数字信号处理习题集(附答案)

数字信号处理习题

第一章 数字信号处理概述

简答题：

1． 在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么

作用？

答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。

在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。

判断说明题：

2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。 （ ） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。

3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理 理论，对信号进行等效的数字处理。（ ）

答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。

数字信号处理习题

第二章 离散时间信号与系统分析基础

一、连续时间信号取样与取样定理

计算题：

1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T表示采样周期（假设T足够小，足以防止混迭效应），把从x(t)到y(t)的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a） （b）

如果

h(n)截止于 rad, 10kHz，求整个系统的截止频率。

对于 20kHz，重复（a）的计算。

解 （a）因为当

rad时H(ej ) 0，在数 — 模变换中

11j Xa(j ) Xa() TTT

Y(ej ) 所以h(n)得截止频率 c

对应于模拟信号的角频率 c为

8

cT

c1 625Hz 因此 fc

2 16T

由于最后一级的低通滤波器的截止频率为率由H(e

j

，因此对没有影响，故整个系统的截止频

8TT

)决定，是625Hz。

（b）采用同样的方法求得 20kHz，整个系统的截止频率为 fc

1

1250Hz 16T

二、离散时间信号与系统频域分析

计算题：

j

x(n)X(e)，试求下列序列的傅里叶变换。 1．设序列的傅氏变换为

数字信号处理习题

（1）x(2n) （2）x*(n)（共轭）

解：（1）x(2n) 由序列傅氏变换公式 DTFT[x(n)] 可以得到

DTFT[x(2n)]

X(e

j )

n

x(n)e

jn

j n

n

x(2n)e

n 为偶数

x(n )e

j n

j n1n [x(n) ( 1)x(n)]en 2

jn j( )n1 1

x(n)e x(n)e2

2n 2n jj( )112

X(e) X(e2)22

jj12

X(e) X( e2)2

（2）x*(n)（共轭） 解：DTFTx*(n)

n

x*(n)e

jn

[ x(n)ejn ]* X*(e j )

n

2．计算下列各信号的傅里叶变换。

1

()nu[n 2]

（a）2u[ n] （b）4

n

1n

n()

（c） [4 2n] （d）2

解：（a）X( )

n

2u[ n]e

n

n

j n

n

2

n

e j n

(1ej )

n 02

1

j 1 e2

1n1n j n j n（）u[n 2]e ()e（b）X( ) n 4n 24

数字信号处理习题

1m 2j (m 2)ej2

()e 16

1m 041 e j 4

（c）X( )

n

x[n]e

j n

n

[4 2n]e

j n

e j2

（d）X( )

1n j n11

（e [ 1] 112n

1 e j 1 ej

22

利用频率微分特性，可得

dX( )

X( ) j

d

1j 11 j 1

e e

112(1 ej )22(1 e j )222

jw

x(n)X(e)，求下列各序列的傅里叶变换。 3．序列的傅里叶变换为*

x （1）( n) （2）Re[x(n)] (3) nx(n)

解： （1）

n

x

*

( n)e

jwn

n

[x( n)e

jw( n)

]* X*(ejw)

（2）

n

Re[x(n)]e

jwn

11 jwn

[x(n) x(n)]e [X(ejw) X (e jw)] 2n 2

（3）

n

nx(n)e

jwn

1dx(n)e jwnd dX(ejw) jwn

jx(n)e j jdwdwdwn n

jw

x(n)X(e)，求下列各序列的傅里叶变换。 4．序列的傅里叶变换为 2

jIm[x(n)]x(n)x(n) （1） （2） (3)

解：（1） （2）

n

x

(n)e

jwn

n

[x(n)e

j( w)( n)

] [ x(n)e j( w)n] X (e jw)

n

数字信号处理习题

11 jwn jwn[x(n) x( n)]e [ x(n)e x (n)e jwn] 2n n 2n

1 jw

X(e) x(n)e j( w)n 2 n

（3）

1

X(ejw) X (e jw)2

n

x(n)e

2

jwn

1 n 2

X(e)d

j

j(w )n x(n)e

n

1

X(ej )X(ej(w ))d 2

1 X(ej ) X(ejw)2

jwjw

x(n)X(e)X(e)表示下面各序列的傅立5．令和表示一个序列及其傅立叶变换，利用

叶变换。

（1）g(n) x(2n) （2）g(n)

x 2 n为偶数

n为奇数 0

解：（1）G(ejw)

n

g(n)e

jnw

n

x(2n)e

jnw

k

k为偶数

k

x(k)e

k jw2

jw1k

x(k) ( 1)x(k)e2k 2

jk jk1 1 j 2

x(k)e x(k)(e)e2

2k 2k

j jk( )11

22 X(e) x(k)e22k

ww

j11 j(2 ) 2

X(e) X e 22 ww

jj 1

X(e2) X( e2) 2

ww

ww

（2）G(e)

jw

n

g(n)e

jnw

r

g(2r)e

j2rw

r

x(r)e

jr2w

X(ej2w)

jw

x(n)X(e)，求下列序列的傅立叶变换。 6．设序列傅立叶变换为

数字信号处理习题

（1）

x(n n0) n0为任意实整数

（2）g(n) （3）x(2n)

x n2 n为偶数

n为奇数 0

解：（1）X(ejw) e

jwn0

（2） x() n为偶数

g(n) X(ej2w) 0 n为奇数 （3）x(2n) X(e

)

7．计算下列各信号的傅立叶变换。

1

()n u(n 3) u(n 2) （1）2

cos(18 ) sin(2n)

（2）

cos( )－1 n 4

（3）x(n)

0其它

jkn1n

【解】（1）X(k) () u(n 3) u(n 2) eN

n 2

2

1n jNkn 1n jNkn

()e ()e

n 32n 22

2 2

8e

j3

2

kN2 jkN

11 e2

14

e

j2

2 kN2 jkN

11 e2

2

15 j5Nk

1 ()e2

j3k

8eN 2

jk1

1 eN

2

（2）假定cos(18 )和sin(2n)的变换分别为X1(k)和X2(k)，则

数字信号处理习题

X1(k)

k

( N

2

k

182 18 2k ) (k 2k ) 7N7

X2(k)

2 2

(k 2 2k ) (k 2 2k ) N jk N

所以 X(k) X1(k) X2(k)

182 182 2

(k 2k ) (k 2k ) j (k 2 2k ) j (k 2 2k ) N 7N7NN k

（3）X(k)

n 4

cos3ne

4

jn

2

kN

2

jn jnk1j3n

3

(e e)eN n 42

4

1j4(Nk 3)9j(3 Nk)n1j4(Nk 3)9j(3 N)n ee ee 22n 0n 0

2 2 2 2

1 e2

2 j4(k )

N3

1 e1 e

2

j( k)93N 2 j( k)3N

1 e2

2 j4(k )

N3

1 e1 e

2

j( k)93N 2 j( k)3N

8．求下列序列的时域离散傅里叶变换

x( n)， Re x(n) ， x0(n)

解： x( n) x( n)e j ( n) X (ej )

Re x(n)

11

x(n) x (n)e j n X(ej ) X (e j ) Xe(ej ) 22

x(n)e

0

j

1

x(n) x ( n)e j n jImX(ej ) 2

三、离散时间系统系统函数

填空题：

1．设H(z)是线性相位FIR系统，已知H(z)中的3个零点分别为1，0.8，1+j，该系统阶数至少为（ ）。

数字信号处理习题

解：由线性相位系统零点的特性可知，z 1的零点可单独出现，z 0.8的零点需成对出现，

z 1 j的零点需4个1组，所以系统至少为7阶。

简答题：

2．何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数Hmin(Z)有何特点？

解：一个稳定的因果线性移不变系统，其系统函数可表示成有理方程式

H(Z)

P(Z)

Q(Z)

bZ

rr 0Nk 1

M

r

1 akZ k

，他的所有极点都应在单位圆内，即k 1。但零点

可以位于Z平面的任何地方。有些应用中，需要约束一个系统，使它的逆系统

G(Z) (Z)

也是稳定因果的。这就需要H(Z)的零点也位于单位圆内，即 r 1。一

个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。等价的，我们有如下定义。

【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。

jwjw

一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值H(e)唯一确定。从e求H(Z)的过

程如下：给定e

jw

，先求e

jw2

，它是cos(kw)的函数。然后，用

1k

(Z Z k)替代cos(kw)，2

我们得到G(Z) H(Z)H(Z 1)。最后，最小相位系统由单位圆内的G(Z)的极、零点形成。

一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即

H(Z) Hmin(Z)Hap(Z)

完成这个因式分解的过程如下：首先，把H(Z)的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内的共轭倒数点，这样形成的系统函数Hmin(Z)是最小相位的。然后，选择全通滤波器

Hap(Z)，把与之对应的Hmin(Z)中的零点映射回单位圆外。

3．何谓全通系统？全通系统的系统函数

Hap(Z)

有何特点？

jw

解：一个稳定的因果全通系统，其系统函数Hap(Z)对应的傅里叶变换幅值H(e) 1，

该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即

P(Z)

Hap(Z)

Q(Z)

bZ

rr 0Nk 1

M

r

Z 1 k

。因而，如果在Z k处有一个极点， 1

1 Zk 1k

N

1 akZ k

数字信号处理习题

则在其共轭倒数点Z k

处必须有一个零点。

4．有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转移）函数、差分方程和卷积关系表达式。

解：频率响应：H(e

j

) h(n)e j n

系统函数：H(Z)

h(n)Z

n

差分方程：Z 1

Y(Z)

X(Z)

卷积关系：y(n)

h(n) x(n)

数字信号处理习题

第三章 离散傅立叶变换

一、离散傅立叶级数

计算题：

~~x(n)1．如果是一个周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的周期序列。把x(n)看

~~~x(n) X1(k)（周期为N）作周期为N的周期序列有；把x(n)看作周期为2N的周期序列~~~~x(n) X(k)XX（k）22k）有（周期为2N）；试用1表示（。

N 1N 1 jkn~kn~~解： X1(k) x(n)WN x(n)eN

n 0

n 0

2

2N 1N 12N 1 jn jn~kn~~~N2N2X2(k) x(n)W2N x(n)e x(n)e

n 0

n 0

n N

2 k2 k

对后一项令n n N，则

2 k

2 k

N 1N 1 jn j(n N)~~~N2N2X2(k) x(n)e x(n N)e

n 0

n 0

(1 e jk ) ~x(n)e

n 0

N 1

j

2 k

nN2

~k

(1 e jk )X()

2

~k

2X1() k为偶数 所以X2(k) 2

k为奇数 0

二、离散傅立叶变换定义

填空题

2．某DFT的表达式是X(l)

x(k)W

k 0

N 1

klM

，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之

间的间隔是（ ）。 解：2 M

3．某序列DFT的表达式是X(l)

kl

x(k)W M，由此可看出，该序列的时域长度是k 0N 1

（ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。

数字信号处理习题

解：N 2 M

4．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（ ）。 解：纯实数、偶对称

5．采样频率为FsHz的数字系统中，系统函数表达式中z其中时域数字序列x(n)的序号

1

代表的物理意义是（ ），

n代表的样值实际位置是（ ）；x(n)的N点

DFTX（k)中，序号k代表的样值实际位置又是（ ）。

解：延时一个采样周期T F，nT nF， k

2

k N

6．用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT。则频域抽样点之间的频率间隔 f为_______,数字角频率间隔 w为 _______和模拟角频率间隔

______。

解：15.625，0.0123rad，98.4rad/s 判断说明题：

7．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT对它进行分析。 （ ）

解：错。如果序列是有限长的，就能做DFT对它进行分析。否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。

计算题

8．令

X(k)表示N点的序列x(n)的N点离散傅里叶变换，X(k)本身也是一个N点的序

列。如果计算X(k)的离散傅里叶变换得到一序列x1(n)，试用x(n)求x1(n)。 解：x1(n)

因为

X(k)W

k 0

N 1

nkN

N 1N 1

kn nkk(n n )

x(n )WN WN x(n ) WN k 0 n 0n 0k 0

N 1N 1

n n Nl Nk(n n )

W N

0其他k 0

N 1

所以

x1(n) Nx( n Nl) Nx(( n))NRN(n)

n

N 1

1,1,0,0 ，其4点DFT9．序列x(n)

x(k)

如下图所示。现将

x(n)按下列（1）

，（2），

（3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT？（尽量利用DFT的特性）

数字信号处理习题

xn

k

x(n)n 0~3

y1(n)

x(n 4) n 4~7 （1）

n 0~3 x(n)

y2(n)

0 n 4~7 （2）

n 偶数 x()

y3(n)

0 n 奇数 （3）

解：（1）

Y1 2k 2X k ,0 k 3Y1 2k 1 0

（2）Y2 k1 X

k1

X k ,k1 2k,0 k1 7,0 k 3 2

（3）

Y3 k1 X k1 4 X k 0 k1 7,0 k 3,k k1mod4

10．设x(n)是一个2N点的序列，具有如下性质： 另设x1(n)

x(n N) x(n)

点DFT为X1(k)，求x(n)的2N点DFTX(k)和

x(n)RN(n)，它的N

X1(k)的关系。

解： X k 2X1 推导过程略

11．试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式） （1）x(n) a

n

k 2

RN(n) （2）x(n) nRN(n) anRN(n)，所以

N 1n 0

j2 nkN

解：（1）因为x(n)

X(k) ane

1 aN1 ae

j2

kN

数字信号处理习题

（2）由x(n) nRN(n)，得

nk

X(k) nWNRN(k)

n 0N 1

(n 1)kWX(k) nWNRN(k) kN

n 0

N 1

X(k)(1 W) ( nW

kN

n 0

N 1

nkN

(n 1)k

nWN)RN(k)n 0

N 1

k2k3k(N 1)k2k3k(N 1)k

WN 2WN 3WN (N 1)WN (WN 2WN (N 2)WN N 1)RN(k)nk ( (N 1) WN)RN(k)

n 1

k WN 1 (N 1) R(k) NRN(k) k N

1 WN

N 1

所以

X(k)

N

RN(k) k

1 WN

12．计算下列序列的N点DFT：

n

P116

（1）x(n) a,0 n N 1 （2）x(n) cos

N 1n 0

2

nm ，0 n N，0 m N N

解：（1）X(k)

aW

n

N 1

nkN

1 aNWNNK1 aN

，0 k N 1 kk

1 aWN1 aWN

2

2

2

jmn jmn jnk 2 nk1N 1 NNN mn WN e ee （2）X(k) cos

N2 n 0n 0

1 1 e j2 (k m)1 e j2 (k m) 2 2 j(k m) j(k m)2

1 eN 1 eN

N 1N 1

1 ej (k m) e j (k m) jN(k m) ej (k m) e j (k m) jN(k m) e e j(k m)j(k m) j(k m)2 jN(k m)

eNeN eN e

数字信号处理习题

N 1N 1

1 sin((k m) ) jN(k m) sin (k m) jN(k m) e e

2 sin(k m) sin(k m)

N

, k=m或k=-m 2

= 0, 其它

13．已知一个有限长序列x(n) (n) 2 (n 5) （1） 求它的10点离散傅里叶变换X(k)

2k

（2） 已知序列y(n)的10点离散傅立叶变换为Y(k) W10X(k)，求序列y(n)

（3） 已知序列m(n)的10点离散傅立叶变换为M(k) X(k)Y(k)，求序列m(n)

解；（1）X(k)

x(n)W

n 0

N 1

nk

N

nk

(n) 2 (n 5) W10n 02

5k10

9

5k

=1+2W10=1+2e

j

=1+2( 1)k，k 0,1,...,9

2k

（2）由Y(k) W10X(k)可以知道，y(n)是x(n)向右循环移位2的结果，即

y(n) x (n 2) 10 (n 2) 2 (n 7)

（3）由M(k) X(k)Y(k)可以知道，m(n)是x(n)与y(n)的 10点循环卷积。

一种方法是先计算x(n)与y(n)的线性卷积

u(n) x(n) y(n)

l

x(l)y(n l)

= 0,0,1,0,0,0,0,4,0,0,0,0,4 然后由下式得到10点循环卷积

m(n) u(n 10l) R10(n) 0,0,5,0,0,0,0,4,0,0 5 (n 2) 4 (n 7)

l

另一种方法是先计算y(n)的10点离散傅立叶变换

数字信号处理习题

N 1

9

Y(k) y(n)W

nkN

n 7 W10 W10 2W10n 0

n 2 2nk2k7k

n 0

再计算乘积

M(k) X(k)Y(k) 1 2W5k 2k7k

10W10 2W10

W2k7k7k12k

10 2W10 2W10 4W10 5W2k4W7k10 10

由上式得到 m(n) 5 n 2 4 n 7 14．（1）已知序列：x(n) sin

2 Nn

，0 n N 1，求x(n)的N点DFT。 （2）已知序列：

x(n) 1，n 0,1,20，其它

，则x(n)的

9点DFTsin X(k) e

j2

3k

9

k

，k 0,sin 1,2,...,8 正确否？用演算来证明你的结论。 P345

9k

N 1

解：（1）X(k) sin 2 j2

Nkn

n 0

Nn e

2

2

2

1Njn jn j2j 1 eN eN Nkn n 0 e 2

2

1N 1 jN(1 k)n j(1 k)n 2j e eN n 0

jN

2

,k 1 j

N

2

,k 1 0， 其它

e j

6 3

k 2

9k ej

3k e j

3k （2）X(k)

e

j2 9

kn

1 e j

2

n 0

1 e

j

9

ke j 9k j

e9k e j9k

是

数字信号处理习题

e

j

2 k9

sin k

3 ，K 0,1,...,8 sin k 9

可见，题给答案是正确的。

15．一个8点序列x(n)的8点离散傅里叶变换X(k)如图5.29所示。在x(n)的每两个取样值之间插入一个零值，得到一个16点序列y(n)，即

x

n

，n为偶数 2

y

(n) 0 ，n为奇数

（1）求y(n)的16点离散傅里叶变换Y(k)，并画出Y(k)的图形。

（2）设X(k)的长度N为偶数，且有X(k) X(N 1 k),k 0,1,...,

N N 1，求x 。 22

解：（1）因n为奇数时y(n) 0，故

Y(k) y(n)W

n 0

15

nk

16

n nkx W16 n 0,2,... 2

14

m 0

x(m)W

7

mk

8

， 0 k 15

7

x(m)W8mk,0 k 7

另一方面 X(k) m 0

0,其它

数字信号处理习题

7

x(m)W8m(k 8),8 k 15

因此 X(k 8) m 0

0,其它 7

x(m)W8mk,0 k 15

m 0

0,其它 7

x(m)W8mk,0 k 15

所以 Y(k) m 0

0,其它 0 k 7 X(k),

X(k 8),8 k 15

0,其它

按照上式可画出Y(k)的图形，如图5.34所示。

k

16．计算下列有限长序列x(n)的DFT，假设长度为N。

n

x(n) a （1） 0 n N 1

1,2, 3, 1

（2）x(n)

解：（1）X(k)

aW

nn 0

N 1

nk

N

k

aWNn 0

N 1

n

k

1 aWN

k

1 aWN

N

1 aN 0 k N 1 k1 aWN

(2) X(k)

x(n)W

n 0

3

nk4

数字信号处理习题

W40 2W4k 3W42k W43k 1 2W 3W W

k4

k2

3k4

1 2( j)k 3( 1)k jk (0 k 3)

17．长度为8的有限长序列x(n)的8点DFT为X(k)，长度为16的一个新序列定义为 x() n 0,2,...14 y(n) n2

15 0 n 1,3,...,

试用X(k)来表示Y(k) DFT y(n) 。 解：Y(k)

y(n)W

n 07

15

nk

16

7

y(2r)W

r 07

2rk16

(2r 1)k

y(2r 1)W16r 0

15) x(r)W8rk (k 0,1,...,

r 0

而 X(k)

x(n)W

n 0

7

nk

8

(k 0,1,...,7)

15时，令k l 8(l 0,1,...,7)，得因此，当k 0,1,...,7时，Y(k) X(k)；当k 8,9,...,

到：Y(l 8)

x(r)W

r 0

7

r(l 8)

8

x(r)W8rl X(l)

r 0

7

即 Y(k) X(k 8)

于是有 X(k) k 0,1,...,7 Y(k) X(k 8) k 8,9,...,15

数字信号处理习题

n 0,1 2

18．若x(n) 1n 2,N 4

0n 3

试计算x(n)的离散傅里叶变换X(k)的值

(k 0,1,2,3)。

【解】 X(n)

kn

x(k)W N k 034 1

所以 X(0)

x(k)W

k 0

kn

N000

2WN 2WN 1WN 0 5

X(1) x(k)W

k 03

3

kn

N

2W 2W 1W 0 2 2e

0N1N2N

j

2 4

e

j

2 24

2 2e

j

2

e j

kn024

X(2) x(k)WN 2WN 2WN 1WN 0 2 2e j e j2

k 0

X(3) x(k)W

k 0

3

kn

N

2W 2W 1W 0 2 2e

0N3N6N

j

3 2

e j3

证明题：

19．设X(k)表示长度为N的有限长序列x(n)的DFT。 （1）

证明如果x(n)满足关系式

x(n) x(N 1 n)

则

X(0) 0

证明当N为偶数时，如果

（2）

x(n) x(N 1 n)

则X(

N

) 0 2

nk

X(k) x(n)WN

n 0

N 12n 0

N 1

解 （1）

X(0) x(n)WN x(n) x(n) x(N 1 n)

n 0

n 0

n N

2

N 1N 1N 1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7f9j.html