泛函分析练习题

列集与列紧集 例题1. 证明A??1111?1?,cost,sint,cos2t,sin2t,??是紧距离空间。

????2???第八章 有界线性算子和连续线性泛函

例1：Tf?x???af?t?dt，T:L1?a,b??C?a,b?，则T?1。

例2：设X是赋范线性空间，则dimX????X上的任意线性泛函皆连续。

第九章 内积空间和希尔伯特空间

题1：设M是内积空间X的非空子集，证明：?M

题2：设M为Hilbert空间X的线性子空间，若?x?X在M上的投影x0皆存在。证明：M?M?X。

题3：设M是Hilbert空间X的非空子空间。证明：?M??是X中包含M?___x???????___??M， M??M?。

?????的最小闭子空间。

题4：设M是希尔伯特空间X的闭子空间，?x?X，证明：

?x?z:z?M??max?x,y?:y?M?,M?1。 min

题5：设X是??1,1?内所有实值连续函数全体所构成的集合，Y为??1,1?内奇连续函数全体，Z是??1,1?内偶连续函数全体。证明：X?Y?Z。

??题6：设H是Hilbert空间，?en,n?1?是其中的规范正交系，x?H， 证明：函数f??1,?2,??3??x???iei当且仅当?i?x,ei,i?1,2?n时达到

i?1n极小值。

题7：设?en?是内积空间的规范直交系，证明：?x,eny,en?x?y。

n?1?

题8：设?e?:????是Hilbert空间X的规范直交系，证明：?e?:????完全??x,y成立x,y??x,e?e?,y

???

题9：设?ei?,i?1,2,?是Hilbert空间X的完全规范直交系，又设

?fi?,i?1,2,?，是X中的规范直交系，且满足?ei?fii?1____________?2?1，证明：

span?fi??X。

__________?1?题10：M??,cosx,sinx,?,cosnx,sinnx,??，证明：spanM?L2?0,2??。

?2?

?1int?F??e;n??1,?2,??__________?2??，证明：spanF?L2???,??。 题11：设

题12：在L2??1,1?，将x0?t??1,x1?t??t,x2?t??t2,x3?t??t3用格莱姆-施密特方法正交化为规范直交系。

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