第8章 多元函数微分法及其应用 习题 8- (7)

高等数学 多元函数微分法及其应用习题

第七节 方向导数与梯度

习题 8-7

1. 求下列函数在指定点M0处沿指定方向l的方向导数:

π

(1) z=cos(x+y), M0(0,), (3,l= 4);

2l=. (2) u=xyz, M0(1,1,1), (1,1,1)

解 (1) 由方向l=(3, 4)可求出与l同向的单位向量为

34

el=(, ,

55

因为函数可微分, 且

z x

π(0,2

= sin(x+y)

π(0,)2

= 1,

z y

π(0,)2

= sin(x+y)

π(0,2

= 1,

故所求方向导数为

z l

π(0,2

341

=( 1) +( 1) ( =.

555

(2) 函数u=xyz在平面上处处可微, 则

u u u u

=cosα+cosβ+cosγ, l x y z

因为

u u u u u u

=yz,=xz,=xy, 所以在点(1,1,1)处有===1. x y z x y z

由l

=(1,1,1)得l=, 于是

cosα=cosβ=cosγ=

故所求方向导数为

,

u

l

(1,1,1)

=11+1=.

2. 求函数z=ln(x+y)在抛物线y2=4x上点(1,2)处, 沿着这抛物线在该点处与x轴正向夹角为锐角的切线方向的方向导数.

解 先求切线斜率: 在y2=4x两边分别求导，得2y

1

dy

=4, dx

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于是

dy2dy=, 斜率k=

dxdxy

(1,2)

=1.

, 又因为 2211==, (1,2)x+y3

切线方向为l=(1,1), 与l

同向的单位向量为el= z

x

所以

(1,2)

=

1x+y

(1,2)

=

1 z,

y3

(1,2)

z11 + =. (1,2)=

32323 l

3. 设f(x,y)具有一阶连续的偏导数, 已给四点A(1,3),B(3,3),C(1,7),D(6,15),

JJJKJJJK

若f(x,y)在点A处沿AB方向的方向导数等于3, 而沿AC方向的方向导数等于26, JJJK

求f(x,y)在点A处沿AD方向的方向导数.

JJJKJJJK

K=(1,0), 解 根据题意可求得方向AB=(2,0), 与AB同向的单位向量为eJJJAB

则有

f(x,y) AB

(1,3)

=fx′(1,3) 1+fy′(1,3) 0=fx′(1,3)=3,

JJJKJJJK

JK=(0,1), 又因为方向AC=(0,4), 与AC同向的单位向量为eJJJAC

则有

f(x,y)

(1,3)=fx′(1,3) 0+fy′(1,3) 1=fy′(1,3)=26, AC

JJJKJJJK

而方向AD=(5,12), 与AD同向的单位向量为

JK=eJJJAD

=(

512,, 1313

所以

f(x,y) AD

(1,3)

=fx′(1,3)

512512327+fy′(1,3) =3 +26 =. 1313131313

4.

设z=f(x,y)=, 证明函数f在原点O(0,0)连续, 且fx(0,0)与fy(0,0)都存在，但f在原点沿着向量l=(a,b)方向的方向导数不存在(其中a,b为任意非零常数).

证

函数z=f(x,y)=在点(0,0)的邻域有定义, 且

2

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x→0y→0

limz==0=f(0,0),

x→y→0

故函数f在原点O(0,0)处连续. 又

fx(0,0)=lim

同理

Δx→0

f(Δx,0) f(0,0)0 0

=lim=0, Δx→0ΔxΔxf(0,Δy) f(0,0)0 0=lim=0, yΔ→0ΔyΔy

fy(0,0)=lim

所以fx(0,0)与fy(0,0)都存在.

Δy→0

而函数f在原点O(0,0)沿方向l的方向导数为

f

l

(0,0)

=lim

f(0+Δx,0+Δy) f(0,0)

ρ→0

ρ

=lim

Δx→Δy→让点(Δx,Δy)沿直线Δy=Δx趋于点(0,0), 即Δy=Δx→0, 得

Δx→0Δy=Δx→lim

=lim

23

Δx→=lim

1

1

Δx)3

Δx→0

不存在.

即f在点(0,0)沿方向l的方向导数不存在.

注意 方向导数是沿任意指定方向的变化率, 偏导数是沿坐标轴方向的变化率,故可将方向导数看作偏导数的推广. 函数在某点处的偏导数都存在, 并不意味着函数在该点处沿任一方向l的方向导数也存在, 但是如果函数在该点处是可微的, 则函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在.

5. 求函数u=x2+y2+z2在曲线x=t,y=t2,z=t3 上点(1,1,1)处, 沿曲线在该点的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数.

解 先求曲线在给定点的切线方向. 因为

dxdydz

=1, =2t, =3t2, dtdtdt

所以曲线在点(1,1,1)处的切线的方向向量为T=(1,2,3), 与T同向的单位向量为

eT=又因为

,

u x

所以

(1,1,1)

=

u y

(1,1,1)

=

u z

(1,1,1)

=2,

u T

(1,1,1)

=2+2

3

+2=

.

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6. 求函数u=x+y+z在球面x2+y2+z2=1上点(x0,y0,z0)处, 沿球面在该点的外法线方向的方向导数.

解 设F(x,y,z)=x2+y2+z2 1, 则

Fx=2x,Fy=2y,Fz=2z,

于是球面在(x0,y0,z0)处的外法线方向向量可取为

l=(Fx,Fy,Fz)

(x0,y0,z0)

=(2x0,2y0,2z0)，

l的方向余弦为

cosα=

cosβ=

cosγ=

又因为 所以

u u u===1, x y z

u l

(x0,y0,z0)

=(

u u ucosα+cosβ+cosγ) x y z

(x0,y0,z0)

=1+1+1

=

.

注意到点(x0,y0,z0)在球面x2+y2+z2=1上，有x02+y02+z02=1, 故

u l

(x0,y0,z0)

=x0+y0+z0.

7. 求函数u=x3+y3+z3 3xyz的梯度, 并问在何点处其梯度: (1) 垂直于z轴; (2) 平行于z轴; (3) 等于零向量.

u u u=3x2 3yz, 解 因为 =3y2 3xz, =3z2 3xy, x z y

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所以

gradu=(3x2 3yz,3y2 3xz,3z2 3xy).

取z轴的方向向量为l=(0,0,1),

(1) 由于梯度垂直于z轴, 则

l gradu=0, 即(0,0,1) (3x2 3yz,3y2 3xz,3z2 3xy)=0,

于是有

3z2 3xy=0, 即z2=xy,

所以曲面z2=xy上的点梯度垂直于z轴.

(2) 由于梯度平行于z轴, 则

3x2 3yz3y2 3xz3z2 3xy

==l//gradu, 可得, 于是有 001

2 3x 3yz=0,

即 2

3y 3xz=0,

2 x=yz,

所以曲线 上的点梯度平行于z轴.

2 y=xz,

2 x=yz,

2

y=xz,

(3) 由gradu=(3x2 3yz,3y2 3xz,3z2 3xy)=0, 有

3x2 3yz=3y2 3xz=3z2 3xy=0,

即

x=y=z,

所以直线x=y=z上的点梯度等于零向量.

8. 已知u=x2+y2+z2 xy+yz, 点P0=(1,1,1). 求u在点P0处的方向导数的最大、最小值, 并指出相应的方向l, 再指出沿什么方向, 其方向导数为零.

u u u=2x y,=2y x+z,=2z+y, 于是 解 x y z

u

l

u x

所以

(1,1,1)

=1,

u y

(1,1,1)

=2,

u z

(1,1,1)=

3,

gradu(1,1,1)=(1,2,3).

因为函数u=x2+y2+z2 xy+yz在点P0(1,1,1)处可微分,

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el=(cosα,cosβ,cosγ)

是与方向l同向的单位向量, 则

u u u u

=++cosαcosβ(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)

l x y z

=1 cosα+2 cosβ+3 cosγ

(1,1,1)

cosγ

=gradu(1,1,1) el=gradu(1,1,1)cosθ,

其中θ=(gradu(1,1,1),el).

由此可知

当向量el与gradu(1,1,1)的夹角θ=0, 即沿梯度方向

l=gradu(1,1,1)=(1,2,3),

方向导数最大,

这个最大值为gradu(1,1,1)==当向量el与gradu(1,1,1)的夹角θ=π, 即沿方向

l= gradu(1,1,1)=( 1, 2, 3),

方向导数最小，这个最小值为 gradu(1,1,1)=;

当向量el与gradu(1,1,1)的夹角θ=

π

, 即沿垂直于l=(1,2,3)的方向, 方向导数2

为零.

9. 设一金属球体内各点处的温度与该点离球心的距离成反比, 证明: 球体内任意(异于球心的)一点处沿着指向球心的方向温度上升得最快.

证 设p(x,y,z)为球体内任意一点, p0(x0,y0,z0)为球心坐标, T为球体内该点的温度, 则

T=

(k为常数),

T= x T= y

k(x x0)

[(x x0)2+(y y0)2+(z z0

322)]

,

k(y y0)

[(x x0)2+(y y0)2+(z z0

322)]

,

6

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T= z

k(z z0)

[(x x0)2+(y y0)2+(z z0

322)]

,

温度T在p点处的梯度方向, 就是温度上升得最快的方向,

gradT=(=( T x

p

,

p

T y

p

,

T z

p)

k(x x0)

[(x x0)2+(y y0)2+(z z0

322)]

,

k(y y0)

[(x x0)2+(y y0)2+(z z0

322)]

,

k(z z0)

[(x x0)2+(y y0)2+(z z0

22)]

)

=

k

[(x x0)2+(y y0)2+(z z0

322)]

(x x0,y y0,z z0),

即球体内任意（异于球心的）点p(x,y,z)处沿着指向球心p0(x0,y0,z0)的方向温度上升得最快.

10. 设u(x,y), v(x,y)都具有一阶连续偏导数, 证明: (1) grad(u+v)=gradu+gradv; (2) grad(uv)=vgradu+ugradv;

uvgradu ugradv

; (3) grad()=

vv2

(4) gradf(u)=f′(u)gradu (设f′(u)连续).

证 (1) grad(u+v)=(

u v u v u v+,+,+) x x y y z z

u u u v v v,,+(,,) x y z x y z

=gradu+gradv.

=(

(2) grad(uv)=(

(uv),(uv),(uv)) x y z

u v u v u vv+u,v+u,v+u x x y y z z

=(

=v(

u u u v v v

,,+u(,, x y z x y z=vgradu+ugradv

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u u uu

(3) grad()=((),(),(

xv yv zvv

u vv u u v u v

v u u

y y ,=(2,22

vvvvv(=

=

u u u v v v,,) u(,, x y z x y z

2

v

vgradu ugradv

. 2

v

(4) gradf(u)=(f(u),f(u),f(u))

x y z

=(f′(u)=f′(u)(

u u u

,f′(u),f′(u)) x y z u u u

,,)=f′(u)gradu. x y z

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