《大学物理》第二版课后习题答案第九章

习题精解

9-1.在气垫导轨上质量为m 的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端，如图9-1所示，试证明物体m 的左右运动为简谐振动，并求其振动周期。设弹簧的劲度系数为k 1和k 2. 解：取物体在平衡位置为坐标原点，则物体在任意位置时受的力为

12()F k k x =-+

根据牛顿第二定律有 2122()d x F k k x ma m dt

=-+== 化简得 21220k k d x x dt m

++= 令2

12k k m ω+=则2220d x x dt ω+=所以物体做简谐振动，其周期

22T π

ω==9-2 如图所示在电场强度为E 的匀强电场中，放置一电偶极矩P=ql 的电偶极子，+q 和-q 相距l ，且l 不变。若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动消息后，这对电荷会以垂直与电场并通过l 的中心点o 的直线为轴来回摆动。试证明这种摆动是近似的简谐振动，并求其振动周期。设电荷的质量皆为m ，重力忽略不计。

解 取逆时针的力矩方向为正方向，当电偶极子在如图所示位置时，电偶极子所受力矩为 sin sin sin 22l l M qE

qE qEl θθθ=--=- 电偶极子对中心O 点的转动惯量为

2221222

l l J m m ml ????=+= ? ????? 由转动定律知

2221sin 2d M qEl J ml dt θθβ=-==? 化简得

222sin 0d qE dt ml

θθ+= 当角度很小时有sin 0θ≈，若令22qE ml

ω=，则上式变为 222sin 0d dt θωθ+=

所以电偶极子的微小摆动是简谐振动。而且其周期为

22T π

ω== 9-3 汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上，成为一倒置的弹簧振子。汽车为开动时，上下为自由振动的频率应保持在 1.3v Hz = 附近，与人的步行频率接近，才能使乘客没有不适之感。问汽车正常载重时，每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度

解 汽车正常载重时的质量为m ，振子总劲度系数为k ，则振动的周期为2T =频率

为1v T == 正常载重时弹簧的压缩量为

22220.15()44mg T g x g m k v

ππ==== 9-4 一根质量为m ，长为l 的均匀细棒，一端悬挂在水平轴O 点，如图所示。开始棒在平衡

位置OO ，处于平衡状态。将棒拉开微小角度后放手，棒将在重力矩作用下，绕O 点在竖直平面内来回摆动。此装置时最简单的物理摆。

若不计棒与轴的摩擦力和空气的阻力，棒将摆动不止。试证明摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动，并求其振动周期。

解 设在某一时刻，细棒偏离铅直线的角位移为θ，并规定细棒在平衡位置向右时θ为正，在向左时为负，则力矩为

1sin 2

M mg l θ=- 负号表示力矩方向与角位移方向相反，细棒对O 点转动惯量为213J ml =

,根据转动定律有 222

11sin 23d M mgl J ml dt θθβ=-== 化简得

223sin 02d g dt l

θθ+= 当θ很小时有sin θθ≈，若令232g l

ω=则上式变为 222sin 0d dt

θωθ+=

所以细棒的摆动为简谐振动，其周期为

22T π

ω==

9-5 一放置在水平光滑桌面上的弹簧振子，振幅2210A m -=?，周期0.50T s =，当t=0时，

（1）物体在正方向的端点；

（2）物体在负方向的端点；

(3) 物体在平衡位置，向负方向运动;

(4）物体在平衡位置，向负方向运动;

(5)物体在21.010x m -=?处向负方向运动

(6)物体在21.010x m -=-?处向正方向运动。求以上各种情况的振动方程。

解 由题意知2122.010,0.5,4A m T s s T

πωπ--=?=== （1）由初始条件得初想为是10?=,所以振动方程为

2210cos 4()x m π-=?

（2）由初始条件得初想为是2?π=，所以振动方程为

2210cos(4)()x t m ππ-=?+

（3）由初始条件得初想为是32π?=

，所以振动方程为 2210cos(4)()2

x t m ππ-=?+ （4）由初始条件得初想为是432

π?=，所以振动方程为 23210cos(4)()2

x t m ππ-=?+ （5）因为2052110cos 0.5210x A ?--?===?，所以55,33ππ?=，取53

π?=（因为速度小于零），所以振动方程为

2210cos(4)()3x t m π

π-=?+ （6）2062110cos 0.5210x A ?---?===-?，所以624,33ππ?=，取643

π?=（因为速度大于零），所以振动方程为

24210cos(4)()3

x t m ππ-=?+ 9-6一质点沿x 轴做简谐振动，振幅为0.12m ，周期为2s ，当t=0时，质点的位置在0.06m 处，且向x 轴正方向运动，求；

（1）质点振动的运动方程；

（2）t=时，质点的位置、速度、加速度；

（3）质点x=-0.06m 处，且向x 轴负方向运动，在回到平衡位置所需最短的时间。 解 （1）由题意可知：0020.12,,cos A m x A T πωπ?==

==可求得03π?=-（初速度为零），所以质点的运动方程为

0.12cos 3x t ππ??=- ??

? （2） 0.50.12cos 0.50.1()3t x m ππ=??=-= ??

? 任意时刻的速度为

0.12cos 3v t ππ??=-- ??

? 所以

10.50.12cos 0.50.19()3t v m s ππ-=??=--=-? ??

? 任意时刻的加速度为

20.12cos 3a t πππ??=-- ??? 所以

()220.50.12cos 0.5 1.03t a m s πππ-=??=--=-? ??

? （3）根据题意画旋转矢量图如图所示。

由图可知，质点在x=-0.06m 处，且向x 轴负方向运动，再回到平衡位置相位的变化为 325236

?πππ?=-= 所以 ()50.8336t s ?ω

??==≈ 9-7 一弹簧悬挂0.01kg 砝码时伸长8cm ，现在这根弹簧下悬挂0.025kg 的物体，使它作自由振动。请建立坐标系，分析对下述3种情况列出初始条件，求出振幅和初相位，最后建立振动方程。

（1）开始时，使物体从平衡位置向下移动4cm 后松手；

（2）开始时，物体在平衡位置，给以向上的初速度，使其振动；

（3）把物体从平衡位置向下拉动4cm 后，又给以向上121cm s -?的初速度，同时开始计时。 解 （1）取物体处在平衡位置为坐标原点，向下为x 轴正方向，建立如图所示坐标系。 系统振动的圆频率为

()17s ω-==== 根据题意，初始条件为

010

40x cm v cm s -=??=??

振幅4A cm ==，初相位10?=

振动方程为

4cos7()x t m =

（2）根据题意，初始条件为

010021x cm v cm s

-=??=-??

振幅3A cm ==，初相位22π

?=

振动方程为

3cos(7)()2x t m π

=+ （3）根据题意，初始条件为

010

421x cm v cm s -=??=-??

振幅5A cm ==，030tan 0.75v x ?ω

=-=，得30.64?= 振动方程为

5cos(70.64)()x t m =+

9-8 质量为0.1kg 的物体，以振幅21.010A m -=?做简谐振动，其最大加速度为

24.0m s -?，求：（1）振动周期；（2）通过平衡位置时的动能；（3）总能量。

解 （1）简谐振动的物体的最大加速度为

2max a A ω=

()120s ω-===，所以周期为()220.31420

T s ππω===。 （2）做简谐振动的物体通过平衡位置时具有最大速度

max v A ω=

所以动能为

()()222223max 1110.1 1.010********

k E mv mA J ω--===????=? （3）总能量为

()3210k E E J -==?总

9-9 弹簧振子在光滑的水平上面上做振幅为0A 的简谐振动，如图所示，物体的质量为M ，弹簧的劲度系数为k ，当物体到达平衡位置且向负方向运动时，一质量为m 的小泥团以速度v '从右打来，并粘附于物体之上，若以此时刻作为起始时刻，求：

（1）系统振动的圆频率；

（2）按图示坐标列出初始条件；

（3）写出振动方程；

解 （1）小泥团粘附于物体之后与物体一起做简谐振动，总质量为M+m ，弹簧的劲度系数为k ，所以系统振动的圆频率为

ω=（2）小泥团粘附于物体之上后动量守恒，所以有

()0Mv mv M m v '--=+ 0Mv mv v M m

'+=-+ 按图所示坐标初始条件为000x Mv mv v M m =??'+?=-?+?

（3）根据初始条件，系统振动的初相位为2π?=

；假设，系统的振动振幅为A ，根据能量守恒，有

()2

220111()222Mv mv kA M m v M m

'+=+=+ 其中

2201122

Mv kA = 故得

A = 振动方程为

()2x t m π?=+???

9-10 有一个弹簧振子，振幅2210A m -=?，周期T=1s ，初相位34?π=

，（1）写出它的振动方程；（2）利用旋转矢量图，作x-t 图。

解 （1）由题意可知，22T

πωπ==，所以弹簧振子的振动方程为 ()23210cos 24x t m ππ-?

?=?+ ???

（2）利用旋转矢量图做x-t 图如图所示

9-11 一物体做简谐振动，（1）当它的位置在振幅一半处时，试利用旋转矢量计算它的相位可能为哪几个值做出这些旋转矢量；（2）谐振子在这些位置时，其动能。势能各占总能量的百分比是多少

解 （1）根据题意做旋转矢量如图所示。

由图可知，当它的位置在振幅的一半时，它的可能相位是

2,33

π

π±± （2）物体做简谐振动时的总能量为212W kA =，在任意位置时的时能为212

p W kx =，所以当它的位置在振幅的一半时的势能为22111228

p W k A kA ??== ???，势能占总能量的百分比为25%，动能占总能量的百分比为75%。

9-12 手持一块平板，平板上放以质量为0.5kg 的砝码，现使平板在竖直方向上下振动，设该振动是简谐振动，频率为2Hz ，振幅是0.04m,问：

（1） 位移最大时，砝码对平板的正压力多大

（2）以多大的振幅振动时，会使砝码脱离平板

(3) 如果振动频率加快一倍则砝码随板保持一起振动的振幅上限是多大

解 （1）由题意可知，1

24,0.04v s A m ωππ-===。因为物体在作简谐振动，物体在最

大位移时加速度大小222max 0.04160.64a A ωππ==?= 根据牛顿第二定律有

1max

2max N mg ma mg N ma -=-=

解得18.06N N =（最低位置），2 1.74N N = (最高位置)

（2）当2max mg ma mA ω==，即时0.062A m = 会使砝码脱离平板。

（3）频率增大一倍，把12ωω=代入2max 11mg ma mA ω==得

()211 1.55104

A A m -==? 9-13 有两个完全相同的弹簧振子A 和

B ，并排地放在光滑的水平面上，测得它们的周期都是2s 。现将两个物体从平衡位置向右拉开5cm ，然后先释放A 振子，经过后，再释放B 振子，如图所示，若以B 振子释放的瞬间作为时间的起点，

（1）分别写出两个物体的振动方程；

（2）它们的相位差为多少分别画出它们的x-t 图。

解 （1）由题可知，两物体做简谐振动的圆频率为2T

πωπ==，若以B 振子释放的瞬时作为时间的起点，则B 物体振动的初相位是0B ?=，振动方程应为

5cos ()B x t cm π=

由于A 物体先释放时的时间，所以相位超前B 物体0.522T π?π?=?

=，所以A 物体振动的初相位是2A π?=

，振动方程应为 ()5cos 2A x t cm ππ??=+ ??

? （2）它们的相位差为 2π

??=

作A,B 两物体的振动曲线如图所示。

9-14 一质点同时参与两个方向、同频率的简谐振动，它们的振动方程分别为

126cos 268cos 23x t cm x t cm ππ??=+ ?????=- ??

? 试 用旋转矢量求出合振动方程。

解 作旋转矢量如图所示。

由平面几何关系可知

12106tan 0.758

A cm

A A ?=

==== 合振动的初相位是

0.43πα???=--=- ???

所以合振动的振动方程为

()()10cos 20.4x t cm =-

9-15 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为，合振动的相位于第一个振动的相位之差为6

π，若第一个振动的振幅为0.173m ，求第二个振动的振幅，第一、第二两振动的相位差。

解 做旋转矢量如图所示。

由平面几何关系可知

()20.1A m ==

假设1A 和2A 的夹角为，则由平面几何可知

A = 把已知数代入解得2π

?=，

9-16 质量为0.4kg 的质点同时参与互相垂直的两个振动：

0.08cos ,0.06cos 363

3x t y t ππππ????=+=- ? ????? 式中x,y 以m 计，t 以s 计。

（1） 求运动轨迹方程；

（2） 质点在任一位置所受的力。

解 （1）由振动方程消去时间因子得轨迹方程为

22

22

10.080.06x y += （2） 质点在任意时刻的加速度为

22220.08cos 0.06cos 33633

3d x d y a i j t i t j dt dt ππππππ????????=+=-+-- ? ? ? ????????? 质点在任一位置所受的力为 ()22332cos 24cos 10336333F ma t i t j N ππππππ-??????????==-+--??? ? ? ? ?????????????

9-17 质点参与两个方向互相垂直的、同相位、同频率的简谐振动；

（1）证明质点的合振动时简谐振动；

（2）求合振动的振幅和频率。

解 （1）根据题意，假设两个分振动的振动方程分别为

()

()cos cos x y x A t y A t ω?ω?=+=+ 合成的轨迹是直线x y A y x A =，在任意时刻质点离开平衡位置的距离为

()

'==+

x tω?所以质点的合振动是简谐振动。

（3）合振动的振幅为A=，圆频率为ω.

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