2011年上海数学高考试卷(理科)

2011年普通高等学校招全国统一考试（上海卷）

数学试题（理科）

一、填空题（56分）

1、函数1()2

f x x =-的反函数为1()f x -= 。 2、若全集U R =，集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤ ，则U C A = 。

3、设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线22

19

y x m -=的一个焦点，则m = 。 4、不等式13x x

+<的解为 。 5、在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 。

6、在相距2千米的A 、B 两点处测量目标C ，若0075,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离是 千米。

7、若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为 。

8、函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 。 9、马老师从课本上抄录一个随机变量ε的概率分布律如下表

请小牛同学计算ε的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案E ε= 。

10、行列式a b c d

（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 。 11、在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ?= 。

12、随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到0.001）。

13、设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 。

14、已知点(0,0)O 、0(0,1)Q 和0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10PR 中的一条，记其端点为1Q 、1R ，使之满足11(||2)(||2)0OQ OR --<；记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中?!?321P(ε=x )x

的一条，记其端点为2Q 、2R ，使之满足22(||2)(||2)0OQ OR --<；依次下去，得到点

12,,,,n P P P ，则0lim ||n n Q P →∞

= 。 二、选择题（20分）

15、若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是〖答〗（ ）

A 222a b ab +>

B 2a b ab +≥

C 112a b ab

+> D 2b a a b +≥ 16、下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为〖答〗（ ）

A 1ln ||

y x = B 3y x = C ||2x y = D cos y x = 17、设12345,,,,A A A A A 是空间中给定的5个不同的点，则使123450MA MA MA MA MA ++++= 成立的点M 的个数为〖答〗（ ）

A 0

B 1

C 5

D 10

18、设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i = ），则{}n A 为等比数列的充要条件为〖答〗（ ）

A {}n a 是等比数列。

B 1321,,,,n a a a - 或242,,,,n a a a 是等比数列。

C 1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 均是等比数列。

D 1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同。

三、解答题（74分）

19、（12分）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ?是实数，求2z 。

20、（12分）已知函数()23x x

f x a b =?+?，其中常数,a b 满足0ab ≠。

⑴ 若0ab >，判断函数()f x 的单调性；

⑵ 若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围。

21、（14分）已知1111ABCD A BC D -是底面边长为1的正四棱柱，1O 是11AC 和11B D 的交点。 ⑴ 设1AB 与底面1111A B C D 所成的角的大小为α，二面角111A B D A --的大小为β。 求证：tan 2tan βα=；

⑵ 若点C 到平面11AB D 的距离为

43，求正四棱柱1111ABCD A BC D -的高。

22、（18分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合 **{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c 。

⑴ 求1234,,,c c c c ；

⑵ 求证：在数列{}n c 中、但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ；

⑶ 求数列{}n c 的通项公式。

23、（18分）已知平面上的线段l 及点P ，在l 上任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到O 1D C B A D 1

C 1B 1A 1

线段l 的距离，记作(,)d P l 。

⑴ 求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ；

⑵ 设l 是长为2的线段，求点集{|(,)1}D P d P l =≤所表示图形的面积； ⑶ 写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{|(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中12,l AB l CD ==，

,,,A B C D 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。

① (1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --。

② (1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。

③ (0,1)

,(0,0),(0,0),A B C D 。

2011年上海高考数学试题（理科）答案

一、填空题

1、1

2x +；2、{|01}x x <<；3、16；4、0x <或12x ≥；5、25arccos 5；6、6；7、33

π； 8、234

+；9、2；10、6；11、152；12、0.985；13、[15,11]-；14、3。 二、选择题

15、D ；16、A ；17、B ；18、D 。

三、解答题

19、解： 1(2)(1)1z i i -+=-?12z i =-………………（4分）

设22,z a i a R =+∈，则12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-，………………（12分） ∵ 12z z R ∈，∴ 242z i =+ ………………（12分）

20

、解：⑴ 当0,0a b >>时，任意121,,x x R x x ∈<，则

121212()()(22)(33)x x x x f x f x a b -=-+-

∵ 121222,0(22)0x x x x a a <>?-<，121233,0(33)0x x x x b b <>?-<， ∴ 12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数。

当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数。

⑵ (1)()223x x f x f x a b +-=?+?>

当0,0a b <>时，3()22x a b >-，则 1.5log ()2a x b

>-； 当0,0a b ><时，3()22x a b <-，则 1.5log ()2a x b <-。 21、解：设正四棱柱的高为h 。

⑴ 连1AO ，1AA ⊥底面1111A B C D 于1A ，∴ 1AB 与底面1111A B C D 所成的角为11AB A ∠，即

11AB A α∠=

∵ 11AB AD =，1O 为11B D 中点，∴111AO B D ⊥，又1111AO B D ⊥，

∴ 11AO A ∠是二面角111A B D A --的平面角，即11AO A β∠=

∴ 111tan AA h A B α=

=，111tan 22tan AA h AO βα===。

⑵ 建立如图空间直角坐标系，有11(0,0,),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,)A h B D C h 11(1,0,),(0,1,),(1,1,0)AB h AD h AC =-=-= 设平面11AB D 的一个法向量为(,,)n x y z = ，

∵ 111100

n AB n AB n AD n AD ??⊥?=?????⊥?=????

，取1z =得(,,1)n h h = ∴ 点C 到平面11AB D 的距离为22||043

||1n AC h h d n h h ?++===++ ，则2h =。

22、⑴ 12349,11,12,1

3c c c c ====； A 1B 1

C 1

D 1

A B C D

O 1z

y x A 1B 1C 1D 1A

B C D O 1

⑵ ① 任意*n N ∈，设213(21)66327n k a n n b k -=-+=+==+，则32k n =-，即

2132

n n a b --= ② 假设26627n k a n b k =+==+?*132

k n N =-∈（矛盾），∴ 2{}n n a b ? ∴ 在数列{}n c 中、但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a 。

⑶ 32212(32)763k k b k k a --=-+=+=，

3165k b k -=+，266k a k =+，367k b k =+

∵ 636

5666k k k k +<+<+<+ ∴ 当1k =时，依次有111222334,,,b a c b c a c b c =====，…… ∴ *63(43)65(42),66(41)

67(4)

n k n k k n k c k N k n k k n k +=-??+=-?=∈?+=-??+=?。

23、解：⑴ 设(,3)Q x x -是线段:30(35)l x y x --=≤≤上一点，则 22259||(1)(4)2()(35)22

PQ x x x x =-+-=-+≤≤，当3x =时，min (,)||5d P l PQ ==。 ⑵ 设线段l 的端点分别为,A B ，以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系， 则(1,0),(1,0)A B -，点集D 由如下曲线围成

12:1(||1),:1(||1)l y x l y x =≤=-≤，222212:(1)1(1),:(1)1(1)C x y x C x y x ++=≤--+=≥ 其面积为4S π=+。

⑶ ① 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --

，{(,)|0}x y x Ω== ② 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D --

-。 2{(,)|0,0}{(,)|4,20}{(,)|10,1}x y x y x y y x y x y x y x Ω==≥=-≤<++=> ③ 选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。

{(,)|0,0}{(,)|,01}x y x y x y y x x Ω=≤≤=<≤

2{(,)|21,12}{(,)|4230,2}x y x y x x y x y x =-<≤--=> 1

-1-11y

x

O B A

D B=C A 122.5y x -2x y

-113

A B C D O O D C B A 31-1y x

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