第一轮复习(09) 空间中的平行关系 - 图文

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学科：数学 任课教师：刘伟清 授课时间：2012-7- 星期 姓 名 性 别 男 年 级 总课时：第 次课 高二 教 学 第一轮复习（09）空间中的平行关系 内 容 教 学 1、掌握空间中线线平行，线面平行，面面平行之间的定理及判断 目 标 2、会运用空间平行之间的定理进行适当的证明 重 点 重点：空间中平行间的定理及判定 难 点 难点：空间中平行间的定理及判定 教 学 过 程 课前作业完成情况： 检查 与 交流与沟通: 交流 空间中的平行关系 针 1．平面概述 （1）平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） 对 （2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面 （3）平面的表示：用一个小写的希腊字母?、?、?等表示，如平面?、平面?；用表 性 示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC。 2．三公理三推论: 授 公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内： A?l,B?l,A??,B???l?? 课 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。 公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面 3．空间直线: （1）空间两条直线的位置关系： 相交直线——有且仅有一个公共点； 平行直线——在同一平面内，没有公共点； 异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。 异面直线的画法常用的有下列三种： b b?b aa?a?? 全方位课外辅导体系

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（2）平行直线： 在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 （3）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。推理模式：A??,B??,a??,B?a?AB与a是异面直线。 4．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类。 它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a??，a???A，a//?。 aaa??A? 线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。推理模式：abP??bPaa??,b??,a//b?a//?． 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 推理模式：a//?,a??,????b?a//b． ?a b ? 5．两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点） （1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。 a????定理的模式：b??? ?a?b?P???//?a//???b//??? ??abc 全方位课外辅导体系

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推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。 推论模式：a?b?P,a??,b??,a??b??P?,a???,b???,a//a?,b//b???//? （2）两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 四．【典例解析】 题型1：共线、共点和共面问题 例1．（1）如图所示，平面ABD?平面BCD ＝直线BD ，M 、N 、P 、Q 分别为线段AB 、BC 、CD 、DA 上的点，四边形MNPQ 是以PN 、QM 为腰的梯形。 试证明三直线BD 、MQ 、NP 共点。 （2）如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线 A α E F B C H D G 全方位课外辅导体系

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例2．已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面。 题型：线线平行的判定与性质 例5．（2009江苏卷）设?和?为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若?内的两条相交直线分别平行于?内的两条直线，则?平行于?； （2）若?外一条直线l与?内的一条直线平行，则l和?平行； （3）设?和?相交于直线l，若?内有一条直线垂直于l，则?和?垂直； （4）直线l与?垂直的充分必要条件是l与?内的两条直线垂直。 上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）. ．．． 例6．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE。 全方位课外辅导体系

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题型：线面平行的判定与性质 例7．(山东卷理)（本小题满分12分） 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点。 （1） 证明：直线EE1//平面FCC1； （2） 求二面角B-FC1-C的余弦值。 D1 A1 D E1 E A F z C1 B1 C B A1 D1 C1 B1

D C E1 y

EA M F x B

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例8． （本小题满分12分） 如图，平面ABEF?平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，?BAD??FAB?90?，BC∥1AD，BE∥1AF． 22（Ⅰ）证明：C、D、F、E四点共面； （Ⅱ）设AB?BC?BE，求二面角A?ED?B的大小． 题型：面面平行的判定与性质 例10．P是△ABC所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心。 （1）求证：平面A′B′C′∥平面ABC； （2）S△A′B′C′∶S△ABC的值。 全方位课外辅导体系

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五．【思维总结】 在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用． 1．用类比的思想去认识面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联系。 2．注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立几问题平面化 3．注意下面的转化关系： 4．直线和平面相互平行 证明方法：○1证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；○2证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；○3证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。 5．证明两平面平行的方法： （1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。 （2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：a∩b，a α，b α，a∥β，b∥β，则α∥β。 （3）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a⊥α，a⊥β则α∥β。 （4）平行于同一个平面的两个平面平行。?//?,?//???//? 两个平面平行的性质有五条： （1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：α∥β，a α，则a∥β。 （2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”。用符号表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b。 （3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证线面垂直。用符号表示是：α∥β，a⊥α，则a⊥β。 （4）夹在两个平行平面间的平行线段相等 （5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行 课堂 情景对话，角色扮演 检测 课后 附练习题 作业 1、如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC?A1B1C1，CA?CC1?2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（ ） A. 35525 B. C. D. 5553 全方位课外辅导体系

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M、N分别是CD、CC1的中点，2、如图，在正方体ABCD?A则异面直线A1M1BC11D1中，D1A1DB1NCBC1M与DN所成角的大小是____________。A 3、【2012高考真题广东理18】（本小题满分13分） 如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE． （1） 证明：BD⊥平面PAC； （2） 若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值； 全方位课外辅导体系

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4、【2012高考真题福建理18】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点. （Ⅰ）求证：B1E⊥AD1； （Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由. （Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小为30°，求AB的长. 签字 老师 课后 评价 教研组长： 教学主任： 学生： 教务老师： 家长： 下节课的计划： 学生的状况、接受情况和配合程度： 给家长的建议： DC-01

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