均值不等式的证明方法

均值不等式的证明方法

柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong（数学之家）

本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是An Gn: 一些大家都知道的条件我就不写了

x1 x2 ... xn

n

x1x2...xn

我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：

二维已证，四维时：

a b c d (a b) (c d) 2ab 2cd 4八维时:

(a b c d) (e f g h) 4abcd 4efgh 8abcdefgh

abcd

4abcd

这样的步骤重复n次之后将会得到

x1 x2 ... x2n

2

n

2

n

x1x2...x2n

令x1 x1,...,xn xn;xn 1 xn 2 ... x2

n

x1 x2 ... xn

n

A

由这个不等式有

A

nA (2 n)A

2

nn

1

2

n

x1x2..xnA

2 n

n

(x1x2..xn)2A

n

1

n2

n

即得到

x1 x2 ... xn

n

n

x1x2...xn

这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：

例1：

n

若0 ai 1(i 1,2,...,n)证明

i 1

11 ai

n

1

1 (a1a2...an)n

例2：

均值不等式的证明方法

n

若ri 1(i 1,2,...,n)证明

i 1

1ri 1

n

1

1 (r1r2...rn)n

这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：

给出例1的证明：

当n 2时11 a1

11 a2

2

(1

a1 a2) 2(1 a1)(1 a2)

设p a1 a2,q

(1 q)(2 p) 2(1 p q)

p 2q pq 2q p(1 q) 2q(q 1) p 2q，而这是2元均值不等式因此11 a1

11 a22

n

2

11 a3

11 a4

此过程进行下去

1

2

n

1

因此

i 1

1 ai

1 (a1a2...a2n)2

n

1

令an 1 an 2 ... a2n (a1a2...an)n G

n

有

i 1n

11 ai

11 ai

(2 n)

n

11 G

n

2

n2 n

n

1

2

n

1 (GG

n1 G

2

n

)

2

n

1 G

即

i 1

例3：

已知5n个实数ri,si,ti,ui,vi都 1(1 i n),记R T

n

1n

n

r,S

ii

1n

n

s

i

i

1n

n

t,U

ii

1n

n

u

i

i

,V

1n

n

v，求证下述不等式成立：

ii

i 1

(

risitiuivi 1risitiuivi 1

) (

RSTUV 1RSTUV 1

)

n

要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式

均值不等式的证明方法

其实由均值不等式，以及函数f(x) ln因此

e 1e 1

x

x

是在R上单调递减

RSTUV

(

RSTUV 1RSTUV 1

)

n

我们要证明：

n

(rstuv

i 1

iii

i

risitiuivi 1

i

1

)

证明以下引理：

n

(x

i 1

xi 1

i

x2 1x2 1

n

1

)

n 2时， (令A

x1 1x1 1

)(

2

) 2

A(x1x2 1 x1 x2) (x1 x2 1 x1x2)

2

2A(x1x2 x1 x2 1) A(x1x2 1 x1 x2) (1 x1x2 x1 x2) 2A(x1x2 1 x1 x2)

(A 1)(x1x2 1) 2A(x1x2 1)显然成立

2 n

n

n

2

因

此 (

i 1

xi 1xi 1

2

n

) (

G 1G 1

)

2 n

n

(

GGGG

n

n

2

n

n

1 1

2 n2

n

)，G

2

n

(

G 1G 1

n

)

因此 (

i 1

xi 1xi 1

n

)

均值不等式的证明方法

所以原题目也证毕了

这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明Jensen:

f(x1) f(x2)

2

f(

x1 x2

2

)，则四维：

f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) 2f(

x1 x2

2

) 2f(

x3 x4

2

) 4f(

x1 x2 x3 x4

4

)

一直进行n次有

f(x1) f(x2) ... f(x2n)

2

n

f(

x1 x2 ... x2n

2

n

),

令x1 x1,...,xn xn;xn 1 xn 2 ... x2

n

x1 x2 ... xn

n

n

A

有

f(x1) ... f(xn) (2 n)f(A)

2

n

n

f(

nA (2 n)A

2

n

) f(A)

所以得到

f(x1) f(x2) ... f(xn)

n

f(

x1 x2 ... xn

n

)

所以基本上用Jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明

而且有些时候这种归纳法比Jensen的限制更少

其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明

这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7fy1.html