2??x1???2当?且??y?3?1,?y?12???2?线恰好相交于一点,故选C.

3?1,????????2时,AB?CD取到最小值?2,此时四边形ABCD的对角3?1230.定义在R上的函数f?x?对任意x1,x2?x1?x2?都有

f?x1??f?x2?x1?x2?0，且函数

22y?f?x?1?的图象关于（1,0）成中心对称，若s,t满足不等式f?s?2s???f?2t?t?，

则当1?s?4时，

t?2s的取值范围是（ ） s?tA．??3,?? B．??3,?? C．??5,?? D．??5,??

2222??1????1????1????1??【答案】D

【解析】不妨设x1?x2，则x1?x2?0．由

f(x1)?f(x2)?0，知f(x1)?f(x2)?0，即

x1?x2f(x1)?f(x2)，所以函数f(x)为减函数．因为函数y?f(x?1)的图象关于(1,0)成中心

对称，所以y?f(x)为奇函数，所以f(s?2s)??f(2t?t)?f(t?2t)，所以

222s2?2s?t2?2t，即(s?t)(s?t?2)?0．因为

t?2s3s3，而在条件?1??1?ts?ts?t1?s?(s?t)(s?t?2)?0t1t133下，易求得?[?,1]，所以1??[,2]，所以?[,6]，所?ts2s22?1?s?41?s以1?t?2s11?[?5,?]，故选D． ?[?5,?]，即

ts?t221?s331.已知边长为3的正?ABC的三个顶点都在球O的表面上，且OA与平面ABC所成的角

为30，则球O的表面积为________．

【答案】16?

【解析】设正?ABC的外接圆圆心为O1， 易知AO1?3，在Rt?OO1A中，

?OA?O1A24??2?16?. ?2，故球的表面积为O?cos30?y?x?32.设m?1,当实数x,y满足不等式组?y?2x时，目标函数z?x?my的最大值等于2，

?x?y?1?则m的值是_______．

【答案】

52

【解析】根据不等式组画出可行域为图中阴影部分，目标函数可写为y??1zx?，因为mm1112m?1，所以?1???0，将函数y??x的图象平移经过可行域时，在G点(,)处

mm3312m5y取最大值，此时z?2，所以有2??，解得m?.

33233.已知数列{an}中,对任意的n?N*,若满足an?an?1?an?2?an?3?s（s为常数）,则称

该数列为4阶等和数列,其中s为4阶公和；若满足an?an?1?an?2?t（t为常数）,则称该数

列为3阶等积数列,其中t为3阶公积,已知数列{pn}为首项为1的4阶等和数列,且满足

p4p3p2???2；数列{qn}为公积为1的3阶等积数列,且q1?q2??1,设Sn为数列p3p2p1{pn?qn}的前n项和,则S2016? ___________．

【答案】?2520

【解析】由题意可知,

p1?1,p2?2,p3?4,p4?8,p5?1,p6?2,p7?4,p8?8,p9?1,p10?2,p11?4,p12?8,p13?1,……,又∵{pn}是4阶等和数列,因此该数列将会照此规律循环

下去,同

理,q1??1,q2??1,q3?1,q4??1,q5??1,q6?1,q7??1,q8??1,q9?1,

q10??1,q11??1,q12?1,q13??1,……,又∵{qn}是3阶等积数列,因此该数列将会照

此规律循环下去,由此可知对于数列{pn?qn},每12项的和循环一次,易求出

p1?q1?p2?q2?...?p12?q12??15,因此S2016中有168组循环结构,故S2016??15?168??2520．

34.用g?n?表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，

g?9??9,10的因数有1,2,5,10，g?10??5，那么

g?1??g?2??g?3??????g?22015?1?? . 42015?1【答案】

3【解析】由g(n)的定义易知当n为偶数时，g(n)?g()，且当n为奇数时，g(n)?n．令

n2f(n)?g(1)＋g(2)?g(3)???g(2n?1)，则

f(n?1)?g(1)?g(2)?g(3)???g(2n?1?1)＝1?3???(2n?1?1)＋g(2)?g(4)???g(2n?1?2)＝

2n(1?2n?1?1)?g(1)?g(2)?g(4)???g(2n?1?2)?4n?f(n)，即f(n?1)－

2f(n)?4n，分别取n为1,2,?,n并累加得

f(n?1)?f(1)?4?42???4n?f(n?1)?4n(4?1)．又f(1)?g(1)＝1，所以34n(4?1)?1，所以f(n)?g(1)?g(2)?g(3)???g(2n?1)＝342015?14n?12015． (4?1)?1．令n?2015，得g(1)?g(2)?g(3)???g(2?1)?3335.（本小题满分12分）

在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知2cos?B?C??1?4sinBsinC.

(1)求A；

(2)若a?27，?ABC的面积23，求b?c. 【答案】：（1）

2?，（2）b?c?6. 3【解析】：（1）由2cos?B?C??1?4sinBsinC， 得2?cosBcosC?sinBsinC??4sinBsinC?1，

即2?cosBcosC?sinBsinC??1，亦即2cos?B?C??1，∴cos?B?C??∵0?B?C??,?B?C?（2）由（1）得A?1. 2?3,∵A?B?C??,∴A?2?. 32?12??23,?bc?8.① .由S?23，得bcsin32322?22222由余弦定理a?b?c?2bccosA，得27?b?c?2bccos，

3222即b?c?bc?28.∴?b?c??bc?28.②,将①代入②，

??得?b?c??8?28，∴b?c?6.

236.（本小题满分12分）

如图，在?ABC中，点D在边BC上，?CAD?（1）求sin?C的值；

（2）若?ABD的面积为7，求AB的长.

?4,AC?72，cos?ADB??. 210

【答案】（1）

4；（2）37． 5【解析】（1）因为cos?ADB???272，所以sin?ADB?.又因为?CAD?,所以

41010?C??ADB??,所以sin?C?sin(?ADB?)?sin?ADBcos?cos?ADBsin

4444???722224????. 1021025ADAC?，

sin?Csin?ADC74?AC?sin?CAC?sin?CAC?sin?C25故AD?????22.

sin?ADCsin(???ADB)sin?ADB7210（2）在?ADC中，由正弦定理得又S?ABD?1172?AD?AB?sin?ADB??22?BD??7,解得BD?5. 2210在?ADB中，由余弦定理得

AB2?AD2?BD2?2AD?BD?cos?ADB?8?25?2?22?5?(?2)?37. 1037.（本小题满分12分）

已知公差不为0的等差数列{an}中，a1?2，且a2?1,a4?1,a8?1成等比数列. (1)求数列?an?通项公式； (2)设数列{bn}满足bn?453，求适合方程b1b2?b2b3?...?bnbn?1?的正整数n的值.

32an【答案】（1）an?3n?1；（2）10.

【解析】：(1)设等差数列{an}的公差为d，由a2?1,a4?1,a8?1，得， (3?3d)2?(3?d)(3?7d),解得d?3或d?0（舍）故an?a1?(n?1)d?2?3(n?1)?3n?1. (2)由（1）知bn?3911?3(?). ，bnbn?1?3n?1(3n?1)(3n?2)3n?13n?2111111119nb1b2?b2b3?...?bnbn?1?3(?+?+??)?3(?)?,25583n?13n?223n?26n?4

9n45?,解得n?10. 依题有

6n?432

38.（本小题满分12分）

*设n?N，数列?an?的前n项和为Sn，已知Sn?1?Sn?an?2，a1,a2,a5成等比数列.

（1）求数列?an?的通项公式； （2）若数列?bn?满足

bn?(2)1?an，求数列?bn?的前n项和Tn. an*【答案】（1）an?2n?1；（2）Tn?(2n?3)2n?1?6． 【解析】(1)由Sn?1?Sn?an?2得：an?1?an?2(n?N)， ∴数列?an?是以a1为首项，2为公差的等差数列， 由a1,a2,a5成等比数列得(a1?2)?=a1(a1+8)，解得a1=1， ∴an?2n?1(n?N).

（2）由(1)可得bn?(2n?1)?(2)∴Tn?b1?b2?b3?...?bn?1?bn,

即Tn?1?2?3?2?5?2?...?(2n?1)?2①，

123n2n*?(2n?1)2n，

2Tn?1?22?3?23?...?(2n?3)?2n?(2n?1)?2n?1②，

23nn?1?T?2?2(2?2?...?2)?(2n?1)2, n①-②可得

∴Tn?(2n?3)2n?1?6.

39.（本小题满分12分）

近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达

918亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.

(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关？

(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：

①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X的数学期望和方差.

P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828n(ad?bc)2（K?,其中n?a?b?c?d）

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关； （2）① 1 2 3 4 5 X 0 P 3()55 32332C()()23231C5()()4 C52()2()3 555555523C54()4()155 2()5 5 ②E(X)?2,D(X)?.

5【解析】：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：

6 对商品好评 对商品不满意 合计 2对服务好评 80 70 150 对服务不满意 40 10 50 合计 120 80 200 200?(80?10?40?70)2K??11.111?10.828,

150?50?120?80故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关.

2,且X的取值可以是0,1,2,3,4,5. 535123422233其中P(X?0)?()；P(X?1)?C5()()；P(X?2)?C5()()；

5555523232332P(X?3)?C5()()；P(X?4)?C54()4()1；P(X?5)?()5.

55555X的分布列为： 1 2 3 4 5 X 0 33233242431()5C()()C2323215()()C5()()4 C52()2()3 555()5 P 55555555(2)①每次购物时,对商品和服务都好评的概率为

②由于X~B(5,),则E(X)?5?252226?2,D(X)?5??(1?)?. 555540.（本小题满分12分）

某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A、B两所学

校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：

（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；

(2) 记事件C为“A校学生计算机优秀成绩高于B校学生计算机优秀成绩”．假设7分或7分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立．根据所给样本数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．

【答案】（1）xA?xB?1.5,SA?1.5,SB?1.8;（2）P(C)?0.02.

【解析】：（1）从A校样本数据的条形图可知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9

分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人. A校样本的平均成绩为xA?224?6?5?15?6?21?7?12?8?3?9?3?6（分），

602A校样本的方差为SA?1?6?(4?6)2???3?(9?6)2????1.5. 604?9?5?12?6?21?7?9?8?6?9?3?6（分），

60从B校样本数据统计表可知： B校样本的平均成绩为xB?2B校样本的方差为SB?122??9?(4?6)???3?(9?6)??1.8. 60?22因为xA?xB,所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为SA?SB，所以A校的学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比B校好.

(2) 记CA1表示事件“A校学生计算机成绩为8分或9分”，

CA2表示事件“A校学生计算机成绩为9分”，

CB1表示事件“B校学生计算机成绩为7分”，CB2表示事件“B校学生计算机成绩为8分”，

则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C?CB1CA1?CB2CA2．

P(C)?P(CB1CA1?CB2CA2)?P(CB1CA1)?P(CB2CA2)?P(CB1)P(CA1)?P(CB2)P(CA2)．

由所给数据得CA1，CA2，CB1，CB2发生的概率分别为

6396，P(CA2)=，P(CB1)=，P(CB2)?， 606060609663?+??0.02． 故P(C)=6060606041.（本小题满分12分）

P(CA1)=如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD?平面

ABPE=AB，且AB?BP?2,AD?AE?1，AE?AB,且AE∥BP．

（1）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；

（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

2？若存5【答案】：（1）证明见解析；（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为

2，理由见解析． 5C?AB，【解析】：（1）证明：（方法一）由已知，平面ABCD?平面ABPE，且B则BC?平面ABPE，所以BA,BP,BC两两垂直，故以B为原点，BA,BP,BC分别为x轴，y轴，

?????????????z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

?????11则P(0,2,0),D(2,0,1),M(1,1,),E(2,1,0),C(0,0,1)，所以EM=(?1,0,)．

22易知平面ABCD的一个法向量等于n?(0,1,0)，

?????????????1因为EM?n=(?1,0,)?(0,1,0)?0，所以EM?n，

2又EM?平面ABCD，所以EM∥平面ABCD．

（方法二）由已知，平面ABCD?平面ABPE，且BC?AB，则BC?平面ABPE，

所以BA,BP,BC两两垂直．连结AC,BD，其交点记为O，连结MO，EM． 因为四边形ABCD为矩形，

所以O为BD中点．因为M为PD中点，

1所以OM∥PB，且OM?PB．

2又因为AE∥PB，且AE?1PB， 2所以AE∥OM，且AE=OM．

所以四边形AEMO是平行四边形，所以EM∥AO.

因为EM?平面ABCD，AO?平面ABCD，所以EM∥平面ABCD． （2）当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为理由如下：

2． 5??????????因为PD?(2,?2,1),CD?(2,0,0)，设平面PCD的一个法向量为n1?(x1,y1,z1)，

????????n1?PD?0,?2x1?2y1?z1?0,由??????得? ???n1?CD?0?2x1?0.??取y1?1，得平面PCD的一个法向量n1?(0,1,2)．

假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角?的正弦值等于

2． 5????????设PN??PD(0???1)，

????????????????则PN??(2,?2,1)?(2?,?2?,?)，BN?BP?PN?(2?,2?2?,?)． ????????????|BN?n1|??? 所以sin??|cos?BN,n1?|????|BN|?|n1|?25?(2?)2?(2?2?)2?(?)2?25?9?2?8??4?2． 51（舍去）． 9因此，线段PD上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正

2弦值等于．

542.（本小题满分12分）

所以9?2?8??1?0，解得??1或???

正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD?CD,AB//CD,

AB?AD?1CD?2，点M在线段EC上且不与E,C重合． 2

（1）当点M是EC中点时，求证：BM//平面ADEF；

（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为体积．

【答案】：（1）证明见解析；（2）.

6时，求三棱锥M?BDE的643【解析】：（1）由题意：以点D为坐标原点，DA方向为x轴，DC为y轴，DE为z轴建

立空间直角坐标系，则A?2,0,0?,B?2,2,0?,C?0,4,0?,E?0,0,2?,M?0,2,1?，

?????????∴BM???2,0,1?，平面ADEF的一个法向量DC??0,4,0?，

???????????????????BM?DC?0，∴BM?DC，即BM//平面ADEF．

?????????（2）设EM?tEC?t?0,4,?2???0,4t,?2t?，故点M?0,4t,2?2t??0?t?1?，

设平面BDM的一个法向量n1???x,y,z?，则

???????????DB?n1?2x?2y?0,DM?n1?4ty??2?2t?z?0．

??????2t?令y??1，则n1??1,?1,?，易知平面ABF的一个法向量n2??1,0,0?，

1?t???????n1?n2?????∵cos?n1,n2????????n1?n212?4t2?216，解得t?，

26?1?t?∴M?0,2,1?为BC的中点，S?DBM?∴VM?BDE?1S?CDM?2，B到面DEM的距离h?2， 214?S?DEM?h?. 3343.（本小题满分12分）

x22?y?1(a?0)的右焦点，已知点F是椭圆点M(m,0)、N(0,n)分别是x轴、y轴21?a上的动点，且满足MN?NF?0．若点P满足OM?2ON?PO．

（1）求点P的轨迹C的方程；

（2）设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A、B两点，直线OA、OB与直线

????????，试判断FS?FT是否为定值？若是，求出这个x??a分别交于点S、T（O为坐标原点）

定值；若不是，请说明理由．

????????【答案】（1）y?4ax；（2）FS?FT的值是定值，且定值为0．

2x22?y?1(a?0)右焦点F的坐标为(a,0)， 【解析】（1）?椭圆21?a??????????NF?(a,?n)．?MN?(?m,n)，?由MN?NF?0，得n2?am?0．

设点P的坐标为(x,y)，由OM?2ON?PO，有(m,0)?2(0,n)?(?x,?y)，

?m??x,?22?y代入n?am?0，得y?4ax． n?.?2?y12y22,y1)、B(,y2)， （2）(法一)设直线AB的方程为x?ty?a，A(4a4a则lOA:y?4a4ax，lOB:y?x． y1y24a?y?x,4a24a2?

y1，得S(?a,?由?)， 同理得T(?a,?)．

yy12?x??a

?

????????????????4a24a216a42． ?FS?(?2a,?)，FT?(?2a,?)，则FS?FT?4a?y1y2y1y2?x?ty?a,由?2，得y2?4aty?4a2?0，?y1y2??4a2． ?y?4ax16a4则FS?FT?4a??4a2?4a2?0． 2(?4a)????????因此，FS?FT的值是定值，且定值为0．

(法二)①当AB?x时， A(a,2a)、B(a,?2a)，则lOA:y?2x， lOB:y??2x．

?????y?2x,由? 得点S的坐标为S(?a,?2a)，则FS?(?2a,?2a)． ?x??a?????y??2x,由? 得点T的坐标为T(?a,2a)，则FT?(?2a,2a)．

x??a??????????FS?FT?(?2a)?(?2a)?(?2a)?2a?0．

2y②当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为y?k(x?a)(k?0)，A(1,y1)、

4a2????????16a4y22． B(,y2)，同解法一，得FS?FT?4a?4ay1y22 由??y?k(x?a),2?y?4ax，得ky?4ay?4ka?0，?y1y2??4a2．

2216a422?4a?4a?0． 则FS?FT?4a?2(?4a)????????因此，FS?FT的值是定值，且定值为0．

244.（本小题满分12分）

x2y2以椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为6，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于ab323. （1）求椭圆C的标准方程；

（2）过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于P,Q两点，A是椭圆C的右顶点，直线

AP、AQ分别与y轴交于点M、N，问：以MN为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若

恒过x轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x轴上的定点，请说明理由.

x2?y2?1；【答案】（1）（2）以MN为直径的圆恒过x轴上的定点(?1,0)，(1,0). 3【解析】（1）依题意，得

c6?,ab?3,又a2?b2?c2, a3?x2?a?3,?y2?1. 解得?故椭圆C的标准方程为3??b?1,（2）A(3,0)，设M(0,m)，N(0,n)，P(x0,y0)，

x02?y02?1（1）则由题意，可得， 3?????????且Q(?x0,?y0)，AP?(x0?3,y0)，AM?(?3,m). ?????????因为A,P,M三点共线，所以AP?AM，

故有(x0?3)m??3y0，解得m??3y0?3y0；同理，可得n?.

x0?3x0?3??????????????????假设存在满足题意的x轴上的定点R(t,0)，则有RM?RN，即RM?RN?0.

?????????因为RM?(?t,m)，RN?(?t,n)，

3y02所以t?mn?0，即t?， ??0，整理得t??2x0?3x0?3x0?322?3y0?3y0222又由（1），得3y0?3?x0，所以t?1，解得t?1或t??1.

2故以MN为直径的圆恒过x轴上的定点(?1,0),(1,0). 方法二：

（1）同方法一；

（2）①当直线l的斜率不存在时，有P(0,1)，Q(0,?1)，M(0,1)，N(0,?1)，此时以MN为直径的圆经过x轴上的点(?1,0)和(1,0)； ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?kx，

?x2233k33k??y?1,,)，Q(?联立方程组?3，解得P(,?). 22223k?13k?13k?13k?1?y?kx,?设M(0,m)，N(0,n)

又直线AP的斜率k1?k1?3k2?1，直线AM的斜率k2??m， 3，

因为A,P,M三点共线，所以k1?k2，解得得m?3k3k?1?12同理，可得n??3k3k?1?12，

假设存在满足题意的x轴上的定点R(t,0)，则有RM?RN， 直线RM的斜率k3??mn，直线RN的斜率k4??， tt2所以k3k4??1，故有t??mn，即t2?整理，得t?1，解得t?1或t??1，

23k3k?1?12?3k3k?1?12，

综合①②，可知以MN为直径的圆恒过x轴上的定点(?1,0)，(1,0).

45.（本小题满分12分）

已知函数f?x??alnx?ax?3（a?0）． （1）讨论f?x?的单调性；

2（2）若f?x???a?1?x?4?e?0对任意x???e,e??恒成立，求实数a的取值范围（e为

自然常数）；

2222（3）求证：ln2?1?ln3?1?ln4?1?????lnn?1?1?2lnn!（n?2，

????????n???）．

【答案】：（1）当a?0时，增区间为?0,1?，减区间为?1,???；当a?0时，增区间为?1,???，

e?1?e2减区间为?0,1?；（2）a?；（3）见解析．

2【解析】：（1）f?(x)?a(1?x)(x?0)， x当a?0时，f(x)的单调增区间为(0,1]，单调减区间为[1,??)； 当a?0时，f(x)的单调增区间为[1,??)，单调减区间为(0,1]． （2）令F(x)?alnx?ax?3?ax?x?4?e?alnx?x?1?e,F?(x)? 若?a?e，a??e，F(x)在e,e上是增函数，

x?a?0. x??2F(x)maxe?1?e2?F(e)?2a?e?e?1?0,a?无解．

222若e??a?e，?e?a??e，F(x)在[e,?a]上是减函数；在[?a,e2]上是增函数，

22e?1?e2,F(e)?a?1?0,a??1.F(e)?2a?e?e?1?0,a?222e?1?e2??e?a?.

222若?a?e，a??e，F(x)在[e,e]上是减函数，

22F(x)max?F(e)?a?1?0,a??1，?a??e2.

e?1?e2. 综上所述a?2（3）令a??1（或a?1），此时f(x)??lnx?x?3，所以f(1)??2，

由（1）知f(x)??lnx?x?3在(1,??)上单调递增，∴当x?(1,??)时，f(x)?f(1)，即?lnx?x?1?0，∴lnx?x?1对一切x?(1,??)成立， ∵n?2,n?N*，则有ln(2211111?1)????， 22nn(n?1)nn?1n22?要证ln(2?1)?ln(3?1)?ln(4?1)???ln(n?1)?1?2lnn!(n?2,n?N)，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7gf.html